圆有关的证明题(附答案)

圆有关的证明题
1．如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．
（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．
2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．
（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？
（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？
3．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ；
②若tan ∠ABE ＝
21，（ⅰ）求BC
AB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．
4．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．
5．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰
DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值．
6．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于
点D ，若tan B ＝2
1，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积．
7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．
8．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．
9．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，
PA ＝10，PB ＝5，求：
（1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）；
（2）cos ∠BAP 的值．
1．解：（1）连结BC ，
9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭
是直径⇒∠B=62°． MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．
（2）过点B 作BD ⊥MN ，则
190BDC ACB MN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭
是切线⇒△ACB ∽△CNB ⇒
1AC AB CD BC =⇒AB ·CD 1=AC ·BC ． 过点A 作AD 2⊥MN ，则
190AD C ACB MN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭
是切线⇒△ABC ∽△ACD 2 ⇒
2CD AC AB CB =⇒CD 2·AB=AC ·CB 2．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，
∴CH=
AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013
． ∵d=6013>3，∴⊙O 与AB 相离． （2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ，
∵OA=
OE AB BC =31313124
⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74
． ∴当OC=74时，⊙O 与AB 相切． 3．（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ．
∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ，
∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ，
∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ．
（2）①连结AO ，交BC 于点F ，
∵ AB ＝AC ，∴
＝，
∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．
在Rt △ABF 中，
BF
AF ＝tan ∠ABF ， 又 tan ∠ABF ＝tan C ＝tan ∠ABE ＝21，∴ BF AF ＝2
1， ∴ AF ＝21BF ． ∴ AB ＝22BF AF +＝22
21BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ．
∴ 4
52==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，
∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．
∴ ⎪⎩
⎪⎨⎧⋅==EC EA BE BC AB EB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0， ∴ 511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝11
10． 4．设⊙的半径为r ，由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ，
∴ 82＝4（4＋2r ），解得r ＝6（cm ）．
即⊙O 的半径为6cm ．
5．由已知AD ︰DB ＝2︰3，可设AD ＝2k ，DB ＝3k （k ＞0）． ∵ AC 切⊙O 于点C ，线段ADB 为⊙O 的割线，
∴ AC 2＝AD ·AB ，
∵ AB ＝AD ＋DB ＝2k ＋3k ＝5k ，
∴ 102＝2k ×5k ，∴ k 2＝10，
∵ k ＞0，∴ k ＝10．
∴ AB ＝5k ＝510．
∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径，
∴ AC ⊥BC ．
在Rt △ACB 中，sin B ＝
5
1010510==AB AC ． 6．解法一：连结AC ．
∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，
∴ ∠ACB ＝90°．
CD ⊥AB 于点D ，
∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠2＝90°－∠BAC ＝∠B ． ∵ tan B ＝
2
1， ∴ tan ∠2＝21．
∴ CB AC
DB CD
CD AD
===21
．
设AD ＝x （x ＞0），CD ＝2x ，DB ＝4x ，AB ＝5x ．
∵ PC 切⊙O 于点C ，点B 在⊙O 上，∴ ∠1＝∠B ． ∵ ∠P ＝∠P ，∴ △PAC ∽△PCB ，
∴ 21
==CB AC PC PA
．
∵ PC ＝10，∴ PA ＝5，
∵ PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，
∵ PC 2＝PA ·PB ，
∴ 102＝5（5＋5 x ）．解得x ＝3．
∴ AD ＝3，CD ＝6，DB ＝12．
∴ S △BCD ＝21
CD ·DB ＝21
×6×12＝36．
即三角形BCD 的面积36cm 2．
解法二：同解法一，由△PAC ∽△PCB ，得21
==CB AC PC PA ．
∵ PA ＝10，∴ PB ＝20．
由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ．
∴ PA ＝20102
2
-PB PC ＝5，∴ AB ＝PB －PA ＝15，
∵ AD ＋DB ＝x ＋4x ＝15，解得x ＝3，
∴ CD ＝2x ＝6，DB ＝4x ＝12．
∴ S △BCD ＝21
CD ·DB ＝21
×6×12＝36．
即三角形BCD 的面积36cm 2．
7．解：如图取MN 的中点E ，连结OE ，
∴ OE ⊥MN ，EN ＝21
MN ＝21
a ．
在四边形EOCD 中，
∵ CO ⊥DE ，OE ⊥DE ，DE ∥CO ，
∴ 四边形EOCD 为矩形．
∴ OE ＝CD ，
在Rt △NOE 中，NO 2－OE 2＝EN 2＝2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛a ．
∴ S 阴影＝21π（NO 2－OE 2）＝21π·2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝2
8πa ．
8．解：∵ ∠CDE ＝∠CBA ，∠DCE ＝∠BCA ，∴ △CDE ∽△ABC ．
∴ 2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE
∴ AB DE ＝ABC CDE S S ∆∆＝41＝2
1
，
即21
5
=AB ，解得 AB ＝10（cm ），
作OM ⊥FG ，垂足为M ，
则FM ＝21FG ＝21
×8＝4（cm ），
连结OF ，
∵ OA ＝21AB ＝21
×10＝5（cm ）．
∴ OF ＝OA ＝5（cm ）．
在Rt △OMF 中，由勾股定理，得
OM ＝22FM OF -＝2245-＝3（cm ）． ∴ 梯形AFGB 的面积＝2FG
AB +·OM ＝28
10⨯×3＝27（cm 2）．
9．
⎭⎬⎫
的割线⊙是的切线⊙是O P B C O PA )1(⇒PA 2＝PB ·PC ⇒PC ＝20⇒半径为7.5⇒圆面积为π
4
225（或56.25π）（平方单位）． ⎭⎬⎫∠=∠∠=∠P P B A P C )2(⇒△ACP ∽△BAP ⇒PB PA AB AC
=⇒12
=AB AC
．
解法一：设AB ＝x ，AC ＝2x ，
BC 为⊙O 的直径⇒∠CAB ＝90°，则 BC ＝5x ． ∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝552
52==x x BC AC
解法二：设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2，
即 x 2＋（2x ）2＝152，解之得 x ＝35，∴ AC ＝65， ∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ ∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝552
155
6==BC AC。