运筹学基础-线性规划(1)
线性规划
【开篇案例】
二、生产计划的问题
明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工 和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自 行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如右表。问： 公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、 乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
则该问题的数学模型表示为
maxZ= 2x1 +3x2
2x1+2x2 ≤12 x1 +2x2 ≤8 设生产Ⅰ、Ⅱ产品为x1、x2件 4x1 ≤16 4x2 ≤12 问题：建立线性规划模型要考虑的关键要素？ x ≥0, x ≥0 1 2 10
线性规划
maxZ= 2x1 +3x2 2x1+2x2 ≤12 x1 +2x2 ≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1 ≥0, x2 ≥0
产地
A1 A2 A3 销量
销地 B1
B2
B3
B4
产量
6 7 3 2
3 5 2 3
2 8 9 1
5 4 7 4
5 2 3
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线性规划
销地
建立模型： A
1
产地
B1
B2
B3
x13
B4
x14 5
2
A2 A3 销量
x24 7 x21 5x22 8 x23 4
3 x31 2x32 9 x33 7 x34
线性规划是一种合理利用资源、合理调配资源的应用数学 方法。 其中：规划就是利用某种数学方法使得有效资源的运用最 优化；线性就是用来描述就是之间关系的函数是线性函数。
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线性规划
在管理中一些典型的线性规划应用
在生产管理和经济活动中经常提出这样一类问题， 即如何 合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的 经济效果。 主要包括：
约束条件
任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为 一组等式或不等式，称之为约束条件。如设备能力、原材料数量等 约束条件是决策方案可行的保障。 约束条件的基本类型：大于等于“≥”、等于“＝”、小于等于 11 “≤”
线性规划
二、线性规划模型的构建
线性规划建模步骤：
明确问题，确定目标，列出约束条件； 收集资料，确立模型；
9
问题：如何建立线性规划模型？
线性规划
§1.1 一般线性规划问题的数学模型
【引例】生产计划的问题
设备A 设备B 设备C 设备D 利润
产品1 2 1 4 0 2
产品2 2 2 0 4 3
资源量 12 8 16 12
某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D 四各不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备为2、1、4、0小时， 生产每件产品Ⅱ 需占用各设备为2、2、0、4小时，各设备用于生产这 两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又知生产一件产品Ⅰ获得2 元，生产Ⅱ 获得3元，问如何安排生产，使总的利润最大。
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线性规划
【例3】营养问题
某养鸡场所用的混合饲料是由 n 种配料组成。要求这种混 合饲料必须含有 m 种不同的营养成份，而且要求每单位混合饲 料中第 i 种营养成份的含量不能低于 bi ( i= 1,2, …, m）。已知 第 i 种营养成份在每单位的第 j 种配料中的含量为 aij , j = 1,2, …, n，每单位的第 j 种配料的价格为 cj 。现在要求在保证营养条件 的前提下，应采用何种配方，使混合饲料的成本最小.
maxZ= 3x1 +5 x2
≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 x1
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目标函数
约束条件
线性规划
【引例】生产计划的问题
某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、 C、D四各不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备为2、1、 4、0小时，生产每件产品Ⅱ 需占用各设备为2、2、0、4小时，各 设备用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又知 生产一件产品Ⅰ获得2元，生产Ⅱ 获得3元，问如何安排生产，使 maxZ= 2x1 +3x2 总的利润最大。 则该问题的数学模型表示为
配料
营养成份
B1
B2
…
Bn
含量 b1 b2 bm
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A1 A2
…
a11 a21
a12 a22
… …
a1n a2n amn cn
Am 单价
am1 am2 … c1 c2 …
线性规划
配料 营养成份 A1 A2
…
B1 a11 a21 a12 a22
B2 … …
… a1n a2n amn cn
Bn
含量 b1 b2 bm
建立模型：
Am 价格
am1 am2 … c1 c2 …
设xj 表示在单位混合饲料中，第j 种配料的含量（ j =1,2,…,n） 则有如下的数学模型：
MinZ=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≥ b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≥ bm
合理利用线材问题：如何下料使用材最少 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大
产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大
劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
盈亏平衡问题：掌握企业盈亏界限，合理安排生产能力
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22： —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时， 问该公交线路怎样安排司机，既能满足工作需要，又配备最少 司机?
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线性规划
产品 车间 A B C 单位产品获利 甲
工时单耗 乙 0 2 4 5 1 0 3 3
生产能力 8 12 36
建立模型：
(1) 决策变量
要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决 策变量：设x1为甲产品产量，x2为乙产品产量。 (2) 约束条件 生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。 生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力1工时， 生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力，A车间的能力总量 限制为8工时，则A车间的能力约束条件表述为 x1 ≤8 同理，B和C车间能力约束条件为 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
(1)决策变量: 设从Ai到Bj的运输量为xij，
(2)目标函数: 则运费最小的目标函数为
2
3
1
4
minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34
(3) 约束条件: 产量之和等于销量之和,故要满足 供应平衡条件 x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3 销售平衡条件 x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4 条件非负性约束 xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
x1 ≥0, x2 ≥0 ,… , xn≥0
甲 5 6 3 3 5 2 3 23 乙 10 4 2 5 6 1 2 18 丙 7 8 2 4 -3 2 16 资源限制 8000 12000 10000
铸造工时(小时/件) 机加工工时(小时/件) 装配工时(小时/件) 自产铸件成本(元/件) 外协铸件成本(元/件) 机加工成本(元/件) 装配成本(元/件) 产品售价(元/件)
模型求解与检验
优化后的分析
其中：最为困难的是建模
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线性规划
【例1】生产计划问题
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间 生产，最后都需在C车间装配，相关数据如表所示：
产品 车间 A B C 单位产品获利 工时单耗 甲 乙 1 0 3 3 0 2 4 5 生产能力 8 12 36
问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。
项目 A B C D 风险指数（次/万元） 1 3 4 5.5
问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资 金的本利金额为最大？ b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资 6 金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？
线性规划
归纳上述研究的主要内容：
设生产Ⅰ、Ⅱ产品为x1、x2件
设备A 设备B 设备C 设备D 利润
产品1 2 1 4 0 2
产品2 2 2 0 4 3
资源量 12 8 16 12
2x1+2x2 ≤12 x1 +2x2 ≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1 ≥0, x2 ≥0
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线性规划
【例2】运输问题
某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2, A3, 其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂 的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为Cij， 为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调 运方案。
运筹学基础及应用共107页文档
求Z极大或极小
2020/4/19
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1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素：
1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。
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可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集 合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一
个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应 的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以
j1
x
j
0
（ j 1， ， n）
标准形式特点：
1. 目标函数为求极大值； 2. 约束条件全为等式；
3. 约束条件右端常数项全为非负；
4. 决策变量取值非负。
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一般线性规划问题如何化为标准型：
1. 目标函数求极小值：
n
minz cj xj j1
令： z'z，即化为：
maxz max(z)minz
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
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一般线性规划问题的数学模型：
目标函数：m （ m a ） z x 或 c i 1 x 1 n c 2 x 2 c n x n
a11x1 a12x2 a1nxn （或,）b1
约束条件：a21x1a22x2a2nxn（ 或,）b2
第一章 线性规划
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结一、线性规划线性规划是运筹学中最基础、最重要的一个分支。
它的基本形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是一个n维的列向量，x是一个n维的列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维的列向量。
线性规划的目标是找到满足约束条件的x，使得目标函数cx取得最大值。
而当目标是最小化cx时，则是最小化问题。
线性规划问题有着很好的性质，它的最优解一定存在且一定在可行域边界上。
而且，很多非线性规划问题也可以通过线性化转化成线性规划问题，因此线性规划具有广泛的适用范围。
二、整数规划整数规划是线性规划的一个扩展，它在线性规划的基础上增加了对决策变量的整数取值限制。
这样的问题往往更加接近实际情况。
整数规划问题的一般形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ∈ Zn整数规划问题的求解难度要比线性规划问题高很多。
因为整数规划问题是NP-hard问题，也就是说它没有多项式时间的算法可以解决。
但是对于特定结构的整数规划问题，可以设计专门的算法来求解。
比如分枝定界法、动态规划等。
整数规划问题在许多领域都有着广泛的应用，比如生产调度、设备配置、网络设计等。
三、动态规划动态规划是一种用来求解具有重叠子问题结构的最优化问题的方法。
它的核心思想是将原问题分解成一系列相互重叠的子问题，然后利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。
动态规划问题的一般形式可以表示为：F(n) = max{F(n-1), F(n-2)+cn}其中，F(n)是问题的最优解，cn是问题的参数，n是问题的规模。
动态规划问题的求解是一个自底向上的过程，它依赖于子问题的最优解，然后通过递推关系来求解原问题的最优解。
动态规划在资源分配、路径优化、排程问题等方面有着广泛的应用。
四、决策分析决策分析是一种用来帮助人们做出最佳决策的方法。
它可以应用在各种风险决策、投资决策、生产决策等方面。
决策分析的一般形式可以表示为：Max E(u(x))其中，E(u(x))是对决策结果的期望效用，u(x)是决策结果的效用函数，x是决策变量。
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分线性规划第一章线性规划的基本性质1.1 线性规划的数学模型一、线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50 元/个，椅子售价30 元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4 小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3 小时，油漆工1 小时。
该厂每月可用木工工时为120 小时，油漆工工时为50 小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？max z 50x1 30x24x1 3x2 1202x1 x2 50x1,x2 0 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m、2.1m、1.5m的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、数学模型的标准型1. 繁写形式2. 缩写形式3. 向量形式4. 矩阵形式若原模型中变量 x j 有上下界，如何化为非负变量？三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量 x k 是自由变量，如何化为非负变量？1. 2 图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
使用该法求解线性规划问题时，不必把原模型化为标准型。
一、 图解法步骤1. 由全部约束条件作图求出可行域2. 作出一条目标函数的等值线3. 平移目标函数等值线，作图求解最优点，再算出最优值 max z 5x 1 6x 2 7x 3x 1 5x 23x 3 15 5x 1 6x 210x 3 20 x 1 x 2 x 3 5x 1 0,x 2 0,x 3无约束令 x 1' x 1,x 3 x 3' x 3'',x 3' ,x 3'' 0, Z 1Z ' 1 1 min z ' 5x 1' 6x 2 7x 3' 7x 3'' 0x 5 Mx 6 1 x 1' 5x 2 1 11 3x 3' 3x 3'' x 4 x 6 15 1 5x 1' 6x 2 10x 3' 10x 3'' x 5 20 1 x ' x 1 ' II '' 54.Mx 7 x 1, x 2 , x 3, x 3, x 4 , x 5 ,x 6, x 7 0从图解法看线性规划问题解的几种情况1. 有唯一最优解2. 有无穷多组最优解3. 无可行解4. 无有限最优解（无界解）min z 6x1 4x?2x〔X2 13 最优解（1,0），最优值33x14x2 22x1, x20直观结论：1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域（但有有限个顶点）或空集；2）线性规划问题若有最优解，一定可以在其可行域的顶点上得到。
运筹学基础(中文版第10版)哈姆迪塔哈课后习题答案解析
运筹学基础（中文版第10版）哈姆迪塔哈课后习题答案解析第一章线性规划模型1.1 线性规划的基本概念1.请解释线性规划模型的基本要素以及线性规划模型的一般形式。
答：- 线性规划模型的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件。
- 线性规划模型的一般形式如下：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 01.2 线性规划模型的几何解释1.请说明线性规划模型的几何解释。
答：线性规划模型在几何上可以表示为一个多维空间中的凸多面体（可行域），目标函数为该多面体上的一条直线，通过不同的目标函数系数向量c，可以得到相应的最优解点。
通过多面体的边界和顶点，可以确定最优解点的位置。
如果可行域是无限大的，则最优解点可以在其中的任何位置。
1.3 线性规划模型求解方法1.简要说明线性规划模型的两种求解方法。
答：线性规划模型可以通过以下两种方法进行求解： - 图形法：根据可行域的几何特征，通过图形方法确定最优解点的位置。
- 单纯形法：通过迭代计算，逐步靠近最优解点。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法。
第二章单变量线性规划2.1 单变量线性规划模型1.请给出单变量线性规划模型的一般形式。
答：Max/Min Z = cxSubject to:ax ≤ bx ≥ 02.2 图形解法及其应用1.请解释图形解法在单变量线性规划中的应用。
答：图形解法可以直观地帮助我们确定单变量线性规划模型的最优解。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，可以确定最优解点的位置。
对于单变量线性规划模型，图形解法特别简单，只需要绘制一条直线和一条水平线，求解它们的交点即可得到最优解点的位置。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；