5-7 频域响应和时域响应之间的关系

2 n 2 ( j ) 2 2 n ( j ) n
rts
1

1 2
ln
0.05 1
2
b
1 2
8
由此得到截止频率 b 与阻尼自然振荡频率 n 及阻尼比 的关系为
b n (1 2 2 ) 2 4 2 4 4
2
100%
p e

2 M r M r 1
Mr
2 M r 1
100%
Mr 1
（5-146）
图 5-71是式（5-146）的关系曲线，由图可见，二阶系统的相对谐振峰值 M r =1.2～1.5时，对应的系统超调量 p = 20～30%，这时系统可以获得较为
满意的过渡过程。如果 M r>2，则系统的超调量 p 将超过40%。
G ( s)
令
K ( j s 1)
j 1
m
s
v
(T s 1)
i i 1
n
A( ) Amax
A(0)
0.707 A(0)
G0 ( s )
(
j 1 n i 1mjs 1) (T s 1)
i
则
KG0 ( s ) G(s) sv
（5－138）
； Amax (2) 谐振频率和相对谐振峰值 M r ； A(0) （3） 截止频率 b 和系统带宽（0～ b ）。 下面分别讨论这些特征量与系统性能指标之间的关系。 (1) 闭环幅频率特性的零频值
)0(A
1
一、闭环幅频特性零频值A(O)与系统无差度v之间的关系
单位反馈系统的开、环传递函数可写成下列形式
14
图5.73给出了用Bode函数生成的Bode图，并对Bode函数进行了说明。在输
入指令中，如果缺省了左边的参数说明，bode函数将自动生成完整的Bode 图，否则，将只计算幅值和相角，并将结果分别存放在向量mag 和phase中。 在此情况下，只有再调用plot函数和向量mag ，phase，才能绘制出Bode图.
A(0) lim KG0 ( j ) C ( j ) lim 0 R ( j ) 0 ( j ) v KG ( j ) 0
（5-140）
其中
0
lim G0 ( j ) 1
3
当系统无差度 v 0 时，由式（5-140）得
A(0) 1
当系统无差度 v 0 时，由式（5—140）得
由此得到
c n
2
4 4 1 2 2
（5－155）
10
二阶系统的相角裕度是
180 0 90 0 arctg
将式（5-155）代入式（5-156）得到
n 2n
2n arctg c

（5-156）
arctg
二阶欠阻尼系统的相角裕度 由图 5—72可以看出，在阻尼 比 0.7的范围内，它们之间的关 系可近似地用一条直线表示，即
2 4 1 2
2 2
（5-157）
与阻尼比之间的关系曲线如图5—72所示。

0.01
上式表明，选择300～600 的相角裕度时，对应的系统阻 尼比约为0.3～0.6。
系统精度，即系统误差的大小。系统的开环放大K愈大， (0) 愈接近于1，系 A 统的稳态误差愈小，反之误差愈大。但系统的开环放大系数 K太大，会对系 统的稳定性产生不利影响。因此在系统设计中，应全面考虑性能指标的要求， 恰当地选择系统参数。对于I型或I型以上（v 1）的无差系统，闭环幅频特 性的零频值 A(0) 1 。
C ( j ) 和R( j ) 分别是系统的闭环频率特性和 R( j )
点的条件，分析的结果是令人满意的。对于不具有一对主导极点的高阶系统，
除了利用式（5—159）的傅立叶变换外，尚无简便的方法可循。
12
综上所述，控制系统的频域响应和时域响应之间的关系可大致概括如下： (1)对于零型（ v 0 ）的有差系统，闭环幅频特性的零频值 A(0) 反映了
A(0) K 1 1 K
（5-141）
综上分析，对于无差度 v 1 的无差度系统，闭环幅频特性的零频 值 A(0) 1 ；而对于无差度 v 0 的有差系统，闭环幅频率特性的零频 值 A(0) 1 。式（5—141）说明， 系统开环放大系数K越大， 闭环幅频特 性的零频值 A(0) 愈接近于1，有差系统的稳态误差将愈小。
Mr 1 2
1
或写成
1
1 2
2

1 2
（5-143）

Mr
2
1 rM
1
（5-144）
5
对于二阶系统，系统的超调量 p 为 （5-145） 将式（5—144）代入式（5—145）便可得到二阶系统的相对谐振峰值M r 与系 统超调量 p 之间的关系为
p e


1
（5－154）
式（5-153） 和式（5-154）说明，对于给定的阻尼比，二阶系统的截止频 率 b与峰值时间 t p 和过渡过程时间
t s 也是成反比的。截止频率 b 愈大，
系统的响应速度愈快,反之亦然。所以，由截止频率 b 决定的系统带宽也是表 征系统响应速度的特征量，一般来说，频带宽的系统有利于提高系统的响应速 度，但同时它又容易引入高频噪声，从抑制噪声的角度，系统带宽又不宜过大。 因此，在设计控制系统时，要恰当处理好这个矛盾，在全面衡量系统性能指标 的基础上，选择适当的频带宽度。
0
图5-70
r
b

典型闭环幅频特性
式中 K—系统的开环放大系数；
v—系统的无差度，即开环传递函数中积分环节的重数；
G0 ( s ) —开环传递函数 G (s ) 中除开环放大系数K和积分项
1 以外的表达式，它满足 v s
2
lim G0 ( s ) 1
s 0
用 s j 代入式（5-138）得到系统的开环频率特性为 KG0 ( j ) G ( j ) ( j ) v 对于单位反馈系统，闭环频率特性为
0.6 0.4
0.2
20 0
近似关系
准确曲线
40 0
60 0
11

图5-72 相角裕度和阻尼比的关系
五、高阶系统的频域响应和时域响应
控制系统的频域和时域响应可由傅立叶积分进行变换，即
1 C (t ) 2
C ( j ) R( j ) e jt d R( j )

（5-159）
§ 5-7 频域响应和时域响应之间的关系
频域响应（频率特性）和时域响应都是描述控制系统固有特性的工
具，因此两者之间必然 存在着某种内在联系，这种联系通常体现在控 制系统频率特性的某些特征量与时域性能指标之间的关系上。本节将着 重讨论系统闭环幅频特性的特征量与系统性能指标之间的关系。 典型 闭环幅频特性如图5—70所示，特性曲线随着频率变化的特征可用下述 一些特征量加以概括：
式中 C (t )为系统的被控信号，
控制信号的频率特性。一般情况下，直接应用式（5—159）求解高阶系统的 时域响应是很困难的。在第三章和第四章我们介绍了主导极点的概念，对于 具有一对主导极点的高阶系统，可用等效的二阶系统来表示，在这种情况下， 可以利用前面介绍的方法对高阶系统进行分析。实践证明，只要满足主导极
图5.73
15
数据向量w给出的是参与运算的频率点数据（以rad/s为单位）,在这些频率点 上，计算机将计算系统的幅频特性和相频特性。当没有事先给定w时，MATLAB 将自动选取参与运算的频率点，并能在频率响应变化较快时，自动加大频率点选 取密度。当需要完全指定w时，可以用logspace函数来生成所需的数据向量。图 5.74给出了logspace函数的说明。
9
四、相角裕度 与阻尼比 的关系
二阶系统的开环频率特性为
2 n G ( j ) j ( j 2 n )
由§5—4知，系统的幅值穿越频率 c（又称剪切频率） 满足 G( j c ) 1 ，因此
2 n
c 4
2 c 2
2 n
1
即
4 2 2 4 c 4 2 n c n 0
5.8.1 用MATLAB绘制频率响应图
本节介绍如何用MATLAB来绘制Bode图，再次讨论频率性能指 标与时域性能的联系，并举例说明频域内的控制系统设计。
本节介绍的MATLAB函数有bode函数和 logspace函数。其中， bode函数用于绘制Bode图， logspace函数用于生成频率点数据 是按照数的相等间隔生成的。在这些频率点上，计算机将根据 Bode图的需要，进行相应的计算。 尽管在控制系统的分析与设计中可以用MATLAB绘制出精 确的Bode图，但我们只能将它视为辅助工具。在学习过程中， 培养手工绘制Bode图的能力才是最基础，最重要的工作，勤于 动手才能深入理解和掌握控制系统的理论和方法。
90 1 80 （0 < ） 2 70 (5-147） 60 50 40 30 20 10
tp
ts 1
n 1 2
1 0.05 1
2
（5-148）
0
（5-149）
n
ln
1 2 3 4 5 6 7 8
Mr
图5-71 超调量与相对谐振峰值的函 数关系曲线
7
将式（5-147）的等号两边分别乘以式（5-148）和式（5-149）的等号两边得到
C ( j ) G ( j ) R( j ) 1 G ( j )
即
G0 ( j ) KG0 ( j ) C ( j ) ( j ) v G0 ( j ) R ( j ) ( j ) v KG0 ( j ) 1 K ( j ) v K