数学物理方程总结

数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020

浙江理工大学数学系

第一章：偏微分方程的基本概念

偏微分方程的一般形式：221

1

(,,,

,,,)0n u

u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数

偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。

二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）：

2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y

?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1））

目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类

(,)

(,)x y x y ξξηη=??

=?

非奇异 0x y

x y

ξξηη≠

根据复合求导公式最终可得到：

22211122222

20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη

?????+++++=??????其中： 考虑22111222(

)2()0z z z z

a a a x x y y

????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,)

(,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A ==

在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222(

)2()0z z z z a a a x x y y

????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。

主

引理2：假设(,)x y C φ=是常微分方程（2）的一般积分，则函数(,)z x y φ=是（1）的特解。

由此可知，要求方程（1）的解，只须求出常微分方程（2）的一般积分。常微分方程（2）为

PDE （1）的特征方程，（1）的积分曲线为PDE （1）的特征曲线。

22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+=

11

dy

dx

= 记2

12

1122(,)x y a a a ?=- 则： 一维的波动方程：22

222(,)(0,0)u u a f x t x L t t x ??=+<<>??

一维的热传导方程222

(,)(0,0)u u a f x t x L t t x ??=+<<>??

高维的情况只需要把22u

x

??改为laplace 的形式即可。

数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件就构成了定界问题。根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：

初值问题（Dirichlet ）：定解条件仅有初值条件 边值问题（Neumann ）：定解条件仅有边值条件

混合问题（Rbin BC ）：定解条件有初值条件也有边值条件

数学物理方程的解：如果一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导函数，并且带入数学物理方程使方程成为等式，称此函数为在该取值区域方程的解。 定界问题的适定性：

如果一个定解为题的解存在，唯一且稳定，就称这个定界问题是适定的；反之，若有一个性质不满足，则称这个定界问题是不适定的。

所谓界存在，是指定解问题至少有一个解。如果一个定界问题的解不存在，这个问题就完全失去了意义，但定界问题反应的是客观物理实际，在实际问题中解释存在的。若定解问题的解不存在，说明所建立的定界问题是错误的，可能是在推导过程中有非次要因素被忽略掉了，导致泛定方程错误，还有可能定解条件给错了等。这就需要重新考虑定解问题的提法。

解的唯一性从物理意义上讲是显然的，如果解存在但不唯一，将无法确定所求解是否是所需要的，当然也无法求近似解。这表明问题的提法还不够确切，需要进一步分析。

所谓解的稳定性，是指当定解问题有微小变动时，解是否相应地有微小的变动，如果是这样，该解就是稳定的解；否则所得的解就没有实用价值，因为定解条件通常是利用实验方法所获得的，因而所得到的结果有一定的误差，如果因此导致解的变动很大，那么这种解显然不符合客观实际的要求。

而我们多学的定解问题都是经典问题，他们的适定性都是经过证明了的。

第二章：分离变量法

分离变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。

分离变量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法。主要根据的理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。最核心的思想是将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解。

下面就有界弦的自由振动的定解问题讨论

观察注意其特点是： 方程齐次, 边界齐次.

端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。驻波的特点： (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为()T t (2) 各点振幅随点而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 ()()X x T t 表示

设(,)()()u x t X x T t =且(,)u x t 不恒为零，带入方程和边界条件中得到

''2''

0XT a X T -=??????（1）

由于(,)u x t 不恒为零，有：''''2()()

()()

X x T t X x a T t λ==-

''()()0

X x X x λ+=（2）

2''()()0................T t a T t λ+=（3）

利用边界条件：

(0)()0

()()0

X T t X l T t =????????

=?（4） ''0

(0)0,()0

X X X X l λ?+=???????

==?（5） 参数λ成为特征值。函数()X x 成为特征函数下面分三种情况讨论特征值问题 （i ）0λ<

方程的通解为12()X x C C e

=+

由边值条件得12120

C C C C e +=???+=??

C1 =C 2=0 从而 ()0,0X x λ≡<无意义

（ii ）=0λ方程的通解12()X x C x C =+同样的到()0X x ≡，=0λ无意义

（iii ）0λ>

时，通解12()X x C C =+

由边值条件得120

0C C =???=?? 得到

20,

C ≠

从而0l =

n π= 即22

2,12,3,n n l

πλ==??，

而由于2()sin

,1,2,n π

X x C x n l

=

=

再求T ：22

"2

2()()0n

n n T t a T t l

π+= 其解为：()cos sin n at n at n n n l l T t A B ππ=

+

所以(,)(cos

sin )sin 1,2,3,n at n at n x

n n n l

l l u x t A B n πππ=+=?

根据叠加原理可以得

到：1

(,)(cos sin )sin n at n at n x n n l l l n u x t A B πππ∞

==+∑

定解问题的解是Fourier 正弦级数，这是在 x ＝0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。

解的物理意义(,)(cos sin )sin

na t na t n x n n n l l l

u x t A B πππ=+

u(x,t )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n ＝1的驻波称为基波,n>1的驻波叫做n 次谐波.

注意：分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。 其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。对于不同类型的定解条件做了如下总结

齐次化原理：（Duhamel ）

设3{(,,):0,0}x t R x t τπτ∈<<>>上的函数(,,)U x t τ关于自变量x ，t 二次可微(,,)U x t τ连同关于x 和t 的一阶和二阶偏导数都对(,,)x t τ在3{(,,)x t R τ∈:0,0}x t πτ<<>>上连续，且(,,)U x t τ满足：

则函数0(,)(,,)t

u x t U x t d ττ=?是下面方程的解：

1、圆域上的laplace 方程

定界问题20 (0, 02)u r a φπ?=<<<< 边界条件(,)() (02)u a f φφφπ=≤≤

想法是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标。挖掘边界条件: r 的边界是0和a, j 的边界是0和2π.自然边界条件(0,)u φ=有限值，周期边界条件：(,0)(,2)u r u r π=，分离变量令

()()u R r φ=Φ，带入极坐标Laplace 方程：222110u u

r r r r r φ

?????+= ??????得到：

2

r d rdR m R dr dr ''Φ??=-?=- ?Φ?? 于是可以化为下面两个常微分方程：20, (0)(2) (1)m π''Φ+Φ=Φ=Φ

220

(2)r R rR m R '''+-=、求解式（1）的本征函数得到：

()cos()sin() (0,1,2,

)m m A m B m m φφφΦ=+=

在求解（2）式，形式上是欧拉方程，因此可以通过ln t r =来进行代换，得： 因此式（2）化简为：2()()0R t m R t ''-=它的通解是： m=0时，000()ln R t C D r =+ m ≠0时，()m m m m m R t C r D r -=+

由自然边界条件“u(0,j)=有限值“ 可知0D =0和m D =0.所以，原Laplace 方程的通解为：

01(,)(cos sin )m m m m u r A A m B m r φφφ∞

==++∑再代入边界条件：(,)() (02)u a f φφφπ=≤≤

01

()(cos sin )m m m m f A A m B m a φφφ∞

==++∑上式实际上就是f(j)的傅立叶级数展开式，所以

待定系数可以确定： 200

1

()2A f d π

ξξπ

=

?

二维Laplace 方程的一般解为：

()()001

(,)ln cos sin m m m m m m m u r C D r C r D r A m B m φφφ∞

-==++++∑

1)如果考虑圆内问题则其解为：()0

(,)cos sin m m m m u r A m B m r φφφ∞

==+∑

2)如果考虑圆外问题则其解为：()0

(,)cos sin m m m m u r A m B m r φφφ∞

-==+∑

3)如果考虑是圆环问题，则其解为一般解，其中的系数由边界条件确定。

关于非齐次边界条件的问题可以转化为其次边界条件，因此在这里就不多说了，其求解原理和方法和求解其次边界条件问题是一样的。

第三章：行波法和积分变换

行波法：

1.基本思想:先求出偏微分方程的通解，然后用定界问题确定特解。

2.关键步骤：通过变量代换，将波动方程化为便于积分的其次二阶偏微分方程

3.适用范围：无界域内的波动方程等 达朗贝尔公式： 其解为：

[]11(,)()()()d 22x at

x at

u x t x at x at a ??ψξξ+-=++-+?（一味的达朗贝尔公式）

再次引入一个平均值函数''1

()''

b a f f x dx b a -=-? 为了应用这种表达式在这里令a'=x+at;b'=x-at 则有1()2x at

x at f f s ds at

-+-=? 则达朗贝尔公式可以表示如下形式：__

(,)()u x t t t t

φψ?

=+?

解的物理意义：

a. 只有初始位移时，[

]1

(,)()()2

u x t x at x at φφ=

++-，()x at φ-代表以速度a 沿x 轴正向传播的波，()x at φ+代表以速度a 沿x 轴负向传播的波。 b. 只有初始速度时：1(,)()d 2x at

x at u x t a

ψξξ+-=

?，假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0，11(,)()()u x t x at x at ψψ=+--。。

结论是：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a 波的叠加，故称为行波法。 相关概念：

当方程为非齐次时：22

222(,),,0(*)(,0)(,0)(),(),u u a f x t x t t x u x u x x x x t φψ???=+-∞<<+∞>?????

??==-∞<<+∞???

由叠加原理可知，如果v （x ，t ）是初值问题：

22

222,,0(,0)(,0)(),(),v v a x t t x v x v x x x x t φψ???=-∞<<+∞>?????

??==-∞<<+∞???

的解。 w （x ，t ）是初值问题：

则u=v+w 是初值问题（*）的解，即可直接写出（*）的解u （x ，t ）为：

[]()

()

111(,)()()()d f(,)d 222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d a a ττ??ψξξξτξτ++----=++-++???

（这

个公式成为一维非齐次波动方程初值为题解的Kirchhoff 公式）

半无界弦的振动问题：

1.端点固定

求解的思想是，把它转化为无界弦的振动问题，因此需要做一个奇延拓： 则问题转化为： 即解为：[]()

()

111(,)()()()d f(,)d 222x at t

x a t x at x a t u x t x at x at d a a ττξξξτξτ++----=

Φ++Φ-+ψ+???

通过讨论t 的范围（分为x>at,和0

2.端点自由

思路同上只不过是把延拓改为偶延拓：

(),0(),0

()()(),0(),0

x x x x x x x x x x φψφψ>>??Φ=ψ=?

?

-<-

22

222222200

, 0,,,(,,)

(,,)t t u u

u u a t x y z R

t

x y z u x y z u x y z t φψ==???????=++>∈? ?????????

=??

??=???记 222222u u u u x y z ????=++??? 球对称情形化为球面坐标系:令sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ

?θ?=??

=??=?

则

222222u u u u x y z

????=++???222222111sin sin sin u u u r r r r r r ?????θ?????????

=++

? ?????????? 所谓球对称是指u ?θ和，无关，则波动方程可化简为：

又可以化为：

这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程.我们利用球面平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况，所谓球平均法，即对空间任一点（x ，y ，z ），考虑 u 在以（x ，y ，z ）为球心，r 为半径的球面上的平均值。直接得出三维波动方程的解为：

并令sin cos sin sin cos x r y r z r ?θ?θ?=??

=??=?

则得到：

二维波动方程的初值问题

求解方法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。 由

Hadamard 最早提出的。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在M

at S 上的球面积分可由在圆域：222:()()()M at x y at ξη∑-+-≤上的积分得到。r=at

由211 d d 44M M at

at

S S a t a r

φ

φωωππ=????

和

211 d d 42M M at at S a t a φωξηππ∑=??

20

1

2at d d a π

θρπ=??

可以得到二维波动方程的解为：

物理意义：三维情况是惠更斯原理（有清晰的前锋和后尾）

二维情况是波的弥散（有清晰的前锋但无后尾）

积分变换（Fourier 变换和Laplace 变换）

1.Fourier 变换：

定义：

(,)(,)d 1

(,)(,)d 2j x j x

U t u x t e x

u x t U t e

ωωωωω

π

+∞

--∞

+∞

-∞

==

??

性质：1122F

())(),(())()f t F F f t F ωω==记( 1.线性性质：1122112212F(()())()(),c f t c f t c F c F c c ωω+=+则为常数

2.尺度性质：()1F ())(),(),f t F F f at F a a a ωω??

==

???

若 (则为非零函数 3.位移性质：00(())exp()(())F f x x iwx F f x ±=± 4.微分性质：('())(())F f x iwF f x =一般情况下有()

(())()(())n n F f x iw F f x =

5.积分性质：0

1

(())(())x

F f t dt F f x iw

=

?

6.卷积公式：(*)()()F f g F f F g =?

7.Parseval 等式

2

+2

-1

()()2f x dx F f dw π

∞

+∞

∞

-∞

=

?

?

Laplace 变化及性质 性质：

1.线性性质T()()()af bg aL f bL g +=+

2.相似性质1(())()s T f ct T c c

=

3.微分性质：(')()(0)T f sT s f =- 一般情况

()12(1)(())()(0)'(0)....(0)n n n n n T f t s T s s f s f f ---=----

4.积分性质：0

1

(

())()t

T f p dp T s s

=?

5.乘多项式性质：()

(())(1)()n n n T t f t T s =-

6.延迟性质：(())()as

T f t a e

T s --=

7.初值定理:0

(0)lim ()lim ()t s f f t sT s →→∞

==

8.终止定理:0

()lim ()lim ()t s f f t sT s →∞

→∞==

9.卷积公式：(*)()()T f g T f T g =?

第四章：拉普拉斯方程的green 函数法

Green 函数：

格林函数,又称点源影响函数,是数学物理中的重要概念,代表一个点源在一定的边界条件和初始条件

下所产生的场,而知道了点源的场,可以用叠加的方法计算任意源产生的场.。 第一green 公式：()u v dS u v dV u vdV u vdV Γ

Ω

Ω

Ω

??=???=?+??????????????

同理

v u dS v udV u vdV Γ

Ω

Ω

??=?+???????????

第二green 公式：两式相减就得到

()()v u

u

v dS u v v u dV n n Γ

Ω

??-?=?-????????（green 第二公式） 讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题,泊松方程(), ()u f r r T ?=∈而第一,第二,第三类边界条件可以统一表示为u u f n α

βΓ

???

+=?????其中f 是区域边界上给定的函数，0,0αβ=≠为第一类边界条件（Dirichlet BC ），0,0αβ≠=为第二类边界条件（Neumann BC ）；0,0αβ≠≠为第三类边界条件（Robin BC ）

三维空间Laplace 方程的基本解： 定点是0000(,,)M x y z 动点是M(x,y,z) 二维空间Laplace 方程的基本解：

000(,)M x y ，动点是M(x,y)

基本解：0022

00111(,)ln ln 22()()M M v M M r x x y y ππ=

=-+-

调和函数2

0u ?=的性质： 1).牛曼问题有解的必要条件

(,,)0u

dS f x y z dS n

Γ

Γ

?==???

??

2)平均值公式0(),u M M Ω∈Ω设在内调和则02

1()4a

a

u M udS u

a πΓΓ=

=??

3)极值原理：()u Ω+ΓΩ设函数不等于常数在上连续，在内调和则只在区域的边界上取得最大值和最小值.

Dirichlet 问题的解释唯一的，Neumann 内的解（只相差一个常数）也是唯一的 二 ）狄内问题Green 函数法的步骤

（1）、半空间问题;20(:0)

(,,0)(,)u z u x y f x y ??=Ω>?=?

(镜象法构造green 函

任取00000(,,),0M x y z z >置+e 电荷，在对称点1000(,,)M x y z -置-e 电荷，则任意点M 的电位01011

(,)44M M M M

G M M r r ππ=

-当M 位于边界上时有0(,)0G M M =

00222320

000(,)1

()(

)2[()()]z z f x y z G G

G

u M dS dxdy n x x y y z n

n

π+∞+∞

==-∞

-∞

Γ

???=-=

=-

?-+-+??????

（2）.

球域20:()R o

u M V u f M Γ

??=∈Ω??=??

其格林函数是：01001(,)44M M M M

R

G M M r r r ππ=

-

（3）推广：第一挂限和第二挂限 它的格林函数的形式是：

图和上述第一种类型图相似，其中点1'M 是1M 关于xoz 平面的对称点，点0'M 是点0M 关于xoz 平面的对称点。

(4)在上半半平面的半球域

构造格林函数法思想如第三种类型其格林函数是：

其中点1'M 是1M 关于xoy 平面的对称点，点0'M 是点0M 关于xoy 平面的对称点。

课程感悟：

通过这门课程让我学到了怎样去解一些简单的偏微分方程，了解古典方程的类型，明白了其物理意义和现象。中间老师给我们布置了一个小论文，让我明白了现在自己的知识很有限，这样就需要查阅更多的资料和文献。在无形中就提高了自己的知识面和自己的写作的能力。这样的训练让我受益匪浅，虽然在花费了大量的时间在这门课上，但是我觉得很值得。现在了解了最简单基本的方程和模型，我相信这对以后的学习会有很大的帮助。