高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前N项和课堂探究学案新人教B版必修520171122210

2.2.2 等差数列的前 N项和 课堂探究 一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 剖析：(1)当等差数列{an}有偶数项时，设项数为 2n， 设 S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，① S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②

①－②，得 S 偶－S 奇＝nd． ①＋②，得 S 偶＋S 奇＝S2n． n (a2＋a2n) ① S偶 2 2an＋1 an

＋

1

，得 ＝ ＝ ＝ ． ② S奇 n 2an an

(a1＋a2n－1)

2

(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为 2n＋1， 设 S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③ S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④

③－④，得 S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an＋1． ③＋④，得 S 偶＋S 奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an+1． n＋1

(a1＋a2n＋1) ③ S奇 2 (n＋1)an＋1 n＋1 ，得 ＝ ＝ ＝ ． ④ S偶 n nan＋1 n (a2＋a2n)

2

综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： S偶 an

＋

1

(1)项数为 2n 时，S 偶－S 奇＝nd，S 偶＋S 奇＝S2n， ＝ ． S奇 an

S奇 (2)项数为 2n＋1时，S 奇 －S 偶 ＝a1＋nd＝an+1，S 偶 ＋S 奇 ＝S2n+1＝(2n＋1)an+1， ＝ S偶

(n＋1)an＋1 n＋1 ＝ ． nan＋1 n

熟练运用这些性质，可以提高解题速度． 知识链接：除了上述性质外，与前 n 项和有关的性质还有： ①等差数列的依次连续每 k 项之和 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为 k2d 的等差数列． Sn

②若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}

为等差数列等价于{n }是等差数列．

am S2m－1

③若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前 n 项和，则 ＝ ． bm S′2m－1

二、教材中的“？” 如果仅利用通项公式，能求出使得 Sn 最小的序号 n 的值吗？ 剖 析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号 n 的值．因为该数列的通项公式为 an＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4，0，4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其 和最小时，n 的值为 7或 8． 三、教材中的“思考与讨论” 1．如果已知数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么 如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？

剖 析：确定了，由公式 an＝ S ,n 1,

1

S S n n n 1,

来求解，求解时注意要分类讨论，然后对 n＝ 2,

1的情况进行验证，能写成统一的形式就将 a1合进来，否则保留分段函数形式． 2．如果一个数列的前 n 项和的公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列 一定是等差数列吗？ d 剖 析：等差数列前 n 项和公式变形为 Sn＝ n2＋()n．当 d≠0 时，是关于 n 的二次函数，如 2

果一个数列的前 n 项和公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是

an＝

a b c,n

1,

2an a b,n 2.

只有当 c＝0时，a1＝a＋b＋c 才满足 an＝2an－a＋b．因此，当数列的前 n 项和公式为 Sn ＝an2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差 d＝2a．

题型一 等差数列的前 n 项和公式的直接应用 【例 1】 在等差数列{an}中， (1)已知 a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求 n； (2)已知 S8＝24，S12＝84，求 a1和 d； (3)已知 a6＝20，S5＝10，求 a8和 S8； (4)已知 a16＝3，求 S31． 分析：在等差数列的前 n 项和公式中有五个基本量 a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个 量，就可以求出其他两个量． a a 9d 30, 10 1 解：(1)由 得 a a 19d 50.

20 1

a1

12,

d 2. n(n－1)

∵Sn＝242，∴12n＋ ×2＝242． 2

解得 n＝11或 n＝－22(舍去)． ∴n＝11．

2 S a d 8 28 24, 8 1 (2)由 得

S 12a 66d 84

12 1

1 4,

a

d 2.

∴a1＝－4，d＝2． a a 5d 20, 6 1 (3)由 S 5a 10d 10 5 1 a1

10,

得

d 6.

8(a1＋a8) ∴a8＝a6＋2d＝32，S8＝ ＝88．

2

a1＋a31

(4)S31＝ ×31＝a16×31＝93． 2

反思：在等差数列{an}中，首项 a1与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题， 均可化成有关 a1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2) 合理利用等差数列的有关性质． 题型二 Sn 与 an 的关系问题 【例 2】 (2013·广东高考，文 19改编)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 4Sn ＝a2n＋1－4n－1，n∈N＋，且 a2＝3． (1)证明：a2＝ 4a1＋5； (2)求数列{an}的通项公式． 分析：(1)对条件中的等式赋值 n＝1即可； (2)由 an＝Sn－Sn－1(n≥2)这一关系得出数列中项之间的关系即可． (1)证明：当 n＝1时，4a1＝ a2 －5，∴ a2 ＝4a1＋5．

2 2

∵an>0，∴a2＝ 4a1＋5． (2)解：当 n≥2 时，4Sn－1＝ a －4(n－1)－1，①

2 n 4Sn＝ a －4n－1，

② 2 n 1

由②－①，得 4an＝4Sn－4Sn－1

＝

a － a －

4， 2 2 n 1 n ∴ a2 ＝

n 1

a ＋4an＋4＝(an＋2)2．

2 n

∵an>0，∴an+1＝an＋2， ∴当 n≥2 时，{an}是公差 d＝2的等差数列． ∵a2，a5，a14构成等比数列， ∴ a2 ＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得 a2＝3． 5

由(1)可知，4a1＝ a －5＝4，∴a1＝1．

2 2

∵a2－a1＝3－1＝2， ∴{an}是首项 a1＝1，公差 d＝2的等差数列． ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1．

3 反思：利用 an＝ S ,n 1,

1

S S ,n 2

n n 1

求 an 时，切记验证 n＝1时的情形是否符合 n≥2 时 an

的表达式． 题型三 等差数列前 n 项和性质的应用 【例 3】 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的中间项 及项数． 分 析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数 项的和与特殊项及项数的关系． 解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有 n 项，中间项是第(n ＋1)项，即 an+1． 1 (a1＋a2n＋1) × (n＋1) S奇 2 (n＋1)an＋1 n＋1 44 4

∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，得 n＝3． S偶 1 nan＋1 n 33 3

(a2＋a2n) × n

2

∴2n＋1＝7． 又∵S 奇＝(n＋1)·an+1＝44， ∴an+1＝11． 故这个数列的中间项为 11，共有 7项． S奇 n＋1

反思：在等差数列{an}中，(1)若项数为 2n＋1(n∈N+)，则 ＝ ，其中 S 奇＝(n＋ S偶 n

1)an+1，S 偶＝n·an+1；(2)若数列项数为 2n(n∈N＋)，则 S 偶－S 奇＝nd． 题型四 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值． 分 析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求 n，使 an≥0，an＋1＜0或利用等差数列的 性质求出大于或等于零的项． 解：解法一：由 S17＝S9，得 17 9 25×17＋ (17－1)d＝25×9＋ (9－1)d， 2 2

解得 d＝－2， n ∴Sn＝25n＋ (n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169， 2

由二次函数的性质得当 n＝13时，Sn 有最大值 169． 解法二：先求出 d＝－2(解法一)． ∵a1＝25＞0，