与圆有关的证明
圆幂定理及其证明
圆幂定理圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22OP R -所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
（1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。
相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。
所以△APD ∽△BPC 。
所以 AP PD AP BP PC PD PC BP=⇒⋅=⋅ （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以2PT PA PT PA PB PB PT=⇒=⋅ （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD 。
这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅进一步升华（推论）：过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D 。
则PA·PB=PC·PD 。
若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ⋅=-⋅+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P 到圆O 的幂。
（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值）若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=-故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。
（这就是“圆幂”的由来）。
相似圆形六大证明技巧
相似圆形六大证明技巧
在几何学中，相似是指有相同形状但可能不同大小的两个物体。
本文将介绍六种证明相似圆形的技巧。
1. 弧度角证明：当两个圆的弧度角相等时，它们是相似的。
因
为弧度角是弧长和圆的半径之比，所以如果两个圆的弧度角相等，
它们的比例就相等。
2. 相等弧证明：如果两个圆的弧长相等，则它们是相似的。
因此，如果两个圆的弧长相等，它们也具有相同的弧度角。
3. 三角形证明：如果两个圆心相同且它们都与同一直线上的第
三个点相切，则它们是相似的。
这背后的原理是，根据相似三角形
的定义，如果两个三角形中有两个角度相等，则它们是相似的。
4. 内切于同一圆的圆证明：如果两个圆内切于同一圆上，则它
们是相似的。
因此，这两个圆将具有相等的弧度角，并且它们具有
相同的弧长。
5. 形心连线证明：如果两个圆的形心连线互相垂直，则它们是相似的。
因此，根据勾股定理，如果两条直线互相垂直，则它们是相似的。
6. 黄金比例证明：如果两个圆的半径之比等于黄金比例（1：1.618），则它们是相似的。
黄金比例在几何学中是一种非常重要的概念，常常出现在许多不同的证明中。
这些技巧可以帮助您证明两个圆是相似的。
使用这些技巧可以让您更好地理解几何学，并帮助您更好地解决新的几何学问题。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
圆中的相关证明与计算
圆中的相关证明与计算圆是平面上到一个给定点的距离恒定的所有点的集合。
通过研究圆的性质和相关的定理，我们可以了解圆的性质和概念，并可以进行相关的证明和计算。
以下是一些关于圆的相关证明和计算的例子：1.圆的半径与直径的关系证明：首先，我们知道直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。
现在我们要证明直径是半径的两倍。
证明：假设圆的半径为r，直径为d。
根据直径的定义，我们知道直径是通过圆心的，并且它的两个端点在圆上。
所以直径d可以看作是两个半径r的长度相加，即d=r+r=2r。
所以我们可以得出结论：直径等于半径的两倍。
即d=2r。
2.圆周率的计算：周长的计算公式为：C=2πr，其中r为圆的半径。
面积的计算公式为：A=πr^2，其中r为圆的半径。
例如，如果一个圆的半径为5厘米，则它的周长为：C=2π*5=10π≈31.42厘米；面积为：A=π*5^2=25π≈78.54平方厘米。
3.弦和半径的垂直关系证明：在圆中，连接圆周上的两点的线段称为弦。
现在我们要证明如果一个弦与半径相交，那么这个弦就是半径的垂直平分线。
证明：假设在圆中有一个弦AB，如果它与半径OC相交于点M，我们要证明AM=MB。
根据圆的性质，半径OC与弦AB相交于点M，则角OMC是直角，因为OC是半径，所以OM=MC。
又由于弦AB与半径OC相交于点M，所以AM=MC，MB=MC。
综上所述，AM=MB，即弦AB是半径OC的垂直平分线。
通过以上证明和计算，我们可以更深入地了解圆的性质和相关的定理。
圆是几何学中重要的概念之一，它在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。
希望以上内容对您有所帮助。
初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算
初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算正多边形与圆的关系是初中数学中重要的内容。
在中考复习中，我们需要掌握正多边形与圆的有关知识，并能够进行证明和计算。
一、正多边形的性质与计算：1.正多边形的定义：正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。
2.正多边形的计算：正n边形的内角和为180°(n-2)，每个内角为(180°(n-2))/n。
正n边形的外角和为360°，每个外角为360°/n。
正n边形的中心角为360°/n。
例题1：求正六边形的内角和。
解：内角和为180°(6-2)=720°。
例题2：求正五边形的每个内角大小。
解：每个内角为(180°(5-2))/5=108°。
二、正多边形与圆的关系：1.圆的定义：圆是平面上一组到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。
2.正多边形与圆的关系：正多边形的顶点均在圆上，且正多边形的外接圆和内切圆都满足以下性质：①外接圆：正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。
②内切圆：正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
3.正多边形与圆的证明：①外接圆的证明：由正多边形的定义可知，正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。
而圆心与正多边形的中心重合，所以正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。
②内切圆的证明：首先，通过正多边形的定义，可以证明正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。
其次，由于正多边形的边长相等，所以正多边形的中心到各个顶点的距离也相等。
而内切圆的半径等于正多边形中心到任意一个顶点的距离，所以正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内切圆的半径等于正多边形的边长的一半。
例题3：如图，正六边形ABCD中，O为外接圆的圆心，求AB的长。
解：由于正六边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合，所以O即为正六边形的中心。
圆周角定理及推论证明
圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。
圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。
在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。
首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。
这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。
因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。
其次，我们需要了解乘法原理。
乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。
根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。
现在，我们开始证明圆周角定理。
为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。
我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。
首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。
连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。
根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。
那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。
接下来，我们观察△COD和△EOC。
由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。
同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。
再来看△AOD和△BOC。
由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。
初中三：圆的证明与计算
圆的证明与计算【高频核心考点】1，圆周角定理以及垂径定理，如下图所示∵ AB 为直径且AB ⊥CD∴ CE=DE ，弧BC=弧BD ，弧AC=弧AD 注：运算中主要运用勾股定理。
2，圆的切线长定理，如下图所示∵ PA，PB 为⊙O 的两条切线∴ PA=PB ，且PO 垂直平分AB 同理可证：EC=EA ，FC=FB3，相交弦定理 切割线定理 割线定理结论： PA ·PB=PC ·PD PA 2=PB ·PC PB ·PA=PD ·PC4，切割线延伸： 切割线互垂（角平分线）：结论：tan A DB BC CDAD CD AC∠===结论：∠ABD=∠CBD ，DB 2=BC ·BE ，AD 2=AE ·ABOFE DC BA【精题精讲精练】◆例1：《角平分线模型》1，如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AD平分BAC∠交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O⊙分别交AB，AC于点E，F，连接OF交于点G.（1）求证：BC是O⊙的切线；（2）设AB x=，AF y=，试用含,x y的代数式表示线段AD的长；（3）若8BE=，5sin13B=，求DG的长.2，如图1，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF.（1）求证：ED=EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BC的长.AD【变式练习】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD. （1）求证：2AC DE =；（2）若tan∠CBD =12，AP·AC=5，求AC 的长； （3）若65AD =，⊙O 的半径为152，延长DE 交⊙O 于点M ，且DP ：DM=1：3，求CM 的长.◆例2：《母子型相似》1，如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为圆上的两点,OC∥BD，弦AD ，BC 相交于点E.(1)求证：弧AC=弧CD ；(2)若CE=1，EB=3，求⊙O 的半径；(3)在(2)的条件下,过点C 作⊙O 的切线,交BA 的延长线于点P,过点P 作PQ∥CB 交⊙O 于F,Q 两点(点F 在线段PQ 上)，求PQ 的长。
等时圆的证明
等时圆的证明
圆是一种形状，其基本定义是由一条直线段连接成的点所构成的闭合路径，其周长和面积具有一定的特征。
像圆形一样，圆的周长是可以被精确的测量的，它的面积也可以根据极圆的定义准确的计算出来。
下面我们将证明圆是等时圆，即旋转一周后，其周长和面积不变。
首先要证明的就是，圆是一个点集合。
根据圆的定义，有以下两点：（1）每个点在圆上都距离任意一点都是等距的（2）此外，每个点都是对称的。
这说明，圆的面积和周长在任意一个点都是一样，旋转360度后，我们发现圆的周长和面积都没有发生变化，也就证明，圆是等时的，即旋转一周后，其周长和面积和原来的相同。
以上就是关于圆是等时圆的证明，经过数学的分析，证明了圆的旋转一周后，它的周长和面积不变。
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老师
姓名
汪小勇学生姓名李亿兴教材版本北师大
学科
名称
数学年级9 上课时间2014.04.05(08:00-10:00) 课题
名称
圆的有关证明
教学
重点
圆的切线证明
教学过程知识梳理
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
知识点一：判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切.
变式1 如图，AD是∠BAC平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
例2 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M
求证：DM 与⊙O 相切.
变式2、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线
方法二：若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题） 例3：如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切.
与圆有关的计算典型基本图型：
图形1：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°。
点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有：
图2E
G O F
D
C B A
图1
E
O D C B
A
（1）在“BO 平分∠CBA”;“BO ∥DE”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC”。
四个论断中，知一推三。
（2）①G 是⊿BCD 的内心；② ；③⊿BCO ∽⊿CDE ⇒BO•DE=CO•CE=
2
1CE 2
； （3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。
图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC=90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：
如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点；
（2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；
②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE 2, BA
BC BD
CD R
DE ==
图形3：如图，⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ， 基本结论有：
（1）DE ⊥AC ⇔DE 切⊙O ； （2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形； ②EF=EC ；③D 是 的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD ，产生母子三角形。
图形4：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：
（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC ＝
AB 4
1
2=R 2； （2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO•AE=2R 2(与基本图形2重合)
图形5：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。
基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)；
（2）在“PR ⊥OB”、“PQ 切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一 （3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB 2 O
E A
B
C D Q
R P E O B A Q R P E O B Q R P E O B
A Q R P E O
B F
E
D C
B O A BF CG=GD 图1O E D
C B A 图2F A B
C D E
O
O D
C B A 垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D. （1）求证：C
D 为⊙O 的切线；
（2）连BF 交AP 于E ，若BE=6，EF=2，求
AF
EF
的值。
变式1：如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。
（1）求证：PC 为⊙O 的切线。
（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4，求
DB
DG
的值。
课堂练习
1、如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线；
2、如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结
O C F E D B A O
E D
C
B
A
DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.
3、如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，AC 为∠EAB 的平分线。
过D 作AE 的垂线，F 为垂足.
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若DF=3，⊙O 的半径为5，求tan BAC ∠的值.
4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于E.
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）若BC=45，AE=1，求cos AEO ∠的值.
课后小结 上课情况：
课后需再巩固的内容：
教研组长签名。