新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷三一元函数的导数及其应用北师大版(含答案)

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2023年高考数学一轮复习课件第3章一元函数的导数及其应用

解得x0＝－12， a＝8.
【反思感悟】
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点 A(x0，f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值 k＝f ′(x0)． (2)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由yy10＝－fy1x＝1，f ′x1x0－x1 求解即可． (3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (4)函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变化情况．
3．若
f(x)＝exx，则
e2 f′(2)＝______4________.
【解析】 f′(x)＝xexx－2 ex＝exxx－2 1， ∴f′(2)＝e42.
1 4．若曲线 y＝ax2－lnx 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝_______2_______.
【解析】 y′＝2ax－1x，当 x＝1 时，y′＝2a－1，由题意可知 y′＝0，∴a＝12.
所以 a≠0(当 a＝0 时曲线变为 y＝2x＋1 与已知直线平行)．
由yy＝＝2axx－ 2＋1，a＋2x＋1，消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0. 由 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝8. 解法二：同解法一得切线方程为 y＝2x－1. 设 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1)．因为 y′＝2ax＋(a＋2)，所以 y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由2aax02x＋0＋aa＋＋22x0＝＋21，＝2x0－1，
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2025版高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用单元检测

解得 = 3或 = −.因为 > 0，所以3 > −.
当变化时， ,′ 变化情况如下.
0
极大值
-
0
极小值
所以的单调递增区间为 −∞, − , 3, +∞ ，单调递减区间为 −, 3 .
5 3
的极大值为 − = 1 + ，极小值为 3 = 1 − 93 .
当 ≥ e2 时， = ln + − 2单调递增，
min
= e2 .
当0 < < e2 时， = −ln + + 2，
1

′ = − + 1 =
−1
.

当0 < < 1时，′ < 0，单调递减；当1 < < e2 时，′ > 0，单调递
选C.
π
+
4
√
D. =
，即 =
π
−
2
π2
+
2
π
−
2
π2
+ .故
4
4.函数 = 3 + ln 2的极小值点为(
A. = 1
B. = 2
)
C. = e
解：由题意，得的定义域为 0, +∞ .
1

′ = ln 2 + ⋅ = ln 2 + 1.
令′ < 0，得0 < <
e−4
点 1,2 处有相同的切线，则 + =______
解：由题意，得′ = e − ，′ = 2 + 1.
′ 1 = ′ 1 ,

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第4讲利用导数研究函数的零点问题

第4讲定积分与微积分基本定理1．定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作□01⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －anf (ξi ).这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf (x )d x ＝□02k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝□03⎠⎛abf 1(x )d x ±⎠⎛abf 2（x ）d x； (3)□04⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝□05F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成□06F (x )|ba ，即⎠⎛abf （x ）d x ＝□07F （x ）|b a ＝F (b )－F (a ).1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.1.⎠⎛01(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C解析 ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)|10＝e ，故选C.2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋l n 2(a ＞1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析由题意可知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋l n x )|a 1＝a 2＋l n a －1＝3＋l n 2，解得a ＝2.3．(2021·云南昭通模拟) (1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D 解析4．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案 C解析 ∵S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x 2|10＝16，正方形的面积为1，∴所求概率为16.5．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A ．43B ．2C ．83D ．1623 答案 C解析由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1).如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1），1x，x ∈[1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为．答案 43解析 ⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝13x 3|10＋l n x |e 1＝13＋1＝43.考向一定积分的计算例1 计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛122xd x ；(3)⎠⎛02|1－x |d x ；(4)⎠⎛011－（x －1）2d x .解 (1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )|3－1＝24.(2)因为(l n x )′＝1x，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2l n x |21＝2(l n 2－l n 1)＝2l n 2.(3)若1－x ≥0，则x ≤1，若1－x ＜0，则x ＞1，于是⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝1.(4)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，故⎠⎛011－（x －1）2d x＝π4. 求定积分时应注意的几点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (5)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (6)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.(7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．1.计算下列定积分：(1)⎠⎛011－x 2d x ；(2)⎠⎛0πcos3x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x2d x .解 (1)令y ＝1－x 2，∴x 2＋y 2＝1，y ≥0. ∴⎠⎛011－x 2d x 的几何意义为14个圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.(2)∵(si n x )′＝cos x ，∴⎠⎛0πcos3x d x ＝13si n 3x |π0＝13(si n 3π－si n 0)＝0.(3)∵(x 2)′＝2x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2，∴⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2d x ＝x 2|31＋1x |31＝223.精准设计考向，多角度探究突破考向二利用定积分求图形的面积角度求曲线围成平面图形的面积例2 (2021·榆林模拟)曲线y ＝si n x 与直线y ＝2πx 围成的封闭图形的面积为( )A ．1－π4B ．2－π2C ．π2D ．2＋π2答案 B解析当x ＝π2时，si n π2＝1，2π×π2＝1，故曲线y ＝si n x 与直线y ＝2πx 在第一象限的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，根据对称性，曲线y ＝si nx 与直线y ＝2πx 在第三象限的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，故所求封闭图形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫si n x －2πx d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫－cos x －x 2π＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4－（－1）＝2－π2.被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换积分变量进行简化计算．2.(2021·河南省八市联合测评)由曲线y ＝x ，直线y ＝2－x ，y ＝－13x所围成的图形的面积为．答案136解析解法一：解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1，1)，(0，0)，(3，－1)，所围成的图形如图中阴影部分所示，所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.解法二：如图，所求阴影部分的面积就是△OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01(2－x －x )d x ＝3－⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －12x 2－23x 32|10＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－23＝136.角度已知曲线围成图形的面积求参数例3 (2021·贵阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为．答案－3解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ⇒f ′(0)＝b ⇒b ＝0，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝－a (a ＜0)，274＝S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛0－a（x 3＋ax 2）d x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14x 4＋13ax 3|－a 0＝a 412⇒a ＝－3. 已知曲线围成图形的面积求参数的方法求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，再由已知条件找到关于参数的方程，从而求出参数的值．3.已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3|k 0＝92，即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.角度与概率的交汇问题例4 如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝si n x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为．答案4π3 解析阴影部分的面积为2⎠⎛0πsi n x d x ＝2(－cos x )|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3. 与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．4．如图所示，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝si n x (x ∈[0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A ．7π12B ．2π3C ．3π4D ．5π6答案 B解析阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a si n x d x ＝(－cos x )|a0＝－cos a －(－cos 0)＝1－cosa ．∵点落在阴影部分的概率为P ＝14＝1－cos a 6，∴cos a ＝－12，又a ∈(0，π)，∴a ＝2π3.故选B.考向三定积分在物理中的应用例5 物体A 以速度(单位：米/秒)v ＝3t 2＋1在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5米处，同时以速度(单位：米/秒)v ＝10t 与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (单位：秒)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t10t d t ，(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t0＝t 3＋t －5t2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .5.列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间以及离车站多远处开始制动？解已知列车速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，列车制动时获得的加速度为a ＝－0.4 m/s 2. 设列车开始制动到经过t s 后的速度为v ，则v ＝v 0＋at ＝20－0.4t ，令v ＝0，得t ＝50 s.设列车由开始制动到停止时所走的路程是s ，则s ＝⎠⎛050v (t )d t ＝⎠⎛050(20－0.4t )d t ＝500m.所以列车应在进站前50 s 以及离车站500 m 处开始制动.1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28C ．563 D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13×(43－23)＋14×(44－24)－30×(4－2)＝563.故选C. 2．(2021·山西晋中模拟)已知⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23 C ．－1 D ．－2答案 B解析根据题意有⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋12mx 2|10＝13＋12m ＝0，解得m ＝－23.故选B.3.⎠⎛02(2＋4－x 2)d x ＝( )A ．4＋πB ．4＋2πC ．4＋4πD ．2＋π 答案 A解析原式＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛024－x 2d x ，⎠⎛022d x ＝2x |20＝4，⎠⎛024－x 2d x 表示以2为半径的圆面积的14，所以原式＝4＋14π×22＝4＋π.4．(2021·安徽合肥模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 答案 D解析 ⎠⎛－66f (x )d x ＝⎠⎛－60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，即其图象关于y 轴对称，所以对应的面积相等，即⎠⎛－60f (x )d x ＝⎠⎛06f (x )dx ，故所求为8×2＝16.5．如图，在矩形ABCD 中的曲线是y ＝si n x ，y ＝cos x 的一部分，点A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，D (0，1)，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．4π(3－1) B ．4π(2－1) C ．4(3－1)π D ．4(2－1)π答案 B解析 S 阴影＝(cos x －si n x )d x ＝2(si n x ＋cos x ) ＝2(2－1)，S 矩形ABCD ＝π2×1＝π2，由几何概型的计算公式可得，此点取自阴影部分的概率是P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝2（2－1）π2＝4π(2－1).故选B. 6．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1 答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝l n x |21＝l n 2＜l n e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2＜S 1＜S 3.7．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A ．12gB ．gC ．32g D ．2g 答案 C解析由题意知电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g .8．(2021·四川广元诊断考试) si n 2x2d x ＝( )A ．0B ．π4－12C ．π4－14D ．π2－1答案 B解析 si n 2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12si n x ＝π4－12.故选B. 9．(2021·江西上饶模拟)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A ．23 B ．13 C ．12 D ．14答案 D解析10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A ．34B ．45C ．56 D ．不存在答案 C解析如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.故选C.11．(2021·甘肃兰州模拟)若(si n x －m cos x )d x ＝m ，则实数m ＝．答案 12 解析(si n x －m cos x )d x ＝(－cos x －m si n x )| ＝(0－m )－(－1－0)＝m ，解得m ＝12. 12．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是．答案 4＋25l n 5解析由v (t )＝0，得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32t 2＋7t ＋25l n （1＋t ）|40＝4＋25l n 5. 13.2x1＋x 2d x ＝．答案 4 解析 ∵(1＋x 2)′＝12(1＋x 2)－12·(1＋x 2)′＝2x 21＋x 2＝x 1＋x2， ∴2x1＋x2d x ＝2x 1＋x 2d x ＝21＋x 2|2 20＝2×(1＋8－1)＝4.14．过点(－1，0)的直线l 与曲线y ＝x 相切，则曲线y ＝x 与l 及x 轴所围成的封闭图形的面积为．答案 13解析因为y ＝x 的导数为y ′＝12x ，设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，即切线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，所以所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（x ＋1）－x d x ＋12×1×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14x 2＋12x －23x 32|10＋14＝13.。

2025年高考数学一轮复习课件第三章一元函数的导数及其应用-专题突破7导数的综合应用

并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【拆解】
分类
第一问
第二问
参考赋分
6分
6分
难易
中上
难
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续表
①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考
查利用导数研究函数零点问题.
②第一问是根据函数单调性求最值问题，根据最小值相等可求.注意分类讨
审题
要点
论.
③第二问是构造新函数利用零点个数解决问题.根据（1）可得当 > 1时，
所以函数在 0,1 上单调递增，在 1, +∞ 上单调递减，的最大值为 1 = 1.
所以 ≤ 1，即实数的取值范围是(−∞, 1]．
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考点三利用导数研究函数零点
例3 已知函数 = − e + ,讨论函数零点的个数.
解：′ = 1 − e .
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第一问
在基础性的层次上考查
数学运算学科素养，和
.
2
e −1
恒成立.

− 1 + 1 > 0 ，所以′ = e ⋅ > 0，所以在 0, +∞ 上单调
递增.
所以 > 0 = 0，所以ℎ′ > 0，所以ℎ 在 0, +∞ 上单调递增．
由洛必达法则，知 lim+ ℎ =
→0
e −1
lim
→0+
e − = 的解的个数、 − ln = 的解的个数均为2，构建新函数
= − ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 , 的
大小关系，根据存在直线 = 与曲线 = ， = 有三个不同的交点

人教版高中总复习一轮数学精品课件第3章一元函数的导数及其应用 3.4 导数的综合应用

1
(1)解由题设,知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= -1,

令f'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
(2)证明由(1)知 f(x)在 x=1 处取得最大值,最大值为 f(1)=0.
则当 x≠1 时,ln x<x-1.
求实数λ的取值范围.
e
1
1
解同例题过程,得 +x+>λ 在区间 2 ,6 上有解,
e
1
令 g(x)= +x+,则需 λ<g(x)max.
1
由例题解答过程可知,g(x)在区间 2 ,1 上单调递减,
1
1
5
e6 37
1
在区间[1,6]上单调递增,且 g 2 =2e2 + 2,g(6)= 6 + 6 >g 2
1
当

1
0,
1
0<x< ;令

f'(x)>0,得
上单调递减,在区间
1
x> ,

1
,+∞

上单调递增.
≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,故函数 f(x)在区间[1,2]上
的最小值为 f(1)=1;
1
当

≥2,即 0<a≤
1
时,函数
2
上的最小值为 f(2)=aln
f(x)在区间[1,2]上单调递减,故函数 f(x)在区间[1,2]

老高考适用2023高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念几何意义及运算课件北

解析
(1)由
(2)y=2x
2-1
y=
,得
+2
y'=
5
(+2)
2 ,则在点(-1,-3)处的切线的斜率为
5,43;2=0.
(2)设切点坐标为(x0,y0).
对 y=ln x+x+1 求导可得
1
y'=+1(x>0).
1
由题意得, +1=2,解得 x0=1,故 y0=ln
第四章
第一节导数的概念、几何意义及运算
内
容
索
引
01
强基础增分策略
02
增素能精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于
瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与
思想,体会极限思想.
1.导数的运数学抽象
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
算
3.能够根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,
x0=e,则
1
k= =e.
0
(2)设点 P 为(x0,03 -2x0),因为 f'(x)=3x2-2,所以 f'(x0)=302 -2.因为曲线在点
P 处的切线平行于直线 x-y-2=0,所以 f'(x0)=1,即 302 -2=1,解得 x0=±1.
当 x0=1 时,点 P 为(1,-1),则切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0,与所给直线
重合,不合题意;当 x0=-1 时,点 P 为(-1,1),则切线方程为 y-1=x+1,即
x-y+2=0,与所给直线平行.故点 P 的坐标为(-1,1).

2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用1导数的概念及其意义导数的运算练习含解析

导数的概念及其意义、导数的运算考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y .f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x＋1x在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案－1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x，则f ′(x )＝________.答案1x －1－e 1－x题型一导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x ln 2xB ．(x 2e x)′＝2x ＋e xC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2答案 AD解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x)′＝(x 2＋2x )e x，故B 错误；⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确． (2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ，则f (2021)－f (0)等于( ) A ．e 2021cos2021 B ．e2021sin2021C.e 2 D ．e答案 B解析因为f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ，所以f (x )＝e xsin x ＋k (k 为常数)，所以f (2021)－f (0)＝e2021sin2021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ，当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2，得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2x ＋2－2x －1x ＋22＝5x ＋22，所以y ′|x ＝－1＝5－1＋22＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，将P (1,2)代入y ＝kx ＋1，可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵f (x )＝a ln x ＋b ，∴f ′(x )＝a x，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x(a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析由y ′＝a e x，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0， ∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x(2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ，又x →－∞时，φ(x )→0；x →＋∞时，φ(x )→－∞，∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)答案 C解析设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2， ∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，4]答案 C解析因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tanπ4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立，所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．跟踪训练2(1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝ex －2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______．答案 [2，＋∞)解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)．题型三两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3 答案 D解析由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3，所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)，与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +，记f (x )＝12e2x x+，则f ′(x )＝122e(2)4x x x +-，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e24.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞. 延伸探究在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞解析由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e24，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切，故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,x x x y x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2B ．5C ．1D ．0 答案 C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x(e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________．答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x，∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x －1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln10)′＝0，∴C 错； (e 2x)′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433D.163答案 A解析当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为( ) A ．0B ．πC．－2D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x，g ′(x )＝－π2sin πx 2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点， ∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x－f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x－x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0，故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))，则f (3)－f (2)＝f 3－f 23－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上是凸函数的是( )A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x答案 ABC解析对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4，f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数；对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数；对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数；对D ，f (x )＝x e x，f ′(x )＝(x ＋1)e x，f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数．9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案－1解析因为f (x )＝x cos x ，所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1. 10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e xcos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________. 答案 2 解析 f ′(x )＝－ax －1′ax －12＋e x cos x －e xsin x ＝－a ax －12＋e xcos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x，故f ′(x )＝(x 2)′2e x＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析函数f (x )＝x e x －1，则f ′(x )＝(x ＋1)ex －1，由题意可知，存在点c ∈[0,1]，使得f ′(c )＝f 1－f 01－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以ec －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以ec －1＝11＋c，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1. 14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则( ) A ．e b<a B ．e a<b C ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D解析方法一设切点(x 0，y 0)，y 0>0，则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x x 0－a ，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x(1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a(1－a ＋a )＝e a，当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x(1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a.方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3B.π2C.2π3D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x＝14sin2x ＋32×1＋cos2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝ex ＋m，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________．答案 (－∞，2ln2－2)解析由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧k 1＝1e x m +＝2x 2k 1>0，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1x 2－x 1＝x 22－1ex m+，故k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1，整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时，有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4，当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，21 故f (k )max ＝f (4)＝ln4－44－1＝2ln2－2，所以只需满足m <2ln2－2即可．。

2023年新高考数学一轮复习4-5 《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷含详解

专题4.5 《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)2．（2009·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是（）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．[-1，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1）4．（2009·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为（） A ．1B ．2C ．-1D ．-25．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（） A ．的图像关于点中心对称B ．的图像关于直线对称C ．的最大值为()cos sin 2f x x x =()y f x =(,0)π()y f x =2x π=()f xD ．既是奇函数，又是周期函数7．（2007·海南·高考真题（理））曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e8．（2013·浙江·高考真题（理））已知e 为自然对数的底数,设函数,则（）．A ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极小值B ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极大值C ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极小值D ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极大值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=10．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数(),()f x g x 均是定义在R 上的单调递增函数，且()0g x ≠，则下列各函数一定在R 上单调递增的是（） A ．()()f x g x ⋅B ．()()f x g x +C ．3[()]f xD ．()()f xg x -11．（2022·福建泉州·模拟预测）若2ln ln b b a a a +=+，则下列式子可能成立的是（） A ．1a b >> B ．1b a >> C ．1b a >>D ．1a b >>12．（2022·全国·模拟预测）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（）A ．6eB ．(2eC ．(2eD ．2e第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016·天津·高考真题（文））已知函数()(2+1)e ,()xf x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.14．（2017·天津·高考真题（文））已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .15．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的()f x ()()()()e 1?11,2kxf x x k =--=切线，则实数a 的取值范围是_________16．（2017·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ① ② ③ ④ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2011·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大18．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax =+-在2x =-时取得极值．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值．19．（2016·全国·高考真题（文））已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.20．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a ； (2)求a 的取值范围．21．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：()e sin 1x f x x <+-.22．（2022·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a 的取值范围．()xy e f x = 2.71828...e =（）()f x ()f x =2x f x -（）=3x f x -（）3=f x x （）2=2f x x +（）32(),()f x x x g x x a =-=+()y f x =()()11,x f x ()y g x =11x =-1()(1)ln f x ax a x x=--+0a =()f x ()f x专题4.5 《一元函数的导数及其应用》真题+模拟试卷第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【答案】C 【解析】【详解】()242'220,0,x x f x x x x--=-->>()()0,210,2x x x x >∴-+>∴>2．（2009·广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是（）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意得，()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '=-+-=-''，令()0f x '>，解得2x >，所以函数()f x 的单调递增区间为，故选D ．3．（2008·湖北·高考真题（理））若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）A ．[-1，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1）【答案】C 【解析】【详解】由题意可知()02bf x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．4．（2009·全国·高考真题（理））已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为（） A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】B 【解析】【详解】设切点00(,)P x y ，则，又001|1x x y x a===+' 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选B ．5．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <0x <<C ，故选D.6．（2013·全国·高考真题（理））已知函数，下列结论中错误的是（） A ．的图像关于点中心对称B ．的图像关于直线对称()cos sin 2f x x x =()y f x =(,0)π()y f x =2x π=C ．D ．既是奇函数，又是周期函数【答案】C 【解析】【详解】试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；对于选项，只需考虑是否成立即可，而，故正确；对于选项，，故是奇函数，有，故周期是，故正确；对于选项，，令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C 错误. 7．（2007·海南·高考真题（理））曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e【答案】D 【解析】【详解】因为曲线12x y e =，所以1212x y e '=切线过点（4，e 2）∴f′（x ）|x=4=12e 2，∴切线方程为：y -e 2=12 e 2（x -4），令y=0，得x=2，与x 轴的交点为：（2，0），令x=0，y=-e2，与y 轴的交点为：（0，-e2），()f x ()f x A (2)()0f x f x π-+=(2)()cos(2)sin 2(2)cos sin 2cos sin 2cos sin 20f x f x x x x x x x x x πππ-+=--+=-+=A B ()()f x f x π-=()cos()sin 2()cos (sin 2)cos sin 2()f x x x x x x x f x πππ-=--=--==B D ()cos()sin 2()cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-()f x (2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==2πD C 223()cos sin 2cos 2sin cos 2sin cos 2sin (1sin )2sin 2sin f x x x x x x x x x x x x ==⋅==-=-+sin ,[1,1]t x t =∈-322y t t =-+2'26y t =-'0y >322y t t =-+33[]3[1,)-3(1t =-0y =3t =43y∴曲线12x y e =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=12×2×|-e 2|=e 2. 故选D ．8．（2013·浙江·高考真题（理））已知e 为自然对数的底数,设函数,则（）．A ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极小值B ．当k=1时,f (x )在x=1处取到极大值C ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极小值D ．当k=2时,f (x )在x=1处取到极大值【答案】C 【解析】【详解】当k =1时，函数f (x )=(ex −1)(x −1).求导函数可得f ′(x )=ex (x −1)+(ex −1)=(xex −1) f ′(1)=e −1≠0，f ′(2)=2e 2−1≠0，则f (x )在在x =1处与在x =2处均取不到极值，当k =2时，函数f (x )=(ex −1)(x −1)2.求导函数可得f ′(x )=ex (x −1)2+2(ex −1)(x −1)=(x −1)(xex +ex −2)∴当x =1，f ′(x )=0，且当x >1时，f ′(x )>0，当x 0<x <1时(x 0为极大值点)，f ′(x )<0，故函数f (x )在(1,+∞)上是增函数；在(x 0,1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值．对照选项．故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）()()()()e 1?11,2kxf x x k =--=A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC.10．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数(),()f x g x 均是定义在R 上的单调递增函数，且()0g x ≠，则下列各函数一定在R 上单调递增的是（） A ．()()f x g x ⋅ B ．()()f x g x + C ．3[()]f xD ．()()f xg x -【答案】BC 【解析】【分析】根据反例可判断AD 的正误，根据单调性的定义可判断BC 的正误. 【详解】取(),()e x f x x g x ==，故()()e x f x g x x ⋅=，设()e xF x x =，则()()1e xF x x '=+，在(),1∞--上，()0F x '<，故()F x 在(),1∞--上为减函数，故A 错误. 而()()e x f x x g x -=-，设()e x x G x =-，则()1ex x G x -'=，在(),1-∞上，()0G x '<，故()G x 在(),1-∞上为减函数，故D 错误. 设()()()S x f x g x =+，()[]3()U x f x =，任意12x x <，则()()()()()()121212S x S x f x f x g x g x -=-+-，因为(),()f x g x 均是定义在R 上的单调递增函数，故()()()()1212,f x f x g x g x <<，所以()()120S x S x -<即()()12S x S x <，故()S x 是R 上的单调递增函数.而()()()()()()()2212121211324U x U x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为()f x 是定义在R 上的单调递增函数，故()()12f x f x <，且()()()2212113024f x f x f x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以()()120U x U x -<即()()12U x U x <，故()U x 是R 上的单调递增函数. 故BC 正确. 故选：BC11．（2022·福建泉州·模拟预测）若2ln ln b b a a a +=+，则下列式子可能成立的是（） A ．1a b >> B ．1b a >> C ．1b a >>D ．1a b >>【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ln f x x x =+，0x >，得到其单调性且零点情况，分a b >与a b <两种情况进行讨论，由函数单调性解不等式，求出答案. 【详解】令()ln f x x x =+，0x > 则()110f x x=+>'恒成立，所以()ln f x x x =+单调递增，其中1110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110f =>，则存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =①当a b >时，2ln ln ln a a a b b a a +=+<+ 即()()1ln 0a a a -+<，若1a ≥，则ln 0a a +>，且10a -≥，则()()1ln 0a a a -+≥，不满足()()1ln 0a a a -+<，故1a <，且()0f a >，所以01x a <<又因为a b >，所以1a b >>，D 正确； ②当a b <时，2ln ln ln a a a b b a a +=+>+，即()()1ln 0a a a -+>（1）当1a >时，10a ->，ln 0a a +>，则()()1ln 0a a a -+>成立，故1b a >>，B 正确；（2）当1a <时，10a -<，若()()1ln 0a a a -+>，则ln 0a a +<，因为()00f x =，且()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，所以当00a x <<时，ln 0a a +<，则2ln 0a a a +<，所以ln 0b b +<，所以1b <，又因为a b <，所以1b a >>，选项C 正确. 故选：BCD 12．（2022·全国·模拟预测）已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)120,x x ∀∈+∞，，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值可以是（）A ．6eB ．(2eC ．(2eD ．2e【答案】AB 【解析】【分析】本题的含义是不等式左边的最大值小于等于右边的最小值，t 是常数，因此先要算出左边的最大值和右边的最小值，再计算不等式即可. 【详解】因为()()3253153222x x f x x x x +-+===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以对[0,)x ∀∈+∞，()()102f x f ≥=；()()42e x g x x =-，所以()()()'2e 42e 21e x x x g x x x =-+-=- ，当1x >时，()'0g x < ；当01x <<时，()'0g x > ，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()max ()12e g x g ==；因为0t >，任意[)12,0,x x ∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，即()()221e 2e e 2t t +⋅≤+，整理得224e 3e 0t t --≥，解得(2e t ≤或(2e t ≥，所以正数t 的取值范围为()2e,⎡+∞⎣；6e 与(2e 均在区间()2e,⎡+∞⎣内， (2e 与2e 均不在区间()2e,⎡+∞⎣内；故选：AB ．第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2016·天津·高考真题（文））已知函数()(2+1)e ,()xf x x f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.【答案】3【解析】【详解】试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f =∴'='14．（2017·天津·高考真题（文））已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ . 【答案】1 【解析】【详解】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-，切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)，l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1. 故答案为1.15．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(),0-∞ 【解析】【详解】由题意该函数的定义域0x >，由()12f x ax x'=+．因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x'=+存在零点．解法1 （图像法）再将之转化为()2g x ax =-与()1h x x=存在交点．当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞.解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x +=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x=-∈-∞ 16．（2017·山东·高考真题（理））若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有M 性质，下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【解析】【详解】()xy e f x = 2.71828...e =（）()f x ()f x =2x f x -（）=3x f x -（）3=f x x （）2=2f x x +（）①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；④，令，则，在上单调递增，故具有性质．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2011·福建·高考真题（理））商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【答案】(1) 2； (2)当时，利润最大42.答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【解析】 (1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭R ()2x f x -=M ()33xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭R ()xf x -=3M ()3x x e f x e x =⋅()3xg x e x =⋅()()32232x x xg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+∴2x >-()0g x '>2x <-()0g x '<∴()3x x e f x e x =⋅(),2-∞-()2,-+∞()3f x x =M ()()22x x e f x e x =+()()22x g x e x =+()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦∴()()22x x e f x e x =+R ()22f x x =+M所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.18．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax =+-在2x =-时取得极值．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值．【答案】(1)97y x =-(2)min ()2f x =-，()max 18f x =；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意(2)0f '-=，即可求出a ，再求出切点坐标与切线的斜率，即可求出切线方程；（2）由（1）可得函数的单调性，再计算出区间端点的函数值，即可求出函数的最值． (1)解：32()2f x x ax =+-，所以2()32f x x ax '=+，(2)1240a f -=-'=∴，解得3a =，32()32x x f x =+-∴，2()363(2)f x x x x x '∴=+=+，当20x -<<时()0f x '<，当0x >或2x <-时()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，在2x =-处取得极大值，符合题意，又()19f '=，()12f =，即切点为()1,2，切线的斜率9k =， ()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为()291y x -=-，即97y x =-；(2)解：因为[]1,2x ∈-，由（1）可知()f x 在(]0,2上单调递增，在[]1,0-上单调递减， min ()(0)2f x f ∴==-，(1)0f -=、()218f =，()()max 218f x f ∴==．19．（2016·全国·高考真题（文））已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（1）220.x y +-=（2）(],2.-∞ 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求()f x 的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1a x g x x x -=-+，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时， 1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x=+--=+-'，(1)2,(1)0.f f =-=' 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x -->+ 设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=，（i ）当2a ≤，(1,)x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()0,()g x g x >'在(1,)+∞上单调递增，因此()0g x >；（ii ）当2a >时，令()0g x '=得1211x a x a =-=-由21x >和121=x x 得11x <，故当2(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0g x <. 综上，a 的取值范围是(],2.-∞20．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a ； (2)求a 的取值范围．【答案】(1)3 (2) 【解析】【分析】32(),()f x x x g x x a =-=+()y f x =()()11,x f x ()y g x =11x =-[)1,-+∞（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. (1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； (2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：则的值域为，故的取值范围为.21．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.()f x ()g x a ()g x ()f x ()g x a a (1)1(1)0f -=---=2()31x f x '=-(1)312f '-=-=()y f x =()1,0-2(1)y x =+22y x =+()g x ()22,()x g x ()2g x x '=22()22g x x '==21x =(1)122g a =+=+3a =2()31x f x '=-()y f x =()11(),x f x ()()32111131()y x x x x x --=--()2311312y x x x =--()g x ()22,()x g x ()2g x x '=22()2g x x '=()22222()y x a x x x -+=-2222y x x x a =-+21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭432931()2424h x x x x =--+32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-()0h x '>103x -<<1x >()0h x '<13x <-01x <<x (),()h x h x '()h x [)1,-+∞a [)1,-+∞(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：()e sin 1xf x x <+-.【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得()()ln 1f x x '=+，再分0a >和0a <两种情况讨论即可；（2）当01x <≤根据函数的正负证明，当1x >时，转证ln sin 1e 0x x x x --+<，构造函数求导分析单调性与最值即可(1)依题意知()0,x ∈+∞，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+，令()0f x '=得1ex =，当0a >时，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <时，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.(2)依题意，要证ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，ln 0x x ≤，1sin 0e x x -+>，故原不等式成立， ②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-，即证：ln sin 1e 0x x x x --+<，令()()e ln sin 11x h x x x x x =--+>，则()e ln cos 1xh x x x '=--+，()e 1sin 0xh x x x''=-+<， ∴()h x '在()1,+∞单调递减，∴()()11e cos10h x h ''<=--<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，∴()()11e sin10h x h <=--<，即ln sin 1e 0xx x x --+<，故原不等式成立.22．（2022·全国·高考真题（文））已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】(1)1()(1)ln f x ax a x x=--+0a =()f x ()f x 1-(2) 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. (1)当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以； (2)，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以当时，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，()0,+∞()()()211ax x f x x --'=0a ≤01a <<1a >0a =()1ln ,0f x x x x =-->()22111xf x x x x-'=-=()0,1∈x 0fx()f x ()1,x ∈+∞0fx()f x ()()max 11f x f ==-()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=0a ≤10-≤ax ()0,1∈x 0f x()f x ()1,x ∈+∞0fx()f x ()()max 110f x f a ==-<01a <<11a >()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0f x()f x 11,a ⎛⎫⎪⎝⎭0f x()f x ()110f a =-<1ln 1x x +≥1ln 1x x ≥-ln x x x <<1x >11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x=--+>--+>-+2312m a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()0f m >()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1a =()()2210x f x x-'=≥()f x ()110f a =-=所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为.()f x 1a >11a<()10,,1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0fx()f x 1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭0f x()f x ()110f a =->01x <<1ln 1x x>-1ln 21x ⎛> ⎝11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax a x x x ⎛=--+<--+-< ⎝2114(1)n a a =<+()0f n <()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ()0,+∞。

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新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷三一元函数的导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东师大附中高三月考)已知函数f (x )=(2x-a )e x,且f'(1)=3e,则实数a 的值为( ) A.-3B .3C .-1D .12.(2021湖北孝感高三期中)设曲线y=a (x-1)+ln x 在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2,则a=( ) A.1B .2C .3D .43.(2021安徽蚌埠高三月考)函数f (x )=x 2-2ln x 在区间[1,2]上的最大值是( ) A.4-2ln 2 B .1C .4+2ln 2D .e 2-24.(2021江苏镇江高三月考)幂函数f (x )的图象过点√22,2,则函数g (x )=e xf(x)的单调递增区间为( ) A.(0,2) B .(-∞,-2)∪(0,+∞)C .(-2,0)D .(-∞,-2)和(0,+∞)5.(2021湖北宜昌高三月考)曲线f (x )=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( ) A.1B .2C .√5D .36.(2021江苏扬州高三模拟)已知函数f (x )=x+a cos x ,对于任意x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>a 2-a 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[1-√2,1+√2] B .[1-√2,1] C .[-1,1]D .[-1,1-√2]7.(2021北京昌平高三期中)已知函数f (x )=(x-1)2e x,下列结论错误的是( ) A.函数f (x )有零点B.函数f(x)有极大值,也有极小值C.函数f(x)既无最大值,也无最小值D.函数f(x)的图象与直线y=1有3个交点8.(2021四川成都高三期中)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)<1-f'(x),f(0)=4,则不等式f(x)<1+3的解集为()e xA.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(-∞,0)9.如果定义域为R的函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是()上单调递增A.f(x)在区间-3,-12B.f(x)有且仅有1个极小值点C.f(x)在区间(4,5)上单调递增D.f(x)的极大值为f(3)10.已知函数f(x)=ln x-ax的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,则下列说法错误的是()A.a=2B.b=1C.f(x)的极小值为-ln 2-1D.f(x)的极大值为-ln 2-1-x,则下列结论正确的是()11.已知函数f(x)=lnxxA.f(x)的单调递减区间为(0,1)B.f(x)的极小值点为1C.f(x)的极大值为-1D .f (x )的最小值为-112.已知x=1和x=3是函数f (x )=ax 3+bx 2-3x+k (a ,b ∈R )的两个极值点,且函数f (x )有且仅有两个不同的零点,则实数k 的值为( ) A.-43或0 B.43或0 C.-1或43D.0或-1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(2021辽宁沈阳高三月考)曲线y=2x -1x在点(-1,3)处的切线的斜率为 .14.(2021北京延庆高三期中)若函数f (x )=-x 2+ax 在区间(-1,0)上恰有一个极值点,则实数a 的取值范围是 .15.(2021山西太原高三期末)已知函数f (x )=x 2e x -4a 有三个零点,则实数a 的取值范围是 .16.(2021浙江湖州高三期中)已知函数f (x )=e x-e x+a 与g (x )=ln x+1x 的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021北京,19)已知函数f (x )=3−2x x 2+a.(1)若a=0,求y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程;(2)若函数f (x )在x=-1处取得极值,求f (x )的单调区间以及最大值和最小值.18.(12分)(2021山东实验中学高三月考)已知函数f (x )=ln(2x )-ax 2. (1)若f (x )在(1,+∞)内不单调,求实数a 的取值范围;(2)若a=2,求f(x)在12e ,e2上的值域.19.(12分)已知函数f(x)=-x e x,g(x)=x2+2x+a.若函数f(x)的图象在原点处的切线与函数g(x)的图象相切,求实数a的值.20.(12分)(2021全国甲,理21)已知a>0且a≠1,函数f(x)=x aa x(x>0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.21.(12分)(2021重庆綦江中学高三月考)已知函数f(x)=a e x-cos x-x(a∈R).(1)若a=1,证明:f(x)+cos x≥1;(2)若f(x)在(0,π)上有两个极值点,求实数a的取值范围.22.(12分)(2021湖南常德高三一模)设函数f(x)=a ln x+1x+1,其中a为常数,且a>0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数F(x)=f(x)+x ln a,x1,x2是函数f(x)的两个极值点,证明:F(x1)+F(x2)<1-4ln 2.单元质检卷三一元函数的导数及其应用1.D解析:由题设,f'(x)=(2+2x-a)e x,又因为f'(1)=3e,所以f'(1)=(4-a)e=3e,解得a=1,故选D.2.A解析:易知点(1,0)为直线y=2x-2与曲线y=a(x-1)+ln x的公共点,对函数y=a(x-1)+ln x求导得y'=a+1x,由已知可得y'|x=1=a+1=2,解得a=1,故选A.3.A解析:由题意得f'(x)=2x-2x =2(x+1)(x-1)x≥0在[1,2]上恒成立,所以函数f(x)在[1,2]上单调递增,所以当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=4-2ln2,故选A.4.D 解析:设f (x )=xa,则(√22)a =2,a=-2,所以g (x )=e xx -2=x 2e x ,函数的定义域是{x ∈R |x ≠0},g'(x )=(x 2+2x )e x,由g'(x )>0得x<-2或x>0,所以g (x )的单调递增区间是(-∞,-2)和(0,+∞),故选D .5.C 解析:因为直线2x-y+3=0的斜率为2,所以令f'(x )=22x -1=2,解得x=1,把x=1代入曲线方程得f (1)=ln(2-1)=0,即曲线f (x )过点(1,0)的切线斜率为2,则点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离d=√22+(-1)2=√5,即曲线f (x )=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是√5.6.B 解析:设x 1>x 2,由f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>a 2-a 可得f (x 1)-f (x 2)>(a 2-a )(x 1-x 2),即f (x 1)-(a 2-a )x 1>f (x 2)-(a 2-a )x 2,构造函数g (x )=f (x )-(a 2-a )x=a cos x+(1-a 2+a )x ,则函数g (x )在R 上单调递增,g'(x )=-a sin x+(1-a 2+a )≥0对任意的x ∈R 恒成立,令t=sin x ,则t ∈[-1,1],所以-at+(1-a 2+a )≥0在t ∈[-1,1]上恒成立,所以{-a +1−a 2+a ≥0,a +1−a 2+a ≥0,即{a 2-1≤0,a 2-2a -1≤0,解得{-1≤a ≤1,1−√2≤a ≤1+√2,所以1-√2≤a≤1,故选B .7.C 解析:f (1)=0,所以A 选项正确;f'(x )=(x+1)(x-1)e x,所以在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上f'(x )>0,f (x )单调递增,在区间(-1,1)上f'(x )<0,f (x )单调递减,所以当x=-1时,f (x )有极大值f (-1)=4e >1,当x=1时,f (x )有极小值f (1)=0,所以B 选项正确,C 选项错误;画出函数f (x )的大致图象如图,由图可知函数f (x )的图象与直线y=1有3个交点,所以D 选项正确.故选C .8.C 解析:由f (x )<1+3e x 得e xf (x )<e x+3,即e xf (x )-e x-3<0,令F (x )=e xf (x )-e x-3,则F'(x )=e x f (x )+e x f'(x )-e x =e x [f (x )+f'(x )-1],因为f (x )<1-f'(x ),即f (x )+f'(x )-1<0,且e x >0,所以F'(x )<0,故函数F (x )在R 上单调递减,由F (0)=e 0f (0)-e 0-3=4-1-3=0,故当x>0时,F (x )<0,即f (x )<1+3e x 的解集是(0,+∞),故选C .9.C 解析:由y=f'(x )的图象知,在(-∞,-2)和(2,4)上f'(x )<0,即f (x )单调递减,在(-2,2)和(4,+∞)上f'(x )>0,即f (x )单调递增,所以f (x )的极大值为f (2),极小值为f (-2)和f (4),对于选项A,f (x )在-3,-12上不单调,错误;对于选项B,f (x )有2个极小值点,错误;对于选项C,f (x )在(4,5)上单调递增,正确;对于选项D,f (x )的极大值为f (2),错误.故选C .10.C 解析:因为f (x )=ln x-ax ,所以f'(x )=1x -a.又因为函数f (x )的图象在x=1处的切线方程为x+y+b=0,所以f (1)=-a=-b-1,f'(1)=1-a=-1,解得a=2,b=1.所以A,B 正确;由f'(x )=1x-2=1−2x x,令f'(x )>0,得f (x )在0,12上单调递增,令f'(x )<0,得f (x )在12,+∞上单调递减,知f (x )在x=12处取得极大值,f 12=ln 12-1=-ln2-1,无极小值,故选C .11.C f'(x )=1−lnx x 2-1=1−lnx -x 2x 2,令φ(x )=1-ln x-x 2,则φ'(x )=-1x -2x<0,所以φ(x )=1-ln x-x 2在(0,+∞)上单调递减.因为φ(1)=0,所以当0<x<1时,φ(x )>0;当x>1,φ(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),故f (x )的极大值点为1,f (x )的极大值为f (1)=-1,故选C .12.B 解析:f'(x )=3ax 2+2bx-3,依题意1,3是f'(x )=0的两个根,所以{1+3=−2b3a ,1×3=−33a ,解得{a =−13,b =2,故f (x )=-13x 3+2x 2-3x+k.易求得函数f (x )的极大值为f (3)=k 和极小值为f (1)=-43+k.要使函数f (x )有两个零点,则f (x )的极大值k=0或f (x )的极小值-43+k=0,所以k=0或k=43,故选B .13.1 解析:因为y=2x -1x,所以y'=2x -(2x -1)x 2=1x 2,当x=-1时,y'|x=-1=1,所以曲线y=2x -1x在点(-1,3)处的切线的斜率为1.14.(-2,0) 解析:二次函数f (x )=-x 2+ax 的对称轴为x=-a -2,即x=a2,因为函数f (x )=-x 2+ax 在区间(-1,0)上恰有一个极值点,所以-1<a2<0⇒-2<a<0.故实数a 的取值范围是(-2,0).15.(0,e -2) 解析:令g (x )=x 2ex ,函数f (x )有三个零点即函数g (x )的图象与直线y=4a 有三个交点.因为g'(x )=2x -x 2e x,所以g (x )在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增,且g (x )≥0,g (x )的极大值为g (2)=4e2=4e -2,极小值为g (0)=0.结合图象g (x )与y=4a 有三个交点,即0<4a<4e -2,所以0<a<e -2.16.(-∞,-1] 解析:依题意方程e x-e x+a=-ln x-1x在(0,+∞)上有解,即a=e x-e x-ln x-1x在(0,+∞)上有解,令h (x )=e x-e x-ln x-1x ,则h'(x )=e -e x-1x +1x 2=e -e x+1−xx 2,显然h'(1)=0,且当0<x<1时,h'(x )>0,当x>1时,h'(x )<0,因此h (x )在x=1处取得极大值亦即最大值h (1)=-1,所以h (x )的值域为(-∞,-1],故a 的取值范围是(-∞,-1]. 17.解(1)当a=0时,f (x )=3−2x x 2,则f'(x )=2(x -3)x 3,所以f (1)=1,f'(1)=-4,此时曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0. (2)因为f (x )=3−2xx 2+a,所以f'(x )=-2(x 2+a)-2x(3-2x)(x 2+a)2=2(x 2-3x -a)(x 2+a)2,由题意可得f'(-1)=2(4−a)(a+1)2=0,解得a=4,故f (x )=3−2xx 2+4,f'(x )=2(x+1)(x -4)(x 2+4)2,列表如下:所以,函数f (x )的单调递增区间为(-∞,-1),(4,+∞),单调递减区间为(-1,4).当x<32时,f (x )>0;当x>32时,f (x )<0.所以,f (x )max =f (-1)=1,f (x )min =f (4)=-14.18.解(1)f'(x )=1−2ax 2x,因为f (x )在(1,+∞)内不单调,所以关于x 的方程1-2ax 2=0在(1,+∞)内有解, 所以{1−2a >0,a >0,故a 的取值范围为0,12.(2)因为a=2,所以f'(x )=(1-2x)(1+2x)x.令f'(x )>0,得12e ≤x<12;令f'(x )<0,得12<x ≤e 2.所以f (x )在12e ,12上单调递增,在12,e2上单调递减,所以f (x )max =f 12=-12.因为f12e=-1-12e 2,fe 2=1-e 22,且f12e-fe 2=e 22-2-12e 2>0,所以f (x )在12e ,e2上的值域为1-e 22,-12.19.解因为f (x )=-x e x ,所以f'(x )=-e x(x+1),所以切线斜率k=f'(0)=-1, 又因为f (0)=0,因此f (x )图象在原点处的切线方程为y=-x.又因为切线y=-x 与g (x )图象相切,所以{y =x 2+2x +a,y =−x,消去y 得x 2+3x+a=0,于是Δ=9-4a=0,解得a=94.故实数a 的值为94.20.解(1)当a=2时,f (x )=x 22x .f'(x )=2x ·2x -2x ln2·x 2(2x )2=x(2-xln2)2x=ln2·x(2ln2-x)2x.当x ∈(0,2ln2)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(2ln2,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减. 故f (x )在区间(0,2ln2)上单调递增,在区间(2ln2,+∞)上单调递减.(2)由题知方程f (x )=1在(0,+∞)有两个不相等的根.由f (x )=1得x a=a x,即a ln x=x ln a , 即lnx x=lna a.令g (x )=lnx x,g'(x )=1−lnx x 2,∴g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减.又x →0时,g (x )→-∞,g (e)=1e,g (1)=0,x →+∞时,g (x )→0. ∴0<lna a<1e,即a>1且a ≠e .21.(1)证明当a=1时,f (x )=e x-cos x-x , 令g (x )=f (x )+cos x=e x-x ,则g'(x )=e x-1,当x<0时,g'(x )<0;当x>0时,g'(x )>0,所以函数g (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g (x )≥g (0)=1,即f (x )+cos x ≥1.(2)解f'(x )=a e x+sin x-1,由f (x )在(0,π)上有两个极值点, 则f'(x )=a e x+sin x-1=0在(0,π)上有两个不同的实根,即a=1−sinx e x在(0,π)上有两个不同的实根.设h (x )=1−sinx e x,x ∈(0,π),h'(x )=sinx -cosx -1e x=√2sin(x -π4)−1e x,令h'(x )=0,则x=π2,当0<x<π2时,h'(x )<0;当π2<x<π时,h'(x )>0,所以函数h (x )在0,π2上单调递减,在π2,π上单调递增.又因为h (0)=1,h π2=0,h (π)=e -π,0<e -π<1,所以当0<a<e -π时,方程a=1−sinx e x在(0,π)上有两个不同的实数根,所以实数a 的取值范围为(0,e -π).22.(1)解函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ax −1(x+1)2=ax 2+(2a -1)x+ax(x+1)2.令g (x )=ax 2+(2a-1)x+a ,Δ=(2a-1)2-4a 2=-4a+1.①当a ≥14时,Δ=-4a+1≤0,则g (x )≥0,即f'(x )≥0,f (x )在(0,+∞)上单调递增; ②当0<a<14时,Δ=-4a+1>0,由g (x )=0,解得x 1=1−2a -√1−4a2a,x 2=1−2a+√1−4a2a,所以x 2>x 1=1−2a -√1−4a2a=√1−4a+4a 2-√1−4a2a>0,所以当x ∈(0,x 1)时,g (x )>0,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,f (x )单调递增, 综上所述,当0<a<14时,f (x )在0,1−2a -√1−4a2a上单调递增,在1−2a -√1−4a 2a ,1−2a+√1−4a2a上单调递减,在1−2a+√1−4a2a ,+∞上单调递增;当a ≥14时,f (x )在(0,+∞)上单调递增.(2)证明由(1)知函数f (x )的两个极值点为x 1,x 2,则0<a<14,且x 1+x 2=1−2a a,x 1x 2=1.所以F (x 1)+F (x 2)=f (x 1)+x 1ln a+f (x 2)+x 2ln a=a ln x 1+1x 1+1+a ln x 2+1x 2+1+(x 1+x 2)ln a=a ln(x 1x 2)+x 1+x 2+2(x 1+1)(x 2+1)+(x 1+x 2)ln a=x 1+x 2+2x1x 2+x 1+x 2+1+(x 1+x 2)ln a=x 1+x 2+21+x 1+x 2+1+(x 1+x 2)ln a=1+1−2a aln a ,记h (a )=1+1−2a aln a=1+1a-2ln a0<a<14,h'(a )=-1a 2ln a+1a-21a=-lna+1−2aa 2,因为0<a<14,所以1-2a>0,-ln a>0,所以h'(a )>0,h (a )在0,14上单调递增,所以h (a )<h 14=1-4ln2,即1+1−2a aln a<1-4ln2,所以F (x 1)+F (x 2)<1-4ln2.。