实变函数判断题集锦
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
22秋季-福师《实变函数》在线作业二-辅导资料-答案5
22秋-福师《实变函数》在线作业二-0005
试卷总分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:A
2.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:A
3.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
5.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
6.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B
7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A.错误
B.正确
【此题正确选项】:B。
实变函数[精华]
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1、单调渐张集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1-],则。
2、闭集减开集的差集是集。
3、若则。
4、设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成一列的极限函数。
5、康托尔集是一个集，其测度为。
6、在[a,b]上的有界变差函数一定是函数。
7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可积的充要条件是f(x) 。
8、可数集合在无限集中具有最小的。
二、判断题（20分,每小题2分）：1、复数集的基数最大。
（）2、连续函数一定是可测函数。
（）3、任意多个开集的交集一定是开集。
（）4、康托尔集与有理数集的测度相等。
（）5、若|f(x)|在可测集E上可测，则f(x)必在E上可测。
（）6、几乎处处收敛的函数列必是依测度收敛的。
（）7、L积分是一种绝对收敛的积分。
（）8、E的界点一定是E的聚点。
（）9、单调增加函数的间断点只有有限个。
（）10、设f(x)在E上（L）可积，则f(x)在E上必有限。
（）三、构造题（12分）：1（6分）、在[0，1]上构造一个具有有限正测度的闭集。
2（6分）、构造一可列集E，使其导集，其开核。
四、简答题（16分，每小题4分）1、有界变差函数与连续函数的关系是怎样的？2、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？3、说明可测函数类比连续函数类广。
4、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系。
五、计算题（18分，每题9分）：1、求极限。
2、设在Cantor集上定义函数f(x)= 1，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间长度为直径所作圆周之上半圆，计算f(x)在[0，1]上的L积分。
六、证明题(16分每题8分)1、设在E上，且几乎处处成立于，n=1,2,…，则几乎处处有f n(x)收敛于f(x)。
2、若E为直线上一有界可测集，且mE=p>0,则对于任意小于p的正数q，恒存在E的可测子集E0，使mE0=q。
一、填空题（每空2分，共20分）：1、单调递降集列必收敛，其极限集为；若A n=[0,1+],则。
实变函数第四章复习题及解答(1)
第四章 复习题（一）一、判断题1、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）2、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 3、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）4、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）5、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 6、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）7、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（× ）8、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ）9、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ）10、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）11、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则()d Ef x x -∞<<+∞⎰。
（√ ）12、设()f x 是可测集n E R ⊆上的可测函数， 若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则()()f x L E ∈。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
实变函数试题集锦
实变函数试题集锦实变函数测试题集锦⼀、填空题设1,2n A n ??=, 1,2n = , 则lim n n A →∞=.()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的⼀⼀映射为.设E 是2R 中函数1c o s ,00,0x y xx ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ?= . 若集合nE R ?满⾜E E '?, 则E 为集.若(),αβ是直线上开集G 的⼀个构成区间, 则(),αβ满⾜: , .设E 使闭区间[],a b 中的全体⽆理数集, 则mE =.若()n m E f x →()0f x ??=??, 则说{}()nf x 在E 上.设nE R ?, 0nx R∈,若,则称x 是E 的聚点.()f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的⼦列{}()jn f x , 使得.11. 11,1n n ∞=?? ?= . 12.111,n n n nn ∞=-+??= . 13. (0,1)到(,)a a b +的双射是 .14. E 的全体聚点所组成的集合包含于E 的充要条件是 . 15. [0,1]中⽆理数集的外测度为 .16. nR 中所有开集⽣成的σ代数记为B ，称B 中的集合为 .17. 若*0m A =，则对任意的点集B，必有*()m A B =.18. 当E 为闭区间时，*m E = .19. 设函数()f x 在可测集E 上⼏乎处处有限，若对任意给定的0δ>，存在E 中的⼀个闭集F ，使(\)m E F δ<，且()f x 在F 上连续，则()f x 是可测集E 上的 .22．设G表⽰为⼀列开集}{i G 之交集：∞==1i iGG ，则G 称为 .23. 若F 表⽰为⼀列闭集}{i F 之并集：∞==1i iFF ，则F 称为 .24. ,a b R ?∈(b a >)，f 在E 上可测，则()E f a ≥-()E f b ≥= . 25. Cantor 集的外测度为 . 26．(Fatou 引理)设} {n f 是可测集qR E ?上⼀列⾮负可测函数，则.⼆、判断题. 正确的证明, 错误的举反例.若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则m A m B <.设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.点集11,2,,E n ??=??的闭集. 任意多个闭集的并集是闭集.若nE R ?,满⾜*7. 凡⾮负可测函数都是L 可积的．8.设A 为1R 空间中⼀⾮空集，若.a A ≤'则.a A ≤9.设E 为可测集，则存在δG 型集F ，使得E F ?，且0)(=-F E m ．10.)(x f 在[]b a ,上L 可积，则)(x f 在[]b a ,R 可积且[]=b a badxx f R dx x f L ,)()()()(三、计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中⼼, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集,1,2i = .根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→→∞, 证明E 是可测集.设P 是C antor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=?∈-??.求1(L)()f x dx.设函数()f x 在C antor 集0P 中点x 上取值为313n 的构成区间上取值为16n, ()1,2n = , 求10()f x dx.求极限: 1323lim (R )sin 1n nx nxdxn x→∞+?.7.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．8.nR 上全体有理数点集的外测度为零．9.设函数列}{n f 在E 上依测度收敛f ，且h f n ≤e a .于E ，则h f ≤e a .于E ． 10.设)(x f 在[]εε+-b a ,上可积，则0 )()(lim 0=-+?→dx x f t x f bat ．11.122lim ()sin 1m m x L m xdxm x→∞+?.12、证明。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
实变函数期末考试卷A卷资料
（3）因为 xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF 显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有 0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn 2. 设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。 解：因为有理数集的测度为零，所以 2)(xxf ..ea 于]1,0[， xxf)( ..ea 于]2,1[。 于是 ]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxf dxxdxx211026112331 四、证明题（每题8分，共40分） 1. 证明：)()(11nnnnAAAA
Hale Waihona Puke 实变函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A是B的真子集，则必有BA。 （×） 2.必有比a小的基数。 （√） 3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若E，则0*Em。 （×） 6.任何集nRE都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意子集上也可测。（×） 10.)(xf在E上可积必积分存在。 （×） 1.设E为点集，EP，则P是E的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则1()lim().nnnnmEmE（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在F上连续.（ × ）
证明：)(1nnAA(AnnA1c) )(1cnnAA =)(1cnnAA )(1nnAA 2. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M是至多可列集。 证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。 3. 证明：若0Em，则E为可测集。 证明：对任意点集T，显然成立着 )()(cETmETmTm。 另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而 )()(cETmETmTm。 总之，)()(cETmETmTm。故E是可测集。 4. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合])([rxfE是可测集。
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1 判断题：
1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==
2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点
3. 点集11,2,,E n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 的闭集. F . 由于{}0E E '=⊄
4. 任意多个闭集的并集是闭集. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 3,4n = 是一
系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞
== 不是闭集
若n E R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. T . 因为若E 为有界集合, 则存在
有限区间I , I <+∞, 使得E I ⊂, 则
**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。
（×）
2.必有比a 小的基数。
（√）
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。
（√）
4.无限个开集的交必是开集。
（×）
5.若φ≠E ，则0*>E m 。
（×）
6.任何集n R E ⊂都有外测度。
（√）
7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。
（×）
8.可测集的所有子集都可测。
（×）
9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。
（×）
10.)(x f 在E 上可积必积分存在。
（×）
1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。
错误
2、若0=mE ，则E 一定是可数集. 错误
3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。
错误
4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0E
f x >⎰
错误 123。