数学建模讲义4.1
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
数学建模讲义(电子科技大学_徐全智_)
m
其中
d y dt
2
2
W B D
(1)
w dy m , D Cv , v g dt
或
g dv cg v (W B ), W dt W V (0) 0.
( 2)
方程的解为
W B v(t ) (1 e C
Cg t W
),
t 0
计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 分析：考虑圆桶的极限速度 W B 527.436 470.327 limv ( t ) t C 0.08 ≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒） 实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论：解决问题的方向是正确的.
(2) 确定随机到达车辆的身长车。 汽车类型及车身长模拟原理分析
(3) 关于车辆的排放. 甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为 32×2=64米 排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？） 结果分析：由一组特定随机数确定车型和车身 长度，仅得到一个解答. 将一组随机数模拟确定的结果，看成对一次 实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义 的.
需多次重复模拟, 再进行统计分析
例2.3 人口增长模型 据人口学家们预测，到2033年,世界人口将突 破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长. 人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否 能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口 的增长. 分析 设任意时刻的人口总数为N(t)，影响一个 地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？
(1) 应该怎样安排摩托车？ (2) 下一辆到达的车是什么类型？ (3) 怎样描述一辆车的车身长度？ (4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队 中的哪一列中去？ 问题的解决： (1) 认为摩托车不会占有实际空间. (2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法
数学建模基础知识
数学建模基础知识引言：数学建模是一门以数学为工具、以实际问题为研究对象、以模型为核心的学科。
它通过将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法对模型进行分析和求解，从而得到问题的解决方案。
在数学建模中，有一些基础知识是必不可少的，本文将介绍数学建模的基础知识，包括概率与统计、线性代数、微积分和优化算法。
一、概率与统计概率与统计是数学建模的基础。
概率论用于描述随机现象的规律性，统计学则用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，需要根据实际问题的特点选择合适的概率模型，并利用统计方法对模型进行参数估计。
1.1 概率模型概率模型是概率论的基础，在数学建模中常用的概率模型包括离散型随机变量模型和连续型随机变量模型。
离散型随机变量模型适用于描述离散型随机事件，如投硬币的结果、掷骰子的点数等；连续型随机变量模型适用于描述连续型随机事件，如身高、体重等。
在选择概率模型时，需要根据实际问题的特点进行合理选择。
1.2 统计方法统计方法用于从观测数据中推断总体的特征。
在数学建模中，经常需要根据样本数据对总体参数进行估计。
常用的统计方法包括点估计和区间估计。
点估计用于估计总体参数的具体值，如均值、方差等；区间估计则用于给出总体参数的估计范围。
另外，假设检验和方差分析也是数学建模中常用的统计方法。
二、线性代数线性代数是数学建模的重要工具之一。
它研究线性方程组的解法、向量空间与线性变换等概念。
在线性方程组的求解过程中，常用的方法包括高斯消元法、矩阵的逆和特征值分解等。
线性代数还广泛应用于图论、网络分析等领域。
2.1 线性方程组线性方程组是线性代数的基础，它可以用矩阵和向量的形式来表示。
求解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵的逆矩阵和克拉默法则等。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为简化行阶梯形式，从而求得方程组的解。
2.2 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念，它由若干个向量组成，并满足一定的运算规则。
建模讲义
数学建模课程讲义前言一、数学模型的定义1、原型与模型：原型与模型是一对对偶体，原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
模型不是原型，既简单于原型，又高于原型。
模型可以分为形象模型和抽象模型，数学模型是最主要的抽象模型。
2、数学模型：当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。
换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。
也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便人们更深刻地认识所研究的对象。
实际中能够直接使用数学方法解决的实际问题是不多的，然而，应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。
3、数学模型与数学区别：（1）研究内容：数学主要是研究对象的共性和一般规律，而数学模型主要是研究对象的的个性和特殊规律。
（2）研究方法：数学的主要研究方法是演绎推理，见照一般原理考察特定的对象，导出结论。
而数学模型的主演研究方法是归纳加演绎，归纳是依据个别现象推断一般规律。
归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。
即数学模型是将现实对象的信息加以翻译、归纳的结果，经过求解、演绎，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，经过分析、预报、决策、控制的结果。
（3）研究结果：数学的研究结果被证明了就一定是正确的，而数学模型研究结果被证明了未必一定正确，这是因为与模型的简化和模型的假设有关，因此，对数学模型的研究结果必须接受实际的检验。
二、数学建模课程的作用1、扩展知识面；2、沟通数学知识与专业知识的联系；3、数学建模在学习方式、学习能力、科学研究过程的体验上都对同学有很大的有利影响。
《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
数学建模章节义-PPT精品文档
思考
本题中计数器读数是均匀增长的吗？
观察或分析: 计数器读数增长越来越慢！
问题分析 录象机计数器的工作原理
右轮盘 主动轮 录象带 磁头 压轮 录象带运动方向 录象带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢 0000 计数器
左轮盘
录象带运动速度是常数
右轮转速不是常数
数学建模的方法和步骤
基本方法
根据对客观事物特性的认识，找出反 •机理分析 映内部机理的数量规律。 将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 •测试分析 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 •二者结合 机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数
t n 0 0000 20 40 60 80 1153 2045 2800 3420 140 160 183.5 4068 4621 5135 5619 6152
a 2.51106 , b 1.44102.
模型检验
应该另外测试一批数据检验模型：
2
——包括模型建立、求解、分析、检验。 观点：“所谓高科技就是一种数学技术”
数学建模三大功能——解释, 判断, 预见
R r
1. 解释——孟德尔遗传定律的“3:1”
2.判断——放射性废物处理
美国原子能委 员会提出如下处理 浓缩放射性废物： 封装入密封性很好 的坚固的圆桶中， 沉 入 300ft 的 海 里 ， 而一些工程师提出 质疑？需要判断方 案的合理性。
Rr(Rr)
RR Rr rR rr
f阻 0 .08 v
F浮
3.预见——谷神星的发现
n 行星的轨 R 4 3 2 10 道半径 n 10 , 0 , 1 , 2 , 4 , 5 ?,
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案教学文档一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：线性规划及其应用。
详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形方法及其应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 学会运用单纯形方法求解线性规划问题，并能将其应用于实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立、单纯形方法的运用。
重点：线性规划的基本概念、线性规划模型的求解。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景，引出线性规划问题。
实践情景：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
生产每个产品A需要2小时工时和3平方米厂房面积，生产每个产品B需要4小时工时和1平方米厂房面积。
工厂每天有8小时工时和6平方米厂房面积可用。
如何分配生产时间和厂房面积，使得工厂每天的生产利润最大？2. 知识讲解：1) 线性规划的基本概念。
2) 线性规划模型的建立。
3) 单纯形方法及其应用。
3. 例题讲解：例题1：求解导入环节提出的实际线性规划问题。
例题2：求解一个标准形式的线性规划问题。
4. 随堂练习：让学生独立求解一个线性规划问题，并给出解答。
六、板书设计1. 线性规划基本概念2. 线性规划模型的建立3. 单纯形方法4. 例题解答七、作业设计1. 作业题目：习题4.1：求解线性规划问题。
习题4.2：应用单纯形方法求解实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念和求解方法掌握程度，以及对实际问题的建模能力。
2. 拓展延伸：探讨线性规划的其他求解方法，如内点法、对偶问题等。
引导学生关注线性规划在实际问题中的应用，如物流、生产计划等。
重点和难点解析1. 线性规划模型的建立。
2. 单纯形方法的运用。
3. 例题讲解与随堂练习的设置。
数学建模讲义
π
3.模型建立 3.模型建立
已知 f (θ)， g(θ)为连续函数， f (0) = 0, g(0) = 0，且对任意 θ ， 有
f (θ)g(θ) = 0，证明存在 θ0 ∈(0, ) ，使 f (θ0) = g(θ0) = 0 2
π
４．求解
证明：令 F (θ ) = f (θ ) − g (θ ) 。则 F (θ ) 连续。 且 F (0) = f (0) − g (0) > 0 ， F ( ) = f ( ) − g ( ) < 0 ， 据介值定理，必定存在 θ 0 ∈ (0, 即 f (θ 0) = g (θ 0 ) = 0 。
三、问题假设 1、人口虽然是离散量，可以看作某个连续量的特 例，不妨假设人口是连续量。 2、设N(t),r(t,N(t))表示t时刻的人口总数和增长 、设N(t),r(t,N(t))表示t 率，其它因素暂不考虑，则在t t+△ 率，其它因素暂不考虑，则在t到t+△t时间内人 口总数的增长为 N(t+△t)-N(t)=r(t,N(t))N(t)△ N(t+△t)-N(t)=r(t,N(t))N(t)△t 连续化即为： dN/dt=r(t,N(t))N(t) 3、由于r(t,N(t))的不确定性，该方程求解十分困 、由于r(t,N(t))的不确定性，该方程求解十分困 难。
π
π
π
π
2
2
2
2
) ，使 F (θ 0 ) = 0 ，
货物交换模型 1.问题描述 1.问题描述
在一个部落内根据分工， 人们从事三种劳动： 农田耕作 （F） 、 农具制作（M）及纺织（C） 。交易系统为实物交易如下：
F F M C 1/2 1/4 1/4
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第四章
浙江大学数学建模实践基地
基于线性代数与差分方程方法的模型在第三章中，我们有多处对不连续变化的变量采取了连续化的方法，从而建立了相应的微分方程模型。
但是由于以下原因：
第一，有时变量事实上只能取自一个有限的集合；
第二，有时采取连续化方法后建立的模型比较复杂，无法求出问题的解，从而只能求它们的数值解。
也就是说，在建模时我们对离散变量作了连续化处理，而在求解时，又对连续变量作了离散化处理，使之重新变为离散变量。
所以采取连续化方法的效果有时并不很好，因而是不可取的。
电子计算机的广泛应用为我们处理大量信息提供了实现的可能，这就十分自然地提出了一个问题，对具有离散变量的实际问题直接建立一个离散模型是否更为可取？本章介绍
的几个模型就是基于这种想法建立起来的。
§4.1状态转移问题
所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态
逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何
具体实现？
例4.1人、狗、鸡、米过河问题
这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。
某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。
在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为1，
而在彼岸时则取为0，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，
而狗和米则在对岸。
（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态。
本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：
人在此岸人在对岸
(1，1，1，1) (0，0，0，0)
(1，1，1，0) (0，0，0，1)
(1，1，0，1) (0，0，1，0)
(1，0，1，1) (0，1，0，0)
(1，0，1，0) (0，1，0，1)
总共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充要条件。
（ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。
在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。
为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。
例如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。
根据题意，允许使用的转移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）四个。
规定一个状态向量与转移向量之间的运算。
规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，且规定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。
在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。
问题化为：
由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。
我们可以如下进行分析
：
（第一次渡河）(不可取)(不可取)(可取)(不可取) (0,1,1,1)(0,1,1,0)(0,1,0,1)(0,0,1,1)(1,0,0,0)(1,0,0,1)(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,1,1,1)⨯⨯⨯⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+
（第二次渡河）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+(1,0,0,0)(1,0,0,1)(1,0,1,0)(1,1,0,0)(0,1,0,1)(可取)(不可取)过的状态)(循环,回到原先出现(不可取) (1,1,0,1)(1,1,0,0)
(1,1,1,1)(1,0,0,1)⨯⨯⨯⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧＝以下可继续进行下去，直至转移目的实现。
上述分析实际上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。
例4.2夫妻过河问题
这是一个古老的阿拉伯数学问题。
有三对夫妻要过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？
这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据题意，状态应能反映出两岸的男女人数，过河也同样要反映出性别故可如下定义：（i ）可取状态：用H 和W 分别表示此岸的男子和女子
数，状态可用矢量（H ，W ）表示，其中0≤H 、W ≤3。
可取状态为（0,i ），(i ,i )，(3,i )，0≤i ≤3。
(i ,i )为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他们是i 对夫妻。
（ii ）可取运算：过河方式可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，当然也可以是一人过河。
转移向量可取成((－1)i m ,(－1)i n )，其中m 、n 可取0、1、2，但必须满足1≤m +n ≤2。
当j 为奇数时表示过河。
当j 为偶数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加法。
问题归结为由状态(3,3)经奇数次可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化为(0,0)的转移问题。
和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用作图方法来求解。
在H ~W 平面坐标中，以“·”表示可取状态，从A(3,3)经奇数次转移到达O(0,0)。
奇数次转移时向左或下移动1-2格而落在一个可取状态上，偶数次转移时向右或上移动1-2格而落在一个可取状态上。
为了区分起见,用红箭线表示奇数次转移，用蓝箭线表示第偶数次转移,下图给出了一种可实现的方案, 故A(3,3)O(0,0)
H W 这三对夫妻是可以过河的。
假如按
这样的方案过河,共需经过十一次摆渡。
不难看出,在上述规则下,4对夫妻就
无法过河了,读者可以自行证明之.类
似可以讨论船每次可载三人的情况,
其结果是5对夫妻是可以过河的,而六对以上时就无法过河了。