人教版几何模型基本图形
6.1几何图形 (课件)人教版(2024)数学七年级上册
(1)展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正
方体；
(2)展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥；
(3)展开图中有长方形(或正方形)和圆时，要考虑圆柱；
(4)展开图中有扇形时，要考虑圆锥.
感悟新知
知4－练
6-1.[期末·北京大兴区] 如图是由下列哪个立体图形展开得 到的？( B ) A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱
( B) A.1 种 C.3 种
B.2 种 D.4 种
感悟新知
知4－练
例 8 [立德树人 家国情怀]小红通过学习中国现代史了解到遵义 会议是中国共产党成立以来，第一次独立自主地运用马列
主义基本原理解决自己的路线、方针和政策问题的会议. 如图6.1-11，她将路线、方针、政策六个字分别填写在正 方体的展开图上，折叠成正方体后，
▲▲▲
综合应用创新
题型 2 列代数式表示实际问题
例 12 [新趋势 学科内综合]如图6.1-18，这是一个正方体的 表面展开图，且正方体相对面上的两个数互为相反数.
综合应用创新
(1)a=__3__，b=_－__1_，c=__5__； 解题秘方：根据正方体的表面展开图特点找到a，b，c 相对应的数字，再根据相反数的概念即可解题. 解：由正方体的表面展开图特点可知，a 与－3 相对，b 与1 相对，c 与－5 相对. 因为正方体相对面上的两个数 互为相反数，所以a=3，b=－1，c=5 .
点：线• 和• 线• 相• 交• 的地方是点.
感悟新知
2. 点、线、面、体的关系
知5－讲
感悟新知
知5－讲
特别解读
1. 几何中的点只有位置，没有大小；线只有长短，没
有粗细；面只有大小，没有薄厚.
三角形全等几何模型(一线三等角)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破
专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°图1图2图3解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知识点二】一线三等角模型图4图5题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．（1）求证：ADC CEB ≌；（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）A ．30cmB ．27cmC ．21cmD ．10cm【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D初步探究：（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，则BCD △的面积为（）A ．9B ．6C ．10D ．12【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:OMBD为定值【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）A．54B．60C．100D．110【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；（2）拓展应用：如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：；（3）迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
人教版初中数学一年级上册《几何图形- 点、线、面、体》图文课件
线 动 成 面
直角三角形绕一直 角边旋转成圆锥体
长方形绕一边旋 转成圆柱体
点动成—— 线 线动成—— 面
面动成—— 体
（动态）
体是由面围成 面与面相交成线 线与线相交成点
（静态）
练一练：把下面第一行的平面图形绕线 旋转一周，便能形成第二行的某个几何 体，请用虚线连一连：
1
2
3
4
5
A
B
C
D
2.老师叫小明在地上画圆圈,并交给了他两件东西:
一支粉笔和一根细绳,小明很快画好了,你知道他
是怎样画的吗?
从中体现了怎样的数学知识?
3. ①飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩 带”,用数学知识解释为： 点动成。线
②把一张纸对折，形成一条折痕,用数学知 识解释为： 面面相交形。成线
● 你学到了什么？
1、多姿多彩的图形是由点、线、面、体组 成。点是构成图形的基本元素。
面与面相交的地方形成线
点
点
天上的星星、地图上的城市等都给我们以点的形象。
线和线相交的地方是点。
练一练：下图是一个长方体的模型，它 有几个面？面和面相交的地方形成了几 条线？线和线相交成几个点？
·· ·· ·· ··
6个面 12条线 8个点
几何图形是由点、线、面、体组成的
点动成线
点 动 成 线
E
为什么北 京市在右 边地图上 几乎占了 整个版面
点无大小 北京市地图
为什么在 左边地图 上北京只 是一个点
点
是构成图形 的基本元素
点、线、面、体经过运动 变化，形成多姿多彩世界。
点、线、面、体经过运动 变化，形成多姿多彩世界。
点、线、面、体经过运动 变化，形成多姿多彩世界。
九年级数学几何模型
九年级数学几何模型一、相似三角形模型。
1. A字模型。
- 基本图形：在三角形ABC中，DE平行于BC，则三角形ADE相似于三角形ABC。
- 性质：对应边成比例，即(AD)/(AB)=(AE)/(AC)=(DE)/(BC)。
- 应用：在很多几何证明和计算中，若已知平行关系和部分线段长度，可以利用此模型求出其他线段的长度。
例如，已知AD = 2，AB = 5，BC = 6，求DE的长度。
根据(DE)/(BC)=(AD)/(AB)，可得DE=(AD× BC)/(AB)=(2×6)/(5)=(12)/(5)。
2. 8字模型。
- 基本图形：若有四边形ABDC，其中AB与CD相交于点E，则三角形AEC相似于三角形BED。
- 性质：(AE)/(BE)=(CE)/(DE)，并且AE× DE = BE× CE。
- 应用：在求解线段比例关系或者证明线段乘积相等时经常用到。
比如在一个几何图形中，已知AE = 3，BE = 4，CE = 6，求DE的长度。
根据AE× DE = BE×CE，可得DE=(BE× CE)/(AE)=(4×6)/(3)=8。
3. 母子相似三角形模型（射影定理模型）- 基本图形：在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB于点D。
则三角形ACD相似于三角形ABC，三角形BCD相似于三角形BAC，三角形ACD相似于三角形CBD。
- 性质：- 在三角形ACD与三角形ABC中，AC^2=AD× AB。
- 在三角形BCD与三角形BAC中，BC^2=BD× AB。
- 在三角形ACD与三角形CBD中，CD^2=AD× BD。
- 应用：在涉及直角三角形中的线段长度计算和比例关系证明时非常有用。
例如，在直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，CD垂直于AB，AD = 2，DB = 8，求AC 的长度。
新人教版七年级数学上册《几何图形初步》精品课件(共37张PPT)
四棱柱 五棱柱
六棱柱
圆锥
锥体
三棱锥
棱锥
四棱锥 五棱锥
六棱锥
认识多面体
若围成立体图形的面是平的面，这样的立体图形又称为多面体
著名的欧拉公式：
多面体可以按面数V来+分F类-E，=如2下列图形中：
V：点、 E：棱、 F：面
四面体
六面体
八面体
正视图 从正面看
• 观察 • 立体图
三视图
左视图 从左面看 俯视图 从上面看
D
O
使DB=2CD，延长DC到A，使AC= 1 CB， C
若AB=10，则CD= ______
2
A CD
B
用一个大写字母表示点，1.当角的顶点处只有一个角时,可用表示 用二个大写字母表示线，顶 2.在点顶的点一处个加大上写弧字线母注表上示数; 字; 用三个大写字母表示角，3.在顶点处加上弧线注上希腊字母.
练 习： ⑺在以O为端点的两条射线上，分别取线段OA 、OB二等分OA 、OB，分别得 中点M、N，连结A、B并连结M、N。
• 2.如图：用所给的字母表示图中分别有直线_____,射线
B
______________,线段____
A
DE
CD 、CE、AB
AC DC E
3.填空：⑴如果两条直线有一个公共点，那么这两
A
B
C
o
1
ABC
o
1
1周角=3600 1平角=1800 小于平角的角按角的大小分类
▪ 锐角:小于直角的角; ▪ 直角:平角的一半(900); ▪ 钝角:大于直角且小于平角的角.
角度的转化： 1°=60′ 1′=60 〞 1°=3600 〞
角度的加减： 1.同种形式相加减； 2.度加（减）度；分加（减）分； 秒加（减）秒 3.超60进一；减一成60
人教版几何模型基本图形
A BC DEAC DBEABCDDABDEFGD AB CEADCBECNOMDAEC BAEFBOEABCDA1.EC FC⇒⊥正方形ABCD中，BD⊥CE⇔BD＝CE平移后也成立2. //AB CDB D E⇒∠+∠=∠6.△ABD，△ACE为等边△⇒BE＝CDBE、CD相交所成锐角为60°//360AB CDB D E⇒∠+∠+∠=︒ABDE与ACFG为正方形⇒EC＝BG，BG⊥CE注：条件可换成△BAE，△CAG为等腰Rt△3.B D⇒∠=∠7.①AD平分∠CAB；②DE//AC；③AE＝DE中，知二推一1902BOCA⇒∠=︒+∠8. △ABC为等腰Rt△,AE平分∠CAB，∠D＝90︒⇒AE＝2BD12BOC A⇒∠=∠DE//BC⇒C△ADE＝AB+AC1902BOCA⇒∠=︒-∠9.AC＝BC，则CE⊥BD⇔CE＝BD△ACD、△BCE为等边△，A、C、B共线⇒△ACE≌△DCB; △ACM≌△DCN △MCE≌△NCB; AE＝BD，AM＝DN，EM＝BN，CM＝CN，AE、BD相交成锐角60°，AO＝DO+CO，BO＝EO+CO，OM+ON＝CO，OC平分∠AOB，注：△BCE绕C旋转时，结论有些变化.10. AC＝BC⇒△DEF为等腰Rt△15. ⇒OD＝OEBE+CD＝BCA ABCD21D CBAE FE F A ′B ′C′O ABCDAD BCEFE FMA C DB F MGAB C DE45︒FEABCD ⇒PB+PC ＝2PD ∠ABP+∠C ＝180°16.AD ＝CD ⇔CD ＝BD ⇔AD ＝BDAB ＝AC⇒AE+BE ＝BC17.⇒∠A ＝∠B或∠A+∠B ＝180°12.AC ＝BC⇒∠ADC ＝∠BDF ； CF+DF ＝AD18. ⇒DE+BF ＝EFAE 平分∠DEF ，AF 平分∠BFE13.⇒CD ＝CE ＝BG CEFD 为菱形∠2＝2∠1 ⇒AF ＝BC+CF14.AB ＝AC⇒DE+DF ＝BM （钝角△也成立）⇒AE+CF ＝CDEF OES 四边形OEBF ＝14a 2等腰梯形 ⇒EF+EG ＝CM⇒BE+DF=AEEFDCBAGHA B CDE FE B A CDABCNM DF AB CE H 1ADBCB ACDEFEC BADAB CDFEA BCDEFABCDEFA 19.BF=AD ⇔BF ⊥AD⇒∠1＝∠B△ADC ∽△CDB ∽△ACB AC 2=AD ·AB BC 2＝BD ·BAAC ·BC ＝AB ·CD CD 2＝AD ·BD BF=AC ⇔BF ⊥AC25.∠C ＝∠D⇔△ABC ∽△ADE ⇔AB ·AD ＝AC ·AE 20.中点四边形EFGH 至少是，取决于AC 、BD 的关系，EF ，EH 的关系对应AC 、BD 的关系26.∠B ＝∠E⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD ·AB ＝AC ·AE21. 梯形ABCD 中： ①AE ＝BE ； ②AD+BC ＝CD ；③DE ⊥CE ，知二推一27.⇒DF ＝EF22. ⇒AM 2+BN 2＝MN 228.2AE AFED BF⇒=23.AD ＝BC ＝a ，BF ＝CF⇒HF+HD ＝a29. ⇒EF//ADEF ＝12(BC －AD)OMDCB AE N OFABCDENMOD C B A N A B C D EM aaM ABODE MEA CN B D FEB C D A1D CBA G E ABCDM FA24.∠1＝∠C⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD ·AB ＝AE ·AC 30.⇒AN DGAM BC=∠1＝∠B⇔△ADC ∽△ACB ⇔∠ADC ＝∠ACB ⇔AC 2=AD ·AB31.DE//BC⇒DN ＝EN ， BM ＝CM35.⇒AO ＝2DO BO ＝2EO CO ＝2FO⇒MO ＝NO112AD BC MN +=⇒AB BM BNAC CM CN==32.⇒DM BN EM CN = 当DM ＝EM 时， 则BN ＝CN37.⇒222OD DE a += 222OD DE a +=同上33.⇒111AB CD EF+=34.AD ＝DC ，PN//BD ⇒PN+MN ＝2BDP FAB CDE MAO BCPAB ＝AC⇒PE+PF ＝2AD1半弧所对的圆心角等于整弧所对的圆心角 AOC APB ⇒∠=∠2（1）五元素：①CD 过圆心O ；②CD ⊥AB ；③AM ＝BM ；④AD BD ＝；⑤AC BC ＝中，知二推三。
人教版七年级上数学教学课件第四章几何图形全章
谜 语
：
落 到 水 中 看 不
千 条 线 万 条 线
见
1.把下面第一行的平面图形绕线旋转一周，便能形成第二 行的某个几何体，请用虚线连一连：
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
2.下图是一个长方体的模型，它有几个面，面和面相交的
地方形成了几条线？线和线相交成几个点？
·· ··
·· ·· 6个面
12条线
从上面看 从正面看
从左面看
从上面看 从正面看
从上面看 从左面看
从正面看
从正面看
从左面看
从上面看
利用骰子，摆成下面的图形，分别从正面、左面、上 面观察这个图形，各能得到什么平面图形？
从正面看
从上面看 从左面看
请你从不同角度观察，下列立体图形各是 什么图形?
把你手中的立体图形沿棱展开，看它的平面展开图是什 么?
➢(2)直线的表示方法是怎样呢? a
画一条直 线CF
AB
直线AB 或直线 a
线段
线段的表示方法:
a
A
B
在我们的日常生活 中有哪些有关“线 段”的形象的例子?
线段AB （线段BA）或线段a 画一画：画出线段b
b
射线
线段向一个方向无限延伸就形成了一条射线.
a
O
A
射线0A 或射线 a
射线0A和射线AO是 同一射线吗？
(B)圆柱
(C)圆锥 (D)圆
10．小明为班级专栏设计了一个图案，如图所示，主 题是“我们喜爱合作学习”，请你也尝试用圆、扇形、 三角形、四边形、直线等为环保专栏设计一个图案， 并标明你的主题．
几何图形的基本模型
几何图形的基本模型【典型例题】模型一：双子型（手拉手模型）——全等（1）等边三角形条件：ΔOAB, ΔOCD均为等边三角形。
结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=600④OE平分∠AED ⑤点E在ΔOAB的外接圆上（2）等腰直角三角形条件：ΔOAB, ΔOC D均为等腰直角三角形。
结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=900 ④OE平分∠AED ⑤点E在ΔOAB的外接圆上（3）任意等腰三角形条件：ΔOAB, ΔOCD均为等腰三角形。
结论：①ΔOAC≌ΔOBD ②AC=BD ③∠AEB=∠A0B ④OE平分∠AED（或∠AED的外角）⑤点E在ΔOAB的外接圆上例题：（1）如图①，△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰三角形ABD,ACE，分别取BD,CE,BC的中点M、N、G，连接GM、GN，线段GM与GN数量关系是；位置关系是（2）如图②，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，AB﹥AC,其中，其它条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。
（3）如图③，在（2）的基础上，又作了进一步的探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明。
模型二：双子型（手拉手模型）——相似（1）一般情况条件：CD ∥AB(ΔOCD ∽ΔOAB ),将ΔOCD 旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD ∽ΔOAB⇔ΔOAC ∽ΔOBD ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠AEB=∠AOB ③点E 在ΔOAB 的外接圆上。
（2） 特殊情况条件：CD ∥AB (ΔOCD ∽ΔOAB ), ∠AOB=∠COD=900将ΔOCD 旋转至右图位置结论：右图中①ΔOCD ∽ΔOAB ⇔ΔOAC ∽ΔOBD ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠AEB=900（BD ⊥AC ）③连接AD,BC ,则S ABCD =12AC ×BD ④OD OC =OBOA =tan ∠OCD ⑤点E 在ΔOAB 的外接圆上(A,O,E,B 四点共圆) ⑥必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2例题：以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO=∠DCO=300(1)点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中点，连接FM 、EM. ① 如图1，当点D 、C 分别在AO 、BO 的延长线上时，FMEM =② 如图2，将图1中△AOB 的绕点O 沿顺时针方向旋转α角(00＜α＜600)，其他条件不变，判断FM EM的值是否发生变化，并对你的结论进行证明（3） 如图3，若B0=3√3，点N 在线段OD 上，且NO=2.点P 是线段AB 上的一个动点，在将ΔOAB 绕点0旋转过程中，线段PN 长度的最小值为 ，最大值为 。
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A
B
C D
E
A C D
B
E A B
C D
E
A B C
D
O
A
B
C
D
E
F
G
D
A
B
C
E
A
D
C B
E
E A
C
D
B
N O
M
D
A
E C
B
F
A B
C
D
E F E D B
A
A B C O A
B C D
O
E
A B
C
D A
B C
D E
A
1.
EC FC ⇒⊥
正方形ABCD 中，BD ⊥CE ⇔BD ＝CE 平移后也成立
2. B D E
∠+∠=∠
6.
△ABD ，△ACE 为等边△⇒BE ＝CD BE 、CD 相交所成锐角为60° //360AB CD
B D E ⇒∠+∠+∠=︒
ABDE 与ACFG 为正方形⇒EC ＝BG ，BG ⊥CE 注：条件可换成△BAE ，△CAG 为等腰Rt △ 3. B D ⇒∠=∠ 7.
①AD 平分∠CAB ；②DE//AC ；③AE ＝DE 中，知二推一
4.
1
902
BOC
A
⇒∠=︒+∠ 8.
△ABC 为等腰Rt △,
AE 平分∠CAB ，
∠D ＝90︒
⇒AE ＝2BD
1
2
BOC A ⇒∠=∠
DE//BC ⇒
C △ADE ＝AB+AC
1
902
BOC
A
⇒∠=︒-∠ 9.
5.
AC ＝BC ，则CE ⊥BD ⇔CE ＝BD
△ACD 、△BCE 为等边△，A 、C 、B 共线⇒ △ACE ≌△DCB; △ACM ≌△DCN △MCE
≌△NCB; AE ＝BD ，AM ＝DN ，EM ＝BN ，CM ＝CN ，AE 、BD 相交成锐角60°，AO ＝DO+CO ，BO ＝EO+CO ，OM+ON ＝CO ，OC 平分∠AOB ，注：△BCE 绕C 旋转时，结论有些变化.
10.
AC ＝BC
⇒△DEF 为等腰Rt △ 15.
⇒OD ＝OE BE+CD ＝BC
F M
D
G A B C E A
B
C
D
2
1
D C
B
A
E F
E F A ′
B ′
C
′
O A
B
C
D
A
D B
C
F
A P
C B
100︒
B C
A
E
E F
M
A C D
B F M
G
A
B C D
45︒
F
E
A B
C
D 11.
⇒PB+PC ＝2PD ∠ABP+∠C ＝180°
16.
AD ＝CD
⇔CD ＝BD ⇔AD ＝BD
AB ＝AC
⇒AE+BE ＝BC
17.
⇒∠A ＝∠B
或∠A+∠B ＝180°
12.
AC ＝BC
⇒∠ADC ＝∠BDF ； CF+DF ＝AD
18.
⇒DE+BF ＝EF
AE 平分∠DEF ，AF 平分∠BFE
13.
⇒CD ＝CE ＝BG CEFD 为菱形
∠2＝2∠1
⇒AF ＝BC+CF
14.
AB ＝AC
⇒DE+DF ＝BM （钝角△也成立）
⇒AE+CF ＝CD
EF ＝2OE
S 四边形OEBF ＝
14
a 2
等腰梯形
⇒EF+EG ＝CM
⇒BE+DF=AE
1
A
C
A
B C
D
F
E
1
A B
C
D
E 1
D
C
B
A G E A
B
C
D
M F
19.
BF=AD ⇔BF ⊥AD
⇒∠1＝∠B
△ADC ∽△CDB ∽△ACB AC 2=AD·AB BC 2＝BD·BA 少是 24.
∠1＝∠C
⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD·AB ＝AE·AC 30.
⇒
AN DG
AM BC
=
∠1＝∠B
⇔△ADC ∽△ACB
P F
A
B C D
E M P
A
B
N D
C
⇔∠ADC ＝∠ACB ⇔AC 2=AD·AB
AD ＝DC ，PN//BD
⇒PN+MN ＝2BD
AB ＝AC
⇒PE+PF ＝2AD
4
1
1802
C AOB ⇒∠=︒-∠
O
B A
C
5. 共斜边的两直角三角形，四个顶点在同一圆上。
B
A
C
D
D
C
A
B
10
BD CD ⇒= △ABE ∽△ADC ∽△CDE
△ABD ∽△AEC ∽△BED BD 2＝CD 2＝DE ·DA AB ·AC ＝AE ·AD AE ·
DE ＝BE ·CD
*
2cos AB AC
BAD AD
+=∠
若I 为△ABC 内心，则BT ＝CD ＝ID ，关注∠BAC 为特殊角时图形的特殊性、及相关比值。
14
PD PO PM PN ⇒=
△PDM ∽△PNO
CA 平分∠PCD △OND ∽△OPN
15
1
90BOC A ⇒∠=︒+∠
18
⇒AB+CD ＝AD+BC
19
22
AP BP r OP
⇒=-
△PBA∽△PCB BE·BD＝AD·CE
若AC是直径，则△ADP＝45°
*若△BDE为等腰Rt△或等边△时，上述结论有些变化。
23
AC EC
⇒=CB＝CG F为△ABC的内心
其它同前（10）题
AC。