2023届全国高三单元定向检测数学
西城区2023届高三统一检测数学答案及评分参考
2023.3 第1页（共8页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A（ 6 ）C（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）1（13）1- 2-（14π3（答案不唯一） （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CDADC A=∠∠．………2分所以2πsin sin 2AC A ADC CD ⋅∠∠==． ………4分因为π03ADC <∠<， ………5分 所以π4ADC ∠=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=--=． ………7分 由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC △为等腰三角形． ………8分所以π2cos6BC AC =⨯⨯=．………10分所以BCD △的面积为11ππsin )2234BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=-=△ ………13分2023.3 第2页（共8页）（17）（共13分）解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=； ………2分估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=．………4分（Ⅱ）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．(0)P X =估计为2212()329⨯=；………5分 (1)P X =估计为122121214C ()332329⨯⨯⨯+⨯=；………6分 (2)P X =估计为122121115C ()3323218⨯⨯⨯+⨯=； ………7分 (3)P X =估计为2111()3218⨯=．………8分 估计X 的数学期望2451701239918186EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………10分 （Ⅲ）A 与B 相互独立．………13分（18）（共14分） 解：选条件①：BE AF ∥．（Ⅰ）因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．………1分因为平面ABEF I 平面PCD EF =， 所以AB EF ∥．………2分又BE AF ∥， 所以四边形ABEF 为平行四边形． 所以AB EF ∥且AB EF =． ………3分因为AB CD ∥且12AB CD =，所以EF CD ∥且12EF CD =． 所以EF 为PCD △的中位线． (5)分所以F 为PD 的中点．………6分2023.3 第3页（共8页）（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x y z -，………7分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uu u r ，(,,)111BF =-uu u r ，(,,)011AF =uu u r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uu u r uu u rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ 令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………9分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ． 所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF u u u r是平面PCD 的一个法向量．………11分cos ,||||AF AF AF 〈〉==⋅uu u ruu u r uu u r m m m ．………13分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角， 所以二面角B FC P --． ………14分选条件②：BE PC ⊥．（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB =．………1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =． ………2分 因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ， 所以//AB 平面PCD ． 因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………5分所以CD EF ∥． 所以F 为PD 的中点．………6分2023.3 第4页（共8页）（Ⅱ）以下同条件①． （19）（共15分）解：（Ⅰ）()e sin x f x x '=+．………1分 所以(0)0f =，(0)1f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())00f 处的切线方程为y x =．………4分（Ⅱ）由题设，()(e sin )(e cos )x x g x x x x =+--(1)e sin cos x x x x x =-++．所以()(e cos )x g x x x '=+． ………6分当0x >时，因为0e cos e cos 1cos 0x x x x +>+=+≥， 所以()0g x '>．………8分 所以()x g 在(0,)+∞上单调递增．………9分 （Ⅲ）11()()3434f f >．………10分证明如下：设()(),(0,)f x h x x x=∈+∞．………11分 则22()()()()x f x f x g x h x x x'-'==．………12分由（Ⅱ）知()x g 在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0x g g >=．………13分 所以()0h x '>，即()x h 在(0,)+∞上单调递增．………14分 所以11()()34h h >，即11()()3434f f >．………15分2023.3 第5页（共8页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当直线AB 与x轴垂直时，设其方程为(x t t =<．………1分 由点A ,B 关于x 轴对称，且OA OB ⊥，不妨设(,)A t t ．………2分将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，得2222t t +=，解得3t =±．………3分 所以直线AB的方程为x =．………4分 （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅰ）知||||ON OM =………5分当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．由22,22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=． ………6分由228(21)0k m ∆=-+>，得2212m k <+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+． ………8分因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u r u u u r．所以12121212()()0x x y y x x kx m kx m +=+++=． 整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=．………10分所以2222(1)(22)(4)(21)0k m km km m k +-+-++=．解得22322m k =+，从而223m ≥．………11分设ON OM λ=u u u r u u u r，其中0λ>．则1212222()(,)(,)222121km m ON OA OB x x y y k k λλλλ-=+=++=++uuu r uu r uu u r ．………12分将222(,)2121km m N k k λλ-++代入椭圆C 的方程，得22221m k λ=+． 所以22231m m λ=-，即2213m λ=-． ………13分 因为223m ≥，所以2332λ<≤λ<．………14分2023.3 第6页（共8页）综上，||||ON OM的取值范围是． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为(1,1,0)(1,1,0)1111002⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=．又(1,1,0)(1,0,1)1110011⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=． 所以集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =具有性质(3,2)T ．………4分（Ⅱ）当4n =时，集合A 中的元素个数为4．由题设{0,1,2,3,4}p ∈． ………5分假设集合A 具有性质(4,)T p ，则①当0p =时，{(0,0,0,0)}A =，矛盾．②当1p =时，{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}A =，不具有性质(4,1)T ，矛盾． ③当2p =时，{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆． 因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A 中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A 中； (1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾．④当3p =时，{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}A =，不具有性质(4,3)T ，矛盾． ⑤当4p =时，{(1,1,1,1)}A =，矛盾．综上，不存在具有性质(4,)T p 的集合A ． ………9分 （Ⅲ）记12(1,2,,)j j j nj c t t t j n =+++=L L ，则12n c c c np +++=L ．若0p =，则{(0,,0)}A =L，矛盾．若1p =，则{(10,,0)}A =L，矛盾．故2p ≥．假设存在j 使得1j c p +≥，不妨设1j =，即11c p +≥． 当1c n =时，有j c =0或j c =1(2,3,,)j n =L 成立．所以12,,,n αααL 中分量为1的个数至多有(1)212≤n n n n np +-=-<．…11分 当11p c n +<≤时，不妨设11211,111,0p n t t t t +=====L ．因为n n p αα⋅=，所以n α的各分量有p 个1，不妨设23,11n n n p t t t +====L ． 由i j ≠时，1i j αα⋅=可知，{2,3,,1}q p ∀∈+L ，121,,,,q q p q t t t +L 中至多有1个1， 即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，至多含有121p p p ++=+个1． 又1i n αα⋅=(1,2,,1)i p =+L ，则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，含有 (1)(1)22p p p +++=+个1，矛盾．所以(1,2,,)j c p j n =L ≤．………14分因为12n c c c np +++=L ， 所以j c p =(1,2,,)j n =L ．2023.3 第7页（共8页）所以12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L ． ………15分2023.3 第8页（共8页）。
2023年福建高三省质检数学试题及答案解析
你若盛开，蝴蝶自来。
2023年福建高三省质检数学试题及答案解析2023年福建高三省质检数学试题及答案解析2023届福建高三“省质检”联考考试时间支配在2023年4月6日-4月8日。
以下是关于2023年福建高三省质检数学试题及答案的相关内容，供大家参考!2023年福建高三省质检数学试题2023年福建高三省质检数学试题答案2023福建省质检成果查询时间依据往年状况，估计周末各地就间续能查到成果啦!不同地市和学校的阅卷进度、查分方式不一样，大家急躁等待学校老师通知哦。
而此前有消息称，本次“省质检”漳州的阅卷时间自4月6日下午开头，至10日中午结束。
也就是说目前已考完科目正在阅卷中，最快的话这两天就会有部分学校可以领先查到部分科目的成果了，10日晚上估计全部科目可查。
高三模拟考试和高考哪个难第1页/共3页千里之行，始于足下。
这个回答没有肯定的答案，由于每年的模拟卷内容不通、高考的考卷难度也不同。
而且由于考生的成果不同，对于考卷的难易程度推断也不同。
所以这个问题没有准确的答案。
假如根据总体的水平来评估，高考试卷的难度不会高于模拟考试卷，高考中基础部分和中级难度的题目占比在80%左右，只有20%是拔高题。
所以假如基础学问打的好，那么对于考生来说，高考题目不难。
高考的题目的难度是在问法、提问方式上，而并不是运用了超纲的学问点，与大家传统意义上的难度不通。
相比高考的难度，模拟考要更难一点。
由于模拟考试的目的是期望通过考试来推断同学对学问点的把握状况，假如过于简洁就起不到探底的目的。
高考与模拟考试分数差的大吗1、历次高三模拟考试的平均分最接近高考成果：理科生都知道，做试验减小误差的方法就是多做几次，然后求平均值。
所以想知道自己高考也许能考多少分或者说高考与模拟考会差多少分，那你可以把自己做的全部模拟题的分数加起来取平均值，多次模拟考试的平均分最接近高考成果。
2、最终高三两三次的模拟考试分数比较接近高考分数：一般状况下，前几次的高考模拟题，老师一般出题比较偏难一点，主要是为了让高三的同学收收心，让他们更快的投入到高考冲刺阶段。
河北省衡水中学2023届高三上学期一调考试数学试卷含答案
河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}03|{2<-=x x x A ，}33|{≥=xx B ，则=B A A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,21C ．)2,0(D ．(1，3)2．若1.05=a ，3log 212=b ，8.0log 3=c ，则c b a ,,的大小关系为A ．cb a >>B ．ca b >>C ．ab c >>D ．ba c >>3．设Rb a ∈,，则使b a >成立的一个充分不必要条件是A ．33ba >B ．0)(log 2>-b a C ．22ba >D ．ba 11>4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得223.045ln ,693.02ln ≈≈，由此可知2.0ln 的近似值为A ．-1.519B ．-1.726C ．-1.609D ．-1.3165．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数y x ,满足的关系式可以是A ．01log |1|3=--yx B ．yx x312=-C ．02|1|=--y x D ．1||ln -=y x 6．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数．若对任意R x ∈，都有3]2)([=-xx f f ，则=)4(fA ．9B ．15C ．17D ．337．已知函数1||16)(+++=x mxe xf x的最大值为M ，最小值为N ，则=+N M A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关8．已知正实数y x ,满足y y x x =-+++)11)(142(22，则y x 2+的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)
福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题(含答案解析)【注意】本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1 至10题为选择题，每小题2分，共20分；第Ⅱ卷为非选择题，共80分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共20分）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 将函数$f(x)= \sin(x-\frac{\pi}{6})+2x$ 的图像上对称的两个点P和Q分别对应于$f(x)=7$ 和$f(x)=-1$，则点P和Q的坐标分别是（）A. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{11\pi}{6}, -1\right)$B. $\left(\frac{5\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{7\pi}{6}, 7\right)$C. $\left(\frac{5\pi}{6}, 7\right), \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$D. $\left(\frac{7\pi}{6}, -1\right), \left(\frac{11\pi}{6}, 7\right)$【解析】根据函数图像对称性和点过该函数能确定两个点，即可得到答案为C。
2. 若$\frac{(x+2)^2-1}{x+1}>0$，则实数x的取值范围是（）A. $x>2$ 或 $-1<x<-2$B. $x>2$ 或 $-1<x<-2$ 或 $x<-3$C. $x<-3$ 或 $-2<x<-1$D. $x>-3$ 或 $x<-1$ 或 $x<-2$【解析】根据不等式性质和解析式展开，结合一元二次不等式求解可得答案为B。
湖北省2023届高三5月国都省考模拟测试 数学试题及答案
机密★启用前湖北省2023届高三5月国都省考模拟测试数学试题本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目条件的.1.设集合{37},{26,}A x x B x x x Z =<=<∈∣∣剟，则A B ⋂=（ ） A.{}3 B.{}3,4 C.{}4,5 D.{}3,4,52.已知()12i 43i z +=+，其中z 为z 的共轭复数，则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.美味可口的哈根达斯蛋筒冰激凌可近似看作半径相等的一个半球和一个圆锥组成，如实物图，已知冰激凌的表面积为5π，底部圆锥的母线为3，则冰激凌的体积为（ ）A.(213π+ B.(13π+ C.(13π+ D.(213π4.为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的43倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（ ） A.325万元 B.581万元 C.721万元 D.980万元5.已知335sin ,4544x x πππ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则sin 1tan x x=-（ ）A.21100 B.21100- D.6.已知12,F F 是椭圆22143x y+=的左，右焦点，过点2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，设1ABF 的内切圆圆心为I ，则tan IAB ∠的最大值为（ ）A.2 C.12 7.若过第一象限的点(),a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A.ln b a < B.ln b a > C.ln b a < D.ln b a >8.如图，已知圆22:1M x y +=，圆22:(2)(3)1N x y -+-=，已知P 为两圆外的动点，过点P 分别作两圆的割线PAB 和PCD ，总有PCA PBD ∠∠=，则点P 的轨迹方程是（ ）A.46130x y +-=B.220x y +-=C.22132x y += D.225x y -= 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A.已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB = ，则P 的坐标为16,15⎛⎫- ⎪⎝⎭；B.若O 是ABC 的外接圆圆心，则212AB AO AB ⋅=C.若()c a b ⊥- ，且0c ≠ ，则a b =D.若点P 是ABC 所在平面内一点，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC 的垂心.10.在一次党建活动中，甲､乙､丙､丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲､乙､丙､丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A.甲组中位数为2，极差为5 B.乙组平均数为2，众数为2 C.丙组平均数为1，方差大于0 D.丁组平均数为2，方差为3 11.已知函数()ln ,xf x e x=是自然对数的底数，则（ ） A.()()23f f <B.若1221ln ln x x x x =，则122x x e +=C.()f x 的最大值为1eD.“02x <<”是“111(1)x x x x +<+”的充分不必要条件12.如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球O 的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（ ）A.FI ∥平面ABEB.BE 与平面EIJC.D.该多面体的外接球的表面积为8π三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.7(3展开式中含3x 项的系数为__________.14.曲线3y x =在点()2,8A 处的切线方程是__________.15.在圆锥内放入两个大小不等的外离的球1O 与球2O ，半径分别为R 和r ，且4R r >，使得它们与圆锥侧面和截面相切，两个球分别与截面相切于点E ，F ，在截口上任取一点A ，又过点A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,B C ，则可知线段,AE AF 的长度之和为常数.若圆锥轴截面为等边三角形，则截口曲线的离心率是__________.16.盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为__________；（2）取了()2,3,4,n n = 次后，所有红球刚好全部取出的概率为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c A 为锐角，sin a B =. （1）求角A ；（2）若D 为BC 边上一点，且满足2AD CD BD ==，试判断ABC 的形状. 18.（12分）已知数列{}n a 满足：()1113,2n n n a a a n n++==+. （1）证明：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，O 是AD 的中点，底面ABCD 是菱形，2,60,AB BAD PB ∠===（1）求证：平面PBO ⊥平面ABCD ；（2）求二面角O PC B --的平面角的余弦值. 20.（12分）为巩固拓展脱贫攻坚成果，某地区对地方特色手工艺品的质量实行专家鉴定制度：若一件手工艺品被3位专家都鉴定通过，则该手工艺品被评为一级品；若一件手工艺品仅有两位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为二级品；若一件手工艺品仅有一位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为三级品；若一件手工艺品没有得到三位专家的鉴定通过，则相应的被评为四级品，已知每一件手工艺品被一位专家鉴定通过的概率均为23，且专家之间鉴定是否通过相互独立.（1）求一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率；（2）若一件手工艺品质量分别为一､二､三级均可出厂，且利润分别为100元，70元，20元，质量为四级品不能出厂，亏损10元，记一件手工艺品的利润为Y 元，求Y 的分布列及1000件产品的平均利润. 21.（12分）已知双曲线Γ的中心为坐标原点，对称轴为x 轴和y 轴，且双曲线Γ过点()2,0A -，()14,24B -. （1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点()2,3C -的直线分别交Γ的在､右支于,D E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交直线AB 于点F ，点G 满足EF FG =.证明：直线DG 过定点.22.（12分） 函数()()()211ln ,2f x x ax ax xg x =+-+为()f x 的导函数()f x '. （1）讨论()g x 的单调性；（2）若()f x 在三个不同的极值点()312123,,x x x x x x <<. （i ）求a 的取值范围； （ii ）证明()()31f x f x <.湖北省2023届高三5月国都省考模拟测试数学参考答案及评分标准一､选择题：二､填空题：13.21 14.1216y x =- 16.10191000；831039495n n⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三､解答题：17.（10分）解：（1）在ABC 中由正弦定理有：sin sin 2A B B ⋅=. 因为sin 0B ≠，所以sin A =. 又因为A 为锐角，即3A π=.（2）设ACD ∠θ=，在ACD 中，AD CD =，即CAD ∠θ=.易知2,33BAD ABC ππ∠θ∠θ=-=-. 在ABD 中，由正弦定理有：2sin sin 33BD ADππθθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又因为2AD BD =，所以22sin sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 化简得sin 06πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即6πθ=. 则2ABC π∠=，所以ABC 为直角三角形.18.（12分）解：（1）设1n n a b n =+，则1111,41n n ab b n ++=+=+. 因为121n n a a n n n ++=+，所以112121211n nn n n n a a b n n a a b n n+++++===++.即{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列. 则数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. （2）由（1）知11422n n n b -+=⨯=，则12n n a n n +=⋅-，即12n n c n +=⋅.则23112222n n T n +=⨯+⨯++⨯ .()212222122n n n T n n ++=⨯++-⨯+⨯ .两式相减得：23122222n n n T n ++-=+++-⨯ .所以()2124n n T n +=-+.19.（12分）解：（1）在ABD 中，60,2,BAD AB O ∠== 是AD 的中点，即OB =在PAD 中，PO PO AD =⊥.POB 中，222PB PO OB PB =+=，所以PO OB ⊥.又因为,PO AD OB AD O ⊥⋂=.,OB AD 均在平面ABCD 中，所以PO ⊥平面ABCD .PO ⊂平面PBO ，所以平面平面ABCD .（2）由（1）知PO ⊥平面ABCD .在ABD 中，60,2,BAD AB O ∠==是AD 的中点，即BO AD ⊥. 以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则(()(),,P B C -.所以()(2,0,0,BC PB =-=.设平面OPC 的法向量为()111,,m x y z = ，由00m OP m OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.得111020x =-+=⎪⎩，取)m = .设平面PCB 的法向量为()222,,n x y z = ，由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222020x =-=⎪⎩，取()0,1,1n = .所以cos ,m n ==. 所以二面角O PC B --的平面角的余弦值为7. 20.（12分）解：（1）一件手工艺品质量为二级品的概率为2232241339C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）Y 可能取值为100,70,20,10-.()()322328224100;701327339P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()()231322221201;101339327P Y C P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-==-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则Y 的分布列为：期望()21175010070201027992727E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=. 所以1000件产品的平均利润为()1750000100027E Y =. 21.（12分）解：（1）由题意知，双曲线焦点在x 轴上，故设双曲线方程为22221(,0)x ya b a b-=>.将A B ､两点坐标代入双曲线方程得2222(14)242,1(,0)a a b a b-=-=>.所以2,a b ==221412x y -=.（2）直线DG 过定点()2,0A -，下面给出证明.,,D G A 三点共线AD AG k k ⇔=设点()()1122,,,D x y E x y ，直线DE 方程为()23y k x =++. 由题意知，直线AB 的方程为24y x =--.点F 为线段EG 的中点，从而()()22222,24,,48F x x G x x y -----.1221248,22AD AG y x y k k x x ---==++，若122124822AD AG y x y k k x x ---=⇔=++. 化简得()()()()122112224220y x y x x x ++++++=......（1） 又()()112223,23y k x y k x =++=++，代入（1）式得. 即证()()()()1212244118280k x x k x x k ++++++= (2)联立()22231412y k x x y ⎧=++⎪⎨-=⎪⎩，化简得()()2223223(23)120k x k k x k --+-+-=.则()212122222312(23),33k k k x x x x k k+--++==--. 代入（2）式左边得()()()22222312(23)24411828033k k k k k k k k+--++⋅++⋅++=--. 由于()2322412(23)8409084k k k k k ⎡⎤+--+=----⎣⎦. ()()23241146166866k k k k k k ++=++()()23238288282484k k kk k -+=--++从而（2）式左边等于0成立，直线DG 过定点()2,0A -. 22.（12分）解：（1）由题意知，()()()2211ln ,,0x ax g x f x x a x g x x x x''-+==--=>.记()21,0h x x ax x =-+>，则2Δ4a =-.当Δ0≤即22a -≤≤时，()()()0,0,h x g x g x ≥'≥在()0,∞+单调递增. 当Δ0>即2a <-或2a >时，设()0h x =的解为()''''1212,x x x x <.若2a <-，则由''''1212,1x x a x x +==得，''120x x <<.因为0x >，所以()()()0,0,h x g x g x ≥'>在()0,∞+单调递增. 若2a >，则由''''1212,1x x a x x +==得，''1201x x <<<.此时''1222a a x x ==()g x在⎛ ⎝⎭递增，在⎝⎭递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭递增. 综上所述，当2a ≤时，()g x 在()0,∞+单调递增；当2a >时，()g x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减. （2）（i ）())1ln ,f x x a x f x x=--'有三个不同的极值点等价于()0f x '=有三个不同根.显然，21x =是方程的一个根.则问题转化为当1x ≠时，方程1ln x x a x -=有两个不等的根. 令()1ln x x h x x-=，则()()222222111ln 21ln x x x x h x x x⎛⎫-'+- ⎪+⎝⎭=.构造函数()22211ln ,021x u x x x x -=->+且1x ≠，令2t x =，则()11ln 21t v t t t -=-+. ()22212(1)2(1)2(1)t v t t t t t -=-=++'，即()v t 在()()0,1,1,∞+单调递增. 又因为()10v =.所以当1t >时，()0v t >；当01t <<时，()0v t <.易知：当1x >时，22211ln 21x x x ->+，则()h x 单调递增.当01x <<时，22211ln 21x x x -<+，则()h x 单调递减. 当1x →时，()2h x →，则()h x 的图象如下图所示：为使y a =与()h x 有两个交点，则a 的取值范围是2a >. （ii ）令()1ln 0f x x a x x=--='. 则易知：若0x 是方程()0f x '=的根，则01x 也是方程()0f x '=的根，即有131x x =. 欲证()()31f x f x <，只需证()1110f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，令()()1(01)x f x f x x ϕ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭. 由（i ）可知，1111ln x x a x -=.所以()()22221111111111111111ln 1ln 22ln ln x x f x x ax ax x x x x x ⎛⎫--=+-+=+-+ ⎪⎝⎭. ()()()''212ln 11[],(ln )x x x x x f x f f x x x x x ϕ-+⎡⎤⎛⎫='-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'. ()'222321(ln )2ln 11(ln )x x x x f x x x -+-+-⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 即()()()()()()22222422232321ln 121ln 11(ln )(ln )(ln )x x x x x x x x x x x x x ϕ⎡⎤'-+------+⎣⎦==. 因为01x <<，所以()0x ϕ'≤，即()x ϕ在()0,1上单调递减. 又因为()10ϕ=，所以()0x ϕ>在()0,1上恒成立.即()10f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立.证得()1110f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，即()()31f x f x <.。
河北省石家庄市2023届高三质量检测(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知双曲线的左右焦点分别为，P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线与y 轴的正半轴交于A 点，三角形的内切圆在边上的切点为Q，双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A ．2B ．3C．D．3. 以椭圆的右焦点F 为圆心､c 为半径作圆，O 为坐标原点，若圆F 与椭圆C 交于A ，B 两点，点D 是OF的中点，且，则椭圆C 的离心率为（ ）A．B．C．D．4. 朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第二个音的频率为，第八个音的频率为.则（ ）A．B．C．D．5. 已知，，，这三个数的大小关系为（ ）A．B．C．D．6. 已知多项式，则（ ）A ．0B ．32C ．16D．7. 以下四个命题中，其中真命题为（ ）A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的越大；C．若数据，，…，的方差为1，则，，…，的方差为；D ．对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．8. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A ．5B ．8C ．10D ．159. 已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（ ）A．函数有极小值，但无最小值B．函数有极大值，但无最大值C．若方程恰有一个实数根，则D．若方程恰有三个不同实数根，则河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题三、填空题四、解答题10.设复数（且），则下列结论正确的是（ ）A ．可能是实数B ．恒成立C ．若，则D ．若，则11. 下列大小关系正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ）A．B．C ．是奇函数D．13. 在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a 的值为_______.14. 已知向量，，，且，则______．15.在中，，，，P 为边AB 上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝__，此时三棱锥的体积为 ____．16. 已知函数．(1)求的极值；(2)若，记函数，求证：．17. 已知为坐标原点，点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，已知椭圆的离心率为，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且，求直线的方程.18. 在如图所示的多面体中，平面.(1)证明: 平面平面;(2)求二面角的正弦值.19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点.（1）若直线与椭圆的长轴垂直，，求椭圆的离心率；（2）若直线的斜率为1，，求椭圆的短轴与长轴的比值.20.如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，将沿着折叠，得到四棱锥，使平面平面为线段上的点．(1)求证：；(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．21.已知函数，．（1）求在上的最小值；（2）证明：．。
2023届福建省福州市高三质量检测数学试题(解析版)
所以，不同的选派方法共有19种.故选：C.
7.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n， 则（）
A.α∥β且 ∥αB.α⊥β且 ⊥β
C.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于
〖答案〗D
福建省福州市2023届高三质量检测数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，若 ，则 （）
A. 2B. 3C. 6D. 7
〖答案〗B
〖解析〗因为集合 ， ，且 ，所以
故 .故选：B.
2.在复平面内，复数 对应的点位于第二象限，则复数 对应的点位于（）
11.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为 ， ，下列说法正确的是（）
A.
B.
C.
D. 离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
〖解析〗由 平面 ，直线 满足 ，且 ，所以 ，又 平面 ， ，所以 ，由直线 为异面直线，且 平面 平面 ，则 与 相交，否则，若 则推出 ，与 异面矛盾，所以 相交，且交线平行于 ，故选D．
8.已知 ，函数 ， .若 ，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
〖答案〗C
〖解析〗 ，即 ，
令 ，
，
9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（）
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(新高考)数学试题及答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。
6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。
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2023届全国高三单元定向检测数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、若x ，y满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为14、设向量(1,1),(1,24)m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m =15、曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 16、数列{}n a 满足2(1)31n n n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17、（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 18、（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°（1）若a ，b ，求ABC △的面积； （2）若sin A C ，求C19、（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC△是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO，求三棱锥P−ABC的体积20、（12分）已知函数()e(2)xf x a x=-+（1）当1a=时，讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.21、（12分）已知A、B分别为椭圆E：2221xya+=（a>1）的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB⋅=，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D、（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22、[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin kkx t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)、以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=、 （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标 23、[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|31|2|1|f x x x =+-- （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集答案 一、选择题1、D2、C3、C4、A5、D6、B7、C8、B9、C 10、D 11、B12、A非选择题答案 二、填空题13、1 14、5 15、y =2x 16、7 三、解答题17、解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100= （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务18、解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C +=︒-+=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒ 19、解：（1）由题设可知，PA =PB = PC由于△ABC 是正三角形，故可得△PAC ≌△PAB △PAC ≌△PBC又∠APC =90°，故∠APB =90°，∠BPC =90°从而PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC（2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l 由题设可得rl 222l r -=解得r =1，l从而AB =、由（1）可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P -ABC 的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=20、解：（1）当a =1时，f （x ）=e x –x –2，则f x '（）=e x –1 当x <0时，f x '（）<0；当x >0时，f x '（）>0所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增（2）f x '（）=e x –a当a ≤0时，f x '（）>0，所以f （x ）在（–∞，+∞）单调递增，故f （x ）至多存在1个零点，不合题意当a >0时，由f x '（）=0可得x =ln a 当x ∈（–∞，ln a ）时，f x '（）<0；当x ∈（ln a ，+∞）时，f x '（）>0、所以f （x ）在（–∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）单调递增，故当x =ln a 时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln a ）=–a （1+ln a ）（i ）若0≤a ≤1e ，则f （ln a ）≥0，f （x ）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意（ii ）若a >1e ，则f （ln a ）<0由于f （–2）=e –2>0，所以f （x ）在（–∞，ln a ）存在唯一零点 由（1）知，当x >2时，e x –x –2>0，所以当x >4且x >2ln （2a ）时，ln(2)22()e e (2)e (2)(2)202x x a xf x a x a x a =⋅-+>⋅+-+=>故f （x ）在（ln a ，+∞）存在唯一零点，从而f （x ）在（–∞，+∞）有两个零点综上，a 的取值范围是（1e ，+∞） 21、解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -则(,1)AG a =，(,1)GB a =-、由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =所以E 的方程为2219x y +=（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<< 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+ 直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =- 可得12213(3)(3)y x y x -=+、由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=、①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-= 所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++= 解得3n =-（舍去），32n = 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2 综上，直线CD 过定点3(,0)2 22、解：当k =1时，1cos ,:sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为1的圆（2）当k =4时，414cos ,:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数t 得1C的直角坐标方程为1+=2C 的直角坐标方程为41630x y -+=由1,41630x y =-+=⎪⎩解得1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11(,)4423、解：（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩()y f x =的图像如图所示（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方，故不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-。