频率响应及信号的频谱
信号处理中的频谱分析技术与应用指南
信号处理中的频谱分析技术与应用指南频谱分析是信号处理中一种重要的技术，用于解析信号的频率成分和谱线特征。
它是一个广泛应用于通信、雷达、音频处理、医学等领域的工具。
本文将介绍频谱分析的基本原理、常见的分析方法和应用指南。
首先，让我们了解一下频谱分析的基本原理。
频谱分析的核心思想是将时域信号转换为频域信号，通过分析频域信号的幅度和相位特性来研究信号的频率成分。
这种转换通常是通过傅里叶变换来完成的，它将时域信号分解为一系列复指数函数的叠加。
具体而言，离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）是频谱分析中常用的算法，它们能够高效地计算离散信号的频谱。
在频谱分析中，常见的分析方法包括功率谱密度估计和频域滤波。
功率谱密度估计用于分析信号的能量分布，可以帮助我们了解信号的频率成分和功率强度。
常见的功率谱密度估计方法有周期图法、自相关法和Welch法等。
周期图法基于信号的周期性特征，可以获得较高的频谱分辨率；自相关法用于估计信号的自相关函数，从而获得与周期图法类似的频谱信息；Welch法是一种常用的非周期信号功率谱估计方法，通过将信号分成多个重叠的子段进行功率谱估计，可以减小估计的方差。
另外，频域滤波也是频谱分析的常见应用之一。
频域滤波利用频域上的特点对信号进行滤波操作，可以去除信号中的噪声或者频率成分。
常见的频域滤波方法包括理想滤波器、巴特沃斯滤波器和卡尔曼滤波器等。
理想滤波器是一种理论上的参考滤波器，通过设定截止频率，将低于该频率的部分滤除；巴特沃斯滤波器是一类具有光滑频率响应特性的滤波器，可以实现指定截止频率的滤波；卡尔曼滤波器是一种递推滤波器，可以对由线性动态系统生成的信号进行滤波和预测。
除了以上的基本原理和方法，频谱分析在各个领域都有广泛的应用。
在通信领域，频谱分析可以用于信号调制和解调、信道估计和均衡，帮助提高信号传输的可靠性和性能。
在雷达领域，频谱分析可以用于目标检测、跟踪和成像，提高雷达系统的探测能力和目标分辨率。
傅里叶变换 与滤波器的关系
傅里叶变换与滤波器的关系
傅里叶变换与滤波器之间有密切的关系，因为傅里叶变换为我们提供了一种在频域中分析信号的方法，而滤波器则是应用于信号以去除或改变频域中特定频率分量的工具。
傅里叶变换将一个信号分解为各种频率的正弦和余弦函数的和，这使得我们能够在频域中观察信号的频谱特性。
滤波器可以根据特定的频率响应来选择性地通过或阻塞信号的特定频率分量。
在频域中，将滤波器的频率响应与信号的频谱特性进行卷积相乘，可以在输出中去除或减弱特定频率的分量。
具体而言，我们可以通过将一个滤波器应用于信号的频谱，然后通过将傅里叶逆变换应用于处理后的频域信号，将其转换回时域。
这样就可以实现对信号的滤波操作。
傅里叶变换与滤波器的关系还体现在滤波器的设计中。
滤波器通常可以通过特定的频率响应函数来描述，例如低通滤波器、高通滤波器或带通滤波器。
而这些频率响应函数可以通过傅里叶变换的性质和方法来获得和分析。
因此，傅里叶变换为我们提供了一种设计和理解滤波器的有效工具。
总之，傅里叶变换提供了一种在频域中分析和操作信号的方法，而滤波器则利用傅里叶变换的性质和方法进行频率选择性的信号处理。
《信号与线性系统分析》重要公式
《信号与线性系统分析》重要公式信号与线性系统分析是电子信息专业重要的基础课程之一，具有重要的理论和实际应用价值。
随着信息技术的快速发展，信号与线性系统的研究在通信、图像处理、音频处理、控制系统等各个领域都扮演着重要的角色。
本文将介绍信号与线性系统分析中的一些重要公式，帮助读者更好地理解和应用信号与线性系统分析。
1.线性系统的定义：-叠加定理：线性系统对两个输入信号的线性组合作用后的响应等于对每个输入信号分别进行线性系统的响应再进行线性组合，即y(t)=a1*x1(t)+a2*x2(t)=>H[a1*x1(t)+a2*x2(t)]=a1*H[x1(t)]+a2*H[x2 (t)]-时间因果性：线性系统的输出，必须要随着输入的改变而改变，即输出仅依赖于当前和过去的输入值，而与未来的输入无关。
-线性系统的时不变性：线性系统的性质和特性在不同时刻都是不变的，即系统的输出只依赖于当前的输入和系统的当前状态。
-线性系统的稳定性：当输入系统后，输出会逐渐趋于有限值的性质。
2.常见信号的基本性质：-单位冲激函数δ(t)：在t=0时刻取值为无穷大，其他时刻取值为0，可以表示信号的零值以外的非零值。
-单位阶跃函数u(t)：在t=0时刻取值为0，t>0取值为1，可以表示信号的跃迁性质。
-正弦信号：具有周期性的函数，可表示信号的频率和相位。
-矩形信号：具有有限宽度和平坦的值，可表示信号的持续时间。
3.傅里叶级数与傅里叶变换：-傅里叶级数：将周期性信号分解为一系列正弦和余弦函数，以求得信号频谱的方法。
-傅里叶变换：将非周期性信号分解为连续频谱的方法，常用于信号的频谱分析和滤波等应用。
-时域与频域的转换关系：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，反之，傅里叶逆变换可以将信号从频域转换到时域。
4.系统的频率响应：- 时域脉冲响应h(t)与频域频率响应H(f)的关系：频域频率响应等于时域脉冲响应与复指数e^(-j2πft)的卷积。
信号与系统—信号的频域分析
信号与系统—信号的频域分析频域分析是指将信号从时间域转换为频域的过程，并通过对信号在频域上的性质和特征进行分析与研究。
频域分析对于理解信号的频率特性、频谱分布等方面的特性有很大的帮助，是信号处理领域中不可或缺的分析工具。
频域分析的基本方法之一是傅里叶变换。
傅里叶变换可以将连续时间域中的信号转换为离散频域中的信号，也可以将离散时间域中的信号转换为连续频域中的信号。
它通过将信号分解为不同频率的正弦波的组合来分析信号的频谱分布。
傅里叶变换的基本公式为：两个公式其中，X(f)表示信号在频域中的频谱，x(t)表示信号在时间域中的波形，f表示频率。
傅里叶变换得到的频谱图可以展示信号在不同频率上的能量分布情况，从而能够更直观地了解信号的频率成分。
频谱图通常以频率为横轴，信号在该频率上的幅度或相位为纵轴，用于描述信号在频域中的变化情况。
除了傅里叶变换，还有其他一些常用的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
离散傅里叶变换是对离散时间域中的信号进行频域分析的方法，快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。
频域分析主要包括信号的频谱分析和系统的频率响应分析两个方面。
在信号的频谱分析中，我们可以通过观察信号在频域上的能量分布情况来判断信号的频率成分、频率范围等信息。
而在系统的频率响应分析中，我们可以通过研究系统在不同频率上的响应特性来了解系统对不同频率信号的传输、增益、衰减等情况。
频域分析在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理领域中，频域分析可以用于声音信号的频谱分析和音效处理等方面。
在通信系统中，频域分析可以用于信号的调制解调、信道估计、信号检测等。
在图像处理中，频域分析可以用于图像的锐化、降噪、压缩等方面。
总结起来，信号的频域分析是信号与系统课程中的重要内容，它通过将信号从时间域转换为频域来研究信号的频率特性和频谱分布等问题。
傅里叶变换是频域分析中常用的方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦波的组合。
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。
三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。
它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。
系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。
2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。
它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。
系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。
3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。
系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。
综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。
系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。
系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。
如何进行电路的频率响应分析
如何进行电路的频率响应分析电路的频率响应分析是电子工程领域中非常重要的一项技术。
通过对电路在不同频率下的响应进行分析，可以了解电路的频率特性及其对输入信号的处理能力。
本文将介绍如何进行电路的频率响应分析，包括频率响应的定义、常用的分析方法以及实际应用。
一、频率响应的定义频率响应是指电路在不同频率下对输入信号的响应情况。
它是衡量电路对频率变化的敏感程度的指标。
频率响应一般用传递函数来描述，传递函数是输出信号与输入信号的比值。
传递函数通常用H(jω)表示，其中j为虚数单位，ω为角频率。
二、频率响应的分析方法1. Bode图法Bode图法是一种常用的频率响应分析方法。
它通过绘制幅频特性曲线和相频特性曲线，直观地展示电路在不同频率下的响应情况。
幅频特性曲线表示电路的增益与频率之间的关系，相频特性曲线表示电路的相位与频率之间的关系。
2. 频谱分析法频谱分析法是将信号变换到频域进行分析的方法。
通过对输入信号经过电路处理后的频谱进行分析，可以得到电路的频率特性。
常用的频谱分析方法有傅里叶变换和快速傅里叶变换等。
3. 极坐标法极坐标法是一种通过绘制幅相特性曲线来描述电路频率响应的方法。
这种方法可以直观地表示电路的增益和相位差与频率之间的关系，有助于分析电路对不同频率信号的处理特性。
三、频率响应分析的应用1. 滤波器设计频率响应分析可以用于滤波器的设计。
通过分析电路在不同频率下的增益特性，可以选择合适的频率范围，设计出具有理想滤波效果的滤波器。
2. 信号传输分析频率响应分析可以用于分析信号在电路中的传输情况。
通过分析电路的频率响应，可以判断信号在不同频率下是否存在失真和衰减等问题，为信号传输提供参考。
3. 损耗分析频率响应分析可以用于分析电路中的损耗情况。
通过绘制幅频特性曲线，可以直观地了解不同频率下电路的增益衰减情况，为电路性能的优化提供参考。
四、总结电路的频率响应分析是电子工程中非常重要的一项技术。
通过对电路在不同频率下的响应进行分析，可以了解电路的频率特性，并为滤波器设计、信号传输分析和损耗分析等提供依据。
信号与系统连续时间系统的频率响应
实验报告实验名称：连续时间系统的频率响应一、实验目的：1 加深对连续时间系统频率响应理解；2 掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应的方法。
二、实验原理：连续时间系统的频率响应可以直接通过所得表达式计算，也可以通过零极点图通过用几何的方法来计算，而且通过零极点图可以迅速地判断系统的滤波特性。
根据系统函数H(s)在s平面的零、极点分布可以绘制频响特性曲线，包括幅频特性 H(jw) 曲线和相频特性?(w)曲线。
这种方法的原理如下：假定，系统函数H(s)的表达式为当收敛域含虚轴时，取s = jw，也即在s平面中，s沿虚轴从- j∞移动到+ j∞时，得到容易看出，频率特性取决于零、极点的分布，即取决于Zj 、Pi 的位置，而式中K是系数，对于频率特性的研究无关紧要。
分母中任一因子(jw- Pi )相当于由极点 p 引向虚轴上某点 jw的一个矢量；分子中任一因子(jw-Zj)相当于由零点Zj引至虚轴上某点 jw的一个矢量。
在右图示意画出由零点Zj和极点 Pi 与 jw点连接构成的两个矢量，图中Nj、Mi 分别表示矢量的模，ψj、θi 表示矢量的辐角（矢量与正实轴的夹角，逆时针为正）。
对于任意零点Zj 、极点Pi ，相应的复数因子（矢量）都可表示为：于是，系统函数可以改写为当ω延虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
这种方法称为s 平面几何分析。
通过零极点图进行计算的方法是： 1 在S 平面上标出系统的零、极点位置；2 选择S 平面的坐标原点为起始点，沿虚轴向上移动，计算此时各极点和零点与该点的膜模和夹角；3 将所有零点的模相乘，再除以各极点的模，得到对应频率处的幅频特性的值；4 将所有零点的幅角相加，减去各极点的幅角，得到对应频率处的相角。
三、实验内容用 C 语言编制相应的计算程序进行计算，要求程序具有零极点输入模块， 可以手工输入不同数目的零极点。
计算频率从0～5频段的频谱，计算步长为0.1，分别计算上面两个系统的幅频特性和相频特性，将所得结果用表格列出，并画出相应的幅频特性曲线和相频特性曲线。
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第十二章 频率响应及信号的频谱◆ 重点：1． 串联谐振及并联谐振的特点及分析 2． 正弦交流电路的幅频特性与相频特性3． 非正弦周期电路的分析——平均值、有效值及平均功率◆ 难点：1． 频率特性的分析 2． 非正弦周期函数的分解 3． 信号频谱的理解12.1 谐振有关“谐振”的物理性质可以用运动学中的“共振”来对应理解。
谐振的定义：如果在某一特定频率下工作的含有动态元件的无源单口网络的阻抗角为零，认为该单口网络在此频率情况下发生谐振。
谐振电路是一种具有频率选择性的电路，它可以根据频率去选择某些需要的信号，而排除其他频率的干扰信号。
12.1.1串联谐振1．串联谐振的条件我们来看下面这个RLC 串联的电路：前面我们分析过RLC 串联电路的复阻抗情况，ϕ∠=||Z Z ，其中2222)1()(||C L R X X R Z C L ω-ω+=-+=，RC L arctg R X X arctg C L ω-ω=-=ϕ1按照谐振的定义：当C j L j ω=ω1，即：LC1=ω时，01=ω-ω=-=ϕRC L arctg R X X arctgCL 。
此时R X X R Z C L =-+=22)(||。
这里，我们称LC 10=ω（或LCf π=210）为谐振频率。
谐振时的电压相量图为12-2。
2．串联谐振发生时的电路特性 1）电路阻抗最小——U 不变时，I 最大j ωL0图12-3（a ）0图12-3（b ）2）电路呈阻性——电源供给电路的能量全部消耗在电阻R 上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。
3）串联谐振为电压谐振——U R X IX U C C C ⋅==， U RXIX U L L L ⋅== 当R X >>时，U U X >>。
电力系统中，常常尽量避免谐振，以免击穿电路设备（L 、C 等）；而电子线路中，常用此方法获得高压。
4）选频特性与品质因数Q电容或电感上的电压有效值与电源电压有效值之间的倍数。
Q 越大，网络选频的选择性越强。
CL R R C R L U UU U Q L C 1100=ω=ω=== 12.1.2并联谐振情况1L图12-4 RLC 并联谐振电路一该RLC 并联电路的复阻抗Y Z 1||=ϕ∠=Z ，而C j L j R ω+ω+=11Y ，当R1=Y 时，电路发生谐振。
此时电路呈现阻性，阻抗为R ==YZ 1。
可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率LC10=ω（或LCf π=210）。
谐振时的电流相量图为12-5： 2．并联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最大——I 不变时，U 最大见图12-62）电路呈阻性——电源供给电路的能量全部消耗在电阻R 上，而动态元件ff图12-6的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。
3）串联谐振为电流谐振——I X R I C C ⋅=， I X R I LL ⋅= 当X R >>时，I I X >>。
4）选频特性与品质因数Q定义为电容或电感上的电流有效值与干路电流有效值之间的倍数。
Q 越大，网络选频的选择性越强。
LCRCR L R I I I I Q L C =ω=ω===00 情况2实际上的并联电路往往是以下这种模型 该RLC 并联电路的复阻抗YZ 1||=ϕ∠=Z ， 即 LCRC j Lj R Cj L j R C j L j R 211)(1)(ω-ω+ω+=ω+ω+ω⨯ω+=Z 当L R ω<<时 )1(112LC j L RCLC RC j L j ω-ω+=ω-ω+ω≈Z 电路发生谐振时，电路呈现阻性，阻抗为RCL=Z 。
可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率LC10=ω（或LCf π=210）。
谐振时的电流相量图为12-8，这种情况下并联谐振发生时的电路特性与前面的并联谐振情况相同。
12.2 频率特性在前面的内容中，我们着重讨论固定频率（同一频率）情况下正弦交流电路的稳态响应。
这一节中，我们开始研究在电路其他参数不变的前提下，仅改变电路（电源）的频率时的电路响应的情况。
所谓频率特性，正是用来分析电路的响应随着频率变化的规律。
在前面的内容中，我们曾经提到过电容元件通高频阻低频、电感元件通低频阻高频的性质，其实这正是两种元件在不同的频率情况下响应不同的体现。
12.2.1幅频特性与幅频特性曲线以网络函数中的策动点阻抗为例。
前面我们谈到过单口网络的阻抗的意义：)(|)(|ωϕ∠ω==j Z I UZ ，其中|)(|ωj Z 为端口电压与端口电流的幅值比随着频率变化的关系，即表征了在相同电流源大小的情况下，在单口网络与电流源同一端口产生的电压大小与电源频率之间的关系。
mmI U I U j Z ==ω|)(|I幅频特性曲线——在以频率为横轴，|)(|ωj Z 为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的幅频特性曲线。
12.2.2 相频特性与相频特性曲线其中)(ωϕ表征端口电压与端口电流的相位关系随着频率变化的规律。
相频特性曲线——在以频率为横轴，)(ωϕ为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的相频特性曲线。
12.2.3 示例以前面讲到的RLC 并联电路为例)(1)1(11111LRCR j RLC j R C j Lj R ω-ω+=ω-ω+=ω+ω+=Z前面我们已经得出：CR L RQ 00ω=ω=，所以：0ω=Q CR ，0ω=Q L R，代入上式：)(1)(00ωω-ωω+=ωjQ R j Z 这样，阻抗对应的幅频特性为：2002)(1|)(|ωω-ωω+=ωQ Rj Z相频特性为：)()(00ωω-ωω-=ωϕarctgQ 因此，该电路的网络函数——策动点阻抗对应的幅频特性曲线及相频特性曲线如下，当电路的品质因数变化时，相频特性的变化规律同时见图12-9。
12.2.4 通频带在上述电路中，如果电路入端阻抗的模不低于谐振时阻抗模的21（=0.707）的频率范围。
称为“通频带”。
通频带的宽度决定了幅频特性曲线的尖锐程度——通频带越窄，幅频特性曲线越尖锐，Q 值越高，选择性越好；但是通频带太窄，传送信号时越容易产生波形失真。
因此，在利用网络的频率特性进行选频的时候，往往要综合考虑选择性与通频带这两个方面的问题。
见图12-10。
12.2.5 滤波器低通、高通、带通、带阻、全通。
实际上，产生谐振时，电路的幅频特性即为一种带通的滤波性质。
这里只介绍一阶滤波器（在网络函数部分将介绍二阶滤波器）L/ω0 Q/ω0/ω图12-10频率特性的通频带1．RC 串联电路的低通滤波器图中，RC j C j R C j ii ω+⋅=ω+ω⋅=1111U U U o ，所以其电压放大函数为：RCj j i oω+==ω11)(U U H ， 其中，网络函数的幅频特性为：2)(11)(RC H ω+=ω，网络的相频特性为：)()(RC arctg ω-=ωϕ其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-12。
R+-图12-11 RC 低通滤波器 o2．RC 串联电路的高通滤波器12-13+-图12-13 RC 高通滤波器 o在图中RCj RCj Cj R R iiω+ω⋅=ω+⋅=11U U U o ，因此，其电压放大函数的表达式为：)](90[)(11)(2RC arctg RC RCRC j RC j j o ω-∠ω+ω=ω+ω=ωH其中，幅频特性为：2)(1)(RC RC H ω+ω=ω，相频特性为：)(90)(o RC arctg ω-=ωϕ其幅频特性曲线及相频特性曲线如12-14 3．超前滞后网络在电子技术中，该网络常常用在正弦波振荡器（文氏电桥振荡器）中作为选频部分（几个Hz 到几百kHz ）——参见《模拟电子技术》或高频电子技术，而在《自动控制理论》中，常常利用其相位超前及滞后的特点。
+ -图12-15 超前滞后网络在图中，所求的网络函数的表达式为：1)(3)()1(1111)1()//1(//1)(2+ω+ωω=+ω++ω⋅ω+ω⋅ω=+ω+ωω==ωRC j RC j RCj R Cj R Cj RC j R Cj R C j R C j R C j R C j j i U U H o 令RC C 1=ω，该网络函数变为 1)(3)()(2+ωω+ωω-ωω=ωCC Cj jj H其中若C k ωω=，则该网络函数变为 2222229)1()1(313)(kk k jk k k j k jk j +--+=++-=ωH 其中，网络函数的幅频特性为： 2)(1)(RC RCH ω+ω=ω，网络的相频特性为：k k arctg 31)(2-=ωϕ由该相频特性可见，该网络可以因为电源频率的不同，使得输出电压超前或者滞后于输入电压（在自控理论中常用）。
特别地，在满足一定条件时，两者还可以同相，分析如下。
当12=k 即1=k 时，319)1()1(3)(22222=+--+=ωk k k jk k j H这说明，该网络的输入电压与输出电压同相，且输出电压为输入电压的三分之一，满足该性质的网络要求电压的输入频率为1=ωω=C k ，即RCC 1=ω=ω。
12.3非正弦周期电路与频谱对于线性非时变电路而言，可以运用叠加定理计算多个正弦电源作用下的稳态响应，前面我们往往只涉及到同频率的情况，如果这些正弦电源的频率不同，电路分析的情况又会有改变。
本章中，我们先从叠加的角度来看非正弦周期电路的分析，然后，我们再从分解的角度来看非正弦周期电路的分析及频谱的概念。
12.3.1 正弦稳态的叠加一、不同频率的激励作用时根据线性电路的叠加定理，我们可以分别计算该电路中的两个电源作用时产生的响应。
我们看下面的电路，其中V t u S 5cos 210=，A 4cos 22t i S =，由于两个电源的频率不同，就整个电路来说，我们不能直接使用相量法。
但是根据叠加定理，我们可以将该线性电路的响应分为两个不同频率点单个电源作用下产生响应的和，因此，我们可以单独对每一个电源作用下的电路使用相量法。
再笔筒频率下，电容与电感对应的阻抗为不同的值，再相量电路绘出之后，就可以按照原来所学的方法计算该电路的响应了。
图12-17不同频率的电源叠加图（a ）是电压源单独作用时的电路，其中的阻抗根据s rad /5=ω计算；图（b ）是电流源单独作用时的电路，其中的阻抗根据s rad /4=ω计算；图（a ）中A j j j j j.j j .j oo o8.112.105242502.055205)20(51010'∠=-=-⨯--⨯+∠=I 图（b ）中A jj j j oo o9.1406.24153225.041402'∠=-=-+∠=I所以：A t i o )8.115cos(22.10'o +=A t i o )9.144cos(206.2''o +=待求量：A t A t i i i o o o )9.144cos(206.2)8.115cos(22.10'''o o +++=+=二、各种频率正弦激励的叠加t At f ωπ=sin 4)(1 )3sin 31(sin 4)(2t t A t f ω+ωπ=)5sin 513sin 31(sin 4)(3t t t A t f ω+ω+ωπ=)7sin 715sin 513sin 31(sin 4)(4 +ω+ω+ω+ωπ=t t t t A t f P267f 3t12.3.2非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱一、非正弦周期函数的傅立叶分解 1．定义如果给定的周期函数)(t f 满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点与不连续点），则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数。