高一数学方程的根与函数的零点测试题
高一数学函数与方程试题
高一数学函数与方程试题1.已知一元二次方程的两个实根为，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由程的二次项系数为1＞0，故函数图象开口方向朝上又∵方程的两根满足0＜x1＜1＜x2，则，即，即其对应的平面区域如下图阴影示：∵表示阴影区域上一点与原点边线的斜率，由图可知∈故选A．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；线性规划.2.函数的图象与轴的交点个数是（）A．4B．3C．1D．0【答案】B.【解析】首先将函数化简为，然后根据函数与方程的关系知，要求“函数的图像与轴的交点的个数”就转化为求“方程的实数根的个数”，于是对其进行分类讨论：①当时，令，解得，，此时方程有两个实数根满足题意；②当时，令，解得，，因为，不满足，故舍去，所以此时方程有且仅有一个实数根满足题意. 综上所述，方程的实数根的个数有3个，即函数的图像与轴的交点的个数有3个，故选B.【考点】函数与方程.3.一艘船上午在A处，测得灯塔S在它的北偏东300处，且与它相距海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，此船的航速是（）海里/小时。
A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得在三角形中，，由正弦定理得，即，得，因此航行的速度.【考点】正弦定理在三角形中的应用.4.函数的零点个数为．【答案】【解析】函数的零点,就是方程的根，转化为与的图象交点的横坐标，结合图象知有两个交点，故零点个为2个.【考点】函数的零点，数形结合的数学思想.5.方程的解所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.【考点】函数与方程.6.二次函数中，，则函数的零点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．无法确定【答案】C【解析】令=0，二次函数的零点就是相应一元二次方程的根。
高一上学期数学人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》函数的零点与方程的解(二)同步练测
4.5.1函数的零点与方程的解（二）同步练测考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．(]4,16B ．[)4,+∞C ．(),4-∞-D ．[)16,4--二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．参考答案：1．B【解析】由题意知,αβ是二次函数236y x x =+-的两个零点，故,αβ是2360x x +-=的两个根，则2360αα+-=，且+3αβ=-，则236αα+=且3βα=--，故22233(3)5αβαααα-=-++=+-=-=，故选：B 2．B【解析】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增，又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，，所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，.故选：B 3．B【解析】函数()23x f x x a =++在区间(0,1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知(0)(1)0f f ⋅<，即()()150a a ++<，解得51a -<<-所以实数a 的取值范围是(5,1)--，故选：B 4．A【解析】要使函数()()g x f x a =-有三个零点，则()f x a =有三个不相等的实根，即()f x 与y a =的图象有三个交点，当1x ≤-时，()113x f x +=-在(],1-∞-上单调递减，[)()0,1f x Î；当10-<≤x 时，()131x f x +=-在(]1,0-上单调递增，(]()0,2f x Î；当0x >时，()ln f x x =在()0,∞+上单调递增，()f x ∈R ；由()f x 与y a =的图象有三个交点，结合函数图象可得()0,1a ∈，故选：A.由图像可知01a b <<<<由()()f a f b =得lg a =联立2y x y x =⎧⎨=-⎩，得由图象可知，直线9．BCf x对应的二次方程根的判别式【解析】函数()可观察出①当1a >时，方程(f ()220()xf a a R --=∈有方程()1f t =-的解为1(0,1)t t =∈，2(,0)t t =∈-∞，即1()f x t =，2()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和1y t =，2y t =的图象，由图可知函数()y f x =和1y t =，2y t =有4个交点，所以函数[()]1y f f x =+有4个零点.当0a ≤时，方程()1f t =-的解为3(0,1)t t =∈，即3()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和3y t =的图象，由图可知函数()y f x =和3y t =有1个交点，所以函数[()]1y f f x =+有1个零点.故选：AD13．1【解析】解法一：令()0f x =，可得方程2ln 30x x +-=，即2ln 3x x =-，故原函数的零点个数即为函数ln y x =与23y x =-图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23y x =-与ln y x =的图象只有一个交点，故函数()2ln 3f x x x =+-只有一个零点，故答案为：1解法二：∵()21ln11320f =+-=-<，()22ln 223ln 210f =+-=+>，∴()()120f f <，又()2ln 3f x x x =+-的图象在()1,2上是不间断的，∴()f x 在()1,2上必有零点，又()2ln 3f x x x =+-在()0,∞+上是单调递增的，∴函数()f x 的零点有且只有一个，故答案为：114．(]()1,34,+∞ 【解析】由于4y x =-在R 上只有一个零点4，函数243y x x =-+在R 上的两个零点为1和3，若4λ>,此时4y x =-在x λ≥上没有零点，函数243y x x =-+在x λ<上的两个零点为1和3，满足题意，当34λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1和3，不满足题意，舍去当13λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1，满足题意，当1λ≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上没有零点，不满足题意，舍去，因为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭点212,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点⎛⎝由图象可知，-当0a >时，12116a a <<，解得111612a <<；当a 11,⎛⎫⎧⋃。
方程的根与函数的零点(5)
x2 2x 3 0
y x2 2x 3
透数形结合 的思想。为
方程的根 函数值y=0时的x的值 函数图象与x轴交点的横坐标
板书
引入函数零 点的概念打 下基础。
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五、教学过程
（三）数形结合，巩固认识
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二
次 方 程 ax2 bx c 0 (a 0) 及 相 应 的 二 次 函 数
一些复杂的方程无法 求解，造成学生的认 知冲突,引发学生的好 奇心和求知欲。此时 开门见山的提出用函 数的思想解决方程根 的问题,点明本节课的 课题。
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五、教学过程
（二）启发引导，逐步深入
设计意图
问题2：
以问题激发学生
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
思考，将大问题
分解为几个小问 与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有什么联系？ 题，自然地得到
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方程
函数 函 数 的 图 像
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
y
.
.
2
.1 .
－1 0 1 2 3 x －1
－2 －3
. －4
y
.2
.
1. .
. －1 0 1 2
x
y
.5 4
.
3.
2
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
2022版新教材数学人教A版必修第一册基础训练-4.5.1-函数的零点与方程的解-含解析
课时评价作业基础达标练1.（2021安徽合肥高一期末）函数f(x)=lg|x| 的零点是( ) A.(1,0)B.(1,0)和(-1,0) C.1D.1和-1 答案： D2.已知函数f(x)={ln(x −1),x >1,2x−1−1,x ≤1, 则f(x) 的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案： C3.（2021广东广州高一期末）函数f(x)=(x 2−1)√x 2−4 的零点个数是( ) A.1B.2C.3D.4 答案： B4.（多选）下列关于方程x 3+x 2−2x −1=0 的说法正确的是( ) A.在(-2,-1)内有根 B.在(-1,0)，0)内有根 C.在(1,2)内有根D.在(−∞,+∞) 内没有实数根 答案： A ; B ; C解析：设f(x)=x 3+x 2−2x −1 .分别计算f(−2),f(−1),f(0),f(1),f(2) 的值，再根据函数零点存在定理判断.5.已知0＜a ＜1 ，则函数y =a |x|−|log a x| 的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案： B解析：函数y =a |x|−|log a x|(0＜a ＜1) 的零点的个数即方程a |x|=|log a x|(0＜a ＜1) 的解的个数，也就是函数f(x)=a |x|(0＜a ＜1) 与g(x)=|log a x|(0＜a ＜1) 的图象的交点的个数.画出函数f(x)=a |x|(0＜a ＜1) 与g(x)=|log a x|(0＜a ＜1) 的图象（如图所示），观察得出结论.6.已知函数则函数f(x)={2x −1,x ≤1,log 12x +2,x >1, 则函数f(x) 的零点为 .答案： 0或47.若abc ≠0 且b 2=ac ，则函数f(x)=ax 2+bx +c 的零点个数是 . 答案： 08.已知y =x(x −1)(x +1) 的图象如图所示.令f(x)=x(x −1)⋅(x +1)+0.01 ，则下列关于f(x)=0 的叙述正确的是 （填序号）.①有三个实根；②当x ＞1 时恰有一个实根； ③当0＜x ＜1 时恰有一个实根； ④当−1＜x ＜0 时恰有一个实根； ⑤当x ＜−1 时恰有一个实根． 答案： ①⑤解析： f(x) 的图象是将函数y =x(x −1)⋅(x +1) 的图象向上平移0.01个单位长度得到的，故f(x) 的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(−∞,−1),(0,12) 和(12,1) 内，故只有①⑤正确.9.判断下列函数的零点个数： （1）f(x)=x 3−3x 2−2x +6 ； （2）f(x)=2x +lg(x +1)−2 .答案： （1）f(x)=x 3−3x 2−2x +6=x 2(x −3)−2(x −3)=(x 2−2)(x −3) ，令f(x)=0 ，则x =±√2 或x =3 ，所以函数有三个零点.（2）令ℎ(x)=2−2x ,g(x)=lg(x +1) ，在同一平面直角坐标系中作出ℎ(x)=2−2x 和g(x)=lg(x +1) 的图象.由图可知，g(x)=lg(x +1) 的图象和ℎ(x)=2−2x 的图象有且只有一个交点，即f(x)=2x +lg(x +1)−2 有且只有一个零点.10.关于x 的方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0 有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.答案： 令f(x)=mx 2+2(m +3)x +2m +14 ，依题意得{m ＞0,f(4)＜0 或{m ＜0,f(4)＞0,即{m ＞0,26m +38＜0 或{m ＜0,26m +38＞0, 解得−1913＜m ＜0 ，所以m 的取值范围是(−1913,0) .素养提升练11.（2020山西忻州一中高一期中）已知函数f(x)={log 2(1−x),x ≤0,−x 2+4x,x ＞0, 则函数g(x)=f[f(x)]−1 的零点个数为( ) A.4B.7C.8D.9 答案： B解析：令g(x)=0,f(x)=t ，则f(t)=1 ， 当t ≤0 时，log 2(1−t)=1 ，解得t =−1 ; 当t ＞0 时，−t 2+4t =1 ，解得t =2±√3 . 故f(x)=−1 或f(x)=2+√3 或f(x)=2−√3 . 当x ≤0 时，令log 2(1−x)=−1 ，解得x =12 ，舍去； 令log 2(1−x)=2+√3 ，解得x =1−22+√3 ； 令log 2(1−x)=2−√3 ，解得x =1−22−√3 .当x ＞0 时，令−x 2+4x =−1 ，解得x =2+√5 ，x =2−√5 （舍去）； 令−x 2+4x =2+√3 ，整理得x 2−4x +2+√3=0 ， 解得x =2+√6−√22或x =2−√6−√22；令−x 2+4x =2−√3 ，整理得x 2−4x +2−√3=0 ，解得x =2+√2+√62或x =2−√2+√62.综上所述，函数零点有1−22+√3,1−22−√3,2+√5,2±√6−√22,2±√2+√62，共7个.故选B.12.已知函数f(x)={−x 2+1,x ≤0,|x −2|,x ＞0, 若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0 有且只有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 . 答案： (−∞,0)∪[2,+∞) 解析： 由题意可知，f(x)={−x 2+1,x ≤0,|x −2|,x ＞0={−x 2+1,x ≤0,−(x −2),0＜x ＜2x −2,x ≥2.，函数f(x) 的大致图象如图：∵ 关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0 有且只有3个不同的实数根， ∴f(x)⋅(f(x)−a)=0 有且只有3个不同的实数根， 即f(x)=0 与f(x)=a 一共有3个不同的实数根，∵ 当f(x)=0 时，有x =−1 与x =2 两个实数根，∴f(x)=a 有且只有1个实数根， ∴a ＜0 或a ≥2 .∴ 实数a 的取值范围是(−∞,0)∪[2,+∞) .13.已知二次函数f(x) 满足f(0)=3,f(x +1)=f(x)+2x . （1）求函数f(x) 的解析式；（2）令g(x)=f(|x|)+m(m ∈R) ，若函数g(x) 有4个零点，求实数m 的取值范围. 答案： （1）设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0) ，∵f(0)=3,∴c =3,∴f(x)=ax 2+bx +3 ，∴f(x +1)=a(x +1)2+b(x +1)+3=ax 2+(2a +b)x +a +b +3 ， f(x)+2x =ax 2+(b +2)x +3 ， ∵f(x +1)=f(x)+2x ，∴{2a +b =b +2,a +b +3=3, 解得a =1,b =−1 ， ∴f(x)=x 2−x +3 .（2）由（1）得g(x)=x 2−|x|+3+m ，在平面直角坐标系中画出函数g(x) 的图象，如图所示，由于函数g(x) 有4个零点，故函数g(x) 的图象与x 轴有4个交点. 由图象得{3+m ＞0,114+m ＜0, 解得−3＜m ＜−114 ，即实数m 的取值范围是(−3,−114) .创新拓展练14.（多选）对于函数f(x) 和g(x) ，设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0} ，若存在α,β 使得|α−β|≤1 ，则称f(x) 与g(x) 互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=e x−1+x −2 与g(x)=x 2−ax −a +3 互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值可以是( )A.2B.73C.3D.4答案：A; B; C解析：易知函数f(x)=e x−1+x−2是R上的增函数，且f(1)=0，则α=1，结合“零点相邻函数”的定义可得|1−β|≤1，则0≤β≤2，故函数g(x)=x2−ax−a+3在区间[0,2]上存在零点，即方程x2−ax−a+3=0在区间[0,2]上存在实数根，整理可得a=x 2+3x+1=x2+2x+1−2x−2+4x+1=(x+1)+4x+1−2，令ℎ(x)=(x+1)+4x+1−2，根据对勾函数的性质知函数ℎ(x)在区间[0,1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，又ℎ(0)=3，ℎ(2)=73，ℎ(1)=2，则函数ℎ(x)的值域为[2,3].故实数a的取值范围是[2,3]，故选ABC.。
高一数学二次函数根的分布专题归类精练
高一数学：二次方程根的分布一、一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的分布情况：设方程02=++c bx ax 的两实根为12,x x ，(不妨设21x x ≤)，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根12,x x 即为此二次函数的零点， 即此二次函数的图象与x 轴的交点为)0,(1x 和)0,(2x ，因为02=++c bx ax )0(≠a 与0)(2=++x bx ax a 是同解的，故考虑具体的端点值时，考虑的是函数ac abx x a c bx ax a x af y ++=++==222)()(的端点值，这样只考虑开口向上的情况即可.解决根的分布问题的方法：数形结合，三看：一看判别式；二看对称轴；三看端点值.它们的分布情况见下表：如上图，只是可以过两端点，注注2：对于端点值是否可取，最好单独讨论；注3：以上11种情况都有相应的等价形式，对于具体题中的条件，往往是几种情况合在一起的，这时需要分类讨论，此时莫忘注1，注2 .特别注意下列两种情况：一. 函数)(x f 在()n m ,内仅有一个零点，可分：（1）方程0)(=x f 有且只有一根（两根重合时），且这个根在区间()n m ,内，即0∆=， 此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根， 检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数的值.（2）若()0f m =，可以确定的求出相应的系数（或得到一个关系），从而可以求出另外一根， 若这另外的一根在区间()n m ,内，则满足条件；若不在，则这种情况不成立.（3）若()0f n =时，同理.（4）以上三种都讨论完了，只剩下一种情况，即只要0)()(<n f m f 即可.例1：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间()3,0-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围.解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =， 当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意； 当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ， 由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ， 即)0,3(792-∈-=x ，满足条件，故1415-=m 合适； ③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ， 即)0,3(122-∉-=x ，不满足条件，故3-=m （舍）；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-≤<-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？二. 函数)(x f 在],[n m 内仅有一个零点，可同上分析.即先讨论0=∆（即方程两根重合）时的情况，验证相应的根是否合适；再看取到端点值时的情况，此时已知一根，由韦达定理易得另一根，验证是否满足条件；最后0)()(<n f m f 即可！ 熟练之后，此次序可以灵活变通，只是请注意分类要不重不漏！例2：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间]0,3[-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围. 解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =， 当1m =-时，根]0,3[2-∈-=x ，即1m =-满足题意； 当32m =时，根]0,3[3-∉=x ，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ， 由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ， 即)0,3(792-∈-=x ，不满足条件，故1415-=m （舍）；③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ， 即)0,3(122-∉-=x ，满足条件，故3-=m 合适；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-<≤-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？注：讨论端点时，如果遇到下列情况，前参看下列题的处理办法！例3：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间()1,3上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，不满足条件当0≠m 时，令2)2()(2++-=x m mx x f ，因为()10f =， 所以()()()22212mx m x x mx -++=--，故另一根为2m， 由213m <<，得223m <<即为所求. 例4：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间]3,1[上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，满足条件；当0≠m 时，令)2)(1(2)2()(2--=++-=mx x x m mx x f ，必有一根为1 故另一根2m ，当12=m，即2=m 时合适； 否则必须满足：12<m 或32>m ，解得：0<m ，或320<<m ，或2>m综上所述，所求m 的取值范围是32<m 或2≥m .注：你能发现这两个题的巧解吗？以后再赘述吧，先抱歉了！二．根的分布经典题归类讲解例1、①m 取何实数值时，方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根.②m 取何实数值时，方程013422=-++m mx x 有两个负数根.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的两个实根都大于2. 解：①令=)(x f m x m x ++-)1(22，其图像开口向上，对称轴为41+=m x ， 判别式为168)1(22+-=-+=∆m m m m原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+>+-=∆⇔0)0(0410162m f m m m 解得：2230-<<m 或223+>m ，即为所求.②令=)(x f 13422-++m mx x ，其图像开口向上，对称轴为m x -=， 判别式为)1)(21(16)2123(16)13(81622--=+-=--=∆m m m m m m . 原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-≥--=∆⇔013)0(00)1)(21(16m f m m m 解得：2131≤<m 或1≥m ，即为所求.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，对称轴为21m x -=， 判别式为)4)(4(16)5(4)2(22-+=-=---=∆m m m m m .原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=-+-+=>-≥-+=∆⇔055424)2(2210)4)(4(m m m f m m m 解得：45-≤<-m ，即为所求.例2、①已知二次方程012)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.②已知二次函数33)42()2(2+++-+=m x m x m y 与x 轴有两个交点，一个在1=x 的左侧，一个在1=x 的右侧，求实数m 的取值范围.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的一个实根大于2，另一个实根小于2.解：①令=)(x f 12)12(2-+-+m mx x m ，其图像开口方向不明，原条件0)1)(12()0()12(<-+=+⇔m f m ，解得：21->m . 即为所求. 注：利用两个之积012121<+-=m x x ，也可以快速得出！②令=)(x f 33)42()2(2+++-+m x m x m ，其图像开口方向不明，原条件0)12)(2()33422)(2()1()2(<++=++--++=+⇔m m m m m m f m ， 解得：212-<<-m . 即为所求. 注：利用0)1)(1(21<--x x ，即021212422331)(2121<++=+++-++=++-m m m m m m x x x x 也可得.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，原条件055424)2(<+=-+-+=⇔m m m f 解得：5-<m ，即为所求.注：利用0)2)(2(21<--x x ，即054)2(254)(22121<+=+---=++-m m m x x x x 也可得. 例3．①已知关于x 的方程：022=+-a ax x 有两个实根βα,，且满足2,10><<βα，求实数a 的取值范围．②已知关于x 的方程：062)1(22=-++--m m mx x m 有两个实根βα,，且满足βα<<<10， 求实数m 的取值范围．③已知关于x 的方程：0532=+-a x x 有两个实根βα,，且满足)3,1(),0,2(∈-∈βα，求实数a 的取值范围．解：①令=)(x f a ax x +-22，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎩⎪⎨⎧<-=<-=>=⇔034)2(01)1(0)0(a f a f a f 解得：34>a ，即为所求.②令=)(x f 62)1(22-++--m m mx x m ，其图像开口方向不明，画图可得：原条件⎩⎨⎧<->-⇔0)1()1(0)0()1(f m f m ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-++--->-+-⇔0)621)(1(0)6)(1(22m m m m m m m m即⎩⎨⎧<+-->+--⇔0)7)(7)(1(0)3)(2)(1(m m m m m m 解得：73-<<-m 或72<<m ，即为所求.③令=)(x f a x x +-532，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=+-=<-=+-=<=>+=++=-⇔0121527)3(022)1(0)0(0221012)2(a a f a a f a f a a f 解得：012<<-a ，即为所求.例4、①已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间)2,0(内，求实数m 的取值范围.②已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间]2,0[之外，求实数m 的取值范围. 解：令322)(2+++=m mx x x f ，其图像开口向上，对称轴为m x -=，由判别式0)3)(1(4)32(4)32(4422>-+=--=+-=∆m m m m m m ，得：1-<m 或3>m①的条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=>+=<-<>∆⇔076)2(032)0(200m f m f m ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-><<->-<⇔67230231m m m m m 或解得：167-<<-m 即为所求.②的条件可分为：两根都小于0，或两根都大于2，或一根小于0，一根大于2，三种情况故⎪⎩⎪⎨⎧>+=<->∆⇔032)0(00m f m 或⎪⎩⎪⎨⎧>+=>->∆076)2(20m f m 或⎩⎨⎧<+=<+=076)2(032)0(m f m f解得：3>m ，或无解，或23-<m ，故所求m 的取值范围是：23-<m 或3>m . 例5：已知集合}0107|{2≤+-=x x x A ，}05)2(|{2≤-+--=m x m x x B ，且A B ⊆， 求实数m 的取值范围.解：首先}52|{≤≤=x x A ；当∅=B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 无解，即0)5(4)2(2<---=∆m m 即：0162<-m ，解得：44<<-m ； -----（1）当∅≠B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 有解，其形式必为21x x x ≤≤； 其中21,x x 为方程05)2(2=-+--m x m x 的两个根，（不妨设21x x ≤） 按条件，只要5221≤≤≤x x 即可满足A B ⊆；按照根的分布的理论，此时只要满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+--=≥-+--=≤-≤≥-=∆05)2(525)5(05)2(24)2(52220162m m f m m f m m即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≥-≤≤-≥-≤55284,4m m m m m 或，解得：45-≤≤-m ，-----（2）由（1）（2）可得：所求的m 的取值范围是45≤≤-m .三．自己练习巩固提升1．设有一元二次方程02)1(22=++-+m x m x ．试问：(1)m 为何值时，有一正根、一负根．(2)m 为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m 为何值时，有两正根． (4)m 为何值时，有两负根．(5)m 为何值时，仅有一根在[1，4]内.2. 关于x 的方程012=-++a ax x 有异号的两个实根，求a 的取值范围.3.如果方程032)3(22=-+++a x a x 的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范围. 4.若方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负根，求实数a 的取值范围. 5. 关于x 的方程0422=-+-a ax x 有两个正根，求a 的取值范围.6.设关于x 的方程0)(44222=+++-n m x n m x 有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则n m ,必须满足什么关系.7. 设关于x 的方程023222=---k x kx 有两个实根都在]0,2[-之间，求k 的取值范围.8.关于x 的方程02)13(72=--+-m x m x 的两个实根21,x x 满足2021<<<x x ，求m 的范围. 9.①已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的一根小于0，另一根大于2，求实数a 的取值范围.②已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的存在小于2的根，求实数a 的取值范围.。
高一数学必修一函数零点试题及解析
高一数学必修一函数零点试题及解析一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 答案：B解析：∵函数f (x )＝lg x －1x，∴f (2)＝lg2－12＝lg2－lg1012＜0，f (3)＝lg3－13＝lg3－lg1013＞0，∴f (2)f (3)＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为(2,3)，故选B. 2．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋2x ＋a 的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案：C解析：解：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，而g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A 件产品用时15 min ，所以cA＝15 ①；所以必有4<A ，且c4＝c2＝30 ②，联立①②解得c ＝60，A ＝16. 8．设函数y ＝x3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.答案：1解析：画出函数y ＝x3和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x 0<2，所以n ＝1.9．若关于x 的方程|x |x －2＝kx 有三个不等实数根，则实数k 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：由题意可知k ≠0， ∵|x |x －2＝kx ，∴kx 2－2kx ＝|x |. 当x ≥0时，kx 2－2kx ＝x ， 解得x ＝0或x ＝2k ＋1k，∴2k ＋1k >0，∴k >0或k <－12；当x <0时，kx 2－2kx ＝－x ，解：设函数f (x )＝2x ＋x －4， ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝2>0，f (x )在区间(1,2)上单调递增，∴f (x )在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程2x ＋x －4＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解． 取区间(1,2)作为起始区间，用二分法逐次计算如下：区间 中点的值 中点的函数值 区间长度 (1,2) 1.5 0.33 1 (1,1.5) 1.25 －0.37 0.5 (1.25,1.5)1.375－0.0310.25由上表可知，区间(1.25,1.5)的长度为0.25<0.3. ∴方程的实数解为1.375.能力提升12．(5分)若容器A 有m 升水，将水慢慢注入容器B ，t 分钟后A 中剩余水量y 符合指数函数y ＝m e －at (e 为自然对数的底)．假设经过5分钟时，容器A 和容器B 水量相等，且又过n 分钟容器A 中水只有m8，则n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案：D解析：⎩⎪⎨⎪⎧m ·e －5a ＝12m ，m ·e－a5＋n＝m8，温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
4.5.1函数的零点与方程的解同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修
C．2 D．3
8．f(x)＝ 的零点个数为()
A．3 B．2
C．1 D．0
9．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________.
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数没有零点的是()
A．f(x)＝0B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2)D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
知识点三
判断函数零点的个数
7.函数f(x)＝x3－x的零点个数是()
4.函数f(x)＝lnx－ 的零点所在的大致区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
5．函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
2．(易错题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
4.5 函数的应用(二)(精练)-2022版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册)(教师版含解析)
4.5 函数的应用(二)【题组一 零点的求解】1.若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16 B ．1和16- C ．12和13 D ．12-【答案】B 【解析】函数()2f x x ax b=-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2=x ax b -+的两根为2和3.结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨⨯=⎩,即56a b =⎧⎨=⎩, ∴()2651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和16-,故选B.2．(2020·北京高一期中)已知函数21ln ()xf x x-=，那么方程f (x )＝0的解是( ) A ．1=x eB ．x ＝1C ．x ＝eD ．x ＝1或x ＝e【答案】C【解析】依题意()21ln 0xf x x-==，所以1ln 0,ln 1,x x x e -===.故选：C 3.(2020年广东湛江)若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3,则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16 B ．1和16- C ．12和13 D ．12-【答案】B 【解析】函数()2f x x ax b=-+的两个零点是2和3, 由函数的零点与方程根的关系知方程2=x ax b -+的两根为2和3.结合根与系数的关系得2323a b +=⎧⎨⨯=⎩,即56a b =⎧⎨=⎩, ∴()2651g x x x =--,∴g (x )的零点为1和16-,故选B.【题组二 零点区间的判断】1．(2020·浙江高一课时练习)在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 2．(2020·浙江高一课时练习)设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00,x y ，则0x 所在的区间是( )A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则23102x x -⎛⎫< ⎪⎝⎭-,而当x=2时，则23102x x -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故选B.3.(2020天津高一期中)在下列个区间中，存在着函数3()239f x x x =--的零点的区间是( ) A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C 【解析】由()()1239100,2166910f f =--=-=--=.由零点存在定理知函数()3239f x x x =--在()1,2上必有零点。
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A版必修1-新人教A版高一
第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A 版必修1一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是导学号 22840944( )[答案] A[解析] 没有零点就是函数图象与x 轴没有交点，故选A. 2．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是导学号 22840945( ) A ．－12，－1 B.12，1C.12，－1 D ．－12，1[答案] B[解析] 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1.3．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为导学号 22840946( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) [答案] C[解析] 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C.4．函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是导学号 22840947( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 如答图所示，易知y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点．5．已知曲线y ＝(110)x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值X 围是导学号 22840948( )A ．(0，12)B ．(12，2)C ．(12，1)D ．(1,2)[答案] A[解析] 设f (x )＝(110)x－x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12 －12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然只有f (0)·f (12)<0，选A.6．下列函数中，在[1,2]上有零点的是导学号 22840949( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x＋3x －6[答案] D[解析] A ：3x 2－4x ＋5＝0的判别式Δ<0，∴此方程无实数根，∴f (x )＝3x 2－4x ＋5在[1,2]上无零点． B ：由f (x )＝x 3－5x －5＝0得x 3＝5x ＋5.在同一坐标系中画出y ＝x 3，x ∈[1,2]与y ＝5x ＋5，x ∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．∴f (x )＝0在[1,2]上无零点．C ：由f (x )＝0得ln x ＝3x －6，在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝3x －6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f (x )＝0在[1,2]内没有零点．D ：∵f (1)＝e ＋3×1－6＝e －3<0，f (2)＝e 2>0， ∴f (1)·f (2)<0. ∴f (x )在[1,2]内有零点． 二、填空题7．函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为________.导学号 22840950[答案] 0[解析]∵y ＝f (x )为偶数，∴f (－x )＝f (x )，∴四个根之和为0.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x－4，x ＞0的零点的个数为________.导学号 22840951[答案] 2[解析] 当x ≤0时，令2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(x ＝1舍去)；当x ＞0时，令3x－4＝0，解得x ＝log 34，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x－4，x ＞0有2个零点．三、解答题9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.导学号 22840952 (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2；(3)f (x )＝x 2＋4x －12x －2；(4)f (x )＝3x ＋1－7；(5)f (x )＝log 5(2x －3)．[解析] (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝x ＋6x －2x －2，令x ＋6x －2x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 373.(5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点为2.10．已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，某某数m 的取值X 围.导学号 22840953[解析] 设f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＞0，f 1＜0，解得－2＜m ＜－12.第二种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜0，f1＞0，此不等式组无解．综上，m 的取值X 围是－2＜m ＜－12.一、选择题1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为导学号 22840954( )A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有[答案] C[解析]若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有导学号 22840955( )A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] B3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为导学号 22840956( )A．1003 B．1004C．2006 D．2007[答案] D[解析]由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1003个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1003个，又f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.即0也是它的零点，故f(x)的零点共有2007个．4．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间导学号 22840957( )A．(b，c)和(c，＋∞)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(a，b)和(b，c)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[答案] C[解析] 由于a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －a )(b －c )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选C.二、填空题5．m 的取值X 围为________时，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1.导学号 22840958[答案]－23<m <2 3[解析] 用数形结合的方法解题．设f (x )＝x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ，则它的开口向上，由图象可得，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1的充要条件为f (1)＝1－(m ＋13)＋m 2＋m ＝m 2－12<0.解得－23<m <2 3.6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1，设函数f (x )＝(x 2－2)*(x－1)，x ∈R ，若方程f (x )＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值X 围是________.导学号 22840959[答案] (－2，－1]∪(1,2][解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2－1≤x ≤2，x －1x ＜－1或x ＞2.画出f (x )的图象，数形结合可得实数c 的取值X 围是(－2，－1]∪(1,2]．三、解答题7．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1).导学号 22840960 (1)求函数f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的零点．[解析] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)， 由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，即x 2＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.∵－1±3∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1± 3.8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4].导学号 22840961(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？[解析](1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．。
高一数学函数与方程试题答案及解析
高一数学函数与方程试题答案及解析1.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定【答案】B【解析】由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，∴f(1.25)f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B2.定义在R上的奇函数f(x) ()A．未必有零点B．零点的个数为偶数C．至少有一个零点D．以上都不对【答案】C【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)至少有一个零点，且f(x)零点的个数为奇数．3.函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．【答案】－3【解析】设方程f(x)＝0的另一根为x，由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，故x＝－3，即另一个零点为－3.4.若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．【答案】a≥或a≤－1【解析】因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，所以或解得a≥或a≤－1.5.若方程x2－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．【答案】a＜0或a＞1【解析】解：设f(x)＝x2－2ax＋a.由题意知：f(0)·f(1)＜0，即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．∴a＜0或a＞1.6.已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________【答案】【解析】设则于是又函数在R是奇函数，所以所以当时，7.已知二次函数的最小值为3，且.求函数的解析式；（2）若偶函数（其中），那么，在区间上是否存在零点？请说明理由.【答案】（1）（2）存在零点【解析】（1）待定系数法，己知函数类型为二次函数，又知f(-1)=f(3),所以对称轴是x=1,且函数最小值f(1)=3,所设函数，且，代入f(-1)=11，可解a。
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3．1．1方程的根与函数的零点
练习二
一、选择题
1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）
A 、12-+
B 、12--
C 、12
-± D 、不存在
2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3．三次方程3
2
210x x x +--=在下列那些连续整数之间有根（ ）
1)-2与-1之间 2)-1与0之间 3)0与1之间 4)1与2之间 5)2与3之间
A 、1)2)3)
B 、1)2)4)
C 、1)2)5)
D 、2)3)4)
4．若函数f(x)唯一的一个零点在区间（0，16），（0，8），(0，4)，(0，2)内，那么下列命题中正确的是（ ）
A 、函数f(x)在区间（0，1）内有零点
B 、函数f(x)在区间（0，1）或（1，2）内有零点
C 、函数f(x)在区间（2，16）内有零点
D 、函数f(x)在区间（1，16）内无零点
5、方程5
10x x --=的一个正零点的存在区间可能是（ ）
A 、[0，1]
B 、[1，2]
C 、[2，3]
D 、[3，4] 6、已知[][]3
(),,,()()0,(),f x x x x m n f m f n f x m n =--∈⋅<且则在内 ( )
A 、至少有一实数根
B 、至少有一实根
C 、无实根
D 、有唯一实数根
二、填空题
7．方程42
420x x --=在区间[-1，3内至少有_____________个实数解。
8、已知y=x(x-1)(x+1)。
令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01则对于f(x)=0的叙述正确的序号是
___________。
1)有三个实根 2)x>1时恰有一实根 3)当0<x<1时恰有一实根 4)当-1<x<0时恰有一实根 5)当x<-1时恰有一实根。
9、已知关于x 的方程3x 2
+（m-5）x ＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m 的
取值范围_____________。
三、解答题
10、求函数()1322+-=x x x f 零点的个数。
11、判断方程2
60x x --=的解的存在。
12、求证：方程2
5710x x --=的根一个在区间（-1，0）上，另一个在区间（1，2）上。
13、试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数1
()32
x f x x -=+至少有一个零点。
14、已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．
15、国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为
8个百分点，即8％），计划可收购m万担。
为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。
f（万元）与x的函数关系式；
（1）写出税收()x
（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78％，试求此时的x的值。
答案： 一、选择题
1、 C ；
2、D ；
3、B ；
4、C ；
5、B ；
6、D 二、填空题
7、2
8、1）5）
9、35m <-
10
)05.1<，()01>-f ，即(-f 数在区间()1,5.1--内有零点。
同量，它在区间（0，0.5）内也有零点。
另外，0，所以1也是它的零点。
由于函数()x f 在定义域()5.1,-∞-和（1，∞+）内是增函数，所以它共有3个零点。
11、解：考察函数f(x)=2
60x x --=知图像为抛物线，容易看出
f(0)=-6<0,f(4)=6>0,f(-4)=14>0
由于函数f(x)的图像是连续曲线，因此，点B （0，-6）与点C （4，6）之间的那部分曲线必然穿过x 轴，即在区间(0,4)内必有一个点1x ，使f(1x )=0；同样在区间
（-4，0）内也有一个点2x 使f(2x )=0。
所以方程2
60x x --=有两个实数解。
12、证明：设
2()571
f x x x =--，则
f(-1)f(0)=11(1)110,(1)(2(3)5150f ⨯-=-<=-⨯=-<。
而二次函数2()571f x x x =--是连续的。
所以f(x)在（-1，0）和（1，2）上分别有零点。
即方程2
5710x x --=的根一个在（-1，0）上，另一个在（1，2）上。
13、解：1()32x f x x -=
+的定义域为22(,)(,)33-∞--+∞ 。
取区间13
[,]。
则易证：
11112()02722f -==-<+，3131
2()021322f -==>+
间13[,]22内函数f(x)至少有一个零点。
区间13
[,]22
14、解：令2()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）
内需满足的条件是
解得35
14
-
<<-。
15、解：（1）由题设，调节税率后税率为()x -8％，预计可收购%)21(x m +万担，总金额
为120%)21(x m +万元，所以 ())%8%)(21(120x x m x f -+=。
即()()
()8040042125
32
≤<-+-
=x x x m x f 。
（2）计划税收为120%8⋅m 万元，由题设，有 ()%78%8120⋅⋅=m x f ，
即)80(088422
≤<=-+x x x ，解得2=x 。
试用函数的图象指出方程)80(088422
≤<=-+x x x 的根，即函数
())80(088422≤<=-+=x x x x g 的零点所在的大致区间。