含参一元一次方程的解法
含参一元一次方程的解法
B． 8 9Leabharlann 5 C． 3D．
5 3
2．解方程： 0.1 x 3 0.4 x 1 20 0.2 0.5
a 3x a 1 5x 1 4．已知关于x的方程 3 x 2 x 4 x与 2 12 8 有相同的解，求a的值及方程的解。
题型三 含字母系数的 含字母系数的一元一次方程 元 次方程 巩固练习 5．已知关于x的方程 2a ( x 1) (5 a ) x 3b 无解，那 么a＝_____，b＝____。
题型四 绝对值方程 巩固练习 7．解方程： 3x 5 4 8
6．如果关于x的方程 求k值 值。
含参一元一次方程的解法 含参 元 次方程的解法
题型一 复杂一元一次方程 巩固练习 1．解方程： 解方程 2x 5 3 x 1 6 4
题型 两个 题型二 两个一元一次方程解的关系问题 元 次方程解的关系问题 巩固练习 3．若方程 3 2 x 2 2 3 x 的解与关于x的方程 6 2k 2 x 3 的解相同，则 ， k的值为( )
2( kx 3) 1 5(2 x 3) 有无数个解， 3 2 6
8．方程 x 1 x 4 7的解是_______。
1
一元一次方程含参问题
例5、若a，b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 1 程 ，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a，b的值。 解：将x=1代入 2kx a x bk
3 2k a 1 bk 1 3 6 6 1
化简得：(4+b)k=7-2a ① ∵无论ห้องสมุดไป่ตู้为何值时，原方程的解总是x=1 ∴无论k为何值时，①总成立 ∴4+b=0且7-2a=0，解得a=-4，b=3.5
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
练习： （1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无 数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
2
（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则 a= 3 。 （3）(3a 2b) x ax b 0 是关于x的一元 一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
2
9
2
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
含参的一元一次方程
k 2 1、 2、 4 k 2、0、1、 3、 4、 6
4 为整数 k2 k 2 1、 2、 4
整数解问题
【变式训练】
关于k为整数，则使得方程k_、_1_. 解： kx 9x 5 3
x 8 k 9 8 为整数
k 9 k 9 1、 2、 4、 8 又 k 也为整数 k 8、7、5、1
2m 2m 1 3
m1 x1
4
2
同解问题
【经典例题】
已知关于x的方程x 2m 0与 3x 2m 6x 1 的解相同，求m的 值和方程的解. 解法二： x 2m 0 x 2m
解法三：
将 x 2m 代入 3x 2m 6x 1
得 3 2m 2m 6 2m 1 x 2m 0 2m x
整数解问题
【拓展提升】
已知a为正整数，关于x的方程 3 x a 4 x 41的解为整数，则a的最
2
5
小值为___1___.
解： 3 x 4 x a 41 25 7 x a 41 10 x 10(a 41) 7
a 41为7的最小正倍数
即 a 41 42
a 1
整数解问题
【总结归纳】 解整数解方程的一般步骤 1. 求带有参数的方程的解 2. 根据解的表达式，找出分子(分母)中已知数的约数(倍数) 3. 建立方程求解参数(待定系数)
03 解的个数问题
解的个数问题
【知识讲解】
解关于x的方程：ax b 0
解： ax b 当a 0 时，方程为一元一次方程，有一个解为 x b a 当a 0 时，b 0 0 x 0 方程有无数个解
当a 0 时，b 0
x取任意值等式均成立 0 x b 方程无解
x取任意值等式均不成立
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程
含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一． 含有参数的一元一次方程1. 整数解问题2. 两个一元一次方程同解问题3. 已知方程解的情况求参数4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）二： 解含有绝对值的一元一次方程一. 含有参数的一元一次方程1. 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴ 【中】 已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -=119x k=- ∵,x k 均为整数∴91,11k -=±±∴2,8,10,20k =-⑵ 【中】 关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ;(2)若此方程的根为整数,求整数=____m答案：(1)1,1≠=;(2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =- ∵此方程的根为整数.∴31m -为整数 又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=--∴2,0,2,4m =-测一测1： 【中】 关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )A.2B.3C.1或2D.2或3答案：D方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得42--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a测一测2： 【中】 关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -=即:179x k =-,x 为正整数,则88k =或-测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案： 由原方程得：61x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =⑵ 【中】若关于x 的方程：k (x +3)(2)10354k x x --=-与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354k x x --=-解得x=2， 代入方程1252(1)3x x --+=中解得k=4测一测1:【易】方程213x +=与202a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A 、7 B 、0 C 、3 D 、5【答案】D第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得：12=02a --，解得5a = 例题3： 【中】 若关于x 的方程231x -=和32x k k x -=-解互为相反数，则k 的值为（） A. 143- B. 143 C. 113k =- D. 113k = 【答案】 A首先解方程231x -=得：2x =；把2x =-代入方程32x k k x -=-，得到：232k k x --=-； 得到：143k =- 测一测1：【中】当m=_______时，关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍【答案】由4231x m x -=-可知21x m =-，由23x x m =-可知3x m =∵ 关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的2倍∴2123m m -=⨯解得14m =- 3. 已知方程解的情况求参数例题4：⑴ 【易】已知方程()2412x a x +=-的解为3x =，则____a = 【答案】根据方程的意义，把3x =代入原方程，得()234312a ⨯+=-，解这个关于a 的方程，得10a =测一测1：【易】 若3x =是方程123x b -=的一个解，则b=________。
含参一元一次方程解的情况
含参一元一次方程解的情况作文一（针对初中学生）同学们，咱们今天来聊聊含参一元一次方程解的情况。
比如说，方程 3x + a = 7，这里的 a 就是参数。
要是 a 等于2，那方程就变成 3x + 2 = 7，很容易算出 x = 5 / 3。
可要是 a 等于 1 呢？方程就成了 3x 1 = 7，解出来 x = 8 / 3。
再看一个例子，ax 5 = 0 这个方程。
如果 a = 0，那不管 x 是多少，方程都不成立，因为 0 乘任何数都得 0，不可能等于 5。
但要是 a = 5，方程就变成 5x 5 = 0，x 就等于 1 啦。
所以呀，含参一元一次方程的解，会因为参数的不同而不同。
咱们做题的时候，可要仔细分析参数的取值，才能求出正确的解哟！作文二（针对家长）各位家长，您家孩子是不是正在学含参一元一次方程解的情况？别着急，我来给您讲讲。
比如说，您孩子遇到这样一个方程 2(x + b) = 10，这里的 b 就是参数。
要是 b 是 1，那方程就是 2(x + 1) = 10，展开算一算，2x + 2 = 10，x 就等于 4。
但要是 b 是 3 呢？方程变成 2(x + 3) = 10，解出来 x = 2 。
还有像 4x + c = 8 这种方程。
要是 c 是 0，那 x 很容易就算出来是 2。
可要是 c 是 4，就得重新算啦，x 就等于 1 。
您看，就这么一个小小的参数，就能让方程的解发生变化。
所以孩子学习的时候，得多练多思考，您在家也可以适当问问孩子，帮他巩固巩固。
作文三（针对数学老师）亲爱的同行们，咱们今天来说说含参一元一次方程解的情况。
在教学中，咱们经常会碰到像 mx + n = p 这样的方程。
比如说，m = 2，n = 3，p = 7 时，方程就是 2x + 3 = 7，学生们很容易算出 x = 2。
但要是 m = 0，n = 5，p = 10 ，这方程就没解啦，因为 0 乘 x 加 5 不可能等于 10 。
含参数的一元一次方程的解法
含参数的一元一次方程1. 已知方程解的情况求参数例题4：⑴【易】已知方程的解为，则测一测1：【易】若是方程的一个解，则b=________。
测一测2：【易】已知是方程的解，则_________。
⑵【易】某同学在解方程，把处的数字看错了，解得，该同学把看成了_________。
测一测1: 【易】某书中有一道解方程的题：，处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解就是，那么处应该是________2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴【易】若方程与方程的解相同，则的值为_________⑵【中】若关于的方程：与方程的解相同，求测一测1:【易】方程与的解相同，则的值是（）例题3：【中】若关于的方程和解互为相反数，则的值为测一测1：【中】当m=_______时，关于x的方程的解是的解的2倍3.错解问题1.小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值并正确的求出方程的解．2、某同学在对方程=-2去分母时，方程右边的-2没有乘3，这时方程的解为x=2，试求a的值，并求出原方程正确的解．3.、小明同学在解关于x的方程=-1，去分母时，方程右边的-1忘记乘6，因此求得的解为x=2，试求a的值，并求出方程正确的解4.一元一次方程解的情况（分类讨论）例题5：⑴【中】已知方程当此方程有唯一的解时，的取值范围是__________当此方程无解时，的取值范围是__________当此方程有无数多解时，的取值范围是_____⑵【中】关于的方程. 分别求为何值时，原方程：⑴有唯一解⑵有无数多解⑶无解测一测1：【中】若关于的方程有无穷多个解。
求测一测2：【中】已知关于的方程有无数多个解，那么测一测3：【中】已知关于的方程无解，试求=_______5 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴【中】已知关于的方程有整数解，求整数⑵【中】关于的方程是一元一次方程(1)则应满足的条件为:,;(2)若此方程的根为整数,求整数测一测1：【中】关于的方程的解为正整数，则整数的值为( )测一测2：【中】关于的方程的解为正整数,则的值为___________测一测3: 【中】为整数，关于的方程的解为正整数，求例题6：【中】解关于的方程：二：含有绝对值的一元一次方程（1）解方程： 2）探究：当为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解.测一测1：【易】方程的解是_______测一测2：【易】方程的解为________5. 解方程：（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）（2）x﹣=2﹣．（3）．（4）+2(5)．（5）．（6）(7)(8)．(9)．。
一元一次方程含参问题
k
2、解方程：
2x 1 x 1 X=3 (1)3 17 5 2 x 11 0.2 x 0.1 0.5 x 0.1 ( 2) 1 0.6 0.4 1 1 2 (3) [ x ( x 1)] ( x 1) 11 2 2 3 x
5
1、已知方程解的情况求参数
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
Hale Waihona Puke 3、含字母系数的一元一次方程 例3、讨论关于x的方程ax=b的解的情况
1已知关于x的方程2ax15ax3b有无数个解则a是关于x的一元一次方程且x有唯一值则x72a0a4b35练习
一元一次方程的含参问题
1、已知方程解的情况求参数 2、两个一元一次方程同解问题 3、一元一次方程解的情况（分类讨论） 4、整数解问题
基础巩固：
1、若 (m 2) x (k 1) x 11 0 是关于x的一 元一次方程，则m= -2 ，k= -1 。
ax 例1、已知方程 3a x 3 的解是x=4， 2 求a的值。
第3章一元一次方程的含参问题(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解含参一元一次方程的基本概念。含参的一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数，这些参数通常表示未知的常量。它在数学建模和解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个实际速度问题转化为含参的一元一次方程，并通过求解方程来解决问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相对顺利。但我观察到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能影响了整个小组的学习效果。在未来的教学中，我需要考虑如何更好地调动每个学生的积极性，确保每个人都能在小组活动中得到充分的锻炼。
学生小组讨论时，大家对于含参方程在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很欣慰。但在引导讨论时，我发现自己在提问的技巧上还有待提高，有些问题可能不够开放，限制了学生的思考空间。我将在下一次的教学中注意这一点，设计更多具有启发性的问题。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论与合作，共同解决复杂问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解含参一元一次方程的概念，包括参数的概念和含参方程的特点；
-掌握含参一元一次方程的求解方法，特别是换元法和消元法的应用；
-能够将实际问题抽象为含参一元一次方程模型，并进行求解；
-通过对含参方程求解过程的分析，理解方程解的多样性和参数对解的影响。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次方程含参问题的基本概念、求解方法和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对含参问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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含参一元一次方程的解
法
知识回顾
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
基础巩固
【巩固1】若是关于x的一元一次方程，则．
【巩固2】方程去分母正确的是（）
A．B．
C．D．
【巩固3】解方程
1.1 一元一次方程的巧解 求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中的应用．
具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．
【例1】 ⑴
⑵
【例2】 解方程：
⑴
⑵
()()1123233211191313
x x x -+-+=
知识导航
经典例题
1.2同解方程
知识导航
若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法：
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．经典例题
【例3】⑴若方程与有相同的解，求a得值．；
⑵若和是关于x的同解方程，求的值．
【例4】x的一元一次方
程，且它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的
解是多少？
⑵当x的方程y的方程
的解得2倍．
1.3含参方程
知识导航
当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的形式，方程的解根据的取值范围分类讨论．
1．当时，方程有唯一解．
2．当时，方程有无数个解，解是任意数．
3．当且时，方程无解．
经典例题
【例5】解关于x的方程
【例6】⑴若方程没有解，则a的值为．
⑵若方程有无数解，则的值是．
⑶当时，关于x的方程是一元一次方程．若该方程的唯一解是，求p得值．
⑷已知：关于的方程有无数多组解，试求的值．
1.4绝对值方程
知识导航
解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．
经典例题
【例7】解绝对值方程：
⑴⑵
1.5课后习题
【演练1】解方程：
【演练2】
【演练3】
与方程的解相同，则a 的值为 ．
⑵若关于x 的解互为相反数，则= ．
⑶若关于x 和a 得值．
【演练4】
解关于x
【演练5】⑴已知关于x
．
⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是
．。