典型二阶系统的时域响应与性能分析
二阶系统的时域分析
n
n
112 2 (阻尼 (阻振 尼荡 振)频 荡率 )频率
n
n
d
d
则 s1 、 2j d 此时
C (s) 1 s (s s )2 2 (s )2 2
d
d
精选课件
14
所 其1中以 cco1(setβ)所 t=12ζ1即以 seβci=1t(neac tr)cotdtc21sodsts ζsei n (iβt nc称c dodo t为 s se阻dtt 尼sc 角io ns d)dts ei n t si ns i dn t( )
2
C n ;C n ;C 1
1 (s s)s 2 (s s)s 3
1 21
1 22
而s1，s2是ζ和ωn的函数，显然c(t)只与ζ ，ωn有关，即ζ ，ωn决
定着c(t)的形式。分别讨论如下：
精选课件
11
① ζ ＞1时，（过阻尼） s1 ，s2 为一对不等的负实数根。
j
j
s1、s2
0
0
t
9
二阶系统的闭环极点分布
特征根： s1,2 nn 21
j
j
j
n 1 2
n 1 2
n
0
n 12
0
0
n 1 2
n
0 1
1
1 0
j
s1 s2
n
0
1
j
n
0
n
精选课件0
j
0
1 10
2 二阶系统的单位阶跃响应
当r(t) = 1 时 或R(s)=1/s 时， 有：
C (s) (s)R (s)s2 2 n 2s 21 s
第三章 时域分析法
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
自动控制原理实验一 典型系统的时域响应和稳定性分析
实验一典型系统的时域响应和稳定性分析一、实验目的1．研究二阶系统的特征参量(ξ、ωn) 对过渡过程的影响。
2．研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。
3．熟悉Routh判据，用Routh判据对三阶系统进行稳定性分析。
二、实验设备PC机一台，TD-ACC+教学实验系统一套。
三、实验原理及内容1．典型的二阶系统稳定性分析(1) 结构框图：如图1-1所示。
图1-1(2)图1-2(3) 理论分析系统开环传递函数为：G(s)=K1T0⁄s(T1s+1)开环增益：K= K1T0⁄先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电阻R的理论值，再将理论值应用于模拟电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性，应与理论分析基本吻合。
在此实验中由图1-2，可以确地1-1中的参数。
T0= 1s , T1= 0.1s ,K1= 200R , K= 200R系统闭环传递函数为：W(s)=5Ks2+5s+5K其中自然振荡角频率：?n ω= 10√10R；阻尼比：?ζ= √10R402．典型的三阶系统稳定性分析(1) 结构框图：如图1-3所示。
图1-3(2) 模拟电路图：如图1-4所示。
图1-4(3) 理论分析系统的开环传函为: G(s)H(s)=20K s 3+12s 2+20s系统的特征方程为:1()()0G s H s += : s 3+12s 2+20s+20K=0 (4) 实验内容实验前由Routh 判断得Routh 行列式为：S 3 1 20 S 2 12 20K S 1 20-5/3*K 0 S 0 20K为了保证系统稳定，第一列各值应为正数，因此可以确定系统稳定 K 值的范围 : 0<K <12 R >41.7k系统临界稳定K: K=12 R =41.7k 系统不稳定K 值的范围: K >12 R <41.7k四、实验步骤1）将信号源单元的“ST ”端插针与“S ”端插针用“短路块”短接。
第3讲 二阶系统的时域分析
18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平 面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2
n
n
j n 1 2 j d
n
称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比； 而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
自动控制理论时域分析2--二阶系统
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
(整理)自动控制原理实验-二阶系统阶跃响应及性能分析
bbb{2}='\fontsize{16}\fontname{宋体}超调量';
bbb{3}='\fontsize{6} ';
bbb{4}='\fontsize{14}\it\sigma_\rho%=16.3%';
text(1.15,0.90,bbb,'color','b','HorizontalAlignment','Center')
与阻尼系数、自然频率的关系，再由对系统的阶跃响应的瞬态性能
指标要求，求出参数K1、a，再用step()画出即可。
代码：a=63.2;b=[1,3.5p=roots(b);
s=0:0.01:5;
step(sys,s);grid
xlabel('s')
ylabel('y(s)')
实验中心201311月10机电年级专姓名学号实验课程名称自动控制原理成绩实验项目名称二阶系统阶跃响应及性能分析指导教师一实验目的二实验内容三使用仪器材料四实验过程原始记录程序数据图表计算等五实验结果及总结一实验目的掌握控制系统时域响应曲线的绘制方法
广州大学学生实验报告
开课学院及实验室：实验中心2013年11月10日
格式1：step (sys) [Y,X,T]=step(sys)
格式2：step (sys,t) [Y,X]=step(sys,t)
格式3：step (sys,iu) [Y,X,T]=step(sys,iu)
格式4：step (sys,iu,t) [Y,X]=step(sys,iu,t)
自动控制原理实验典型系统地时域响应和稳定性分析报告
系别：机电工程学院专业：课程名称：自动控制原理实验班级：姓名：学号：组别：实验名称：典型系统的时域响应和稳定性分析实验时间：学生成绩：教师签名：批改时间：一、目的要求1．研究二阶系统的特征参量 (ξ、ωn) 对过渡过程的影响。
2．研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。
3．熟悉 Routh 判据，用 Routh 判据对三阶系统进行稳定性分析。
二、实验设备PC机一台，TD—ACC教学实验系统一套三、实验原理及内容1．典型的二阶系统稳定性分析(1) 结构框图：如图 1.2-1 所示。
图1.2-2(2) 对应的模拟电路图：如图 1.2-2 所示。
图1.2-2系别：机电工程学院专业：课程名称：自动控制原理实验班级：姓名：学号：组别：实验名称：实验时间：学生成绩：教师签名：批改时间：(3) 理论分析系统开环传递函数为：；开环增益：(4) 实验内容先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电阻 R 的理论值，再将理论值应用于模拟电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性，应与理论分析基本吻合。
在此实验中(图 1.2-2)，系统闭环传递函数为：其中自然振荡角频率：2．典型的三阶系统稳定性分析(1) 结构框图：如图 1.2-3 所示。
系别：机电工程学院专业：课程名称：自动控制原理实验班级：姓名：学号：组别：实验名称：实验时间：学生成绩：教师签名：批改时间：图 1.2-3(2)模拟电路图：如图 1.2-4 所示。
图 1.2-4(3)理论分析：系统的特征方程为:(4)实验内容：实验前由 Routh 判断得 Routh 行列式为：系别：机电工程学院专业：课程名称：自动控制原理实验班级：姓名：学号：组别：实验名称：实验时间：学生成绩：教师签名：批改时间：为了保证系统稳定，第一列各值应为正数，所以有五、实验步骤1．将信号源单元的“ST”端插针与“S”端插针用“短路块”短接。
由于每个运放单元均设臵了锁零场效应管，所以运放具有锁零功能。
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实验二 典型二阶系统的时域响应与性能分析
一、实验目的
1、研究二阶系统的特征参量（ζ, ωn ）对过渡过程的影响。
2、研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。
二、实验设备
PC 机一台，TD-ACS 教学实验系统一套。
三、实验原理
典型二阶系统开环传递函数为：)
1()1()(101101
+=
+=
s T s T K s T s T K s G ；其中，开环放大系数01K K = 。
系统方块图与模拟电路如图2-1与图2-2所示。
图2-1典型二阶系统方块图
图2-2模拟电路图
先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电电阻R 的理论值，再将理论值应用于模拟电路
中，观察二阶系统的动态性能及稳定性。
设R T K K s T T s T 200,2.0,10
1
10==
===，
系统闭环传递函数为：
2
222
221)()(n n n s s T
K s T s T K
K s Ts K s R s C ωζωω++=+
+=++= 其中，自然振荡频率：R
T K n 10
10
==
ω 阻尼比：4
102521R
T
K
T
n
=
=
=
ωζ 典型二阶系统的瞬态性能指标：
超调量：2
1%ζζπ
δ--=e
峰值时间：2
1ζ
ωπ-=
n p t
峰值时间的输出值：2
11)(ζζπ
-=+=e t C p
调节时间：
1）欠阻尼10<<ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈5324
，，t n n s ζωζω
2）临界阻尼1=ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈575.4284
.5，，t n
n s ωω
3）过阻尼1>ζ，⎩
⎨⎧=∆=∆≈532
411，p ，p t s ，1p -与2p -为二阶系统两个互异的
负实根12
2,1-±-=-ζ
ωζωn n p ，21p p ->>-，过阻尼系统可由距离虚轴较近的极点
1p -的一阶系统来近似表示。
四、实验内容与要求
1、实验前预先计算出典型二阶系统性能指标的理论值并填入实验对照表2-1中。
2、按模拟电路图接线，将信号源单元的“ST”端插针与“S”端插针用“短路块”短接，使每个运放单元均设置锁零场效应管，此时运放具有锁零功能。
将开关设在“方波”档，分别调节调幅和调频电位器，使得“OUT”端输出为幅值为1V、周期为10s左右的方波，将1V的方波信号接至输入端。
若10s周期的方波不能显示完整的波形变化，可适当调整周期。
表2-1实验对照表
3、分别取R=10K，50K，80K，100K，160K，200K改变系统开环增益，观察记录典型二阶系统在欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系情况下的阶跃响应曲线C(t)，测量记录超调量δ%、峰值时间t p和调节时间t s ，判断系统的稳定性。
将实验结果填入实验对照表2-1中，将测量值和计算出的理论值进行对比分析。
4、若令ζ=0，修改模拟电路，观察记录阶跃响应曲线。
五、思考题
1、分析二阶系统的特征参量（ζ, ωn）对系统动态性能的影响。
2、时间常数T改变，超调量δ%，调节时间t s如何变化？
实验三 线性系统的稳定性分析
一、实验目的
1、熟悉Routh 判据，用Routh 判据对三阶系统进行稳定性分析。
2、研究线性系统的开环比例系数K 对稳定性的影响。
二、实验设备
PC 机一台，TD-ACS 教学实验系统一套。
三、实验内容
典型三阶系统方块图如图3-1所示，
图3-1 典型三阶系统方块图
系统的开环传递函数为：)
15.0)(11.0(500)()(++=
S S S R
S H S G （其中R K 500=）
图3-2模拟电路图
利用Routh 判据，判别开环比例系数K 的选取对系统稳定性有何影响，并选取3组不同K 值观测分析三阶系统稳定性。
四、实验要求
1、利用Routh判据判别系统稳定性，分析开环比例系数K对系统稳定性有何影响。
2、按模拟电路图接线，将幅值为1V、周期为10s的方波信号接至输入端。
3、选取3组R分别为30K，41.7K，100K，观察记录响应曲线，并将实验结果填入实验记录表中，分析实验结果。
表3-1实验记录表
五、思考题
1、分析线性系统的时间常数T对稳定性的影响，三阶系统的各时间常数怎样组合时，系统的稳定性最好或最差？
2、总结开环比例系统K和时间常数T影响系统稳定性的规律。