35知识讲解_空间直角坐标系_基础

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离222121212||()()()d AB x x y y z z ==-+-+-.特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为222OA x y z =++. 2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。

【答案】11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122F ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，点E 在xOy 面上的投影为B （1，0，0），∵点E 竖坐标为12，∴11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

F 在xOy 面上的投影为BD 的中点G ，竖坐标为1，∴11,,122F ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

法二：如解法一所建立空间直角坐标系，∵B 1（1，0，1），D 1（0，1，1），B （1，0，0）E 为BB 1的中点，F 为B 1D 1的中点，∴E 的坐标为1100101,,1,0,2222+++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， F 的坐标为10011111,,,,122222+++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

点评：本题主要考查空间中点的坐标的确定，关键是建立坐标系找到各个坐标分量。

由于正方体的棱AB ，AD ，AA 1互相垂直，可以以它们所在直线为坐标轴建系。

点的各个坐标分量就是这个点在各个坐标轴上的投影在相应坐标轴上的坐标。

举一反三：【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC —D 1A 1B 1C 1是单位正方体，N是BB 1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N 的坐标．【答案】O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，1），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），N （1，1，12）。

例2．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的几种特殊的对称点的坐标如下：（1）关于原点的对称点是P ＇（－x ，－y ）；（2）关于x 轴的对称点是P ＂（x ，－y ）；（3）关于y 轴的对称点是P '''（－x ，y ）．那么，在空间直角坐标系内，点P （x ，y ，z ）的几种特殊的对称点坐标为：①关于原点的对称点是P 1________；②关于横轴（x 轴）的对称点是P 2________；③关于纵轴（y 轴）的对称点是P 3________；④关于竖轴（z 轴）的对称点是P 4________；⑤关于xOy 坐标平面的对称点是P 5________；⑥关于yOz 坐标平面的对称点是P 6________；⑦关于zOx 坐标平面的对称点是P 7________．【答案】①（－x ，－y ，－z ） ②（x ，－y ，－z ） ③（－x ，y ，－z ） ④（－x ，－y ，z ） ⑤（x ，y ，－z ） ⑥（－x ，y ，z ） ⑦（x ，－y ，z ）【解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下结论：①P 1（－x ，－y ，－z ）；②P 2（x ，－y ，－z ）；③P 3（－x ，y ，－z ）；④P 4（－x ，－y ，z ）；⑤P 5（x ，y ，－z ）；⑥P 6（－x ，y ，z ）；⑦P 7（x ，－y ，z ）．【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P 点关于原点的对称点P 1，则有PP 1的中点为原点。

由中点坐标公式即可求出P 1点坐标．上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于xoy 坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．举一反三：【变式1】（2015春 福建厦门期末）在空间直角坐标系O —xyz ，点P （1，2，3）关于xOy 平面的对称点是（ ）A ．（―1，2，3）B ．（―1，―2，3）C ．（1，2，―3）D ．（1，―2，―3）【答案】C【解析】空间直角坐标系中任一点P （a ，b ，c ）关于坐标平面xOy 的对称点为1(,,)P a b c -；由题意可得：点P （1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标是（1，2，―3）．故选：C ．【总结升华】本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题．空间直角坐标系中任一点P （a ，b ，c ）关于坐标平面xOy 的对称点为4P （a ，b ，―c ）；关于坐标平面yOz 的对称点为5P （―a ，b ，c ）；关于坐标平面xOz 的对称点为6P （a ，―b ，c ）．类型二：两点间的距离公式例3．空间坐标系Oxyz 中，点A 在x 轴上，点B （1，0，2），且||AB =A 坐标为________．【思路点拨】根据点A 在x 轴上，设点A （x ，0，0），再由||AB =关于x 的方程，解得x 值，从而得到点A 坐标．【答案】（0，0，0）或（2，0，0）【解析】∵点A 在x 轴上，∴可设点A （x ，0，0），又∵B （1，0，2），且||AB ==，解之得x =0或2，所以点A 的坐标为：（0，0，0）或（2，0，0）；故答案为：（0，0，0）或（2，0，0）．【总结升华】本题给出x 轴上一点到空间两个已知点的距离相等，求该点的坐标，着重考查了空间两点的距离公式和含有根号的方程的解法．举一反三：【高清课堂：空间直角坐标系381528 知识点3中的例题1】【变式1】在空间中，已知点A(1,0, －1)，B(4,3, －1)，求A 、B 两点之间的距离.【答案】||32AB = 【变式2】（2016 湖南衡阳模拟）四棱锥S —ABCD 中，底面边长为2，侧棱长为3，E 是侧棱SC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试求点A 、C 、E 的坐标．【思路点拨】根据如图所示的空间坐标系，即可求出点A 、C 、E 的坐标．【答案】27(,0,)2E - 【解析】四棱锥S —ABCD 中，∴四边形ABCD 为正方形，SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AC ，∵AB =2，∴2AO OC ==，∵SC =3，∴222327SO SC OC =-=-=，∴点(2,0,0)A ，(2,0,0)C -，(0,0,7)S ， ∴27(,0,)22E - 例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：PA ⊥PB 1．【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz ，设棱长为1，则A （1，0，0），B 1（1，1，1），11,,122P ⎛⎫⎪⎝⎭， 由两点间的距离公式得 22116||122AP ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112||442PB =+=，221||112AB =+=。

∵|AP|2+|PB 1|2=|AB 1|2=2，∴AP ⊥PB 1．【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性．依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间中两点间的距离公式可以求距离、证垂直、求角度等，为我们提供了新的解题方法．举一反三：【变式1】如下图所示，已知PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ⊥AB 。

【解析】如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），设B （a ，0，0），D （0，b ，0），P （0，0，c ），因为M 、N 分别是AB 、PC 的中点，所以(,0,0)2a M ，(,,)222a b c N 。

方法一：连接AN ，在△AMN 中，有22||4a AM =，222||4b c MN +=，2222||4a b c AN ++=，所以|AN|2=|MN|2+|AM|2，所以MN ⊥AB 。