测试题五(相似矩阵与二次型)
线性代数答案第四版(高等教育出版社)
−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章 行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by
武汉科技大学线性代数练习册答案
第三章 行列式及其应用§3-1 行列式的定义一、填空题。
1、行列式a b c d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、行列式1111121212000000a a a a b b c c d d =______0_____.3、已知行列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__.4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_.5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.二、选择题。
1、方程0110001x x x=的实根为__C___.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）214、n 阶行列式00102000D n =的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、行列式312111321111x xx x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列行列式1、12110001-解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)12012301231234101412024003r r +--=按c 展开3、11321011230112--解：4141132113010111013223012303102101300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-， 所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以 排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个 不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --.）§3-2 行列式的性质与计算一、填空题。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。
设A 为正交矩阵,则A = ；6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。
相似矩阵和二次型
相似矩阵与二次型作业
一、填空题
1. 已知三阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1-，则=A ，1-A 的特征值为 .
2. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=100320201A ，则E A 22+的特征值为 . 3. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=163020104a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 00010001B 相似，则A 的全部特征值为 . 4. 若二次型22212312
31223(,,)2346f x x x x kx x x x x x =++++是正定二次型，则k 的取值为 .
二、选择题
1. 若A 为正交矩阵，下列命题正确的是（ ）. (A) 1=A (B) 1-=A (C) A 为对称矩阵 (D) 1-=A A T
2. n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）.
（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要条件
（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件
3. 若二次型232221321)1()1(),,(x x x x x x f +++-=λλλ 是正定二次型，则（ ）
（A ）1->λ （B ）0>λ （C ）1>λ （D ）1≥λ
三、计算题
求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=100243332A 的特征值与特征向量，并判断A 能否对角化？。
相似矩阵与二次型
1T 1 1 1 A T ,则3 应满足齐次线性方程组 Ax 2 1 2 1
0 ,即
x1 1 x1 x3 所以同解方程组为 x c 2 1 0 x 0 2 ,通解为 1 x 3 x x 3 3
1 ,取 3 0 即可 1
5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程 ) 设 1 , 2 ,, m 为一线性无关向量组 （1）正交化 取
1 1
3 , 1 3 , 2 2 , 1 1 2 2 2 1 3 3 1, 1 2 , 2 1, 1
b1 b2 bn
令
, a1b1 a2b2 anbn
的内积
称为向量 与
向量的内积具有下列性质
, , k , k , , k , , , , 0 0
依次类推,一般的,有
j , 1 j , 2 j , j 1 j j 1 2 j 1 , 1 , 1 2 , 2 j 1 j 1
( j 1, 2,, m)
可以证明, 1 , 2 ,, m 两两正交,且与1 , 2 ,, m 等价 （2）单位化 令
ej
j j
( j 1, 2,, m)
则 e1, e2 ,, em 为单位正交向量组,且 1 , 2 ,, m 等价
例 已知
解 2 , 3 应该满足 1 , x 0, 即 其同解方程组为
k1e1 k2e2 kmem
第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
线性代数填空题
第四章 向量组的线性相关性
n 元齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解是 R A R B的 ___________条件.
9、答案内容： 充分
第五章 相似矩阵及二次型
若 n 元实二次型 f xT Ax 正定，则其秩 r ，正惯性指数 p 与 n 满足关系____________ . 9、答案内容： p n
第四章 向量组的线性相关性
设向量1,2 线性无关， 21 b, 22 b 线性相关，则 b 用1,2 线性表示的表示式为
____________ .
9、答案内容： 1 2 2
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
A 为一个四阶方阵，若 R A 3 ，则其伴随矩阵 A* 的秩 R A* ____________ .
x Py 可化为标准形 f 6 y12 ，则 a ____________ .
9、答案内容： 2
第二章 矩阵及其运算
设矩阵
A
1 2
1
3
，
B
A2
3A
2E
，则
B 1
____________
.
1 0 1
9、答案内容：
2
2
2
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
设向量组1 a, 0, cT ,2 b, c, 0T ,3 0, a,bT 线性无关，则 a,b, c 必满足关系式
____________ .
9、答案内容： 3
第五章 相似矩阵及二次型
若二次型 f x1, x2 , x3 2x12 x22 x32 2x2 x1 tx2 x3 是正定的，则 t 的取值范围是
____________ .
9、答案内容： t 2, 2
工程数学线性代数课后答案详解
似
证明 取 PA 则 即 AB 与 BA 相似
P1ABPA1ABABA
14
设矩阵 A432
0 1 0
15x 可相似对角化
求 x
解由
2 0 1 | AE| 3 1 x ( 1)2( 6)
022
x1 x2 x3
0
得特征向量(1 2 2)T
单位化得
p1
(1, 3
2, 3
2)T 3
对于21, 解方程(AE)x0 即
1 2 0
2 0
2
201
x1 x2 x3
0
得特征向量(2 1 2)T
特征值341 的线性无关特征值向量
6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同 证明 因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公 共的特征向量
b1
011
b3
a3
[[bb11,,ab13]]b1
[[bb22,,ab23]]b2
1 3
211
(2) (a1,
a2,
a3)
1 0 1 1
1 1 0
1
11 01
解 根据施密特正交化方法
1
b1
a1
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测试题五（相似矩阵与二次型）
一．单项选择题
1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21
(-A 有一特征值为( C ).
(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有( A )个线性无关.
(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 3. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量，则矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为( A ).
(A)α1-P ； (B)αP ； (C)αT P ； (D)α .
4. 若A 为n 阶实对称矩阵，且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定，则下列结论不正确的是
( D ) .
(A) A 的特征值全为正；(B)
A
的一切顺序主子式全为正；
(C) A 的主对角线上的元素全为正；
(D)对一切n 维列向量x ，Ax x T 全为正. 5. 设B A ,为n 阶矩阵，那么( B ).
(A) 若B A ,合同，则B A ,相似；(B) 若B A ,相似，则B A ,等价； (C) 若B A ,等价，则B A ,合同；(D) 若B A ,相似，则B A ,合同. 二. 填空题
1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A 1 .
2. 已知⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=x A 0
0110
002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-，则 =x -1，-2
3. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1，则2004A = E .
4. n 阶方阵A 的特征值均非负，且E A =2，则其特征值必为 1
5. 二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2，则=a 0 .
三. 判断题（正确打V ，错误打×）
1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. ( × ) 2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( V )
3．二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型.( × ) 4. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍
为A 的特征向量. ( × )
5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( × )
四. 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---=73
5946
524A 的特征值与特征向量. 五. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.
六. 证明⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=01
0100
002
A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--=26
0010
001B 相似. 七. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=0011100y x
A 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件. 八．已知A 为实对称可逆矩阵，证明二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 与 二次型x A x x x x g T n 121),,,(-= 具有相同的规范型. 九．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量.
十．已知0>a ，且二次型322322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=通过正 交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变 换矩阵.。