数学物理方程公式总结-14页文档资料

无限长弦的一般强迫振动定解问题

200(,)(,0)()

()

tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪

=⎨⎪

=⎩ 解()()().()

.0()1

11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-+

+⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣

⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题

()22

22222220001,,,,0(,,)

(,,)t t u u

u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪

=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩

在球坐标变换

sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪

=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩

L 21()1

()

(,)44M M

at r S S M M u M t dS dS a t r a r

ϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰

乙 (r=at)

221()1()

(,)44M M

at at

S S M M u M t dS dS a t t a t

ϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰⎰

乙无界三维空间自由振动的泊松公式

()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪

'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩

L 2()sin dS at d d θθϕ=

二维空间的自由振动的波动方程定解问题

()22

2222200,,,0(,)(,)t t u u

u a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨

∂⎪

==⎪∂⎩

22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ⎡⎤⎡⎤∂=

+⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦

⎰⎰⎰⎰ 傅立叶变换

1

()()2i x f x f e d λλλπ

+∞

-∞

=⎰

%

基本性质

[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+

1212[][][]F f f F f F f *=

12121

[][][]2F f f F f F f π

=

* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ=

[][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d ixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=

00[()]()i x F e f x f λλλ=-%

..1

[()][()]x F f d F f x i ξξλ

-∞

=

⎰

.0

.[)]1i x

i x

x F x x e

dx e

λλδδ∞

--=-∞

===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδ

ξδξ∞

---∞-=-=⎰

1[()]()F f ax f a a

λ

=

% 若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-

[]12()F πδλ= 2

2

2

42ax a

F e e λπ-

-⎛⎫

⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭

1cos ()

2

1sin ()

2ia ia

ia ia a e e a e e i --=

+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-

2

x e

dx +∞

--∞

=⎰

拉普拉斯变换

()()sx f s f x e dx +∞

-=⎰%

[]Re Re ax c

L ce p a p a

=

>-

21[]L x s

=

()()i x f f x e dx λλ+∞

--∞

=⎰%

2

1

[]()

x L e x s ββ-⋅=

+ []22

sin k

L kt s k =

+

[]2

2

cos s

L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e a

L shax L s a --==- Re Re s a >

[]22

[]2ax ax e e s

L chax L s a

-+==+ Re Re s a > 基本性质

[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦

%%%% [()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥

0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->%

1[()](),(0)s

L f cx f c c c

=

>% ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----L

..01

[()][()]x

L f d L f x s

ττ=⎰ [][()]n

n n d L f L x f ds

=- ..()[]p

f x f

s ds L x

∞

=⎰

%（） 1212[][][]L f f L f F f *=

[()]()1sx L x x e dx δδ+∞

-==⎰

三个格林公式 高斯公式：

设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：

V S

P Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫

∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò 或

()()()cos ,cos ,cos ,V S

P Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰Ò