天津理工大学数值计算第四章 戴敏

此方程组的系数行列式为
1 x0 D 1 x1 1 xn
2 xn n xn 2 x0 n x0
x12
x1n

0 j i n
(x
i
xj)
计算机科学与工程系
9
4.1.2 代数插值的唯一性
当 xi x j 时，D 0，因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯 一确定
P( x) f ( x) 56 x 3 24 x 2 5
计算机科学与工程系 10
4. 2拉格朗日插值（Lagrangeபைடு நூலகம்值）

线性插值 抛物线插值 拉格朗日插值多项式 插值余项和误差估计
计算机科学与工程系 11
4.2.1 线性插值

定义



线性插值也叫两点插值 已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0=f (x0)，y1=f(x1) 线性插值就是构造一个一次多项式 P1(x) = ax + b 满足条件 P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1
115 P1 (115) 10 11 10 (115 100 ) 10.71428 121 100
计算机科学与工程系 17
4.2.1 线性插值

总结

线性插值只用两个点，计算方便，应用广泛，但插 值区间[a, b]要小，且变化要比较平稳，否则误差 大
计算机科学与工程系 18

解：已知两点的线性插值多项式
x 3 x 1 1 P ( x) 1 2 ( x 1) 1 1 3 3 1 2
f (1.5) P (1.5) 1.25 1

例：用线性插值求

115
（x* = 10.723805）
解：设 y x ，取x0 = 100，x1 = 121 则 y0 = 10 y1 = 11
计算机科学与工程系 5

插值

4.1.1 代数插值

定义(代数多项式插值)


设函数y=f(x)在[a, b]上 已知 n+1个点a≤x0<x1<……<xn≤b的函数值 y0, y1,……,yn 求一个次数不高于n的代数多项式

满足插值条件
P( xi ) yi , i 0,1,, n
的n次代数多项式 的。

是唯一
证明：由插值条件
Pn ( xi ) yi i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组
计算机科学与工程系
8
4.1.2 代数插值的唯一性
n 1 a0 x0 a1 x0 a n y 0 n 1 a0 x1a1 x1 a n y1 1 a x a x n a y n 1 n n n 0
所以
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
计算机科学与工程系 22
4.2.2 抛物线插值
同理可得
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
4.2.2 抛物线插值
p2(x) f(x)
f(x)
x0
x1
x2
计算机科学与工程系 20
4.2.2 抛物线插值

抛物线插值的一般形式
P2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2
其中
l 0 ( x 0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 0 l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1 l 2 ( x1 ) 0 l0 ( x 2 ) 0 l1 ( x 2 ) 0 l2 ( x2 ) 1 (I) ( II ) ( III )
因此
( x x0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x 2 x0 )( x 2 x1 )

因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
n

j 0 j k
计算机科学与工程系 4

插值问题

4.1.1 代数插值


根据这些已知数据来构造函数y = f (x)的一种简单的 近似表达式 y (x) （满足 ( xi ) yi ），以便于计算 点 x xi 的函数值 f (x ) φ(x)称为f(x)的插值函数 f (x)称为被插值函数 a≤x0, x1,…, xn≤b为插值节点 区间[a, b]称为插值区间 根据已知点的函数值求其余点的函数值
x xj xk x j
计算机科学与工程系 28
4.2.3 拉格朗日插值多项式

即得Pn (x)的表达式
n x xj Pn ( x) l k ( x) y k k 0 k 0 j 0 x k x j jk
n n
y k
计算机科学与工程系 29
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
使之满足条件
Pn ( x i ) y i
计算机科学与工程系 26
4.2.3 拉格朗日插值多项式

求n次多项式lk (x) k = 0, 1,…, n，使
1, l k ( xi ) 0, k i k i
数值计算方法
第四章 插值法



函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实 验观测确定与自变量的某些值对应的函数值 有些函数解析表达式复杂，需要用简单的函数 代替 需要构造一个简单函数P(x)作为y = f (x)的近似 表达式
计算机科学与工程系
2
4.1 引言

代数插值 代数插值的唯一性
计算机科学与工程系
计算机科学与工程系 12
4.2.1 线性插值

几何意义
计算机科学与工程系 13
4.2.1 线性插值

过两点A、B的直线方程

点斜式
y1 y0 P1 ( x ) y0 ( x x0 ) x1 x0

对称式
P1 ( x ) x x0 x x1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
计算机科学与工程系 6
4.1.1 代数插值

代数插值的特点


n次代数多项式插值满足在n+1个节点上插值多项式 P(x) 和被插值函数y=f(x)相等 插值多项式P(x)的次数不超过n次
计算机科学与工程系
7
4.1.2 代数插值的唯一性

定理：n+1个互异节点处满足插值条件
P ( xi ) yi i 0,1,, n
4.2.3 拉格朗日插值多项式

另一种表示形式
p ( x ) yk
k 0 n
( x) ( x xk ) ( xk )
( x) ( x xi ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
i 0
n
( xk ) ( xk xi )
计算机科学与工程系 14
4.2.1 线性插值

线性插值的一般表示方式

令 l0 ( x )
x x1 x0 x1
l1 ( x )
x x0 x1 x0
P1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1

其中，l0 (x)与l1 (x)分别是适合下列函数表的插值多 项式，又称为基本插值多项式
3
4.1.1 代数插值

插值法

构造某个简单函数作为不便于处理或计算函数的近 似，然后通过处理简单函数获得不便处理或计算函 数的近似结果，当要求近似函数取给定的离散数据 时，这种处理方法称为插值法 设已知某个函数关系y = f (x)在某些离散点上的函数 值 x x0 x1 x2 xn y y 0 y1 y 2 y n
x y x0 1 x1 0
x y
x0 0
x1 1
计算机科学与工程系 15
4.2.1 线性插值

线性插值多项式y = P1 (x)可以由两个基本插值多项 式的线性组合来表示

例：已知y = f (x)的函数表
x 1 3 y 1 2
求线性插值多项式，并计算x=1.5的值
计算机科学与工程系 16
4.2.1 线性插值


推论：当f(x)是次数不超过n的多项式时，其n 次插值多项式就是f(x)本身 f ( x) 56 x 3 24 x 2 5 在点 2 0 ,21 ,2 5 ,2 7 例：已知函数 的函数值，求其三次插值多项式

解：对于次数不大于n的多项式，其n次插值多项式 就是其本身。所以其三次插值多项式
由（I）式知，x1, x2是l0 (x)的根，所以有
l0 ( x ) ( x x1 )( x x2 )
计算机科学与工程系 21
4.2.2 抛物线插值
再由
l0 ( x0 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) 1