第三章函数的连续性

第三章 函数的连续性第一章讨论了数学分析的研究对象——函数，第二章又给出了研究函数的方法——极限.这就为我们用分析的方法研究函数奠定了基础，而数学分析应用极限的方法常用来研究一类非常重要的函数——连续函数.这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数大多是连续函数.如气温的连续上升，液体的连续流动等等;另一方面，我们常会直接或间接地借助于连续函数去讨论一些不连续函数.鉴于此，学习函数的连续性极其有必要.第一节 连续性的概念一、函数在一点处的连续性函数连续与否的概念源于对函数图象的直观分析.例如函数2()f x x =的图象是一条抛物线，给我们的直观视觉是图象上各点相互“连结”而不出现间断，即它是连续的.具体来说，函数()f x 在某点a 处是否具有“连续”性，即指当x 在a 点附近作微小变化时，()f x 是否也在()f a 附近作微小的变化，用极限的观点来分析，就是看当变量x a →时，因变量y 是否也会趋于()f a .定义3-1 设函数()f x 在点a 的某个邻域中有定义，且lim ()()x af x f a →= （1）则称函数()f x 在点a 连续，或称a 是函数()f x 的连续点.显然，“函数()f x 在点a 连续”不仅要求a 在函数()f x 的定义域内，还要有（1）式极限.因此，函数()f x 在点a 连续比函数()f x 在点a 存在极限有更高的要求.为引入函数连续性的另一种表述，记x x a ∆=-，称为自变量x 在a 的改变量.相应的函数()f x 在a 的改变量记为()()()()y f x f a f a x f a ∆=-=+∆-. 注 改变量可以是正数，也可以是零或负数. 于是，函数()f x 在a 连续等价于下列极限 0lim 0x y ∆→∆=.由于函数的连续性是用极限来定义的，因而也可直接用极限的“εδ-”来描述：函数()f x 在点a 连续⇔0ε∀>，0δ∃>，x ∀:x a δ-<，有()()f x f a ε-<.此外，（1）式还可写作()()lim lim x ax af x f x →→=.由此可见，在连续意义下，极限运算lim x a→与对应法则f 的可交换性.例1 函数()23f x x =+在点2x =连续.因为22lim ()lim(23)7(2)x x f x x f →→=+==.例2 函数1sin 0()0x x x f x x ⎧, ≠⎪=⎨ ,=0 ⎪⎩在点0x =连续.因为 001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f x →→===. 二、区间上的连续函数由上述定义可以看出，“连续”反映的是函数()f x 在点a 邻域内的变化，因而只是一个局部性的概念.但它也提示我们，可以通过逐点考察的方法，了解函数()f x 在某个区间上是否连续.开区间(,)a b 的情形比较简单，下面先给出()f x 在(,)a b 上连续的定义:定义3-2 若函数()f x 在区间(,)a b 的每一点都连续，则称函数()f x 在开区间上连续. 例3 证明()sin f x x =在(,)-∞+∞上连续.证明 设(,)a ∈-∞+∞.已知(,)a ∀∈-∞+∞，有不等式cos12x a+≤与sin 22x a x a--≤成立，所以 sin sin 2cossin 22x a x ax a x a +--=≤-. 对任意给定的0ε>，取δε=，当x a δ-<时,成立sin sin x a x a ε-≤-< 即limsin sin x ax a →=.也就是说()sin f x x =在a 连续，从而()sin f x x =在(,)-∞+∞上连续.为了讨论函数()f x 在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念. 定义3-3 设函数()f x 在a 的左（右）邻域内有定义，若lim ()()x af x f a +→= (lim ()())x af x f a -→= 则称函数()f x 在点a 右（左）连续.根据第二章定理2-9，有()f x 在a 连续⇔()f x 在a 既右连续又左连续.或 lim ()()x af x f a →=⇔lim ()lim ()()x ax af x f x f a +-→→==. 定义3-4 若函数()f x 在(,)a b 连续，且在左端点a 右连续，在右端点b 左连续，则称函数()f x 在闭区间[],a b 上连续.同样有()f x 在区间[),a b 及(],a b 连续的概念. 例4证明()f x =在[]0,1上连续.证明 设0(0,1)x ∈，令}{00min ,10x x η=->，则当0x x η-<时(0,1)x ∈，有0x =-0x <-所以，0ε∀>，取}{min δη=，则当0x x δ-<时，恒有0x ε<-<.即()f x =(0,1)上连续.现考虑区间的端点.对于任意给定的0ε>，取2δε=，则当0x δ≤<时，()(0)f x f ε-.而当10x δ-<-≤时,()(1)f x f ε-≤<.这说明()f x 在0x =右连续，在1x =左连续.由此得出()f x 在[]0,1上连续.三、间断点及其分类若函数()f x 在点a 不满足连续性的定义，则称函数()f x 在a 间断（或不连续），a 是函数()f x 的间断点（或不连续点）.对间断点进行划分是研究不连续函数的基本内容.而当a 是函数()f x 的间断点,不满足连续性定义的条件，不外乎以下三种情况： （1）函数()f x 在a 无定义；（2）极限lim ()x af x →存在，即(0)(0)f a f a -=+，但lim ()()x af x f a →≠；（3）极限lim ()x af x →不存在:①(0)f a -与(0)f a +都存在，但(0)f a -≠(0)f a +. ②(0)f a -与(0)f a +至少有一个不存在.因此a 是函数()f x 的间断点按上述情形可作如下分类：1.可去间断点若lim ()x af x →=A ，而f 在a 无定义，或有定义但()f a ≠A ，则称a 为()f x 的可去间断点.如对sin ()x f x x =，0x =点是它的可去间断点.因为0sin lim 1x x x →=，但sin ()xf x x=在0x =点无定义.2.跳跃间断点若()f x 在点a 左右极限存在，但lim ()lim ()x ax af x f x +-→→≠ 则称点a 为函数()f x 的跳跃间断点.如对函数1,0()sgn 0,01,0x f x x x x ⎧⎪⎪ >==⎨ =⎪- <⎪⎩，有0lim ()1x f x -→=-与0lim ()1x f x +→=.显然0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，也就是说0x =是它的跳跃间断点. 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.3.若函数()f x 在点a 处的左右极限至少有一个不存在，则称这样的点a 为函数()f x 的第二类间断点.如函数1,11()1,1x x f x x ⎧ >⎪⎪-=⎨⎪ ≤⎪⎩已知1(10)lim ()1x f f x -→-==与111(10)lim ()lim 1x x f f x x ++→→+===+∞- 即(10)f +不存在，从而1是()f x 的第二类间断点.又如函数1sin ,0(),0x x f x x ⎧ ≠⎪⎪=⎨⎪0 =⎪⎩ 在0x =处左右极限都不存在，从而0是函数()f x 的第二类间断点.第二节 连续函数的性质一、连续函数的四则运算及其性质根据极限四则运算定理及函数连续的定义，立即可得连续函数的四则运算定理. 定理3-1 若函数()f x 与()g x 都在a 连续，则函数()()f x g x ±， ()()f x g x ，()()f xg x （()0g a ≠） 在a 也连续.这些结论的证明，都可由函数极限的有关定理直接推出. 关于复合函数的连续性有如下定理：定理3-2 若函数()y x ϕ=在a 连续，且()b a ϕ=，而函数()z f y =在b 连续，则复合函数()z f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在a 连续.证明 已知()z f y =在b 连续，即0,0,:,y y b ∀ε>∃η>∀-<η有()()f y f b -<ε.又已知()y x ϕ=在a 连续，且()b a ϕ=，即对上述0,0,:x x a η>∃δ>∀-<δ，有 ()()x a y b ϕϕ-=-<η 于是，0,0,:x x a ∀ε>∃δ>∀-<δ，有()()()()f x f a f y f b ϕϕ-=-<ε⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 这就证明了()z f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在a 连续.注 若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的内函数()g x 在0x x →时极限为a ,但不等于()0g x （即0x x =为()g x 的可去间断点），外函数()f x 在u a =时连续，那么我们仍然可用上述定理来求复合函数的极限.即 ()()()00lim lim x x x x f g x f g x →→=⎡⎤⎣⎦. 上式不仅对于0x x →成立，它对x x →+∞,→-∞,或00,x x x x +-→→这些类型的极限也成立.例1 求（1）0x →； （2）x解 （1）由于0sinlim1x x→=u=1处连续,所以 0x → （2）由于sin lim0x xx→∞=,所以 x =因为连续函数在连续点的极限等于它所对应的函数值，所以这一条件使得连续函数在连续点具有函数极限的所有性质，如局部有界性、局部保号性等.定理3-3（局部有界性） 若函数()f x 在点a 连续，则函数()f x 在点a 的某邻域内有界.定理3-4（局部保号性） 若函数()f x 在点a 连续，且()()()00f a f a ><，则0,:x x a δδ∃>∀-<,有()()0(0)f x f x ><.证明 已知()()lim 0x af x f a →=>，即()0,0,:2f a x x a ∃>∃δ>∀-<δ，有 ()()()2f a f x f a -<或 ()()()2f a f a f x -< 于是，:x x a ∀-<δ，有()()()()022f a f a f x f a >-=>. 同法可证()0f x <的情形.二、闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有一些重要性质，这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的.定义3-5 设()f x 为定义在I 上的函数，若存在0,x I ∈，对一切x I ∈，有 ()()()()00()f x f x f x f x ≥ ≤,则称()f x 在I 上有最大（小）值，并称()0f x 为()f x 在I 上的最大（小）值.一般来说，函数()f x 在I 上不一定有最大（小）值（即使()f x 是有界的）.如()f x x =在()0,1x ∈时既无最大值也无最小值.下述定理将会给出函数在某区间上取得最大(小)值的充分条件.定理3-5(最值性) 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 在[]b a ,能取到最小值m 与最大值M ，即∃1x ,2x ∈[]b a ,，使得()1x f =m 与()2x f =M ，如图3-1：图3-1并且x ∀∈[]b a ,，有m ≤()x f ≤M推论(有界性定理) 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 在[]b a ,上有界. 引理(零点定理) 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且()()b f a f 0<(即()a f 与()b f 异号)，则在区间()b a ,至少存在一点c ，使()c f =0引理的几何意义是：在闭区间[]b a ,的连续曲线y =()x f ，且连续曲线的始点()()a f a ,与终点()()b f b ,分别在x 轴的两侧，则此连续曲线至少与x 轴有一个交点.如图3-2:图3-2定理3-6(介值性) 设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，m 与M 分别为()x f 在[]b a ,上的最小值与最大值.若ξ为介于m 与M 之间的任何实数(m M ξ≤≤)，则在()b a ,内至少存在一点c ，使得()f c ξ=.证明 如果()a f <()b f ，根据定理3-5，在闭区间[]b a ,上必存在两点1x 与2x ，使得()1f x m =，()2f x M =.不妨设12x x <，且12a x x b ≤<≤.已知()1f x ξ≤≤()2f x .如果()1f x =ξ(或()2f x =ξ)，则c =1x 或c =2x ，定理成立.只须证明()1f x <ξ<()2f x 的情况.作辅助函数()()x f x ϕξ=-由函数()x ϕ在[]b a ,连续，从而在闭区间[]12,x x 也连续，且()()110x f x ϕξ=-<与()()220x f x ϕξ=->.根据引理，在区间()12,x x 至少存在一点c ，使()0c ϕ=或()0f c ξ-=，即()f c ξ=该定理的几何意义如图3-3：图3-3例2 证明超越方程cos x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个实根. 证明 已知函数()cos x x x ϕ=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦连续，且 ()010ϕ=-< 与 022ππϕ⎛⎫=> ⎪⎝⎭根据零点定理，函数()x ϕ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一点c ，使 ()cos c c c ϕ=-=0即cos x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个实根. 三、反函数的连续性定理3-7 若函数()y f x =在区间I 连续，且严格增加(严格减少)，则反函数()1x f y -=在()f I 也连续.证明 ()f I η∀∈，由定理3-6与()f x 在区间I 严格增加，存在唯一一个I ξ∈，使()f ξη= 或 ()1f ηξ-=不妨设ξ在区间I 的内部(当ξ是I 的端点时，可同法证明).ε∀>0，使(),ξεξε-+I ⊂，设()1f ξεη-=与()2f ξεη+=或()11f ηξε-=-与()12f η-=ξε+.显然12ηηη<<，如图3-4:图3-4取δ={}12min ,ηηηη--，于是y ∀：y ηδ-<，有12y ηη<<.由于反函数()1x f y -=严格增加，有()()()11112f f y f ηη---<< 或 ()1f y ξεξε--<<+()1fy ξε--< 或()()11f y f ηε---<即反函数()1x f y -=在η连续，从而反函数()1x f y -=在()f I 连续.第三节 初等函数的连续性一、指数函数的连续性在中学数学中，我们已经接触过指数函数y =xa (0>a )，但在那时当x 取无理数时，其意义并不明确.现在来证明指数函数在其定义域上是连续的.定理3-8 指数函数y =xa (0>a )在其定义域()∞+∞-,上是连续函数.证明 首先证明+→0lim x x a =-→0lim x x a =1 (即0lim →x xa =1) x ∀：10<<x ，∃n +∈N 使nx n 111<≤+，+→0x ⇔∞→n ， 从而当10<<a 时，有na 1<xa 11+≤n a当1>a 时， 有11+n a≤x a <na 1由于∞→n lim na 1=1及数列极限的夹逼性定理，可知+→0lim x x a =1. ∀0<x ，设y x -=，有0>y 且-→0x ⇔+→0y ，有-→0lim x x a =+→0lim y y a -=+→0lim y ya 1=1， 于是0lim →x x a =1.其次证明，0x ∀R ∈，有0lim x x →xa =0xa (或0lim x x →()0x xaa -=0)事实上，0lim x x →()0x xaa -=0lim x x →0x a ()10--x x a设=y 0x x -.0x x →⇔0→y .由上述结果，有lim x x →()0x x a a -=0x a 0lim x x →()10--x x a=0x a 0lim →y ()1-y a =0或lim x x →x a =0x a即指数函数xa 在0x 连续，从而指数函数在其定义域()∞+∞-,上连续.二、初等函数的连续性1. 对数函数的连续性由于指数函数xy a =(0>a 且1≠a )在其定义域()∞+∞-,内严格单调而且连续，由反函数的连续性可知，它的反函数——对数函数log a y x =在其定义域()∞+,0内也连续.2. 三角函数与反三角函数的连续性由前面的学习我们已经知道，三角函数y =x sin 与y =x cos 在各自定义域R 上都连续，而由于y =x tan =x x cos sin ， y =x cot =x xsin cos y =x sec =x cos 1， y =x csc =xsin 1所以根据连续函数的四则运算法则，y =x tan 、y =x cot 、y =x sec 和y =x csc 等三角函数在各自的定义域上也都连续.因为y =x sin 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ连续，且严格增加，根据反函数的连续性，所以它的反函数——反正弦函数y =x arcsin 在其定义域[]1,1-上也连续.同理，反三角函数y =x arccos ， y =x arctan ， y =x arc cot在各自的定义域上都连续.3. 幂函数的连续性先证α∀R ∈，幂函数y =αx 在开区间(∞+,0)连续. 事实上，x ∀>0，y =αx =xeln α，即幂函数是两个连续函数y =ue 与u =x ln α复合而成的函数.根据上节定理，幂函数y =αx 在开区间(∞+,0)连续.只有当0>α时(0=α，幂函数即为常数函数y =1)，幂函数y =αx 的定义域才含有0，此时有+→0lim x αx =0=α0 即幂函数y =αx 在0右连续.当幂函数y =αx 的定义域是R 或R {}0-时，幂函数y =αx 必为奇函数或偶函数.由第一节练习6可知，幂函数在R 或R {}0-也连续. 于是，幂函数y =αx (R ∈α)在其定义域内连续.显然，常数函数必在其定义域R 上连续.综上所述，六类基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数在它们各自的定义域都连续.又因为初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算所得，于是我们有下述定理：定理3-9 任何初等函数都是在它有定义的区间上的连续函数.习题三1.设()f a 有意义，试用“εδ-”语言叙述()f x 在点a 不连续.2.按定义证明下列函数在定义域内连续: （1）()f x x =； （2）()f x =3.讨论函数2,0,0x x y x x ⎧⎪⎪+ ≥=⎨⎪-2 <⎪⎩ 在0x =的连续性.4.指出下列函数的间断点，并说明其类型： （1）1()f x x x =+； （2）2()(1)x f x x =+； （3）1()ln f x x=； （4）()sin x f x x =；（5）()sgn f x x =； （6）{,(),x x f x x x =- 为有理数为无理数. 5.证明：设()f x 为区间(,)a b 上的单调函数，且0(,)x a b ∈为()f x 的间断点，则它必是()f x 的第一类间断点.6.证明：若函数()f x 是奇函数或偶函数，且()f x 在点(0)a a ≠连续，则函数()f x 在a -也连续.7.若()f x 在[),a +∞上连续，且()lim x f x →+∞存在.证明：f 在[),a +∞上有界.试问f 在[),a +∞上必有最大（小）值吗？8.证明：若函数()y f x =在[],a b 严格增加且连续，则反函数()1x y f-=在点()a f a =右连续，即()()11lim y y a ff a+--→=9.证明：若函数()f x 在(),a +∞连续，且()lim x f x A a+→=与()lim x f x B →+∞=，则()f x 在(),a +∞有界.10.求下列极限:（1）()4lim tan x x x ππ→-； （2）)lim arccosx x →+∞；(3)x a→(4)lim 1x +→.11.设()f x 为[],a b 上的递增函数，其值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，证明()f x 在[],a b 上连续.12. 证明：若函数()x f 在a 连续，且()a f <0，则δ∃0>，x ∀：a x -<δ，有()x f <0.13. 设n n x ∞→lim =0>x ，n n y ∞→lim =y .证明ny nn x ∞→lim =yx .14. 求下列极限:(1) 0lim →x ()x x x e x -+++1ln 15cos 2 ； (2) 3lim→x 912132-+-+x x x ；(3) ∞→n lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++2111 ； (4) 0lim →x ()x x 21sin 1+；(5) +∞→x lim ()[]x x x ln 1ln -+.15. 证明：若函数()x f 在闭区间[]b a ,除一个(或有限个)第一类不连续点外连续，则()x f 在[]b a ,上有界.16. 证明：若函数()x f 在[)b a ,连续，且bx →lim ()x f =∞+，则函数()x f 在[)b a ,能取到最小值.17. 证明：若函数()x f 在[]b a ,上连续，且对任何∈x []b a ,，存在相应的∈y []b a ,，使得()()x f y f 21≤，则至少有一点ξ∈[]b a ,，使得()ξf =0. 18.设函数()f x 定义在(),-∞+∞上，且在0,1x =两点连续.证明：若对任何(),x ∈-∞+∞有()()2f f x x =，则()f x 为常量函数.。