第5章 截面的几何性质

例：试求圆截面杆对z 轴、 y 轴的惯性矩 Iz、 Iy 在等直圆杆扭转问题中已求得：
d
o y z y dA
z
πd 4 Ip = ∫ ρ d A = A 32
2
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
πd 4 Ip = ∫ ρ 2 d A = ∫ y2 d A + ∫ z2 d A = I z + I y = A A A 32
第五章 截面的几何性质
概述 ●截面的几何性质
FN σ = A
T τ= ρ Ip
这些与构件横截面的形状、尺寸有关的量统称为 截面的几何性质。 截面的几何性质
●意义
截面设计
P P
(a) 矩 形 钢 板 弯 曲
(b) 槽 形 钢 板 弯 曲
§5-1 静矩和形心 定义： A ydA 和 ∫A zdA ∫ 分别称为该截面对z轴和 y轴的静矩
c
C
0
C
i =1
y
A1 y1 + A2 y2 20 × 60 × 50 + 60 × 20 ×10 = = = 30mm A1 + A2 20 × 60 + 60 × 20
§5-2 惯性矩和惯性积 ●惯性矩
定义： ∫ y2dA 和 ∫ z2dA A A 分别称为该截面对z轴和y轴 的惯性矩
y dA A y
Sz yC = n ∑ Ai i =1 Sy zC = n ∑ Ai i =1
式中：Ai、yi、zi分别表示第i个简单图形的面积和 形心坐标。
例1 求图示T形截面的形心位置。（尺寸单位mm） 60 解：取图示的坐标系，因 O z 图形关于y轴对称，所以形 20 Ⅱ y 心必在y轴上，即z =0；只需 C z 求y 值。 60 Sz Ⅰ yC = n ∑ Ai 20
y dA A y
S y = ∫ zdA
A
性质：
S z = ∫ ydA
A
O z
z
●静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同的轴的 静矩值是不同的； ●静矩值可正、可负，也可能为零； ●静矩的单位为：
m 或 mm
3
3
y
截面的形心坐标：
dA C A y yc
∫A y ⋅ dA yC = A ∫A z ⋅ dA zC = A
2 a (1) I y = 2 I y0 + + z0 A 2 2 a (2) I y = 2 I y1 + A 2
2、试求图a所示截面对于x轴的 惯性矩Ix ，对于y轴的惯性矩Iy 。
解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形 组成，半圆形的形心位置如图b所示。
12
128
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I y = 1 054 ×10 4 mm 4
可见：截面对通过其形心的轴的惯性矩是对所有平 行轴的惯性矩中的最小者。 注意：y和z轴必须通过截面的形心。
二、主轴和主惯性矩 （1）主轴：若截面对某一对坐标轴的惯性积等于零， ）主轴：若截面对某一对坐标轴的惯性积等于零， 这一对坐标轴就称为主惯性轴（简称为主轴）。 这一对坐标轴就称为主惯性轴（简称为主轴）。 2）主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。 （2）主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。 的主惯性轴。 （3）形心主轴：通过形心 的主惯性轴。 ）形心主轴：通过形心C的主惯性轴 注意：截面的对称轴一定是形心主轴。 注意：截面的对称轴一定是形心主轴。 （4）形心主惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩。 ）形心主惯性矩：截面对形心主轴的惯性矩。
60
= 1.36 ×106 mm 4
20
z C2 C
Ⅱ
z
02
a
yc
0
2
yc=30mm
60
a z
1
C1 Ⅰ
20
zHale Waihona Puke 01y思考题
1、图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已 、 知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对于自身形心轴y0 的惯性矩Iy0以及通过槽钢截面腹板外侧的轴y1的惯性矩Iy1， 试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于y轴 的惯性矩Iy并说明理由：
1
60
C1 Ⅰ
20
z
01
I z 0 = I z′0 + I z′′0
y
2 = ( I z′01 + a12 ⋅ A1 ) + ( I z′′02 + a2 ⋅ A2 )
2 I zo = ( I z′01 + a12 ⋅ A1 ) + ( I z′′02 + a2 ⋅ A2 )
20 × 603 60 × 203 2 2 = + 20 × 60 × 20 + + 20 × 20 × 60 12 12
πd 4 64 = I x′ = I x C
2 2d πd + ⋅ 8 3π 2
2
于是得
I xC
2 πd 4 2d πd 2 2d πd = I x′ − = − 128 3π 8 3π 8 2 2
再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯 性矩：
O
zc z
z
S y = zdA ∫A S z = ∫A ydA
= A ⋅ zC = A ⋅ yC
什么情况下截面对轴的静矩为零？
可见，截面对通过其形心的轴的静矩等于零，反之亦 然。 对组合截面：
n n S z = ∑ Ai ⋅ yi = yC ⋅ ∑ Ai i =1 i =1 n n S = ∑ Ai ⋅ zi = zC ⋅ ∑ Ai y i =1 i =1
截面对于通过任一点的主惯性轴的主惯性 矩之值，也就是通过该点所有轴的惯性矩中的 极大值Imax和极小值Imin。
部分图形形心主惯性轴的大致方位
C
C
C
C
C
C
C
§5-4 组合截面惯性矩的计算 60
I z = ∑ I zi
i =1
n
z
20
C2 C
Ⅱ
z
02
a
yc
0
2
Iz1 = Iz + a A
2
a z
前面学过极惯性矩： I p =
I y = z dA ∫A I z = ∫ y 2 dA A
2
ρ
O z z
∫
A
ρ 2 dA
∵ρ = z + y
2 2
2
∴ I p = I y + Iz
即：截面对任意一对相互垂直轴的惯性矩之和等于 截面对该二轴交点的极惯性矩。
●惯性半径
I y = z 2 dA = ry2 A ∫A 2 2 I z = ∫A y dA = rz A
I x2 = I x
C
2d πd 2 + a + 3π 8
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 = − ⋅ + a + 8 3π 8 128 3π
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I y = ∫ z dA = ∫
2 A
b 2 b − 2
hb3 z 2hdz = 12
§5-3 惯性矩的平行移轴公式 主轴和主惯性矩 一、惯性矩的平行移轴公式
已知：I z I y y、z轴通
过形心C
y1
z1 b
y z
求： I z I y 1 1
C dA A
y z a y1
先求 : I z1
I z = ∫ y dA
2 A
I z 1 = ∫ y1 dA
2 A
O
z1
y1 = y + a
I z 1 = ∫ y12 dA =
A
Iz
2 A
Sz = 0
A
A
A
∫ ( y + a ) dA = ∫
A
y 2 dA + 2a ∫ ydA + a 2 ∫ dA
Iz1 = Iz + a A
2
I y1 = I y + b A
2
惯性矩的平行移轴公式
I x2 = 3 467 ×10 4 mm 4
从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：
I x = I x1 + 2 I x2 = 12 270 ×10 4 mm 4
（2） 求Iy
此组合截面的y轴就是矩形和半圆形 的形心轴，故不必应用平行轴公式而 有 I y = I y1 + 2 I y 2
(2a )d 3 + 2 × πd 4 =
根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性 矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得
πd 4 Iz = Iy = = 2 64 Ip
例：试求图示矩形对z 轴、 y轴的惯性矩Iz、Iy。
y
y h b
I z = ∫ y 2 dA = ∫
A
h 2 h − 2
bh 3 y 2bdy = 12
dy z
同理
(1)求Ix
设矩形对x轴的惯性矩为Ix1，每个半圆形对 x轴的惯性矩为 Ix2，则有
I x = I x1 + 2 I x2
d (2a ) (80 mm )(200 mm ) 其中： I x1 = = = 5 333 × 10 4 mm 4 12 12
3 3
求 Ix
2
先求IxC 根据平行移轴公式可得
rz =
ry =
Iz A
Iy A
截面对z轴的惯性半径