数学物理方法总结归纳改
初中数学和物理归纳总结
初中数学和物理归纳总结初中数学和物理是学生在学习过程中的两门重要学科。
它们以其独特的规律性和实践性，对学生成长发挥着重要的作用。
本文将对初中数学和物理的知识进行归纳总结，以帮助学生更好地掌握这两门学科。
一、初中数学的归纳总结初中数学是一门基础学科，它涵盖了许多重要的数学概念和方法。
在这里，我将对初中数学的几个重点部分进行归纳总结。
1. 整数与有理数整数与有理数是数学中最基础的概念之一。
初中阶段，我们学习了整数的加减乘除、有理数的加减乘除以及它们之间的关系。
在实际运用中，我们可以使用整数和有理数解决各种问题，比如计算温度变化、计算钱币兑换等。
2. 几何的基本概念与运算几何学是数学的一个重要分支，它研究空间形状、大小、位置等问题。
在初中数学中，我们学习了平面图形的性质、立体图形的性质以及它们之间的关系。
通过学习几何，我们可以更好地理解和应用形状和结构。
3. 代数与方程代数是数学中研究数与数关系的一门学科。
在初中阶段，我们学习了代数表达式的运算、代数方程的解法，以及一次方程与简单二次方程的应用。
代数的学习让我们能够用符号表示未知数，并通过方程求解实际问题。
4. 数据与概率数据和概率是数学中与实际生活联系最密切的领域之一。
在初中数学中，我们学习了数据的收集、整理、分析以及概率的计算。
通过数据和概率的学习，我们可以更好地理解和应用统计学的方法，作出合理的预测和判断。
二、初中物理的归纳总结初中物理是一门应用性很强的学科，它通过实验和观察来探索物质运动的规律。
下面是初中物理几个重点内容的归纳总结。
1. 运动与力物理学研究物体运动和力的作用。
在初中物理中，我们学习了平抛运动、自由落体运动以及力的作用等知识。
通过学习这些内容，我们可以更好地理解物体的运动规律，解释各种物理现象。
2. 力的作用与转化力的作用是物体进行运动或发生形变的原因。
在初中物理中，我们学习了摩擦力、弹性力、重力等各种力的作用与转化规律。
通过学习这些内容，我们可以更好地掌握物体力学的基本原理。
大学物理与数学方法总结
n z不同，Sin z=1 =ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶x v yu y v x u这是复变函数可导的必要条件。
函数可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数yvx v yux u ¶¶¶¶¶¶¶¶,,,存在且连续，并且满足柯西—黎曼方程。
在极坐标系下的柯西—黎曼方程：ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶r jr jr r v u v u11四 解析函数若函数f(z)在点0z 及其领域上处处可导，则称f(z)在0z 点解析。
又若f(z)在区域B 上每一点都解析，则称f(z)是区域B 上的解析函数。
上的解析函数。
解析函数是一类特殊的复变函数，具有以下主要性质： 1. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则上解析，则 u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C(1C ,2C 为常数)是B 上的两组正交曲线族。
2. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则u,v 均为B 上的调和函数。
由性质2可以知道，若给定一个二元调和函数，若给定一个二元调和函数，我们可以将它看做某个解析函数我们可以将它看做某个解析函数的实部的实部（或虚部）（或虚部），利用柯西—黎曼方程求出相应的虚部黎曼方程求出相应的虚部（或实部）（或实部），也就是确定这个解析函数。
这个解析函数。
dy y v dx x v dv ¶¶+¶¶=根据柯西—黎曼方程，上式可变为，上式可变为 dy x u dx y u dv ¶¶+¶¶-=于是利用曲线积分法、凑全微分显示法或不定积分法可确定这个解析函数。
数学物理归纳总结
数学物理归纳总结数学和物理是科学研究中不可或缺的两个重要学科，它们在我们的日常生活和各行各业中都扮演着重要的角色。
而在学习数学和物理的过程中，归纳总结是一种重要的方法，能够帮助我们更好地理解和应用这些知识。
本文将从数学和物理两个学科分别进行归纳总结，探讨它们的基本概念、定律和应用。
一、数学归纳总结1.基本概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和规律的学科。
在数学中，我们可以归纳出一些基本概念，例如数字、运算符号等。
数字是数学的基石，它可以表示数量和大小关系。
2.基本定理数学中有一些基本定理，通过归纳总结可以更好地理解和应用这些定理。
例如，费马定理、勾股定理等都是数学中的重要定理，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。
3.应用领域数学在各个领域中都有重要的应用，例如在自然科学中，数学可以用于推导和证明物理规律；在工程学中，数学可以用于计算结构的稳定性和优化设计等。
数学还广泛应用于金融、计算机科学、统计学等领域。
二、物理归纳总结1.基本概念物理是研究物质的性质、运动和相互作用等规律的学科。
在物理学中，我们可以归纳出一些基本概念，例如质量、力、速度等。
质量是物体的一种属性，力是物体之间相互作用的结果，速度是物体运动的快慢程度。
2.基本定律物理学中有一些基本定律，通过归纳总结可以更好地理解和应用这些定律。
例如牛顿三大运动定律、能量守恒定律等都是物理学中的基本定律，它们对于解释物体的运动和相互作用具有重要意义。
3.应用领域物理学在各个领域中都有广泛的应用，例如在工程学中，物理学可以用于解决结构的稳定性和力学问题；在天文学中，物理学可以用于解释宇宙的形成和演化等。
物理学还广泛应用于电子技术、能源科学等领域。
综上所述，数学和物理作为两门重要的学科，在我们的学习和生活中都扮演着重要的角色。
通过对数学和物理的归纳总结，我们可以更好地理解和应用其中的基本概念、定律和方法。
数学和物理的应用领域广泛，通过学习和掌握其中的知识，我们可以更好地解决实际问题，推动科学技术的发展。
数学物理方法整理(全)
CR条件极坐标形式
u 1 v 1 u v
f z u v u v 0 CR条件： i 0 z x y y x 解析函数 性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数 u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程
若l所围区域包围n个奇 点b1 b2 b3 ….， bn , 则 单极点
f z dz 2 i Re sf (b )
l j 1 j
n
称为留数定理
Re sf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
m 1
1 d m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f ( z )]} m阶极点 0 0 m 1 z z0 (m 1)! dz
m为z0的阶，z 0为m阶极点，一阶极点 单极点 z0本性奇点 m ,
第四章 留数定理
l
f ( z )dz ak ( z z0 ) k dz 2ia1 2i Re sf z0
k l0
a1 Re sf ( z0 )
a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
k
k
0
f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分 (z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
若 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 z0可去奇点
m m1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) ... a0 a1 ( z z0 ) 若 m 0 m1 0
f ( z)
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。
2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。
3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。
4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。
5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。
使物体的运动状态发生改变。
6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。
7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。
8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。
9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。
10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。
11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。
12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。
13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。
接触面的粗糙程度。
14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。
15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。
17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。
如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。
18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。
二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。
3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。
4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。
5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。
6.密度和比热容是物质本身的属性。
7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。
8.物体温度升高内能一定增加(对)。
9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。
数学物理方法复习总结
数 学 物 理 方 法教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]内 容：第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程第一章 复变函数 一、复数1、复数的定义iy x z +=——代数式)sin (cos ϕϕρi z +=——三角式ϕρi e z =——指数式 重点：复数三种表示式之间的转换！实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：22y x z +==ρ主辐角：)(arg x yarctg z = ,2a r g 0π<≤z辐角：πk z Argz 2arg +=),2,1,0( ±±=k共轭复数:iy x z +=*z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法(2)、乘法和除法))((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-=)()(212121y y i x x z z ±+±=±111iyx z +=222iy x z +=21z z *22*21zz z z ⋅⋅=22222211))((y x iy x iy x +-+=2222211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=(2)、乘法和除法121111122222(cos sin )(cos sin )i i z i ez i eϕϕρϕϕρρϕϕρ=+==+=▶两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;▶两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
(3) 复数的乘方和开方（重点掌握） )]sin()[cos(21212121ϕϕϕϕρρ-+-=i z z )(2121ϕϕρρ-=i e 12121212[cos()sin()]z z i ρρϕϕϕϕ=+++)(2121ϕϕρρ+=i e n i n e z )(ϕρ=ϕρin n e =)sin (cos ϕϕρn i n n +=或 （n 为正整数的情况)棣莫弗公式：ϕϕϕϕn i n i nsin cos )sin (cos +=+复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。
数学物理方法知识点精华总结
e z 1 z z 2 ... z n ...
2!
n!
sin z z z 3 z 5 ... (-1) n z 2 n 1 ...
3! 5!
(2 n 1)!
z2 z4
z 2n
cos z 1 ...
...
2! 4!
( 2 n )!
计算下列极限 lim | c k 1 ( z a ) k 1 | k | ck (z a)k |
(i)当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对 收敛(ii)当极限值大于 1 时，幂级数在点 z 处发散(iii)当极限值等于 1 时，敛散性不能 判断。
柯西判别法：计算极限 lim k | c k ( z a ) k | k
邻域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数 f(z)=u+iv 在点 z 的
邻域内(i) u 、 u 、 v 、 v 存在。 x y x y
(ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数 f(z)=u+iv 在邻域内(i)
u 、 u 、 v 、 v 不仅存在而且连续。 x y x y
第一章 复数和复变函数 1.5 连续
若函数 f ( x ) 在 z 0 的邻域内（包括 z 0 本身）
已经单值确定，并且 lim f ( z ) f ( z 0 ) ， z z0
则称 f(z)在 z 0 点连续。
1.6 导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点 可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件
f ( ) cos kd
D
(
k
数学物理方法归纳总结
数学物理方法归纳总结在数学和物理领域，人们经常使用各种数学方法来解决复杂的问题。
这些数学方法不仅能够帮助我们理解自然界的规律，还可以应用于各种实际情况中。
本文将对数学物理方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1.微积分方法微积分是数学中的一门重要学科，它包括微分和积分两个方面。
微积分方法在物理学中的应用非常广泛。
例如，在研究物体的运动过程中，我们可以使用微积分方法求解物体的速度、加速度等相关问题。
微积分方法还可以用于求解曲线的斜率、曲率等问题，进一步帮助我们理解物理现象。
2.矢量分析方法矢量分析方法主要应用于描述和分析空间中的物理量。
在物理问题中，许多物理量都是有方向和大小的，通过使用矢量分析方法，我们可以更好地理解其性质和变化规律。
例如，通过计算力的合成与分解，可以求解力的平衡问题；利用矢量叉乘可以得到磁场强度的方向等。
3.微分方程方法微分方程是数学中的一种重要方程形式，它描述了变量之间的关系随时间、空间或其他独立变量的变化情况。
微分方程方法在物理学中应用广泛，常用于描述动力学、电磁场、波动等问题。
通过建立适当的微分方程模型，我们可以求解各种物理现象的演化过程。
4.矩阵方法矩阵方法是一种通过线性代数的理论和技巧来处理物理问题的数学方法。
在量子力学中，矩阵方法广泛应用于描述和计算粒子的能量、波函数、自旋等性质。
矩阵方法可以简化复杂的计算过程，帮助人们更好地理解量子力学中的各种现象。
5.概率统计方法概率统计方法是数学中研究随机事件规律和数据分析的一种数学方法。
在物理学中，概率统计方法可以用于解释微观粒子运动的不确定性、描述热力学系统的行为等。
概率统计方法可以帮助我们预测和分析物理现象中的随机因素，并进行相应的量化处理。
6.变分法变分法是一种用于求解最值问题的数学方法。
在物理学中，变分法常用于描述系统的最小作用量原理以及拉格朗日力学中的运动方程。
通过对物理量的变分求解，我们可以得到系统的稳定状态、系统的能量变化等重要信息。
数学物理方法思想总结
数学物理方法思想总结数学物理方法思想是指应用数学与物理的原理和方法进行问题的分析、研究和解决的一种思维方式。
这种思想强调了理论和实践相结合的方法，通过建立数学模型来揭示自然规律，进而提高对物理现象的理解和控制能力。
下面将对数学物理方法思想进行总结。
首先，数学物理方法思想体现了对物理问题进行抽象和理想化的特点。
物理世界中的现象往往非常复杂，难以直接进行分析和解决。
因此，数学物理方法思想着重于利用数学工具对物理问题进行抽象和理想化处理，将物理问题简化为数学模型，从而实现对问题的分析和研究。
通过抽象和理想化，我们可以更好地理解问题的本质和内在规律。
其次，数学物理方法思想注重于建立数学模型来描述物理现象。
在研究物理问题时，我们常常通过建立数学模型来描述和分析物理现象。
数学模型是基于多种数学工具和方法构建的，可以对物理问题进行定量分析，揭示物理规律和相应的数学关系。
通过数学模型，我们可以对物理现象进行更深层次的理解，并推断出新的物理结论。
第三，数学物理方法思想追求简洁和精确的逻辑推理。
在数学物理方法的研究过程中，逻辑推理是非常重要的。
通过逻辑推理，我们可以从已知条件推导出更多的结论和结果。
数学物理方法思想注重于严谨的逻辑推理和证明，强调结论的准确性和可靠性。
在推理的过程中，我们会使用各种数学工具和方法，如微积分、线性代数、偏微分方程等，来处理和求解不同的数学问题。
第四，数学物理方法思想强调实验与理论的相互验证。
在研究物理问题时，数学模型往往需要通过实验进行验证。
数学物理方法思想认识到实验与理论的相互关系，强调通过实验结果来验证和修正数学模型，从而提高模型的准确性和可靠性。
实验与理论的相互验证是数学物理方法思想的重要特征之一，也是推动科学发展和进步的重要手段。
第五，数学物理方法思想注重创新和跨学科的应用。
数学物理方法思想强调创新和跨学科的应用，希望通过新的思维方式和方法来解决问题。
在研究物理问题时，数学物理方法思想常常会结合其他学科的理论和方法，如计算机科学、统计学等，来解决更加复杂和实际的问题。
中考数学物理方法归纳总结
中考数学物理方法归纳总结在中考中，数学和物理是两门重要的科目。
为了帮助同学们更好地备考中考，下面将对数学和物理的相关方法进行归纳总结，以希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这两门科目。
一、数学方法1. 整数运算法则整数运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法是数学中最基本的运算，掌握好整数的加减法则是非常重要的。
乘法和除法则是对加减法的推广和拓展，需要灵活运用。
2. 分数运算法则分数是数学中的一个重要概念，分数的加减乘除都需要掌握。
加减法的关键在于找到分母的最小公倍数，乘除法的关键在于分数的乘法和除法法则。
3. 代数方程与函数代数方程和函数是数学中的重点内容，理解代数方程和函数的意义以及解法是至关重要的。
需要掌握一元一次方程、平方根、平方差、二次函数等相关概念和求解方法。
4. 图形的性质和几何变换图形的性质和几何变换是中考中的重点内容，需要掌握平行线的性质、相似三角形、正多边形等几何概念，同时也需要了解几何变换中的平移、旋转、翻转等基本操作。
5. 概率与统计概率和统计是数学中的应用内容，需要掌握概率的计算方法、抽样调查和数据分析等统计概念和方法。
在中考中，概率题和统计题所占比例较小，但也需要重视。
二、物理方法1. 物理量和单位物理中的物理量有长度、质量、时间、速度、加速度等，每个物理量都需要有相应的单位。
掌握各种物理量和单位，可以更好地理解物理概念和解题方法。
2. 运动学运动学是物理中最基础的部分，包括直线运动、曲线运动和平抛运动等。
理解物体的位移、速度、加速度等运动学量，以及利用运动学公式解题的方法，是掌握物理的基本要求。
3. 力和牛顿定律力是物理中的基本概念，掌握力的性质、计算和合成方法是解决力学问题的关键。
牛顿定律是物理中的基本定律，包括惯性定律、运动定律和作用-反作用定律，需要理解和应用。
4. 能量与功率能量和功率是物理中的重要概念，能量守恒定律和功率的计算方法是物理问题中常见的考点。
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数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰.上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i xy C z iC =-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰Ñ.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰蜒.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰ii .柯西公式 1()()2l f z f dz i z απα=-⎰Ñ n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰Ñ第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限 11010limlim1k k k kk k kk a z z a R a a z z +++→∞→∞->=-,即说明200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1lim1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z-+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d i z k ζζπζ+==-⎰Ñ, 1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k C f a d i z ζζπζ+=-⎰i, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2Re ()2njlj f z dz i sf b iaππ-===∑⎰Ñ.其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz --=+-=⎰Ñ.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz z z π-====-=-+++++⎰⎰⎰蜒, Z的单极点为1,2422z -==-±则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++,由于2-1z =内.故I =.类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x dx i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxxπ∞-∞=+⎰. 类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()cos {()}imx F x mxdx i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和.若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(cossin )k k k k x k xf x a a b l lππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk l k l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i ll k lc f ed l πξξ-=⎰.傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i x i x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ƒ,22()()f t f p ƒ,则1121122()()()()c f t c f t c f p c f p ++ƒ. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -ƒ.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰ƒL [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a ƒ. (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+ƒ.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --ƒ.(7) 卷积定理 若11()()f t f p ƒ,22()()f t f p ƒ,则1212()*()()()f t f t f p f p ƒ,其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t). 定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==.边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=r第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰.其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-).''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r +=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程). (2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x ,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为 2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+-g g g 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(cos )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(cos )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l l r r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(cos )(cos )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。