小升初专题4比、比例、比的应用总复习

比和比的应用（1）比的意义知识点一：比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。

知识点二：比的符号和读写法 符号：比用符号“：”表示，“：”叫做比号。

写法：15：10，记做15：10或1015读法：两种形式的比都读作几比几。

知识点三：比的各部分名称15：10=15÷10=23前项比号后项比值知识点四：求比值的计算方法求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。

比表示两个数的关系，比值是一个数值。

比只能写成a:b 或ba的形式，比值可以是分数，也可以是整数或小数。

知识点五：比和分数、除法的关系 除法 被除数 ÷（除号） 除数商分数 分子—（分数线） 分母 分数值 比前项：（比号）后项比值 知识点六：求比中未知项的方法已知比的前项、后项和比值中的任意两项，都可以根据它们之间的关系来求出第三项。

任何一个比的比值都不带单位名称。

练习：1.填空。

（1）甲是乙的5倍，甲和乙的比是（ ），乙和甲的比是（ ）。

（2）a 除以b 的商是54，a 和b 的比是（ ）。

（3）等腰直角三角形的三个内角度数之比是（ ）。

2.求比值。

0.8：1.6 60米：70米 1.5吨：1.2吨 8：54 9：1513.判断。

（1）比的前项不能为0. （ ） （2）A:B 的比值是3：1. （ ） （3）平行四边形的面积和高不能用比表示。

（ ）（4）小明和哥哥去年的年龄比是5：8，今年年龄比不变。

（ ） （5）一个钝角三角形三个内角度数的比是1：2：6. （ ） 4.求比的未知项。

4：（ ）=0.5 12：（ ）=43 （ ）：121=53（2）比的基本性质知识点一：比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

字母表示比的基本性质为：a:b=na:nb （b ≠0，n ≠0），a:b=n a :nb( b ≠0，n ≠0)。

知识点二：化简比的意义复习：1.互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。

2.最大公因数：几个数公有因数中最大的一个叫做他们的最大公因数。

3.最小公倍数：几个数公有倍数中最小的一个就是这几个数的最小公倍数。

比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。

把两个数化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。

知识点三：整数比的化简方法整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

1.化简后的比必须为互质数的比，否则比的化简没有完成。

2.在以后求两个数或几个数的比时，都要求出最简单的整数比。

知识点四：分数比的化简方法分数比的化简方法：（1）比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。

（2）利用求比值的方法可以化简分数比，但结果必须写成比的形式。

知识点五：小数比的化简方法把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。

带单位的两个同类量的比进行化简时，单位要统一，否则计算的结果不正确。

化简后的最简比必须有比的前项和后项，即使后项是1也不例外。

3.比的应用知识点一：按比例分配问题的解题方法（1）用整数乘、除法解决问题：把一个总数按一定的比来分配，把各部分的比看做份数关系，先求出每一份，解题步骤：①求出总份数；②求出每一份是多少；③求出各部分相应的具体数量。

（2）用份数乘法解决问题：把各部分的比转化为总数的几分之几，直接求出总数的几分之几是多少，解题步骤：①先根据比求出总份数；②再求出各部分量占总量的几分之几；③求出各部分的数量。

知识点三：按比例分配问题常用解题方法的应用1.已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量。

例：学校进来一批图书，按3:4:5分配给四、五、六年级。

五年级分得120本，其他年级分得多少本？2.已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求另一个量或总量。

例：小华和爷爷的年龄比是1:6，已知小华比爷爷小50岁，小华和爷爷的年龄和是多少？1．两个量的差÷两个量对应的份数差＝每份数，每份数×总份数＝总数量。

2．两个量的差÷两个量占总量几分之几的差＝总数量。

解答按比例分配问题时，所给出的比如果不是最简比，必须化成最简单的整数比，否则计算出的结果是错误的。

第二讲比和比例知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ； 性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比． 二、主要比例转化实例 ①x a y b = ⇒ y b x a =； x ya b =； a b x y =； ② x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb=(其中0m ≠)； ③ x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ；④x a y b =，y c z d = ⇒ x ac z bd=；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的ca 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bcad． 三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为ax a b -，B 的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．考点分析1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。

2、表示两个比相等的式子叫做比例。

3、组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。

4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

这叫做比例的基本性质。

5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。

求比例的未知项，叫做解比例。

典型例题例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）A BC（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。

这两个长方形的长有什么关系？宽呢？（2）如果要把长方形A按 1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）先按3:2的比画出长方形A放大后的图形B，再按1:2的比画出长方形A缩小后的图形C。

（1）图B的长、宽各是几格？（2）图C呢？（3）观察这三幅图形，你有什么发现？ABC例3、（将两个相等比写成一个等式）图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？比较写出的两个比，你有什么发现？BA 6厘米3厘米8厘米4厘米例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。

（1） 5 ：6 和15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1（3） 21 ：31 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和83 ：81例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。

你能根据数量间的关系写出比例吗？例6、（比例基本性质的应用）根据2 × 7 = 1.4 × 10这个等式写出几个比例。

例7、（按比例放大的含义）王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？4厘米5厘米例8、（解比例）上图中宽是多少厘米？四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。

题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。

在解答分数应用题时，要注意以下几点：1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。

找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题 例题精讲： 模块一、比例转化【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的13，乙等于甲、丙两数和的12，丙等于甲、乙两数和的57，求::甲乙丙.【解析】 由甲等于乙、丙两数和的13，得到甲等于三个数和的113+14=，同样的乙等于甲、丙两数和的112+13=，同样的丙等于甲、乙两个数和的557512=+ ，所以115::::3:4:54312==甲乙丙．【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的23这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为()121:12:123⎛⎫⎛⎫÷÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即132::22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()214:12:332⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即83:2:32，化简为16:12:9.模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应【例3】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【解析】一共有()()1613111311192÷-⨯+=个苹果.【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【例4】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例5】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【解析】由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是大班，则大班男生数：女生数5:330:18==，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数2:16:3==，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班女生有183212-⨯=(名)．【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?（二）利用不变量统一份数72cm，【例6】有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．表面积为2求这个长方体的体积.【解析】由条件长方体的长、宽、高的比6:3:2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为()()()63:62:3218:12:63:2:1⨯⨯⨯==，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为2137218cm 2321⨯⨯=++，前面的面积为2127212cm 2321⨯⨯=++，左面的面积为2117206cm 2321⨯⨯=++，而2181********⨯⨯==，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为336cm ．【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积．（三）利用等量关系列方程解比例【例 7】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4． 问报考的共有多少人？【解析】 (法1)录取的学生中男生有8915658⨯=+人，女生有915635-=(人)，先将未录取的人数之比3:4变成44:43⨯，又有356424⨯=(人)，所以每份人数是()442354333⎛⎫-÷⨯-= ⎪⎝⎭(人)，那么未录取的男生有4312⨯=(人)，未录取的女生有443163⨯⨯=(人)．所以报考总人数是 ()()56123516119+++=(人)．(法2)设未被录取的男生人数为3x 人，那么未被录取的女生人数为4x 人，由于录取的学生中男生有8915658⨯=+人，女生有915635-=(人)，则()()563:3544:3x x ++=，解得4x =．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是 ()()56123516119+++=(人)．课后练习：练习1.右图是一个园林的规划图，其中，正方形的34是草地；圆的67是竹林；竹林比草地多占地450平方米．问：水池占多少平方米?练习2.乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班各种树多少棵?练习3.甲本月收入的钱数是乙收入的58，甲本月支出的钱数是乙支出的34，甲节余240元，乙节余480元．甲本月收入多少元？练习4.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车速度是50千米／小时，乙车速度是40千米／小时，当甲车驶过A、B距离的13多50千米时与乙车相遇，A、B两地相距千米．【备选1】甲、乙、丙三个数，已知():4:3+=甲乙丙，:2:7=乙丙，求::甲乙丙。