矩阵指数函数及其在控制论中的应用
矩阵指数函数
(5) e
e e；
e；
(6) det e e , 其中
αα
证明 (1) 由定理 2.1.1 知
eµ
α 是 的迹．
λµ k!
若命k m l，则
eµ
但由于C
!，于是有
!!
eµ
∑
∑Cλ λ ．
!
C
λ
µ
1， l m!
λ
λ
e e µ．
m!
l!
反之亦然． (2) 由定理 2.1.1 知
i e
k!
i
i
!
!
!
6
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
d e
dt
dt dt k!
kt k 1!
t
t
l!
l!
e eA ．
(6) 设 所以
diag , , … ,
，其中 是 的 Jordan 标准型，则
e
é êe
li
eli
ê
ê
e ji
ê =ê
eli
ê
ê
ê
ê
êë
diag e , e , , … , e , ，
1 el eli
(di -1)!
现在矩阵经过两个多世纪的发展，已成为一门数学分支——矩阵论。矩阵 的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有广 泛的应用．
1.2 本文所做工作
矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是 研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数 函数，阐述它的定义、一般基本性质、几种计算方法及这几种方法的比较，同 时阐述一下矩阵指数函数的一些应用．
矩阵系数函数
矩阵系数函数一、矩阵系数函数的定义矩阵系数函数是指定义在矩阵上的一类特殊函数，它们具有与矩阵相乘的性质。
矩阵系数函数在数学、工程学和物理学等领域有着广泛的应用。
矩阵系数函数通常用于描述矩阵与向量之间的线性关系，以及矩阵之间的乘积运算。
二、矩阵系数函数的性质矩阵系数函数具有以下性质：1.线性性质：矩阵系数函数与矩阵的线性运算相容，即满足分配律和结合律。
2.乘法性质：当两个矩阵相乘时，矩阵系数函数满足相应的乘法性质。
3.对称性质：当矩阵是对称的时，矩阵系数函数也具有对称性质。
4.微分性质：矩阵系数函数在某些条件下具有微分性质，即它们的导数和偏导数满足一定的关系。
5.唯一性：对于给定的矩阵和向量，与其相关的矩阵系数函数是唯一的。
三、矩阵系数函数的应用矩阵系数函数在许多领域都有应用，以下是几个常见的应用实例：1.控制系统：在控制系统的分析和设计中，矩阵系数函数用于描述系统的状态方程和输出方程，以及系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
2.线性代数方程组：在求解线性代数方程组时，矩阵系数函数用于描述方程组中的系数矩阵和常数项向量，以及它们之间的关系。
3.数值分析：在数值分析中，矩阵系数函数用于描述数值算法中的系数矩阵和向量，如线性方程组的迭代解法和数值积分等。
4.工程学：在工程学中，矩阵系数函数用于描述结构分析、流体动力学、振动分析等领域的物理现象和数学模型。
5.量子力学：在量子力学中，矩阵系数函数用于描述量子态和测量过程，以及它们之间的概率关系。
四、总结与展望矩阵系数函数作为数学和工程学中的重要概念，已经得到了广泛的研究和应用。
在未来，随着科学技术的不断发展，矩阵系数函数的应用领域将会更加广泛和深入。
特别是在大数据处理、人工智能和机器学习等领域，矩阵系数函数将会有更多的应用场景和挑战。
此外，随着数学和其他学科的交叉融合，新的矩阵系数函数和性质将会不断涌现，为解决实际问题提供更多的方法和工具。
因此，我们需要进一步深入研究矩阵系数函数的性质和应用，以期在未来的科学研究和工程技术领域取得更多的成果和突破。
矩阵理论在控制系统中的应用 - 济南大学
矩阵理论在控制系统中的应用崔士军学院：控制学院 专业：控制理论与控制工程 学号：2009010201摘要：本文主要介绍矩阵理论在控制领域中的应用，主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，即给定线性定常系统的自治方程，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。
是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。
一.问题的提出：为了定量地和精确地确定出控制系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出估计。
需要从其数学模型出发，分析系统运动过程和状态。
1. 线性系统状态方程：从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u ，来求解方程（1）和（2）的解，即系统响应。
解的存在性和唯一条件如果系统A(t)、B(t)的所有元在时间定义区间[ ]上均为 t 的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间[ ]上是连续实函数，则其状态方程的解x(t)存在且唯一。
2. 连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析给定线性定常系统的自治方程：并称其为矩阵指数函数。
[])2(0)0(:)1()()()(:0000≥=+=∈=+=t x x Bu A t t t x t x u t B t A x x x x 时不变时变ααt t ,0αt t ,0k k k k At tA t A At I e n n n n A n x t x x A ∑∞==+++=⨯⨯≥==0!122!21,0,)1(0)0( 的矩阵函数定义常阵为维状态向量为其中x x由（1）所描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为：3. 解的含义：（1）如果将 t 取为某个固定值，那么零输入响应 , 即为状态空间中由初始状态 经线性变换 所导出的一个变换点。
因此系统的自由运动就是由初态出发，并由 的各时刻的变换点所组成的一条轨迹。
（2）自由运动轨迹的形态，即零输入响应形态，是由矩阵指数函数 所唯一地决定。
矩阵函数在控制理论中的应用-09李学慧
矩阵函数在控制理论中的应用—连续时间线性时不变系统状态观测器设计李学慧（学院：控制科学与工程 专业：检测技术与自动化装置 学号：2009010190）摘要在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。
随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个新的阶段——现代控制理论。
它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。
因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。
现代控制理论设计反馈控制系统采用状态反馈.因此，可以说现代控制理论的基础是状态反馈问题。
状态变量的选取和确定是至关重要的。
设计位置控制系统时，通常选取负荷的位置()y t 作为状态1()x k 、速度()y t 作为状态2()x k ，因为负荷的位置容易测量，检测元件的造价较低。
而对于测速系统来说，检测元件的成本是很高的。
对于有些复杂系统，往往无法直接观测相应的状态。
在控制对象的状态无法观测，或者观测状态所需的测量元件造价过高时，利用控制对象的输入和输出间接地推定相应的状态变量，称为状态观测器。
预备知识一 定义：设有线性定常系统0(,,)A B C ∑=的状态x 是不能直接量测的，若存在另一个动态系统g ∑，满足如下条件：（1）g ∑以0∑的输出y 和输入u 作为输入量；（2）g ∑的输出ˆ()t x满足 ˆlim[()()]0(1)t t t →∞-=x xˆ()t x为g ∑的状态，则称g ∑是0∑的状态观测器。
二 构造观测器的一般原则：（1）观测器g ∑必须以原受控系统0∑的输出y 和输入u 作为输入。
（2）为使观测器g ∑满足（1）式，则要求原受控系统0∑是状态完全能观的，或其不能观部分是渐近稳定的。
（3）观测器的输出ˆ()t x 应有足够快的逼近的()t x 的速度，因此要求应有足够的频带。
（4）观测器g ∑应有较好的抗干扰性。
（5）观测器g ∑的结构应尽可能简单，即g ∑的维数应尽可能低。
矩阵论在控制系统中的应用 高等代数解决方案
矩阵论在控制系统中的应用高等代数解决方案矩阵论作为高等代数的重要分支，广泛应用于各个领域，其中包括控制系统。
控制系统是一种以矩阵为基础的数学模型，通过使用矩阵论中的相关方法和技巧可以解决控制系统的设计与分析问题。
本文将探讨矩阵论在控制系统中的应用，并提供相关的高等代数解决方案。
控制系统是用于操控和管理一定范围内的实体或者过程的系统，常见的控制系统包括自动驾驶系统、机器人控制系统、工业自动化控制系统等。
这些控制系统通常由传感器、执行器、控制器以及相关的算法和软件组成，通过对输入信号的采集和处理，控制系统能够实现对输出信号的准确控制。
而矩阵论在控制系统中的应用则是通过研究和分析矩阵间的关系和性质来实现对控制系统的优化和改进。
首先，矩阵论在控制系统中的应用之一是状态空间分析。
状态空间是一种表示系统动态行为的数学模型，通过将系统的状态和输入输出关系用矩阵形式表示，可以方便地进行系统的分析和控制。
在状态空间分析中，我们可以使用矩阵的特征值和特征向量来确定系统的稳定性和响应特性。
例如，可以利用矩阵特征值的实部判断系统是否稳定，并通过特征向量来描述系统的响应模式。
此外，状态空间模型中的状态转移矩阵和控制矩阵也可以通过矩阵运算和特征分解得到，从而对系统进行参数优化和控制器设计。
其次，矩阵论在控制系统中的应用之二是线性时不变系统的传递函数描述。
线性时不变系统是一种常见的控制系统模型，通过输入信号和系统的传递函数之间的关系，可以得到输出信号的解析表达式。
在传递函数描述中，矩阵的乘法和逆运算经常用于传递函数的推导和计算。
例如，在求解系统的零点和极点时，可以将传递函数表示成分子多项式和分母多项式的比值形式，进而使用矩阵的特征值和特征向量来求解系统的零点和极点。
此外，矩阵的行列式和行列式的性质也常常用于传递函数的稳定性判断和振荡特性分析。
最后，矩阵论在控制系统中的应用之三是多变量系统的分析和设计。
当控制系统中存在多个输入和多个输出时，需要使用多变量控制技术来实现对系统的精确控制。
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
指数矩阵e^(at)的有限形式
指数矩阵e^(at)的有限形式指数矩阵e^(at)：从简单的原理到复杂的实际应用指数矩阵e^(at)是一个非常常见的矩阵，它出现在很多数学问题中。
它使用了指数函数e^x，将其矩阵化，一般它都会以矩阵形式e^ (at)出现，其中a为一个常数矩阵，而t为时间变量。
那么，指数矩阵e^ (at) 的有限形式有什么？一、定义指数矩阵e^(at)的有限形式定义为：e^(at) =∑_(k=0)^n▒〖A^k t^k/k!〗，其中A是一个常数矩阵，t是时间变量，k!表示k的阶，即k × (k−1) × (k−2) × … × 1，而这个等式的“∑”号标识的是n次加法运算的过程。
二、特征1、指数矩阵e^(at)的变换性质：由于指数矩阵e^ (at)被定义为一个有限形式，因此它具有一定的变换特性。
具体来说，它会随着时间t在空间变换，一般情况下，当时间t比较小的时候，它所形成的空间更加伸展，而当t不断增大时，它会逐步缩小。
2、指数矩阵e^(at)的几何特性：其次，指数矩阵e^(at)具有一定的几何特性，这主要是基于它的应用在几何分析中的相关规律，如果以它为基础，那么可以用它来描述曲面、曲线以及其他一些几何实体。
三、应用1、指数矩阵e^(at)在控制论中的应用：指数矩阵e^ (at)在控制论中可以用来分析复杂的系统动态，由于它准确而极其有效的描述了系统行为的变化，因此它可以用来指导实际的控制措施，从而控制某些微小的系统分量，如温度、质量流量、电流等，从而使系统保持在理想的状态。
2、指数矩阵e^(at)在优化方法的应用：此外，指数矩阵e^ (at)还可以用于优化方法，例如，当需要用算法迅速地确定最优化参数时，就可以用指数矩阵e^(at)来代替传统方法。
同时，因为它具有一定的几何特性，因此可用于二维几何结构搜索和三维几何结构优化等。
四、总结总之，指数矩阵e^(at)是一个有限形式的矩阵，它具有变换性质和几何特性，常见的应用包括控制论和优化方法。
高等代数在控制理论中有何独特应用
高等代数在控制理论中有何独特应用在当今科技飞速发展的时代，控制理论作为一门重要的学科，在众多领域发挥着关键作用，从工业自动化到航空航天，从机器人技术到智能交通系统。
而高等代数，作为数学领域的一个重要分支，为控制理论提供了坚实的理论基础和强大的工具。
高等代数中的矩阵理论是控制理论中最为基础和核心的部分之一。
在控制系统的描述和分析中，常常需要用到状态空间模型，而这个模型就是通过矩阵来表示的。
例如，系统的状态方程可以表示为＄x'（t) ＝ Ax(t) ＋ Bu(t)＄，其中＄A$ 是系统矩阵，＄B$ 是输入矩阵。
通过对这些矩阵的特征值、特征向量等性质的研究，可以深入了解系统的稳定性、可控性和可观测性等重要特性。
矩阵的特征值和特征向量对于判断系统的稳定性具有关键意义。
如果所有特征值的实部均为负数，那么系统就是稳定的；反之，如果存在实部为正数的特征值，系统则是不稳定的。
这种基于特征值的稳定性判断方法简洁而直观，为控制系统的设计和优化提供了重要的依据。
可控性和可观测性是控制系统的两个重要概念。
可控性指的是能否通过输入来将系统从任意初始状态引导到任意期望状态；可观测性则是指能否通过系统的输出完全确定系统的初始状态。
通过高等代数中的矩阵运算和秩的判断，可以有效地判断一个系统是否具有可控性和可观测性。
如果一个系统不可控或不可观测，那么在实际应用中就需要对系统进行重新设计或改进，以满足控制的要求。
高等代数中的线性变换理论在控制理论中也有着广泛的应用。
在控制系统中，常常需要对状态变量进行变换，以简化系统的分析和设计。
例如，通过线性变换可以将一个复杂的系统模型转化为对角标准型或约当标准型，从而使系统的特性更加清晰和易于处理。
线性变换还可以用于系统的解耦控制。
在一些多输入多输出的控制系统中，各个输入和输出之间可能存在着复杂的耦合关系，这使得控制变得困难。
通过适当的线性变换，可以将耦合的系统分解为多个独立的子系统，从而实现解耦控制，大大简化了控制策略的设计和实现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即
故
2.1.2[4]利用相似对角化求矩阵指数函数
设 是可对角化的，即存在 ，使得
则有
同理可得
例已知 ，求 。
解：可求得 ，即 的特征值为 。对应 的特征向量为 ，对应 的两个线性无关的特征向量为 。于是
，使得
故
2.1.3[5]利用Jordan标准形求矩阵指数函数
设 ，存在 可导，使得
1.矩阵函数的概念及矩阵指数函数的基本性质
矩阵函数的概念和通常的函数概念类似，所不同的是这里的自变量和因变量都是n阶矩阵。本节首先以定理与矩阵幂级数的和为依据，给出矩阵函数的幂级数表示，进而探讨了矩阵指数函数的一些相关性质。
1.1矩阵函数的概念
定义1[1]设 ，一元函数 能够展开为 的幂级数
，
并且该幂级数的收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，则将收敛矩阵幂级数 的和定义为矩阵函数，记为 ，即
因为当 时，有
则对任意 ，矩阵幂级数
是收敛的。它们的和记为 ，即
通常称 为矩阵指数函数
1.2[2]矩阵指数函数的基本性质
性质1微分公式：
（1.2.1）
这是因为矩阵指数函数右端的级数绝对收敛，所以可以逐项求导，得到
性质2 与 可交换:
从（1）中已看出 与 是可交换矩阵。容易证明 与 也是可以交换。
这里的 是任意自然数。
2.1 矩阵指数函数的四种计算方法
2.1.1[3]利用Hamilton-Gayley定理求矩阵指数函数
本节讨论的方法是利用Hamilton-Gayley定理找出矩阵方幂之间的关系，通过化简矩阵幂级数的方法来求解。
例1已知 ，求 。
解：可求得 。由Hamilton-Gayley定理知 ，从而 即
故
例2已知4阶方阵 的特征值为 ， ， ， ，求 ， 。
关键词：矩阵指数函数；Jordan标准型；状态方程；微分方程组
Matrix exponential function and its application in Control Theory
Abstract
Matrix exponential function is a special and important function, whether it is the field of mathematics, computer areas, or engineering technology related to the modern control theory has a very wide range of applications.
性质6逆矩阵：在（1.2.2）中取 ，结合（1.2.5），就得到
同样可证
所以 的逆矩阵是 。既然 总是存在的，所以矩阵指数函数总是非奇异矩阵。即使 是奇异矩阵结果也是一样。
性质7相似变换：
对定义 的两端施以任意的同一相似变换，并注意到
就有
就是说，对一个矩阵作相似变换，相当于对它的矩阵指数函数作同样的相似变换。
由Hamilton-Cayley定理知 ，于是由式（2）得
可知，只要求出 即可得到 。又因为
将式（2.1.4.2）两边对 求导，联系上式，求出
即
（3）
由式（3）即得到以 为解的步骤如下：
第一步，求矩阵 的特征多项式；
第二步，设 。根据
或
列方程组求解
第三步，计算 或（ ）= 。
This article from the matrix exponential function the basic definition of began to, summed summed up the matrix exponential function some basic properties of, and thus explores the how to calculate the matrix exponential function, paper chose the one of the four kinds calculation method, develop simultaneously out the examples illustrate the their computation volume and calculation step, right they carried out simple comparison, analyze encounter specific problems should how to choose the the best method for solving. In addition Contact modern control theory, to master how to use matrix exponential function to solve in the engineering technical fields will encounter of the state Equation Problem as well as online Xing control systems in the often involve of the solving linear differential equations group issue.
本科毕业论文(设计)
题 目矩阵指数函数及其在控制论中的应用
院(系)数学系
专业数学与应用数学
学生姓名XXXXXXX
学号XXXXXXX
指导教师XXXXXX职称XXXXX
论文字数6500
完成日期:年月日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本人签名：
日期：
巢湖学院本科毕业论文(设计)使用授权说明
本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文(设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文(设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。
性质8Laplace变换：
求 的Laplace变换可得：
两边同时乘以 ，得
由此便知道
从而并有
这个结果常被用来计算 。顺便指出，这个结果表明，无论 是否奇异，作为多项式矩阵的 必是非奇异矩阵。
2.矩阵指数函数的四种计算方法及其比较
上面定义了矩阵指数函数 ，在具体应用中，要求将 所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵指数函数的值。本节探讨了其中四种计算函数值的方法。四种方法各有不同，涉及到如特征多项式、Jordan标准型、待定系数法等相关知识。
3.利用矩阵指数函数求解状态方程
状态方程是一阶微分方程组。在这个意义上说，它与微分方程没有什么不同。状态方程可以改写成关于单一变量的微分方程求解，但也可以不把状态方程合并成单一变量微分方程，而直接在状态方程形式下求它的解。本节叙述的就是这种方法。
为了说明如何利用矩阵指数函数直接解状态方程，我们先证明如下命题：
控制论是研究各种系统控制和通讯的一般规律的科学。随着科技的发展和计算机网路技术的普及，现代控制理论在工程信息技术以及其他领域中起着越来越重要的作用。
本文通过矩阵指数函数的基本概念和性质，探讨了矩阵指数函数的四种计算方法并举例说明对其进行比较。最后通过求解状态方程来进一步研究矩阵指数函数在控制论和微分方程中的应用。
保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。
本人签名：
日期：
导师签名：
日期：
矩阵指数函数及其在控制论中的应用
摘要
矩阵指数函数是一类特殊而又重要的函数，无论是数学领域、计算机领域，还是工程技术领域涉及到的现代控制论中都有非常广泛的应用。
本文从矩阵指数函数的基本定义开始，归纳总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而探讨了如何计算矩阵指数函数，本文选择了其中的四种计算方法，并通过实例说明了它们的计算量和计算步骤，对它们进行了简单的比较，分析遇到具体的问题应如何选择最佳的方法求解。另外联系现代控制理论，掌握如何用矩阵指数函数解决在工程技术领域中会遇到的状态方程问题以及在线性控制系统中常常涉及的求解线性微分方程组的问题。
第三种计算方法的计算量是最大的。在求 的Jordan表达式中，要计算 的Jordan标准型，当中又要涉及到 矩阵的初等变换，计算复杂。之后的计算变换矩阵 ，计算量也很大，随着矩阵 的阶数变大会更加繁杂。但是这种方法的优点是计算步骤比较清晰，通俗易懂。
第四种方法的计算步骤最为复杂。要先求矩阵的特征多项式，然后列出方程组，最后求出结果。
其中
由定理得
例已知 ，求 。
解：
于是
根据Jordan标准形理论可得
定理2.3[6]设 是 的 个特征值，则矩阵函数 的特征值为 。
2.1.4[7]利用待定系数法求矩阵指数函数
[8]设 ，且 的特征多项式为
（1）
其中 是 的全部互异特征值， 。为计算 ，记 。将 改写成
（2）
其中 是含参数 的 的幂级数， 是含参数 且次数不超过 的 的多项式，即
Keywords:Matrix exponential function,Jordanstandard,equation of state,differential equations
参考文献19
引言
作为数学的一个重要分支，矩阵函数具有极其丰富的内容。随着计算机的高速发展和普及，矩阵函数的重要性也愈加显著。作为一种基本工具，矩阵函数在数学及其他科学技术领域，如信息计算、现代控制理论等学科都有着十分重要的应用。