数学物理方程有感(绝对牛人写的)

书本个人总结：

由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。

而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。

而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法

第二章：

本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。

A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为：

第一步：分离变量

目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u =

结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程

条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的

第二步：求解本征值问题

利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数：

第三步：求特解，并叠加出一般解

⎪

⎪⎩⎪⎪⎨⎧====<<>∂∂=∂∂)

()0,(),()0,(,0),(),0(0 ,0 ,22222x x u x x u t L u t u L x t x u a t u t ψϕ0

)(2

)(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλx l n πsin (x)X n =x l n at l n D at l n C t x u n n n πππsin )cos sin (),(1∑

∞=+=

这样的特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件

第四步：利用本征函数正交性定叠加系数

总结：通过以上例子我们可以得出分离变量的一般方法，总的来说可以分成四步：

一．首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。

二．确定特征值和特征函数。由于特征值是要经过叠加的，所以用来确定特征函数的方程与

条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时，求特征函数就是求一个常分方程满足零边界条件的非零解。

三．定出特征值和特征函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与特征函数乘起来成为

Un(x,t).

四．最后为了使解满足其余的定解条件，需要把U 叠加起来成为级数形式，叠加出一般解，

再利用本征函数的正交性定叠加系数。

B ．对于非齐次泛定方程和非齐次边界条件的解法，求解的基本思路是: 先由对应的齐次方程和齐次边界条件求出特征值和特征函数,再由此直接构造出级数形式解.最后利用泛定方程和初始条件定出级数展开式的系数。

取有源传导方程的定解问题作为例子：

第一步：将解按特征函数展开：假定微分方程是齐次方程，在齐次边界条件下求出特征值和 特征函数： 利用此特征函数，假定方程的解为：

结论：显然这样的解对一切的Tn(t)满足齐次边界条件。

第二步：求系数函数满足的系数方程：

结论：Tn(t)不唯一

第三步：给出系数函数的定解条件以确定系数函数 2-(,), 0,0,

(0,)0,(,)0, 0,(,0)(), 0.t xx x x u a u G x t x l t u t u l t t u x f x x l ⎧=<<>⎪==>⎨⎪=<<⎩2(), ()cos ,0,1,2,n n n n x X x n l l ππλ==

=0(,)()cos ,n n n x u x t T t l π∞==∑'2

()()(), 0,1,2,

n n n n T t a T t g t n λ+=

=

对于非齐次的边界条件的定解问题的求解，一般的做法是通过引入一个适当的函数使边界条件齐次化，然后通常能得到一个边界条件齐次，泛定方程非齐次的定解问题，即转化为非齐次泛定方程的求解问题。

第三章：

本章主要介绍了行波法和积分变化法。

行波法的一般步骤是：

1. 对自变量作变量替换，然后将变换后的变量带原变量，再利用初值条件得到两个方程组，

利用这两个方程组得到F （x ）和G(x)，再将上式子带入U=F+G 。

其中达朗贝尔公式为：

三维波动方程的波泊松公式为：

利用球面坐标，可化为：

对于积分变换法，通过取积分变换可将未知函数的常微分方程化成象函数的代数方程，分为傅立叶变换和拉普拉斯变换，在偏微分方程两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方程。如果原来的偏微分方程中只包含有两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程。

[]11(,)()()()22x at x at u x t x at x at d a ϕϕψξξ+-++-+⎰=21()()(,)4at at x x S S u x t dS dS a t t t ξξϕξψξπ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰⎰2123002123001(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin 41 +(sin cos ,sin sin ,cos )sin 4u x t t x at x at x at d d t t x at x at x at d d ππππϕθφθφθθθφπψθφθφθθθφπ∂=+++∂+++⎰⎰⎰⎰