时谐电磁场A详解

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π
π π
E( x, y, z, t ) = ex120π cos[2π ×106 t + (2x + 3 y + z) − ] 3 4
6
π
π
− ez 240π cos[2π ×10 t + (2 x + 3 y + z) + − ] 3 6 2 = ex120π cos[2π ×106 t + (2x + 3 y + z) − ] 3 4
用复数的实部表示
Ex = Re Exme j(ωt +ϕ x ) = Re E xm e jωt
i j ωt +ϕ E y = Re E yme ( y ) = Re E ym e jωt i
j ωt +ϕ Ez = Re Ezme ( z ) = Re E zm e jωt i
Hy = j120πe
− j[ ( x− 2y−z )+ ] 3 4
π
π
写出其对应的瞬时表达式。 频率为 f = 4 ×108 Hz,写出其对应的瞬时表达式。 解：
e
j
π
2
= cos( ) + j sin( ) = j 2 2
π
− j[ ( x− 2 y − z )+ ] 3 4 2
π
π
H y = 120π e e H y = 120π e
∇ 2 E + k 2 E = 0 2 2 ∇ H + k H = 0
说明： 说明：亥介电常数和复磁导率
媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化和 媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化和 传导，它们可用一组宏观电磁参数表征， 介电常数、 传导，它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、 磁导率和电导率。在静态场中这些参数都是实常数； 磁导率和电导率。在静态场中这些参数都是实常数；而 在时变电磁场作用下， 在时变电磁场作用下，反映媒质电磁特性的宏观参数与 场的时间变化有关，对正弦电磁场即与频率有关。 场的时间变化有关，对正弦电磁场即与频率有关。 对时谐电磁场中的导电媒质， 对时谐电磁场中的导电媒质，有 γ ∇ × H = γ E + jωε E = jω (ε − j ) E = jωε c E ω γ εc = ε − j 式中 等效介电常数 ω 或复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质
i
i jωt
] + e y Re[ E ym e
i
jωt
] + e z Re[ E zm e jωt ]
i
= Re[ E m e jωt ]
式中
i
E m = ex Exm + ey Eym + ez Ezm 同理， 同理，可得
i D = R e[ D m e jω t ] i H = R e[ H m e jω t ] i B = R e[ B m e jω t ]
= Re{[e x Fxm (r )e
i
jφx ( r )
jφi ( r )
e jωt ]
jφ y ( r )
F (r , t ) = e x Fx (r , t ) + e y Fy (r , t ) + e z Fz (r , t )
+ e y Fym (r )e
+ e z Fzm (r )e jφz ( r ) ]e jωt }
6.8 时谐电磁场
在时变电磁场中， 在时变电磁场中，如果场源以一定的角频率随时间 呈时谐(正弦或余弦)变化， 呈时谐(正弦或余弦)变化，则所产生的电磁场也以同样 的角频率随时间呈时谐变化。 的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐 时谐电磁场或 变化的电磁场，称为时谐电磁场 正弦电磁场。 变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。在工程 应用最多的是时谐电磁场。同时， 上，应用最多的是时谐电磁场。同时，任意的时变场在 一定的条件下都可通过傅里叶分析方法展开为不同频率 的时变场的叠加。因此， 的时变场的叠加。因此，研究时谐电磁场具有重要的意 义。 一、时谐电磁场的复数表示
三、复数形式的波动方程——亥姆霍兹方程 复数形式的波动方程 亥姆霍兹方程
时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。 时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。 在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化， 在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则 ∂2 E ∂2H = −ω 2 E , 2 = −ω 2 H ∂t 2 ∂t 则无源空间的波动方程变为 2 ∂2 E ∇ 2 E + ω 2 µε E = 0 ∇ E − µε 2 = 0 ∂t ⇒ ∇ 2 H + ω 2 µε H = 0 ∂2 H ∇ 2 H − µε =0 2 ∂t 亥姆霍兹方程 2 2 k 令： = ω µε 则亥姆霍兹方程变为
ω 设 u (r , t )是一个以角频率 随时间呈时谐变化的标量 函数， 函数，其瞬时表示式为
u (r , t ) = um ( r ) cos(ωt + φ (r ))
1
u (r , t ) = um ( r ) cos(ωt + φ (r ))
式中 um ( r )为振幅，它仅为空间坐标的函数。ω 为角频 为振幅，它仅为空间坐标的函数。 率。 (r ) 是与时间无关的初相位。 φ 是与时间无关的初相位。 利用复数取实部表示方法， 利用复数取实部表示方法， e jz = cos z + j sin z 可将上式写成
Exm = Exme i jϕ y E ym = E yme i jϕ z Ezm = Ezme
i jϕ x
时 谐 电 场 的 复 振 幅
4
在时谐场中， 在时谐场中，电场强度可表示为
E = e x Ex + e y E y + e z Ez
= e x Re[ E xm e
j
π
π
− j[ ( x− 2 y − z )− ] 3 4
π
π
H y ( x, y, z, t ) = 120π cos{8π ×10 t − [ ( x − 2 y − z) − ]} 3 4
8
π
π
9
二、麦克斯韦方程的复数形式
对于时谐场， 对于时谐场， i i ∂E ∂B = Re[ jω E m e jωt ] = Re[ jω B m e jωt ] ∂t ∂t 故由麦克斯韦方程组微分形式， 故由麦克斯韦方程组微分形式，可得
式中
Fi (r , t ) = Fim ( r ) cos[ωt + φi (r )]
(i = x, y, z )
2
Fi (r , t ) = Fim (r ) cos[ωt + φi (r )]
它们可用复数表示为
(i = x, y, z )
(i = x, y, z )
Fi (r , t ) = Re[ Fim (r )e
j (ωt −kz +ϕ y − ) 2
π
]
j ( − kz +ϕ y − ) ɺ j ( − kz +ϕx ) 2 Em ( z) = ex Exme + ey Eyme
π
= [ex Exme
jϕx
+ ey Eyme
jϕ y − j
π
2
]e j ( −kz )
6
ɺ Em (z) = [ex Exme jϕx + ey Eyme
∂D ∇ × H = J + ∂t ∇ × E = − ∂ B ∂t ∇ ⋅ B = 0 ∇ ⋅ D = ρ
i i i ∇ × ( H m e jωt ) = ( J m + jω D m )e jωt i i ∇ × ( E m e jωt ) = − jω B m e jωt i ∇ ⋅ ( B m e jωt ) = 0 i jω t jωt ∇ ⋅ ( D m e ) = ρ m e
6
π
π π
π
π
− ez 240π cos[2π ×10 t + (2x + 3 y + z) − ] 3 3
π
π
Em ( x, y, z) = ex120π e
j[ (2 x + 3 y + z )− ] 3 4
π
π
− ez 240π e
j[ (2 x + 3 y + z )− ] 3 3
π
π
8
例2：已知一磁场分量的复数形式为
jϕy − j
π
2
]e
π
j (−kz )
e
−j
π
2
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
= [ex Exme jϕx + ey Eyme e
jϕ
jϕ y − j 2
]e j ( −kz )
= [ex Exme jϕx − ey jEyme y ]e j ( − kz )
(2)E(x, y, z, t) = ex120π cos[2π ×10 t + (2x + 3y + z) − ] 3 4
(2)E(x, y, z, t) = ex120π cos[2π ×106 t + (2x + 3y + z) − ] 3 4
6
π
π
π
解：（1）由于 ：（1
− ez 240π sin[2π ×10 t + (2x + 3y + z) + ] 3 6