医用高等数学练习题2
东南大学09-10-2医用高数期末试卷
09-10 邵雯 43211406共 4 页 第 1 页1.设sin ,0()1,0ax x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，在0x =处连续 ，则a = ；2.若()sin f x x ''=，则()f x = ；3.积分()2sin +d x x x x ππ-=⎰ ；4.设z =d z = ； 5.改变积分次序后，2111d (,)d y y f x y x -=⎰⎰ ； 6.函数z =的间断点是 .7. 当0→x 时，无穷小量1cos2x -是22x 的 [ ]() A 高阶无穷小量； ()B 同阶但不等价的无穷小量；()C 等价无穷小量； ()D 低阶无穷小量.8.设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-,又知0a >则 )(A 2, 29a b ==-； )(B 3, 2a b ==； [ ])(C 2, 3a b ==； )(D 以上都不对.9. 微分方程95cos 2y y x ''+=的通解是 [ ]()A 3312e e cos 2x x C C x -++； ()B 12cos 2cos3sin 3x C x C x ++；()C ()312esin 2x C C x x -++； ()D 12sin 2cos3sin 3x C x C x ++. 10.设e ()()d xx F x f t t -=⎰,则=')(x F [ ]()A e (e )()x x f f x ----； ()B e (e )()x x f f x ---+；()C e (e )()x x f f x ---； () D e (e )()x x f f x --+.11. sin 2030sin d lim x x t t x →⎰12.设23e xyu x y =-+，求22u x ∂∂.09-10 邵雯 43211406共 4 页 第 2 页 13.设函数(,)z z x y =由方程23e 2x z z y -=+所确定，求3z z x y ∂∂+∂∂. 14.22e d 12e x x x x -⎰15.101)d x ⎰ 16.2d d y D xe x y -⎰⎰，其中D 是第一象限内由曲线224,9y x y x ==与1y =所围成的区域 17. 322211x x y y x x'+=++， 18. 2331y y y x '''+-=+ 19.据统计，某医院急性腹痛病人中30%患急性阑尾炎；急性阑尾炎病人中70%体温高于37.5︒ C ，而非急性阑尾炎病人中只有40%体温高于37.5︒ C. 若某急性腹痛者体温高于37.5︒ C ，求他患急性阑尾炎的概率。
医用高数精选习题含答案
医用高数精选习题含答案医学生需要学习数学，尤其是高数。
然而，高数知识对于许多医学生来说是非常困难的。
因此，许多医学生需要精选的高数练习题目来加强他们的高数技能。
这里，我们提供一些医用高数精选习题和答案，这些习题涵盖了各种高数问题：导数、极值、曲率、微积分和微分方程。
1. 给出函数f(x) = 3x^2 + 2x的导函数答案：f’(x) = 6x + 2解析：对f(x)求导即可得到f’(x)。
2. 给出函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 45的极值点答案：f(x)在x=-3和x=5处达到极小值和极大值解析：对f(x)求导，令f’(x)=0，解得x=-3和x=5，分别代入f(x)求得f(-3)和f(5)，即得到极值。
3. 给出函数f(x) = sin(x)，在x = 0处的曲率答案：f”(x) = -sin(x)，因此，f”(0) = 0，所以曲率为0。
解析：对f(x)求两次导即可得到曲率公式f”(x) = -sin(x)，将x=0代入公式即可得到曲率为0。
4. 求以下函数的不定积分：f(x) = 6x^2 - 8x + 9答案：∫f(x)dx = 2x^3 - 4x^2 + 9x + C（其中C为常数）解析：对f(x)进行积分，即可得到不定积分。
5. 给出微分方程dy/dx = 9x^2 - 12x，求其通解答案：y = 3x^3 - 6x^2 + C（其中C为常数）解析：对微分方程求解，得到y的一般解，再带入初始条件求得一个特定解。
练习以上高数习题能够帮助医学生们掌握高数知识并加强自己的技能。
如果你感到这些习题有些困难，可以不断的练习，直到完全理解并掌握。
只要你通过努力，这些数学技能就会变得相对容易了。
医用数学练习题
医用数学练习题在医学领域中，数学是一个重要的工具，它被广泛应用于医疗数据分析、药物剂量计算、疾病模型建立等方面。
本文将为您提供一些医用数学练习题，通过解答这些题目，您将加深对数学在医学中的应用理解。
1. 体重指数（BMI）计算BMI是根据一个人的体重和身高计算得出的数值，它是评估肥胖程度和健康状况的重要指标。
公式如下所示：BMI = 体重（kg）/ 身高（m）的平方请计算以下两个人的BMI：a) 体重为60kg，身高为1.7m的人的BMI是多少？b) 体重为75kg，身高为1.8m的人的BMI是多少？2. 药物剂量计算医生需要根据病人的体重和具体情况来计算药物的剂量。
假设一种药物的标准剂量为每千克体重需要0.1毫克，病人的体重为70kg，请计算该病人需要的药物剂量。
3. 随机样本调查为了评估某种疾病的患病率，一位研究人员在一所医院随机选择了100名患者进行调查。
调查结果显示，有20人患有该疾病。
请根据这个样本推断出该医院整体患病率的估计值，并计算其置信区间（95%置信水平）。
4. 疾病模型建立假设某种传染病的传播模型可以用以下微分方程来描述：dI/dt = βSI - γI其中，I表示感染者的人数，S表示易感者的人数，β为传染率，γ为康复率。
已知传染率β = 0.02，康复率γ = 0.04。
请通过数值模拟计算出在初始状态下（假设I = 10人，S = 990人），疾病的传播情况，并绘制出感染者人数随时间变化的曲线图。
5. 检验结果评估某种疾病的检验结果具有以下特性：灵敏度为90%，特异度为95%。
假设这种疾病的患病率为5%，请计算以下指标：a) 阳性预测值（Positive Predictive Value, PPV）b) 阴性预测值（Negative Predictive Value, NPV）通过解答上述练习题，您可以更好地理解医学中数学的应用，加深对医学数学的理解和掌握。
希望这些练习对您的学习有所帮助！。
医学高等数知识学习题集解答(2,3,6)
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。
设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。
故为偶函数。
2. 错。
y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。
定义域不同。
3. 错。
+∞=→21limx x 。
故无界。
4. 错。
在x 0点极限存在不一定连续。
5. 错。
01lim =-+∞→xx 逐渐增大。
6. 正确。
设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。
反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sinlim 0=→xx x (A )4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--Θ (B ) 6. 3092<⇒>-x x (D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。
(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。
(D ) 三、填空题题解1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。
医用高数精选习题(含答案)
高等数学第1-3章一、求下列各极限1、 求极限 1)1(3tan lim 21--→x x x 、2、 求极限)ln 11(lim 1x x x x --→。
3、 求极限22)2(sin ln limx x x -→ππ4、 求极限)1ln(102)(cos lim x x x +→ 5、 当0→x 时，)()1ln(2bx ax x +-+就是2x 得高阶无穷小，求a ，b 得值 6、 求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→7、 求极限xx xx )1cos 2(sin lim ++∞→ 8、 求极限 x e e x x x 20sin 2lim -+-→ 二、求下列各函数得导数或微分1、求函数x x y tan ln cos ⋅=得导数；2、设.42arcsin2x x x y -+= ，求1=x dxdy3、求)()(2(2tan u f f y x=可导）得导数；4、设 xe x y xarccos )1(ln-= ， 求)0(y ' 5、 设 )ln(2222222a x x a a x x y -+--= ，求y '。
6、设方程0=+-yxe e xy 确定了y 就是x 得隐函数，求0=''x y 。
7、 设xx e y x sin )1ln(++=,求dy 。
8、设)0(,22)()2(lim20≠+=∆-∆+→∆x xx x x f x x f x ，求)2(x df 。
三、应用题1、讨论函数2332x x y -=得（1）单调性与极值（2）凹凸区间与拐点 2、 求函数x x x f cos sin )(+=在]2,0[π上得极值。
3、 求函数 )0(ln 1)(2>-+=x xx x f 得极值4、 在某化学反应中，反应速度)(x v 与反应物得浓度x 得关系为)()(0x x kx x v -=，其中0x 就是反应开始时反应物得浓度，k 就是反应速率常数，问反应物得浓度x 为何值时，反应速度)(x v 达到最大值？四、选择题1．设,)(x x f =则=-∆+)2()2(f x f （ ）A ．x ∆2B ． 2C ．0D ．x ∆ 2．设)(x f y =得定义域为]1,1[-，则)()(a x f a x f y -++=(10≤≤a )得定义域就是（ ）A ．]1,1[+-a aB ．]1,1[+---a aC ．]1,1[--a aD ．]1,1[a a --3．若函数)(x f 在某点0x 极限存在，则（ ） A ．)(x f 在0x 得函数值必存在且等于极限值 B ．)(x f 在0x 得函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．)(x f 在0x 得函数值可以不存在 D ．如果)(0x f 存在得话必等于极限值 4．若0)(lim 0=→x f x x ，则（ ）A ．当)(x g 为任意函数时，有0)()(lim 0=→x g x f x xB ．仅当0)(lim 0=→x g x x 时，才有0)()(lim 0=→x g x f x xC ．当)(x g 为有界函数时，有0)()(lim 0=→x g x f x xD ．仅当)(x g 为常数时，才能使0)()(lim 0=→x g x f x x 成立5． 设)(x f y =且,0)0(=f 则=')0(f （ B ） A ．0 B ．xx f x )(lim→ C ．常数C D ． 不存在 6．设函数11)(--=x x x f ，则=→)(lim 1x f x （ ）A 、 0B 、 1-C 、 1D 、 不存在7．无穷小量就是（ ）A ．比零稍大一点得一个数B ．一个很小很小得数C ．以零为极限得一个变量D ．数零 8．当0→x 时，与无穷小量12-xe等价得无穷小量就是（ ）A 、 xB 、 x 2C 、 x 4D 、 2x 9． 若函数)(x f y =满足21)(0='x f ，则当0→∆x 时，0d x x y =就是（ ） A ．与x ∆等价得无穷小 B ．与x ∆同阶得无穷小 C ．比x ∆低阶得无穷小 D ．比x ∆高价得无穷小10．=→x xx sin 3sin lim 0（ ）A ．1B ．3C ．0D ．不存在11．如果322sin 3lim0=→x mx x ，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．94 D ．4912．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)21()(1x k x x x f x 在0=x 处连续，则=k （ ）A ．2e B ． 2-e C ．21-eD ．21e13．设 212lim2=-+∞→x xax x ，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．314．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=003sin1)(x ax x x x f ，若使)(x f 在),(∞+-∞上就是连续函数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．31D ．3 15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=12111)(2x x x x x f 在1=x 处（ ） A ．极限存在 B ．右连续但不连续 C ．左连续但不连续 D ．连续16． 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=00011)(x x xx x f ，则0=x 就是)(x f 得（ ）A ．连续点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．无穷间断点 17．设)(x f 在0x 处可导，则=--→hx f h x f h )()(lim000（ ）A ．)(0x f '-B ．)(0x f -'C ．)(0x f 'D ．)(20x f ' 18．设x e f x2)(=则=')(x f （ ）A ．2B ．x2C ．x eD ．x e 2 19．设)(u f y =，xe u =则=22d d xy（ ）A ．)(2u f ex'' B ．)()(2u f u u f u '+'' C ．)(u f e x '' D ．)()(u uf u f u +''20．设)1ln()(2x x f +=，则=-'')1(f （ ）A ．1-B ．1C ．0D ．2 21．已知22ln arctan y x xy +=，则=x yd d （ ）A ．y x y x +- B ．y x y x -+ C ．y x +1D ．yx -1 22．若x x y ln =，则=y d （ ）A ．x dB ．x x d lnC ．x x d ]1)[(ln +D ．x x x d ln 23．已知x x y ln =，则()=10y （ ）A ．91x -B ．9-x C ．x 8!8 D ．9!8x 24．设函数n n n n a x a x a x a x f ++⋅⋅⋅++=--1110)(，则：='])0([f （ ）A ．n aB ．!0n aC ．0aD ．0 25．)(x f 在0x 处可导，则)(x f 在0x 处（ ）A ．必可导B ．连续但不一定可导C ．一点不可导D ．不连续26．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，则至少有一点),(b a ∈ξ，满足（ ） A ．))(()()(a b f a f b f -ξ'=- B ．))(()()(b a f a f b f -ξ'=- C ．0)(=ξ'f D ．0)(=ξ''f27．已知曲线5+=xe y 上点M 处得切线斜率为2e ，则点M 得坐标为（ ）A ．)52(2+,eB ．)2(2,e C ．)52(2+--,e D ．)2(2,e -28．函数5224+-=x x y 在区间[-2,2]上得最大值与最小值分别为（ ） A ．4,5 B ．5,13 C ．4,13 D ．1,13- 29．下列命题正确得就是（ ）A ．函数)(x f 在),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一定存在最值B ．函数)(x f 在),(b a 内得极大值必大于极小值C ．函数)(x f 在[]b a ,上连续，且)()(b f a f =则一定有),(b a ∈ε，使0)(='εfD ．函数得极值点未必就是驻点30．点)1,0(就是曲线c bx ax y ++=23得拐点，则有：（ ）A ．1=a ，3-=b ，1=cB ．a 为非零任意值，0=b ，1=cC ．1=a ，0=b ，c 就是任意值D ．a ，b 就是任意值，1=c31．函数)(x f 在点0x x =得某领域有定义，已知0)(0='x f ，且0)(0=''x f ，则在点0x x =处，)(x f （ ）A ．必有极值B ．必有拐点C ．可能有极值，也可能没有极值D ．可能有拐点，但必有极值 32．若函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则=a （ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 33．曲线1123+-=x x y 在区间)2,0(内（ ）A ．单调增加且为凹函数B ．单调增加且为凸函数C ．单调减少且为凹函数D ．单调减少且为凸函数1． D 2．D 3． C 4． C 5、 B6． D 7．C 8． B 9． B 10． C 11．C 12．B 13．C 14． C 15． B 16．C 17．A 18．B 19． B 20． C 21．B 22．C 23．D 24． D 25． B 26．A 27．A 28． C 29． D 30． B 31．C 32． C 33． C。
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医学高等数学习题解答(1,2,3,6)第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。
设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。
故为偶函数。
2. 错。
y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。
定义域不同。
3. 错。
+∞=→201limxx 。
故无界。
4. 错。
在x 0点极限存在不一定连续。
5. 错。
01lim =-+∞→xx 逐渐增大。
6. 正确。
设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。
反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。
8. 正确。
是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sinlim 0=→xx x (A )4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++-- (B )6. 3092<⇒>-x x (D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。
(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。
(D ) 三、填空题题解 1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。
医学高等数学习题解答(第2章)
第二章 一元函数微分学习题题解(P65)一、判断题题解1. 正确。
设y =f (x ), 则00)lim (lim lim lim 0000=⋅'=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆y x x y x x y y x x x x 。
2. 正确。
反证法。
假设)()()(x g x f x F +=在x 0点可导，则盾。
故命题成立。
3. 错。
极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。
4. 错。
如图。
5. 错。
拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。
6. 错。
不满足拉格朗日中值的结论。
7. 错。
设x x f =)(, xx g 1)(=，则：1)()()(=⋅=x g x f x F ，显然)(x f 在0=x 点的导数为1，)(x g 在0=x 点的导数不存在，而)(x F 在0=x 点的导数为0。
是可导的。
8. 错。
设3x y =和3x y =，显然它们在(-∞,+∞)上是单调增函数，但在0=x 点3x y =的导数为0，3x y =的导数不存在。
二、选择题题解1. 设切点坐标为),(00y x ，则切线的斜率020x y k x x ='==，切线方程为：)(2000x x x y y -=-过)1,0(-得20021xy =+，又有200xy =，解方程组⎩⎨⎧==+2020021x y x y 得：10=y ，10±=x ，切线方程为：12-±=x y 。
(A ) 2. 可导一定连续。
(C ) 3. 连续但不可导。
(C ) 4. 因为),(),(12b a x x ⊆∈ξ。
(B )5. 321, x y x y ==，在x=0处导数不存在，但y 1在x=0处切线不存在，y 2在x=0处切线存在。
(D )。
6. ,1sin lim 0)0sin(lim)0(00=∆∆=∆-∆+='→∆→∆-x x xx f x x 10)0(lim )0(0=∆-∆+='→∆+x x f x 可导。
医用高等数学练习题2
一、一阶微分方程之可分离变量的微分方程求下列方程通解二、一阶微分方程之一阶线性微分方程一阶线性齐次方程一阶非线性齐次方程求下列方程通解三、一阶微分方程之伯努利方程四、二阶微分方程之可降阶的微分方程五、二阶微分方程之二阶常系数线性齐次方程六、二阶微分方程之二阶常系数线性非齐次方程将其代入上式，令等式两端x的同次幂的系数相等，得到以为未知数的联立方程组，最后确定这些系数，求出特解利用欧拉公式，，上述两个结论也可推广到高阶方程的情形.七、微分方程的应用（1）一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m ,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间。
（2）从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为m,体积为B,海水比重为，仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k ( k> 0 ) ,试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).八、齐次方程可化为齐次方程的方程九、二元函数的极限一十、二阶偏导数一十一、全微分一十二、多元复合函数求导的链式法则一十三、二元函数微分学在几何上的应用1、空间曲线的切线与法平面2、曲面的切平面与法线一十四、二元函数的极值一十五、二重积分的计算1、D为 X –型区域2、D为Y –型区域3、利用极坐标计算二重积分一十六、二重积分的应用3、转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J表示，单位为kg·m2。
对于一个质点，I = mr2，其中 m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
（3）求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常数μ）对于其直径边的转动惯量.一十七、三重积分的计算1、投影法2、截面法。
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一、 一阶微分方程之可分离变量的微分方程()()=()()()()dy dy dy f x g y f x dx f x dx C dx g y g y ⋅⇒=⇒=+⎰⎰求下列方程通解22(1)()d ()d 0x x y x x y y y +-+=(2)sin()sin()y x y x y '++=- 2(3)sin (1)y x y '=-+二、 一阶微分方程之一阶线性微分方程一阶线性齐次方程()()0P x dx dyP x y y Ce dx-⎰+=⇒= 一阶非线性齐次方程()()()()()()P x dx P x dx P x dx dyP x y Q x y e Q x e dx Ce dx--⎰⎰⎰+=⇒=⋅+⎰ 求下列方程通解 d d (1)d d y y xy x y x x += d (2)(ln ln )d y x y y x x=- 3(3)()d 2d 0y x x x y --= 3(4)2d ()d 0y x y x y +-=2d 0y y ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦322363(6).32x x y y x y y +'=-+(7)xy y ' (8)(ln ln )xy y y x y '+=+ 321(9)0y x y e y +'+= 21(10);2y x y'=-(11)y x '+= 22(12)(3)d (13)d 0y x y x x y y -+-=22363(13)22x y x y x y y+-+'=- (14)xy y '+= d (15)d 2(ln )y yx y x =- 22d d (16)d d 0y y x y x x y y x y -++=+ (17)ln (ln 1)x y x y a x x '+=+()()()()()()()(),,,,:F x f x g x f x g x f x g x ∞=+∞'(19)设＝其中函数在－内满足以下条件()(),(0)0,()()2.x g x f x f f x g x e '==+=且三、 一阶微分方程之伯努利方程d ()()(0,1)d n yP x y Q x y n x+=≠ 1d d d ,(1),(1)()(1)()d d d n n z y z z y n y n P x z n Q x x x x --⇒==-+-=-令则2d (ln )d y y a x y x x+=（1） 33d (2)0d yx y x y x +-= 2(3)2ln d (ln 1)d 0x x y y y x x +-= (4)(ln 2)d d y x y x x y -=四、 二阶微分方程之可降阶的微分方程''1()y f x =、型()()''''12(),()().y u x y y f x u f x f x dx dx C x C ====++⎰⎰令则变为得到通解()()(2,n f x n =≥对于y 整数）型高阶微分方程也可这样求解 2cos x y e x '''=-求通解。
2(,)y f x y '''=、型''''''''(),(,)y (x)y ,dPy y y f x y P P y dx'''=====由于方程可以看做的一阶微分方程。
设则200(1)21, 3x x x y x y y y =='''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩求的解。
3(,)y f y y '''=、型'''''(),y .dy dy dy dPy P y P dx dy dx dy===⋅=可设则20.y y y '''-=（1）求的通解 20000,1yx x y e y y==''⎧-=⎪⎨'==⎪⎩（2）求的解。
五、 二阶微分方程之二阶常系数线性齐次方程'''0y py qy ++=22,+)0.+0.x xy e e p q p q λλλλλλ=+=+=设代入方程可得到（所以212+0p q λλλλ+=称为特征方程，其解称为特征根。
设特征根为，1212121x x y C e C e λλλλ≠=+、当二实根，通解为121212122()()p x xy C C x eC C x eλλλ-==+=+、当二实根，通解为1,2123(0)(cos sin ).x i y e C x C x αλαββββ±≠=+、当=为一对共轭根时，通解为(1)230y y y '''--= (4)(2)20y y y ''++=(4)(3)250y y y '''''-+= (5)(4)(4)0y y -=220d d 20d d (5)d 4,20d t s ss t t s s t t =⎧++=⎪⎪⎨⎪==-⎪=⎩ 2()2()0(6)(1)(1)1r f r r f r f f '''⎧+=⎨'==⎩ (7)0y a y ''+=20022,(8)0,0,40.,x x y y x x y y x y y x πππ==''+=≤⎧'===⎨''+=>⎩求微分方程满足条件处连续且可微的解在 六、 二阶微分方程之二阶常系数线性非齐次方程1()()x n f x p x e α=、型*'''2()()(2)()()()().x n y Q x e Q x a p Q x a pa q Q x p x α=+++++=设为一个特解，代入等式得20,()n a pa q Q x ++≠①若即a 不是特征根，可设为次多项式1011()n n n n n Q x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++将其代入上式，令等式两端x 的同次幂的系数相等，得到以01,,,n a a a ⋅⋅⋅为未知数的联立方程组，最后确定这些系数，求出特解*()x n y Q x e α=2*=0,20,()(),()xn n a pa q a p a Q x xQ x y xQ x e α+++≠==②若但即是单特征根，可设求出特解22*2=0,2=0,()(),()xn n a pa q a p a Q x x Q x y x Q x e α+++==③若且即是二重特征根，可设求出特解*()(0,1),,2k ax n a y x Q x e k k ==综上，当是特征方程的重根时可设特解233.1y y y x '''--=+（1）求方的一个特解程25.6x y y y x e '''-+=（1）求方的通解程[]2()()cos ()sin x l m f x e P x x P x x αββ=+、型利用欧拉公式cos 2ix ix e e x -+=，sin 2ix ixe e x --=](1)(2)*()cos ()sin k x n n y x e R x x R x x αββ⎡=+⎣可得到特解，{}max ,,()n l m k i i ααβαβ=±±在或不是特征根时为零，是单特征根时为1.上述两个结论也可推广到高阶方程的情形.c .os 2y y x x ''+=（1）求方的一个特解程 918cos30s .3in 3y y x x ''+=-（2）求方的通解程(4)(4)2:sin 3sin x y y y x y y x e x''++=''+=++（3）设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式2(1),.x x x y a y b y c e y e x e -'''++==+（4）已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解(5)25sin 2y y y x '''++=求方程的通解.0(),()sin ()()().xf x f x x x t f t dt f x =--⎰(6)设二阶导数连续求且满足方程()(,)0,()(,),y y x y x x y y y x '=-∞+∞≠==(7)设函数内具有连续二阶是导数且在的函数232d d ()(sin )()0()d d ;x xx x y y y x y x y y ++=①试将＝所满足的微分方程变换为＝所满足的微分方程3(0)0,(0)2.y y '==②求变换后的微分方程满足初始条件的解七、 微分方程的应用（1）一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m ,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间。
（2）从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深y 与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k ( k > 0 ) ,试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y (v ).八、 齐次方程d ().d y yx xφ=形如的方程叫做齐次方程可化为齐次方程的方程221111d (0)d y a x by c c c x a x b y c ++=+≠++ 111.,,(),,d d ,d d ,a b x X h y Y k x X y Y a h bk ≠=+=+==当时则作变换为待定常数 11d ()d Y a X bY X a X b Y+=+原方程化为齐次方程 111d 2.,()d a b v v c a b a b x v c λλ+===++原方程可化为可分离时变量方程当2d 4d 65x y x y x x y y=++⎧=⎪--⎨⎪=-⎩求解九、 二元函数的极限0,,(x,y),,,D P D f A εδ设二元函数的定义域为是的聚点若存在常数对任意正数总存在正数对一00(,δ),()-ε,()P D U P f P A P A f P P ∈<→切都有则称为函当时的极数限，记作lim ()()P P f P A n →=也称为重极限lim (,)lim (,)x x y y f x y A f x y A ρ→→→===二元函数的极限可写作：2222221(,)()sin(0)lim (,)0.x y f x y x y x y f x y x y →→=++≠=+（1）设求证：1100sin sin ,0(,)lim (,)0.0 ,0y x x y x y x y f x y f x y x y →→+≠⎧⎪==⎨=⎪⎩（2）设求证：()220, )0.(,x yf x y x y=+在（3）讨论函数点的极限00x y →→（4）求22(,)f x y =（5）求函数十、 二阶偏导数2x y z e +=（1）求函数的二阶偏导数。