第三章 静态电磁场剖析
合集下载
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
第三章 静态电磁场
第三章 静态电磁场1. 静电场中，电位函数满足的方程及其边界条件电位函数的引入及其方程的推导过程。
我们以图解的方式表示关于φ，一方面它有确切的物理含义，即表示空间任意两点的电势差，等于将单位电荷在电场E中从一点p 移到另一点0p 所作的功。
另一方面在计算上它又带来极大的方便。
通常计算标量比计算矢量容易得多，这就是在计算静电场时经常从计算φ入手的原因。
电位φ满足的边界条件：21φφ=s nn ρφεφε-=∂∂-∂∂11223种情况下电位满足的边界条件： 介质1，2均为理想介质21φφ=s nn ρφεφε-=∂∂-∂∂1122介质1为导体，介质2为理想介质)(0常数φφ=s nρφε-=∂∂ 介质1，2均为导电介质，在恒定电流情况21φφ=01122=∂∂-∂∂nn φσφσ2. 静电场的能量，能密度；导体上的静电力与一个电荷分布相联系的势能可写成：⎰=v e dv W ρφ21或 ⎰⋅=ve dv E D W21其中第一个积分中的v 包含所有的电荷分布，第二式则包含所有E不为零的空间。
能量密度为：E D W e ⋅=21 当E D ε=时：221E W e ε=导体上的静电力分两种情况：常=∇=φe W F常=-∇=q eW F3. 恒定电场的方程和边界条件微分方程：0=⨯∇E0=⋅∇J)(K E J+=σ积分方程：0=⋅⎰E L0=⋅⎰sJ其中K表示电源作用在单位正电荷上的非静电力。
电位φ所满足的方程⎩⎨⎧⋅∇=∇)()(02电源内部电源外部K φ在两导体交界面上的边界条件：21φφ=nn ∂∂=∂∂2211φσφσ4. 恒定电流的磁场磁失势所满足的方程及边界条件磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示磁失势满足的边界条件：12A A =s A A nτμμ=⨯∇-⨯∇⨯)11(ˆ1122磁失势所满足的方程及边界条件：磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示其中m φ引入的条件是无传导电流的单连通区域如电流是环形分布的，磁标势适合的区域只能是挖去环形电流所围成的壳形之后剩下的区域。
第03章 静态场
1. 静电场环路定律
电荷在电场中要受到电场力的作用，所以当电荷在电场中移 动时，电场力要对它做功。
3.1 静电场
现在来研究将电荷 q0 在静电场中沿任一路径 l 从 A 点移到 B 点，如图所示。设在线元 dl 处的电场强度为 E，当 q0 经过 dl 时， 电场力所做的功为： dW F dl q0 E dl 则从 A 到 B 的整个路程上，电场力做 的总功为： W l F dl q0 l E dl
9
(N)
3.1 静电场
3. 电荷密度 前面的讨论都是针对点电荷进行的，而带电体总是具有一定 尺寸的，很多情况下不能简单地把它看成是点电荷，而应认为电 荷连续分布于一定区域内。这种分布于一定区域内的电荷称为分 布电荷。 如果电荷分布在一个体积 V 内，则称之为体电荷；如果分布 在一个曲面 S 上，则称之为面电荷；而分布在一条曲线 L 上时，
称之为线电荷。
这样，为了定量地描述电荷在区域内分布的疏密程度，引入 电荷密度的概念。
3.1 静电场
对于体电荷，在电荷分布的区域 V 内 r 处取一个体积元∆v， 若其中所包含的电荷量为∆q，则定义：
(r ) lim
q dq v 0 v dv 为 r 处的体电荷密度，单位为 (C/m3 )。类似地，可定义面电荷密
q (r r ) 令R r r q 1 ˆ E (r ) 3 4 0 R 2 R 4 0 r r (r ri) E (r ) qi r r 3， 4 0 i 1 i 1
n
(r r ) E (r ) 区域 r r 3 dq 4 0 1
1 1 3 x，r2 x，r ˆ ˆ ˆ r1 y 2 2 2 r r1 3 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ y x，r r2 y x 2 2 2 2
电磁场 第三章讲义
或
r r µ0 r r A(r ) = pm × r 3 4 πr
r r µ 0 pm r r B(r ) = (er 2 cos θ + eθ sin θ ) 3 4πr
上海师范大学 信息与机电学院学院通信工程系
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
12
2. 恒定磁场的标量磁位 标量磁位的引入 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电 流（J＝0）的空间 中，则有 r r H = −∇ϕm ∇× H = 0 标量磁位或磁标位
上海师范大学
或
信息与机电学院学院通信工程系
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
恒定磁场的边界条件 推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下：
H2
en
B1
B2
(1) 当边界上不存在表面电流时，磁 场强度的切向分量是连续的，即
H1t = H 2t
µ2 µ1 H 1
对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为 B1t B2t = µ1 µ 2 (2) 磁感应强度的法向分量是连续的， 即
∂ϕ m1 ∂ϕ m2 µ1 = µ2 ∂n ∂n ∂ϕ m 2 ∂ϕ m1 ρ mS − =− ∂n ∂n µ0
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解 磁标位 r r ∇ × H = 0, ∇ ⋅ B = 0 r H = −∇ϕm
∇ 2ϕm = − ρ m µ0 r ρ m = − µ 0∇ ⋅ M r r r ρ mS = − µ0 en ⋅ ( M 2 − M 1 )
例 3.3.1 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回 路的半径为a ，回路中的电流为I 。 解 如图所示，由于具有轴对称性， 矢量磁位和磁场均与φ 无关，计算 xO z 平 面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。 P r I θ a
第3章 静态电磁场分析01
1 ρ ( r ') R dτ ' 3 ∫ 4πε0 R
D(r ) = ε E ( r ) =
1 ρ ( r ') R dτ ' 3 ∫ 4π R
◇
关系式 D = ε E 称为电特性方程或介质本构关系
3.1.1
静电场的基本方程
1、基本方程
∫ D ⋅ dS = ∑q �
s
∇⋅ D = ρ
∫ E ⋅ dl = 0 �
{
}
第一项：
1 1 ϕ ∝ , D ∝ 2 ds ∝ r 2 r r
� � 1 ⇒ [ D ⋅ ϕ ] • ds ∝ r
� � � � 1 ∴ We = ∫ D (r ) • E ( r )dV = ∫ we dV v 2 v 1 � � 1 we = D • E = ε E 2 -------- 电场能量密度 2 2
ρs = 0
有
∂ϕ1 ⎧ ∂ϕ 2 ε = ε ⎪ 2 1 ∂n ⎨ ∂n ⎪ ⎩ϕ1 − ϕ 2 = 0
导体表面：电位的边界条件为
⎧ ∂ϕ = −ρsΒιβλιοθήκη ⎪ε ∂ n ⎨ ⎪ ⎩ϕ = 常 数
例 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外 空间的电位。 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 ∇ ϕ = 0
3.1 静电场分析 3.2 恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题
3.1
◇
静电场分析
静电场的源变量是电荷 q ( r )
◇ 第2章中已由库仑定律引入了电荷 q ( r )产生的电场强度 E =
q R 4πε 0 R3
◇ ◇
任意电荷分布产生的电场强度 E ( r ) = 定义任意电荷分布产生的电位移矢量
第三章静态电磁场与..
y
dx2
dx2
方程的解为：1x C1x D1;2 x C2x D2
有题设边界条件：
o
b
ax
x 0处，10 0;1 x a处，2a 0 2.
x b处，1b 2 b.
3
2 x
x
1x
x xb
s0 0
4
解得：C1
s0 b
0a
a,
D1 0
; C2
s0b 0a
,
D2
s0b . 0
1
x
s
意义：电荷量为0的点电荷的电位。
格林定理 泊松方程的积分公式
格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。
由散度定理 gAd Ñ AgndS
S
设 A
而 gA g 2 g
Agn gn n
得格林第一恒等式
同理，若设 A
格林第一恒等式表示为
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2
g
d
Ñ
S
n
dS
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r '
◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' /0
满足的方程：2G r, r ' r r '
◇
定义格林函数
Gr,r ' 0 r,r '
无界空间中的解：G
r,
r
'
0
r,
r
'
4
1 r
r
'
格林函数的对称性：G r, r ' G r ', r
◇ 极化体电荷 p P ◇ 极化面电荷 p en P （en 为介质表面外法线方向的单位矢量）
第3章 静态电磁场及其边值问题的解剖析
2r ρr
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
ε
(Poisson方程)
（2）
该式即为静电位满足的微分方程— Poisson方程。Poisson 方程和上述方程组等价，故它也唯一确定了静电场。
在无电荷分布区域
2 r 0
(Laplace方程)
求解Poisson方程或Laplace方程时，解电位中的积分常 数需要应用电位的边界条件确定：
第三章 静态电磁场及其 边值问题的解
3.1 静电场分析
1. 基本方程
微
D ρ
分
形
或
积 分
SD dS V ρdV
形
式 E 0
式 l E dl 0
这组方程揭示静电场的基本性质：有散、无旋、保守性
2. 边界条件
eˆn E1 E2 0 或
E1t E2t
eˆn D1 D2 S
1 r2
d dr
r2
d
dr
0
r
c1 r
c2
c
c1、c2待定积分常数。
边界条件：
求解区域的边界是r=a
和r=的两闭合球面
① r a, U
② r , 0
利用条件 1得 c1 aU 利用条件 2得 c2 0
故解 r aU
r
5. 导体系统的电容
电容是导体系统的一种基本属性，它是 描述导体系统储存电荷能力的物理量。任何导体和导体之 间以及导体和大地之间都存在电容。
-E0
r
eˆz
rE0
E0r cosθ
在柱坐标系中，取x轴与电场方向一致，则
P
-E0
r
eˆx E0
eˆρ ρ eˆzz
E0 cos
o
E0
在坐
点
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
R
r
r
E
(r)
1
4
V
(r) R3
RdV
1
4
V
(r)( 1 )dV
R
[
1
4
V
(r)(
1 R
)dV
]
故得
(r )
1
4
V
(r)dV
R
C
(
1 R
)
R R3
面电荷的电位：(r ) 1 S (r)dS C
4 S R
线电荷的电位：(r ) 1 l (r)dl C
4 C R
点电荷的电位：(r ) q C 4 R
例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线 的轴线距离为D，且D >> a，求传输线单位长度的电容。
解 设两导线单位长度带电量分别为 l 和 l 。由于D a ，
故可近似地认为电荷分别均匀分布在两
导线的表面上。应用高斯定理和叠加原
y
理，可得到两导线之间的平面上任一点
P 的电场强度为
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即 Cq
两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
18
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
计算电容的步骤：
)
等位线方程：
q
4 0 r 3
(er
2 cos
e
sin
)
p cos C 40r 2
电场线微分方程：
r 2 C'cos
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
代入
(r ) S (r) dS
S 4 0 | r r |
得
(
4 0 0 0 z2 2
S [ a2 z2 z ] 20
第三章 静态电磁场
【例2】 求偶极矩为 p = ez q l 的电偶极子引起的电场分布。 解：电偶极子由两个相距很近（l << r）的等值异号的点电 荷构成，电偶极子引起的电位就是此两个点电荷引起的电 位的叠加。
)
第三章 静态电磁场
【例3】 求真空中无限长均匀带电直线周围的电位分布，设
带电线的线电荷密度为 l 。
解：以带电直线为轴线建立圆柱坐标系。取距离轴线有限远
= 0 处为电位的零点。
该带电直线引起的电场为
E()
e
l 2 0
于是距带电线为处的电位为
0
0
(z) Edl
l
d l ln 0
2 0
位为 (r) E dl P
例如，点电荷 q 位于无限大介质中 r′处，其在场点 r 处引
起的电场为 则电位分布为
E
(r,
r)
q (r
4π |
r) r r|3
(r)
q
4π
(r r)dl
r
| r r|3
q
4π
r
dR R2
q
4π
R
4π
q |r
r|
第三章 静态电磁场
根据电位叠加原理，体积 V 中的电荷分布在场点 r 处
得
2 (r
)
1
4
V
(r )
|
r r r r |3 dV
因为
r r
|r
r |3
0
第三章 静态电磁场
( 对r r )
故积分域可缩小为以点 r 为中心的小球体 V 。当半径足够 小时，积分成为
2
(r
)
(r ) 4
V
|
r r r r |3
dV
(r ) 4π
S|
r r r r |3
以电偶极子中心为坐标原点，则电偶极子在空间任意点
引起的电位为
其中
(r ) q ( 1 1 ) 4 0 R R
R r2 (l / 2)2 r l cos
R r 2 (l / 2)2 r l cos
第三章 静态电磁场
因为 l << r，故可利用近似公式
(1 x) 1/ 2 1 x 2
20
3.1.4 电位的边界条件
第三章 静态电磁场
的微分方程只适用于连续介质内部。在两种介质的交 界面两侧， 应满足由电场的边界条件所规定的相应边界条
件。
1．关于 的边界条件
如图，对 1、2 两点，有
2
2 1 E dl
1
E1 n h1 E2 n h2
这里已取 h1 0，h2 0 。
第三章 静态电磁场
引起的电位为
(r
)
V
(r) 4π | r
dV r
|
曲面 S 上的面电荷分布引起的电位为
(r
)
S
S (r) dS 4π | r r |
曲线 L 上的面电荷分布引起的电位为
(r
)
L
l (r 4π | r
) dl r
|
若电荷分布涉及无限远，则上述积分可能发散。这时，取
任一有限远点为电位零点，利用电位积分定义式计算电位 。
3.1 静电场的电位
3.1.1 静电场的电位
静电场的场方程为
E 0 D
由于静电场无旋，故可将其写为
E
这里标量函数 称为电位或电势。
根据梯度的性质可知，E 垂直于等电位面，并指向电位 降落的方向。
第三章 静态电磁场
设 L 为连接 a、b 两点的任意路径，则有
b
E dl
b
dl
dS
再利用 可得
S|
r r r r
|3
dS
4π
2(r ) (r )
第三章 静态电磁场
【例1】 如图所示，半径为 a、面电荷密度为 S 的均匀带电
圆盘位于 x y 平面上。求圆盘轴线上的电位。
解：由图可知，| r r | z2 2 ， r′处的面元为 dS dd
第三章 静态电磁场
第三章 静态电磁场
第三章 静态电磁场
静电场、稳恒电场和稳恒磁场都不随时间变化，统称为
静态场。静态情况下，有 麦克斯韦方程简化为
0 t
E 0 H J
D B 0
可见，电场与磁场是相互独立的，故可分别讨论。本章 从麦克斯韦方程出发，分别讨论静电场、稳恒电场和稳恒 磁场的处理方法。
第三章 静态电磁场
普拉斯方程：
2 0 由上可见， 的微分方程包含了静电场的基本方程和
本构关系：
E 0 D DE
因此，对静电场而言，电位的微分方程与场方程等价。
第三章 静态电磁场
3.1.3 电位方程的积分解
对无界空间中电荷分布在有限区域的情形，通常取无穷远
处为电位零点。这样，电荷体系在空间任一场点 P 引起的电
b
dl
a
a
a l
(L)
(L)
(L)
b
a d (a) (b)
(L)
可见，静电场中任意两点之间的电位差可由沿连接这
两点的任意路径的积分得到。
以上定义的是电位的梯度和电位差。只有规定了电位 的零点，电场中每一点的电位才具有确定的值。电位的零 点可以任意选取，因为电位加上一个任意常数并不影响其 梯度或电位差的值。
第三章 静态电磁场
3.1.2 电位的微分方程
仅考虑各向同性介质。将 E = - 代入 D = E，两边 取散度，再利用 ·D = ，可得
( ) 2
整理得
2
此即各向同性介质中电位满足的方程。
对均匀介质， = 0，上式成为 2
第三章 静态电磁场
若所论区域中处处 = 0，则在该区域中， 满足拉
第三章 静态电磁场
可以证明，上述表达式即为电位方程在无界空间中的解。
证：将积分式
(r
)
V
4
(r)
|r
dV r
|
代入电位方程的左边，有
2(r ) 2 (r) dV 1 (r) 1 dV
V 4 | r r | 4 V
| r r|
利用
1 r r | r r | | r r |3
(| x |1)
于是有
(r)
ql cos 4π 0 r 2
p r cos 4π 0 r3
p r
4π 0 r3
代入 E =- ，即得
E(r)
( er
r
e
1 r
e
1
r sin
)
p
4 0r 2
cos
p
4 0
( er
2 r3
cos
e
1 r3
sin )
p
4 0 r 3
( er
2 cos
e
s in
因 E 的大小有限，故上式给出 1 2 0。由此知，
在界面两侧紧靠界面处，有
1 2
可见电位在界面处连续。
上式与边界条件 E1t= E2 t 等价。这是因为，E1t = E2 t 产生
于 E dl 0 和 “E 的大小有限” 这两个条件，前者在