函数的连续性
函数的连续性
4、连续函数的局部保号性
定理3（局部保号性） 若函数 f 在点 x0 连续, 且 f ( x0 ) 0 ( 或 f ( x0 ) 0 ) , 则 0, x x x0
f ( x) 0
(或 f ( x) 0)
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x )为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D , 使得对一切 x D, 均有
应的函数(在 y0 处)的增量
例1 证明 f ( x ) xD( x ) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x )
为狄利克雷函数. 证 因为 f (0) 0, D( x ) 1, lim x 0, 所以
x 0
lim f ( x ) lim xD( x ) 0 f (0).
x 0
所以 f (x) 在 x 0 处右连续而不左连续,从而不 连续. 既然它的左、右极限都存在，那么这个间
断点是跳跃间断点.
1 例 试问 x 0 是函数 f ( x ) sin 的哪一类间断 x 点？
解 因为由归结原理可知，
1 1 lim sin 与 lim sin x 0 x 0 x x
在 x 0 处的连续性.
y
y xa a0
lim f ( x ) lim x 0 f (0),
x 0
y xa a0
y xa a0
所以 f 在 x 0 处左连续. 又因为
x 0
y x
o
x
lim f ( x ) lim ( x a ) a,
设 x x x0 , y y y0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ).
函数的连续性
| f ( x) f ( x0 )| .
| x x0 | ,
在点 x0 连续之间的关系： (i) f 在点 x0 有极限是 f 在点 x0 连续的必要条件. (ii) “ f 在点 x0 连续”要求: f 在点 x0 有极限且其极限值 应等于 f 在点 x0 的函数值.
注4 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x0 有极限与 f
f 在点 x0 连续
lim f ( x ) f ( x0 ) f ( lim x ) . x x x x
0 0
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例1 证明函数 f ( x ) xD( x ) 在点 x = 0 连续, 其中
D ( x ) 为狄利克雷函数. 证 由 f (0) = 0 及 |D(x)|1, 对任给的 > 0 , 为使
| f ( x ) f (0) | | x D ( x ) | | x | ,
只要取 = , 即可按 - 定义推得 f 在点 x = 0 连续. 注 函数在一点处连续是函数的局部性态，例1就是 一个仅在点 x = 0 连续的函数.
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3. 左右连续 定义2 设函数 f 在某U+(x0) (或 U-(x0) )内有定义, 若
×
如何分析增量x， y，正是微积分的灵魂.
它只 实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念， 是表示变量的一个新的记法. 用它来描述变量的变化是分 析函数的一个十分重要角度. 特别是在研究函数在一点附 近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性.
例如，设变量 y — 某商品销售量，x — 该商品价格. 在一定条件下，x与 y 的关系可用价格——销售函数来描述 . 作为销售经理虽然关心价格销售函数，但更重要的问题是： 如果现在价格是x0，在 x0的基础上调整x时，市场的反应 (销售的增减量)如何？ 他须要研究的是与增量 x 相应的增量 y 的关系.
函数的连续性
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值 >>>
作业：
P43 习题1—6 2、（2） 3、（4） 4、 5、
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❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
(2)虽然在x0有定义 但 lim f(x) 不存在
x x0
(3)虽然在x0有定义且lim f(x)存在 但 lim f(x)f(x0)
x x0
x x0
则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
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❖连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
•连续函数举例 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的
这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
lim Dy =0
Dx0
lim [
x x0
f
(x)-
f
(x0)]= 0
函数的连续性
结论： 设（1）设函数 f (x) 在点x0连续，函数 g (x)在点x0不连续；（2）函数 f (x)和 g (x) 在点x0 都不连续. 问函数 f (x) + g (x)， f (x) g (x) 分别在(1), (2)情况下，在点 x0是否连续？ x4 e 1 补例3. 求 lim x 0 1 cos( x 1 cos x )
有函数的增量
函数连续性的等价定义 对自变量x0的增量 函数
在点 x0 连续有下列等价命题:
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim y 0
左连续
lim f ( x0 x) f ( x0 ) x 0 y y f ( x)
y
f ( x0 0) f ( x0 ) f ( x0 0)
注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号不 一定可以交换.
x 0 x 0
x x0
二、 函数的间断点
在点 的某空心邻域内有定义 , 则下列 设 情形之一函数 f (x) 在点 不连续 : (1) 函数 在 无定义 ; (2) 函数 在 虽有定义，但 不存在; (3) 函数 在 虽有定义 , 且 存在 , 但
若函数 f (x)在开区间(a, b)内每一点都连续 , 而且在 点 x =a 右连续，在点 x =b 左连续 , 则称函数 f (x)在闭 区间[a, b]上连续. 或称它为[a, b]上的连续函数 . 由 f ( x) 在 x0 连续知
f ( lim x)
这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号可 以交换. 例如 lim cos x cos(lim x) cos 0 1
x t a 1, 则 x log a (1 t ) , 解: 令
函数的连续性(122)
一致连续性是指函数在定义域内的任何自变量变化都非常小，对应的函数值变化也非常小。也就是说，对 于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x_1 - x_2| < delta$时，有$|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。
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紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要推 论，它表明如果一个函数在一个闭区间 上连续，则该函数在该区间上必有最大 值和最小值。
断。
03 函数连续性的应用
利用连续性求极限
极限定义
极限是描述函数在某点附近的行为的数学工具。如果函数在某点 的极限存在，则函数在该点连续。
单侧极限
单侧极限是研究函数在某点左侧或右侧的行为，通过单侧极限可以 判断函数在该点是否连续。
极限的四则运算
通过函数的连续性，可以推导出极限的四则运算性质，例如加减、 乘除等运算的极限。
有限覆盖定理是指如果一个闭区间被有限个 开子区间覆盖，则这些开子区间中至少有一 个是包含在另一个开子区间中的。这个定理 在实数理论中非常重要，它表明实数轴上的 任何开覆盖都可以被有限个开子区间所覆盖。
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函数在区间上的连续性
总结词
函数在区间上的连续性是指函数在区间内的任意一点都连续 。
详细描述
如果一个函数在其定义域的每一个子区间内都连续，则称该函 数在其定义域上连续。这意味着对于定义域内的任意两点$x_0$ 和$x_1$，当$x_0<x<x_1$时，函数$f(x)$都满足连续性的定义。
连续函数的基本性质
02 函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数的连续性
函数的连续性
函数的连续性是指函数在定义域上的变化情况，其主要内容是有限性、连续性和可导性。
有限性的概念是指函数的解析可以是有限的，它可以用有限的表示法来描述。
例如，函数y = x^2 + 2x - 4的解析表示式就是一个有限的表达式。
有限性是理解函数特征的基础，而连续性是更进一步理解函数特征的手段。
连续性定义为：存在任意位置x0处，它的函数值y0（即
y=f(x0)=y0）与其附近的函数值的差别不会超过一定的正定值，当此附近的自变量值在x0处的改变量趋近于零时，此函数值
的改变量也趋近于零，我们就称该函数在x0处是连续的，写
成数学形式就是：lim (x→x0) f(x) = y0
可导性是连续性的强化，也就是说它综合考虑了函数的变化和变化量之间的关系，它是指函数在定义域上任意一点x处，只要自变量x存在可导的微分，就说明函数y有可导的前提。
可导性的表述方式就是不等式：|f(x1)-f(x2)| ≤ M|x1-x2|，即自变
量x1和x2之间的变化量应小于某个正常数M，函数值在x1
和x2之间的变化量应小于M |x1-x2|。
函数的连续性是数学分析中的基本概念，它与微积分的应用紧密相连。
它的概念很容易理解，但在实际应用中却要求解答者拥有较强的抽象意识和概括能力，因此学习和研究它的概念是非常重要的。
函数的连续性
第八讲 函数的连续性一、 函数的连续性客观世界许多现象都是连续变化的;比如时间的变化是连续的;所谓连续就是不间断;1、 函数连续的定义1引例：观察函数图像 y =x 2,y =1x ,y ={2x ,x ≤0x +1,x >0,y ={1,x ≠00,x =02 定义：设函数yfx 在点x 0 的某一个邻域内有定义若)()(lim 00x f x f x x =→ 则称函数yfx 在点x 0 处连续否则称函数fx 在点x 0不连续,点x 0为函数fx 的不连续点或间断点注 ① 0lim 0=∆→∆y x )()(lim 00x f x f x x =→ ②函数在点x 0连续的几何意义：函数的图形在x 0不断开；连续的实质是当自变量变化不大时,函数值变化也不大;2、左右连续性如果)()(lim 00x f x f x x =-→ 则称yfx 在点0x 处左连续 如果)()(lim 00x f x f x x =+→ 则称yfx 在点0x 处右连续 左右连续与连续的关系3、 函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续连续函数举例1 如果fx 是多项式函数 则函数fx 在区间 内是连续的2 函数y sin x 在区间 内是连续的二、函数的间断点的分类通常把间断点分成两类如果x 0是函数fx 的间断点左极限fx 00及右极限fx 00都存在 那么x 0称为函数fx 的第一类间断点其中左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点例1 正切函数y tan x 在2 π=x 处没有定义 点2π=x 是函数tan x 的无穷间断点 例2 函数x y 1sin =在点x 0没有定义 所以点x 0是函数x1sin 的振荡间断点 例3 函数112--=x x y 在x 1没有定义点x 1是函数的可去间断点 例4 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f函数fx 的图形在x 0处产生跳跃现象 我们称x 0为函数fx 的跳跃间断点三、初等函数的连续性定理1 设函数fx 和gx 在点x 0连续 则函数 fxgx fxgx)()(x g x f 当0)(0≠x g 时在点x 0也连续 例1 sin x 和cos x 都在区间 内连续故tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的 定理2 设函数yfgx 由函数yfu 与函数ugx 复合而成 若函数ugx 在点x 0连续 函数yfu在点u 0gx 0连续 则复合函数yfx 在点x 0也连续例4 讨论函数xy 1sin =的连续性 解 函数x y 1sin =是由y sin u 及x u 1=复合而成的 sin u 当<u <时是连续的 x1当<x <0和0<x <时是连续的 函数x1sin 在无限区间 0和0 内是连续的 结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的如果fx 是初等函数 且x 0是fx 的定义区间内的点则0lim x x →fxfx 0 例5 求201lim x x -→ 例6 求x x sin ln lim 2π→四、闭区间上连续函数的性质定理1最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值定理2有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界零点如果x0使fx00 则x0称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间a b上连续且fa与fb异号那么在开区间a b内至少有一点使f0例1 证明方程x 34x 210在区间0 1内至少有一个根定理4介值定理设函数fx在闭区间a b上连续且fafb那么对于fa与fb之间的任意一个数C在开区间a b内至少有一点使得fC推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。
函数的连续性
二、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
★ 指数函数 y a x
(a 0, a 1)
在( ,)内单调且连续;
★ 对数函数 y log a x
(a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续 ;
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★ y x
e
ln x
y e , u ln x.
证 f ( x )在x 0及其近旁有定义,且 f (0) 0,
1 0, 又 lim f ( x ) lim x sin x 0 x 0 x lim f ( x ) f (0) 0,
x 0
由定义1知,
函数 f ( x )在 x 0处连续.
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3.单侧连续定义(定义2)
则复合函数 y f [ ( x )]在点 x x0也连续.
定理
若 lim ( x ) u0 , lim f ( u) A
x x0 u u0 x x0 u u0
则有 lim f [ ( x )] lim f ( u) A.
以上定理中的x x0换成x 等结论也成立
u
y x 在(0, )内连续;
讨论不同值, y x 均在其定义域内连续.
定理
定理
基本初等函数在定义域内是连续的.
一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
注: 定义区间是指包含在定义域内的区间.
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注意1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如,
y cos x 1,
显然这两个定义是等价的.讨论分段函数 在分界点处的连续性时,通常用定义1.
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