函数的连续性概念
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第三节 函数的连续性
x 0
因此, g ( x)在x 0处的连续必性与a的取值有关. ( D)正确.
考研题
1.讨论函数f ( x)
x sin( x 2)
【分析】因函数以极限的形式给出,因此必须先求极限得到函数
x( x 1)( x 2) 1 x 2.设f ( x) lim , 讨论函数f ( x)的间断点, 其结论为 2 n n 1 x ( A)不存在间断点. ( B)存在间断点x 1. (C )存在间断点x 0. ( D)存在间断点x 1.
1 u 1/ t 解 因为lim g ( x) lim f ( ) lim f (u ) a 又g (0) 0, x 0 x 0 u x
所以当 a 0时, 有lim g ( x) g (0), 此时g ( x)在x 0处连续;
x 0
当a 0时, 有lim g ( x) g (0), 此时x 0是g ( x)的第一类间断点 ,
在x=1处间断 .
2
1
1
1
x
例77 函数
在x=1处间断 .
y
2
1
1 1
x
y
例78 函数
在x=1处间断 .
1
x
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
的间断点，并判断其类型。
2x 例79 求函数 y 2 的间断点，并判断其类型。 1 x
解：函数没有定义的点 因为 所以
x 1
因此, g ( x)在x 0处的连续必性与a的取值有关. ( D)正确.
考研题
1.讨论函数f ( x)
x sin( x 2)
【分析】因函数以极限的形式给出,因此必须先求极限得到函数
x( x 1)( x 2) 1 x 2.设f ( x) lim , 讨论函数f ( x)的间断点, 其结论为 2 n n 1 x ( A)不存在间断点. ( B)存在间断点x 1. (C )存在间断点x 0. ( D)存在间断点x 1.
1 u 1/ t 解 因为lim g ( x) lim f ( ) lim f (u ) a 又g (0) 0, x 0 x 0 u x
所以当 a 0时, 有lim g ( x) g (0), 此时g ( x)在x 0处连续;
x 0
当a 0时, 有lim g ( x) g (0), 此时x 0是g ( x)的第一类间断点 ,
在x=1处间断 .
2
1
1
1
x
例77 函数
在x=1处间断 .
y
2
1
1 1
x
y
例78 函数
在x=1处间断 .
1
x
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
的间断点，并判断其类型。
2x 例79 求函数 y 2 的间断点，并判断其类型。 1 x
解：函数没有定义的点 因为 所以
x 1
函数的连续性
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值 >>>
作业：
P43 习题1—6 2、（2） 3、（4） 4、 5、
下页
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
(2)虽然在x0有定义 但 lim f(x) 不存在
x x0
(3)虽然在x0有定义且lim f(x)存在 但 lim f(x)f(x0)
x x0
x x0
则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
下页
❖连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
•连续函数举例 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的
这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
lim Dy =0
Dx0
lim [
x x0
f
(x)-
f
(x0)]= 0
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值 >>>
作业：
P43 习题1—6 2、（2） 3、（4） 4、 5、
下页
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
(2)虽然在x0有定义 但 lim f(x) 不存在
x x0
(3)虽然在x0有定义且lim f(x)存在 但 lim f(x)f(x0)
x x0
x x0
则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
下页
❖连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
•连续函数举例 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的
这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
lim Dy =0
Dx0
lim [
x x0
f
(x)-
f
(x0)]= 0
函数的连续性
结论： 设（1）设函数 f (x) 在点x0连续，函数 g (x)在点x0不连续；（2）函数 f (x)和 g (x) 在点x0 都不连续. 问函数 f (x) + g (x)， f (x) g (x) 分别在(1), (2)情况下，在点 x0是否连续？ x4 e 1 补例3. 求 lim x 0 1 cos( x 1 cos x )
有函数的增量
函数连续性的等价定义 对自变量x0的增量 函数
在点 x0 连续有下列等价命题:
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim y 0
左连续
lim f ( x0 x) f ( x0 ) x 0 y y f ( x)
y
f ( x0 0) f ( x0 ) f ( x0 0)
注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号不 一定可以交换.
x 0 x 0
x x0
二、 函数的间断点
在点 的某空心邻域内有定义 , 则下列 设 情形之一函数 f (x) 在点 不连续 : (1) 函数 在 无定义 ; (2) 函数 在 虽有定义，但 不存在; (3) 函数 在 虽有定义 , 且 存在 , 但
若函数 f (x)在开区间(a, b)内每一点都连续 , 而且在 点 x =a 右连续，在点 x =b 左连续 , 则称函数 f (x)在闭 区间[a, b]上连续. 或称它为[a, b]上的连续函数 . 由 f ( x) 在 x0 连续知
f ( lim x)
这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号可 以交换. 例如 lim cos x cos(lim x) cos 0 1
x t a 1, 则 x log a (1 t ) , 解: 令
函数的连续性
函数的连续性
函数的连续性是指函数在定义域上的变化情况，其主要内容是有限性、连续性和可导性。
有限性的概念是指函数的解析可以是有限的，它可以用有限的表示法来描述。
例如，函数y = x^2 + 2x - 4的解析表示式就是一个有限的表达式。
有限性是理解函数特征的基础，而连续性是更进一步理解函数特征的手段。
连续性定义为：存在任意位置x0处，它的函数值y0（即
y=f(x0)=y0）与其附近的函数值的差别不会超过一定的正定值，当此附近的自变量值在x0处的改变量趋近于零时，此函数值
的改变量也趋近于零，我们就称该函数在x0处是连续的，写
成数学形式就是：lim (x→x0) f(x) = y0
可导性是连续性的强化，也就是说它综合考虑了函数的变化和变化量之间的关系，它是指函数在定义域上任意一点x处，只要自变量x存在可导的微分，就说明函数y有可导的前提。
可导性的表述方式就是不等式：|f(x1)-f(x2)| ≤ M|x1-x2|，即自变
量x1和x2之间的变化量应小于某个正常数M，函数值在x1
和x2之间的变化量应小于M |x1-x2|。
函数的连续性是数学分析中的基本概念，它与微积分的应用紧密相连。
它的概念很容易理解，但在实际应用中却要求解答者拥有较强的抽象意识和概括能力，因此学习和研究它的概念是非常重要的。
《高等数学》第三节 函数的连续性
如果 x0 是函数 第一类间断点 可去间断点
f ( x) 的间断点,可将其分成两类:
f ( x) 在点 x0 处的左右极限存在;
其它
f ( x) 在点 x0 处的左右极限至少有
第二类间断点
一个不存在. 无穷间断点 振荡间断点 其它
例2 考察函数
2 x 0 x 1 f ( x) 1 x 1 在 x 1处的连续性. 1 x x 1
解 该函数在点x 1 处没有定义,所以函数在x 1 处间断;又因为
1 x 1 x 1 lim
,极限
x 1
不存在，趋于无穷，所以 是函数
f ( x)
1 x 1 的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
解 该函数在
1 f (x) sin 在 x 0 处的连续性. x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0 函数增量 y 也趋于零,即 x0 x0
,则称函数
y f ( x) 在点 x0
处连续，x0 称为函数 f ( x)
的连续点．
若记 x x0 x ,则 y f ( x) f ( x0 ) ,且当
x 0 处没有定义,
所以函数在 x 0 处间断,又因为当
x0
时,极限不存在,函数值在1与－1之间无
限次地振荡,所以 x 0 是
f ( x ) sin 1 x
的第二
类间断点,且为振荡间断点.
二、初等函数的连续性
g ( x) 均 定理1（连续函数的四则运算） 如果 f ( x)、
在点
f (b) ,
为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任一实
2.7函数的连续性
函数f(x)在点x0处连续,应该满足下列三点： (1) f(x)在点x0及其某邻域U(x0)内有定义;
( 2 ) lim f ( x )=a 存在; x® x0
(3) a=f(x0).
lim
x x0
f
x
f
x0 ,
例1 证明函数f(x)=3x2-1在x=1处连续.
证 因为f(1)=3×1-1=2,
则有 lim f [(x)] f (a) f [ lim (x)].
x x0
x x0
例9 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式 lim ln(1 x)x
x0
1
ln[lim(1 x)x ] x0
ln e 1.
例10 求 lim e x 1 . x0 x
解 令 e x 1 y, 则 x ln(1 y),
连续函数的几何意义:
若函数y= f(x)在(a,b)内连续,则y= f(x)在(a,b)上的函数图 形是一条连续而不间断的曲线,反之也对.
下面给出函数连续性的等价定义:
1.函数的增量 Increment of a function
设函数 f (x)在U (x0, )内有定义, x U (x0, ), 记
由定义1知 函数 f ( x)在 x 0处连续.
例3
讨论函数
f (x)
x
x
2, 2,
x 0, 在 x 0处的 x 0,
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
2.6函数连续性
. 至少有一根
证 令 f ( x ) = x − 4 x + 1, 则f ( x )在[0,1]上连续 ,
3 2
又 f ( 0 ) = 1 > 0,
f (1) = −2 < 0, 由零点定理 由零点定理,
∃ ξ ∈ (a , b), 使 f (ξ ) = 0, 即 ξ 3 − 4ξ 2 + 1 = 0,
例如, 例如 整式函数在区间 ( −∞ ,+∞ ) 内是连续的 .
基本初等函数在定义区间内连续
8
例. 证明函数 证: ∀x ∈(−∞, + ∞)
在
内连续 .
∆y = sin(x + ∆x) − sin x
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即 这说明 同样可证: 函数 在 在
2
1
o 也无最大值和最小值 1 2 x 推论： 推论： 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 由定理 1 可知有 证: 设 y M = max f (x) , m = min f (x) y = f (x)
x∈[ a, b]
x∈[ a, b ]
M
上有界 .
m o aξ1 ξ2
21
b
x
定理6（介值定理） 定理 （介值定理）
∴ 方程x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在( 0,1)内至少有一根
ξ.
24
例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续 且f (a) < a, ,
f (b) > b. 证明∃ξ ∈(a, b), 使得 f (ξ ) = ξ .
证 令 F ( x ) = f ( x ) − x , 则F ( x )在[a , b]上连续 , 而 F ( a ) = f (a ) − a < 0, F ( b ) = f ( b ) − b > 0, ∃ ξ ∈ (a , b), 使 F (ξ ) = f (ξ ) − ξ = 0, 由零点定理, 由零点定理 即 f (ξ ) = ξ .
函数连续的概念
函数连续的概念
函数连续是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。
例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
一、函数连续是什么意思
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。
这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
简单地说，如果一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
二、连续函数的定理
定理一：在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二：连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。
定理三：连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
三、不连续是不能同时满足连续的三个条件的点
1、函数在该点处没有定义；
2、若函数在该点有定义，但函数在该点附近的极限不存在；
3、虽然函数在该点处有定义，极限也存在，但是二者不相等。
— 1 —。
2.5_函数的连续性
三、函数的间断点
第一类间断点: 及 均存在 , 称 x0 为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
若
若
称为
第二类间断点: 及
在
点的跳跃度。
中至少一个不存在 。
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
例1. 设
求
的间断点，并判断它们的类型。
解 函数的定义域是
由于
都是初等函数，分别在
，
连续，所以间断点只可能是0,1,2.
由于
故
为第二类间断点。
由于
故
无意义，且
为可去间断点。 由于 且
故
为连续点。
一个基础知识点：
0, q 1 q 1 , n lim q n q 1 1, q 1 不存在，
几何意义：函数y = f (x)在(a, b)
连续的几何意义是：函数y = f (x)
y
的图形在(a, b)内连绵不断。
a
O
x0
b
x
二、连续函数的性质
1、 连续 左连续且右连续。
2、连续函数的和差积商（分母不为零）仍为连续
函数。
3、 连续函数复合后仍为连续函数。
4、基本初等函数在其定义域处处连续； 初等函数在其定义区间内处处连续。
1???fx??gx????????lnlngxff??????????????????lnlnlimlnlim1limlimlimgxxxxgxfxgxfxxxxxxxgxfxgxfxfxeeee??????????两个重要极限定义例4
函数的连续性
16
可 f ( x0 )无定义 去 lim lim 间 x x f ( x) x x f ( x) 第 0 0 断 f ( x0 )有定义，但 lim f ( x) f ( x0 ) 一 x x0 点 类 间 跳 断 跃 f ( x0 )有定义，但 lim f ( x) lim f ( x) 点 间 x x0 x x0 断 点 第 二 lim lim 类 x x0 f ( x)与 x x0 f ( x) 间 至少有一个不存在 断 点
无 穷 非 无 穷
x x0
lim f ( x)与 lim f ( x)
x x0
至少有一个为无穷
17
三、连续函数的性质
1、连续函数的四则运算 若函数 f (x), g (x) 在点 x0 连续，则
f ( x) f ( x)g ( x), f ( x) g ( x), ( g ( x0 ) 0) g ( x)
x 0
lim y 0
则称函数y f ( x)在 x0 点连续。
注：x x x0 , y f ( x) f ( x0 )或者y f ( x0 x) f ( x0 )
定义1 设函数y f ( x)在点 x0 的某领域内有定义， 若有
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
8
解 （2）函数f(x)在x=1处有定义，且 f(1)=1
x 1
lim f ( x ) lim ( 2 x ) 1 ，
x 1
x 1
lim f ( x ) lim x 1 ，
x 1
因为当x→0时，f(x)的左﹑右极限存在且相等， 所以极限存在
lim f ( x ) 1 f (1)
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∵ f (1 0) lim
1
x x 1 1 e 1 x
0，
f (1 0) lim1源自x x 1 1 e 1 x
1,
∴ x 1 为第一类间断点，且是跳跃间断点.
x2 x （2） f ( x ) x ( x 1)( x 1) , x 0, x 1, 0, x 0, x 1.
lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x )
xx0 xx0
3.函数 y f ( x ) 在某区间内的连续性
若函数 y f ( x ) 在 (a , b) 内每一点都连续，则称 函数 y f ( x ) 在 (a , b) 内连续.
若 u g( x ) 在点 x0 处连续，y f (u) 在点u0 g ( x 0 )
点 x0 处也连续. 处连续，则复合函数 y f [ g( x )] 在
（证明从略）
由定理 3 知连续函数的复合函数仍是连续函数. 且
x x0
lim f [ g( x )] f [ g( x0 )] f [ lim g( x )]
f (1) 0,
∴ x1 为第一类间断点，且是可去间断点.
故 f ( x ) 在 ( , 1), ( 1, 0), (0, 1), (1, ) 内连续.
5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性
定理 5.1 设函数 f ， g：U ( x0 ) R R 在 x0 处连续，则 f (1) (和、差、积、商的连续性) f g ， fg ， ( g ( x0 ) 0) 在 x0 处 g 都连续； （2） f 在 x0 处是局部有界的.
x x0
若条件之一不满足，则称 点 x0为 f ( x ) 的一个间断点
(或不连续点).
函数 f ( x ) 在 x0 连续必须满足三个条件 :
① 函数 y f ( x ) 在 N ( x0 , ) 有定义；
x x0
x x0
② lim f ( x ) 存在，即 f ( x0 0) 与 f ( x0 0) 存在且相等；
若函数 y f ( x ) 在 (a , b) 内连续，且在左端点 xa 右连续，在右端点 x b 左连续，则称函数 y f ( x ) 在 [a, b] 上连续.
区间 I 上连续函数的全体简记为 C(I).
区间 [a , b] 上的连续函数 y f ( x ) ,记为 f ( x ) C [a , b] .
x x lim y lim 2 sin cos(x0 ) 0, x 0 x 0 2 2
故 y sinx 在点 x0 处连续 ,
再由 x0 的 任意性知， y sinx 在 ( , ) 内连续.
类似地可证
y cos x 在( , ) 内连续.
解： x0 和 x1 是函数 f ( x ) 的分段点 ，
x2 x 1 lim 1 ， ∵ f (0 0) lim x0 x ( x 1)( x 1) x0 x 1
x2 x 1 lim 1 ， ∴ f (00) lim x0 x ( x 1)( x 1) x0 1 x
x 1 e 1 x
, 解：间断点为 x 0 ， x 1 ，由初等函数的连续性知
f ( x ) 在 ( , 0), (0, 1), (1, ) 内连续.
∵ lim f ( x ) lim
x0
1
x 1 e 1 x
x0
，
∴ x 0 为第二类间断点，且是无穷间断点.
∴ x0 为第一类间断点，且是跳跃间断点.
x2 x 1 ∵ lim f ( x ) lim lim ， x 1 x 1 x ( x 1)( x 1) x 1 x 1
∴ x 1 为第二类间断点，且是无穷间断点.
x2 x 1 1 lim ， ∵ lim f ( x ) lim x1 x 1 x ( x 1)( x 1) x 1 1 x 2
( 1 ) y tanx 在x 处; 2 . 解: y tan x 在 x 处无定义， x 是 间 断 点
2
2
又 lim tan x ,
x
2
故x
2
是第二类间断点， 称为无穷间断点.
1 ( 2 ) y si n 在x 0处 ; x
1 . 解: y sin 在 x 0 处无定义， x 0 是 间 断 点 x
1 ， ∵ lim (1 x ) 0 ， arctan 1 x 2 x1
1 0， ∴ lim f ( x ) lim(1 x ) arctan 1 x x 1 x 1
故 x 1 是第一类间断点，称为可去间断点.
若补充定义 : f (1) 0, 则
1 , x 1 (1 x ) arctan f ( x) 在 点x 1处 连 续 . 1 x 0, x 1
可以证明
y a x (a 0且a 1) 在 ( , ) 内连续.
函数 f ( x ) 在 x0 连续必须满足三个条件 :
① 函数 y f ( x ) 在 N ( x0 , ) 有定义；
② lim f ( x) 存在；
xx0
③ lim f ( x ) f ( x0 ) .
1 1 又 lim sin 及 lim sin 都不存在 x 0 x 0 x x
故 x 0 是第二类间断点，称为振荡间断点.
1 ( 3 ) f ( x ) (1 x ) arctan 在 点x 1处; 1 x
. 解： f ( x ) 在点 x 1 处无定义， x 1 是间断点
函数的连续性概念
函数的连续性概念
连续函数的概念
1.函数的增量
设 y f ( x ) 在 N ( x 0 , ) 内有定义，
x N ( x 0 , ) ，称 x x x 0 为自
x
y
y f ( x)
y
变 量 x 在点 x 0 的增量(或改变量)，
o
x x x
x
y f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) 点 x0 f ( x ) 为函数 在 的增量(或改变量).
∴ lim f ( x )1 ，但 lim f ( x )1 f (0) 0 ，
x0
x 0
∴点 x 0 是第一类间断点，且是可去间断点.
若改变定义： f ( 0) 1 ，则 f ( x ) 在点 x 0 处连续.
例 2．讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型.
（1） f ( x ) 1
x0
x0
∵ lim f ( x ) 0 f (0) ， ∴ f ( x )在点 x 0 处连续.
例 2．证明 函数 y sin x 在( , ) 内连续.
证: x0 (,) ，则
x x y sin(x0 x ) sinx0 2sin cos(x0 ), 2 2 x x lim sin 0, cos(x0 ) 1, x 0 2 2
若 lim f ( x ) f ( x0 ) ，则称函数 y f ( x )在点 x0 处左连续.
x x0
若 lim f ( x) f ( x0 ) ，则称函数 y f ( x )在点 x0 处右连续.
xx0
函数 y f ( x ) 在点 x 0 处连续的充要条件:
xx0
x 0
lim y 0, 或 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
则称函数 f ( x )在点 x0 处连续.
函数 f 在 x0 处连续也可以用 语言定义如下：
0, 0, 使得x U ( x0 , ), 恒有 f ( x) f ( x0 )
20及三角函数的连续性可知，反三角函数 ∵ y由定理 a x (a 且a 1) 在(, ) 内严格单调且连续，
∴ y log a x(a 0且a 1) 在(0, ) 内也严格单调且连续.
定义域内都是连续的.
arcsin x 、 arccosx 、 arctan x 、 arc cot x 在它们的
③ lim f ( x ) f ( x0 ) .
若条件之一不满足，则称 点 x0为 f ( x ) 的一个间断点
(或不连续点).
间断点分为两类：左右极限都存在的间断
点称为第一类间断点；不是第一类的间断点， 都称为第二类间断点.
例 1 . 讨论下列函数在指定点 处的连续性 , 并指出 间断点的类型 .
例 1．证明 f ( x )
x0
1 x 1 , x0 在点 x 0 处连续. x 0 , x0
1 x 1 1 x 1 lim 2 lim x 0, x x0 x 2 x0
证： f (0 0) lim 0 0 ，
f (0 0) lim
si nx , x0 x （4） f ( x ) 0 , x 0 在x 0处. 1 xsi n 1, x 0 x
sinx 1 1 ，f (0 0) lim ( xsin 1)1 ， 解：∵ f (0 0) lim x x0 x x0
(0, ) 内是连续的. 例 4．证明函数 y x (R) 在
证：∵ y x e
ln( x )
e lnx 可看成由 y e u ，
u ln x 复合而成，
而 u ln x 在(0, ) 内连续，
y e u 在( , ) 内连续，
x x0
lim F ( x ) F ( x0 ) .