运筹学实用案例分析过程
Ford-Fulkerson 标号算法_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]
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截集： (Vs ,Vs ) = {(v1,v3),(v1,v2 ),(vs ,v2 )} 截量： C(Vs ,Vs ) = c13 + c12 + cs2 = 4 +1 + 5 = 10 任何一个可行的流量 v( f ) 都不会超过任一截集的截量，即 v( f ) ≤ C(Vs ,Vs ) 。证明如下：
最大流，速度更快，可靠性更大。当发现当前流图是最大流时，同时也就发现了最小截集。
其思想是通过最大流找最小截集，而不是通过最小截集找最大流。 从以上增广链和截集的概念及定理知道，要判断一个可行流 f 是否为最大流，有两种途径： 一是能否找出 vs 到 vt 的增广链，若能，则说明 f 不是最大流；否则 f 就是最大流。 二是看 V ( f ) 是否等于最小截量。若相等，则 f 是最大流，否则不是最大流。在上述概念
∑ ≤
fi, j ≤
ci, j = C(Vs ,Vs )
(vi ,v j )∈(Vs ,Vs )
(vi ,v j )∈(Vs ,Vs )
(vi ,v j )∈(Vs ,Vs )
(vi ,v j )∈(Vs ,Vs )
由该结论可知：在一个容量网络中，最大流的流量小于等于最小截集的截量。
证明：若可行流 f * 是最大流，则显然网络中不存在 vs 到 vt 的增广链。否则，若有增广 链，则增广链上的前向弧增加流量，后向弧减小流量，则新可行流的流值增加了，找到了一
个流值更大的可行流，矛盾。
{ } 定义顶点集合 Vs∗ =
vj
:
存在vs
→
v
的增广链
j
。因为网络中不存在 vs 到 vt 的增广链，则有
管理运筹学-线性规划案例《食用调和油生产计划》
食用调和油生产计划案例1.问题的提出调和油又称高合油，它是根据使用需要，将两种以上经精炼的油脂（香味油除外）按比例调配制成的食用油。
其原料常选用精炼大豆油、菜籽油、花生油、葵花籽油、棉籽油等，还可配有精炼过的米糠油、玉米胚油、油茶籽油、红花籽油、小麦胚油等特种油酯。
调和油是是目前市场上比较常见的食用油类之一，以其油色澄清、透明，味道香醇可口，营养较纯种食用油更加丰富均衡，逐渐成为市场上的主流。
在调和油制作成本上，厂家可根据配方，以一定的加工工艺将几种油脂混合配制，取代了传统的纯种油脂，从而大大降低了成本和市面价格，更加迎合消费者追求“物美价廉”的消费心理，为企业带来了效益。
但在调和油的生产过程中，伴随着原料的采购、贮存、加工，都必然要有一定资金和设备上的投入。
当然，除了这些必须具备的，以为了保证调和油质量的程序外，如何降低相关原料和设备所受社会和市场因素引起的价格升高，原料过长时间保养带来的负经济利润，从而实现企业生产成本降低，成为生产厂家不得不考虑的一个问题。
2.问题分析在上述的问题中，存在着一个不争的事实。
价格会随着社会和市场的因素的影响而产生变化，其关系即为“经济函数”（通过广泛地进行市场调查并且采集足够的统计资料，分析确定各宗经济变量之间的函数关系）。
而大量低价采购原料又会带来贮存和保鲜方面成本的升高。
相应关系式可概括为：生产成本=原料价格*数量+贮存保鲜费用+加工费（加工成本+工人工资）+机器折损费+产品维护费用。
3.题目要求食油厂精炼两种类型的原料油——菜籽油和花生油，并将精制油混合得到一种调和油产品。
生产流程如下图所示：菜籽油原料油来自两个产地，而花生原料油来自另外三个产地。
据预测，这5种原料油菜籽油1採購菜籽油2採購花生油1採購花生油2採購花生油3採購的价格从一至六月分别为：表1 五种原料油的价格（元/吨）成品调和油售价为11000元/吨。
菜籽油和花生油需要由不同的生产线来精炼。
如何利用运筹学优化企业生产线布局
如何利用运筹学优化企业生产线布局在当今竞争激烈的市场环境中，企业要想提高生产效率、降低成本、提升产品质量，优化生产线布局是至关重要的一环。
运筹学作为一门应用科学，为企业提供了一系列有效的方法和工具，帮助企业实现生产线布局的优化。
接下来，我们将详细探讨如何利用运筹学来优化企业生产线布局。
首先，我们需要明确什么是生产线布局优化。
简单来说，就是通过合理安排生产设备、工作区域和物料流动路径，使得生产过程更加流畅、高效，减少不必要的浪费和延误。
优化生产线布局的目标通常包括提高生产效率、缩短生产周期、降低生产成本、提高空间利用率以及增强生产的灵活性和适应性。
那么，运筹学在其中究竟能发挥怎样的作用呢？运筹学中的数学模型和算法可以帮助我们定量地分析和解决生产线布局问题。
例如，线性规划可以用于确定设备的最优位置和数量，以使生产过程中的运输成本最小化；整数规划可以用于解决设备的分配和选择问题；网络流模型可以用于优化物料的流动路径；排队论可以用于分析生产线上的等待时间和拥堵情况，从而为优化布局提供依据。
在实际应用中，我们可以按照以下步骤来利用运筹学优化企业生产线布局：第一步，进行详细的调研和数据收集。
这包括了解企业的生产流程、产品种类和产量、设备规格和性能、工作区域的面积和形状、物料的供应和需求情况等。
只有掌握了充分准确的数据，才能为后续的分析和建模提供坚实的基础。
第二步，建立数学模型。
根据收集到的数据和优化目标，选择合适的运筹学模型。
例如，如果我们的目标是最小化物料运输成本，可以建立一个基于运输距离和运输量的线性规划模型；如果我们要考虑设备的兼容性和限制条件，可以使用整数规划模型。
第三步，求解模型。
利用专业的数学软件或算法，对建立的模型进行求解，得到最优的布局方案。
在求解过程中，可能需要对模型进行调整和优化，以确保结果的可行性和实用性。
第四步，对方案进行评估和验证。
将得到的优化方案在实际生产环境中进行模拟或试点运行，评估其效果。
运筹学波次优化
运筹学波次优化（实用版）目录1.运筹学概述2.波次优化的概念3.波次优化的应用4.波次优化的实际案例5.波次优化的优势与局限正文一、运筹学概述运筹学是一门运用数学方法与技术，对实际问题进行分析与求解的学科。
其主要目的是在有限的资源和条件下，寻找最优的决策方案，以实现目标的最优化。
运筹学广泛应用于多个领域，如物流、生产、供应链管理等。
二、波次优化的概念波次优化是运筹学中的一种优化方法，主要针对多批次、多任务的场景进行优化。
波次优化通过对任务进行排序和分组，以达到减少总时间和成本、提高资源利用率的目的。
三、波次优化的应用波次优化在实际应用中具有广泛的应用价值，以下是几个典型的应用场景：1.物流配送：通过波次优化，物流公司可以合理安排配送路线和时间，降低物流成本，提高客户满意度。
2.生产计划：波次优化有助于企业合理安排生产顺序和资源分配，提高生产效率，减少生产成本。
3.供应链管理：波次优化可以帮助企业优化供应商选择、采购和库存管理等环节，降低库存成本，提高供应链整体效率。
四、波次优化的实际案例以物流配送为例，假设某物流公司需要为 10 个客户配送货物，根据客户的地理位置、货物重量和交货时间等因素，运用波次优化算法对配送路线进行优化。
经过波次优化后，物流公司可以将原本需要 5 趟配送的货物减少到 3 趟，大大提高了配送效率，降低了物流成本。
五、波次优化的优势与局限波次优化的优势主要体现在以下几个方面：1.提高资源利用率：通过对任务进行合理分组和排序，波次优化可以有效提高资源利用率，降低成本。
2.减少总时间：波次优化可以减少任务之间的切换时间，提高工作效率，从而缩短总时间。
3.优化客户体验：波次优化有助于提高客户满意度，提升企业形象。
运筹学2-DEA算法
决策单元和DMU的效率评价
决策单元（DMU）
在DEA中，决策单元是指具有相同类型的输入和输出的决策 实体。每个决策单元都有一组输入和输出，用于衡量其效率 。
DMU的效率评价
DEA的目标是通过比较各决策单元的相对效率，对它们的效 率进行评价。DEA使用数学模型和优化技术，通过比较输入 和输出的比率来计算决策单元的效率得分。
环境等。
DEA算法的重要性在于它能够 处理多投入、多产出的复杂系 统，提供了一种有效的评估决
策单元效率的方法。
DEA算法的应用领域
01
金融领域
评估银行的经营效率，比较不同银 行的盈利能力。
物流领域
评估物流企业的运输和配送效率， 优化资源配置。
03
02
医疗领域
评估医院的运营效率，比较不同医 院的医疗服务质量。
案例二：某医院的医疗服务效率评价
总结词
利用DEA算法Biblioteka 某医院的医疗服务效率 进行评价，发现医院在某些科室的资源 配置和医疗服务质量方面存在不足，提 出改进建议。
VS
详细描述
该医院采用DEA算法对其医疗服务进行效 率评价，发现部分科室在人力资源和设备 资源配置方面存在不足，影响了医疗服务 质量。医院针对这些问题，优化了资源配 置，加强了医护人员的培训和管理，提高 了医疗服务效率。
05 DEA算法的案例分析
案例一：某制造企业的生产效率评估
总结词
通过DEA算法，评估某制造企业的生产效率，发现企业在某些方面存在效率低下的问题，提出改进措 施。
详细描述
该制造企业使用DEA算法对其生产过程进行效率评估，发现其原材料采购、生产流程和仓储管理等方 面存在效率低下的问题。针对这些问题，企业采取了优化采购策略、改进生产流程和加强仓储管理等 措施，提高了整体生产效率。
数学学习中的实际案例与实证分析
数学学习中的实际案例与实证分析数学是一门普遍认可为抽象和理论的学科，然而，数学在现实生活中的应用却远不止于此。
本文将介绍数学学习中的一些实际案例，并进行实证分析，以展示数学在解决实际问题中的重要性和实用性。
1. 金融领域的数学应用在金融领域，数学被广泛应用于风险管理、投资组合优化和期权定价等方面。
以期权定价为例，通过使用数学模型，我们可以计算出期权的合理价格，作为投资决策的依据。
这些数学模型中包括著名的布莱克-斯科尔斯公式，它基于随机过程和微分方程，是现代金融的基石之一。
2. 数据分析和统计学的应用数据分析和统计学在数学学习中也起着重要的作用。
在现实生活中，我们常常需要对大量的数据进行整理和分析，以找出其中的规律和趋势。
通过使用统计学方法，例如回归分析和假设检验，我们可以从数据中提取出有用的信息，并作出相应的判断和决策。
例如，在市场调研中，通过对大量的数据进行统计分析，我们可以评估产品的市场潜力和消费者的需求，从而制定相应的营销策略。
3. 运筹学在物流管理中的应用运筹学是一门应用数学学科，主要研究如何通过有效的方法和技术来解决决策问题。
在物流管理中，通过使用运筹学方法，我们可以优化物流网络的布局、货物的配送路线和库存管理策略等。
例如，通过使用线性规划模型，我们可以确定最佳的配送方案，以最小化成本和时间。
4. 数学教育中的实际案例除了应用数学在实际问题中，数学教育也可以通过实际案例的引入来提高学生对数学概念的理解和兴趣。
例如，在几何学的学习中，引入一些实际的例子，如建筑设计和城市规划，可以帮助学生更好地理解几何概念的应用和意义。
同样，在概率和统计学的学习中，可以引入一些真实的数据和实际问题，如天气预测和调查数据分析，以增强学生对统计学概念的理解。
综上所述，数学学习中的实际案例与实证分析展示了数学在解决各种实际问题中的重要性和实用性。
无论是在金融领域、数据分析中、物流管理或是数学教育中，数学都扮演着至关重要的角色。
对偶单纯形法的计算步骤_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]
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41第2章对偶理论与灵敏度分析即y 是对偶问题（D ）的一个可行解。
条件式（2-21）称为对偶可行性条件，即最优性条件式（2-20）与对偶可行性条件式（2-21）是等价的，因此，如果一个原始可行基B 是原问题（P ）的最优基，则1=B y c B -就是对偶问题（D ）的一个可行解，此时对应的目标函数值1B w=yb =c B -，等于原问题（P ）的目标函数值，可知1=B y c B -也是对偶问题（D ）的最优解。
若原问题（P ）的一个基本解1=0B b x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠-对应的检验数向量满足条件式（2-20），即 =(,)=0,0B N N B σσσc c B N -1（-）≤则称x 为（P ）的一个正则解。
于是可知，原问题（P ）的正则解x 与对偶问题（D ）的可行解y 是一一对应的，它们由同一个基B 所决定，我们称这一基为正则基。
因此，我们可以设想另一条求解思路，即在迭代过程中，始终保持对偶问题解的可行性，而原问题的解由不可行逐渐向可行性转化，一旦原问题的解也满足了可行性条件，也就达到了最优解。
也即在保持正则解的正则性不变条件下，在迭代过程中，使原问题解的不可行性逐步消失，一旦迭代到可行解时，即达到了最优解。
这正是对偶单纯形法的思路，这个方法并不需要把原问题化为对偶问题，利用原问题与对偶问题的数据相同（只是所处位置不同）这一特点，直接在反映原问题的单纯形表上进行运算。
2.3.2 对偶单纯形法的计算步骤求解如下标准形式线性规划问题：max =z cx s.t.0Ax =bx ⎧⎨⎩≥对偶单纯形法的计算步骤如下：（1）找一个正则基B 和初始正则解(0)x ；将原问题化为关于基B [不妨设12=(,,,)m B P P P ]的典式，列初始对偶单纯形表，如表2-5所示。
表2-5 对偶单纯形表12 1 2 12121c 1x 1'b 1 0 … 0 1+1'm a 1+2'm a … 1'n a 2c 2x 2'b 01 02+1'm a 2+2'm a … 2'n am c m x'm b 0…1 +1'mm a +2'mm a … 'mn a c j -z j0 0 0+1m σ+2m σ…n σ（2）若1=b'B b -≥0，则停止计算，当前的正则解1=x B b -，即为原问题的最优解；否则转下一步。
案例教学在运筹学教学中的运用
析 问题能力 的增强 ， 是很 有益处 的。
２ 案例 分 析
运输 问题是运筹学 问题 中的一个非 常重要的问题 ， 在实
际生活中有着广 泛 的实际应 用。在讲运输 问题 时及产销 平
衡问题 时 ， 出了下列案例。 给 ・ 某公 司现从两个产地将物品运往三个销地 ， 各产地 的产 量， 各销地的销量和各产地运往各销地 的每件物品的运费 如
摘
要： 文章介 绍了案例教 学的定 义和重要性 ， 并通过 具体的例子说 明案 例教 学过程及 效果 ， 而体现案例 从
教 学的优越性。
关键词 ： 运筹 学； 案例教 学； 运用
中图分类号 ：２ ０２ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：０ ８— ６５ ２０ ） ３— １３— ２ １０ ６ ２ （０ ８ ０ ０ ５ ０
下：
Ｂ １
Ａｌ Ａ２ ６ ６
Ｂ ２
４ ５
Ｂ ３
６ ５
产量 （ ） 件
２ ００ ３ ００
３ 案 例 教 学 的 几 点 注意 事 项
３ １ 案例的选 取要 有代表性 。即要精选案例或编 写有 ． 代表性的案例。每章或每个知识点要有几个代表性 的案例 ，
个内容相联系 ， 要为某 种教学 内容 服务 。给 出案例 后 ， 先让 学生 分组讨论 ， 小组 间相互进行讲解 ： 本案例涉 及哪些 内容？
销量 １０ ５ １０ ５ ２ｏ ｏ ５ｏ ｏ
如何运用 这些 内容 来处理 解决 本 问题 ？最 终 结果 是 什 么？
还有没有其 它解法？结果 唯一吗 ？还 能优化 吗？教 师 给予
问应如何 调运 ， 使得总运 费最小 ？ 分析 ： 这是一个产销平衡 问题 ， 生活中这种问题很普遍 ， 利用 我们 已经学 习过 的知识如 何解决 此问题？让学 生分组
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案例2
解：设工地i在标准施工期需要配备的监理工程师为Xi, 工地j在高峰施工期需要配备的监理工程师为Yi.
7
总成本： minZ=∑ ( 7Xi/3 + 35Yj/12)
i=1
x1≥5
X2≥4
X3≥4
X4≥3
"
X5≥3
X6≥2
X7≥2
Y1+Y2≥14
Y2+Y3≥13
Y3+Y4≥11
Y4+Y5≥10
Y5+Y6≥9
Y6+Y7≥7
Y7+Y1≥14
…
Yj≥Xi (i=j i,j=1,2,3,4,5,6,7)
结果如下：
"
案例五
解：穷举两种车可能的所有路线。
,
设x i为第i条路线的车的数量，那么：
求min f = 12(x1+...+x12) + 18(x13+ (x21)
因为50个点属于A，36个点属于B，20个点属于C，所以约束条件是以上所有x i乘上它对应的路线中去各个点的数量的总和分别大于等于实际这些点的数量，因为表达式过于冗长，这里省略。
!
因为派去的车应该是整数，所以这是整数规划问题，运用软件求解。
最后得出结果：
x9=4 x12=3 x19=8 x21=2 其余都等于零。
所以结果是派7辆2吨车，10辆4吨车。
路线如表格，这里不赘述。
!
案例七
解：设x ij表示在i地销售的j规格的东西。
其中i=1到6对应福建广东广西四川山东和其他省区，j=1和2对应900-1600和350-800。
求max f= 270x11 + 240x21 + 295x31 +300x41 + 242x51 + 260x61 +63x12 +60 x22 + 60x32 + 64x42 +59x52 +57x62– 1450000
在下图软件操作中，用x1到x12代表以上的未知数。
》
约束条件如上
运用软件求解，结果为：
由于软件中没有添加– 1450000，
所以最大利润为：5731000元。
？
案例九
解：设第i年在第j个项目的投资额是Xij。
Yj等于1时投资j项目，等于0时不投资。
目标函数和约束条件在软件上操作如下：
因为约束和目标函数中提到的其实只有一部分未知数，为了方便输入以及简化计算，我们在软件操作过程中做如下规定：
123\
4567891
1
1
1
2
1
3
`
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
2
1
2
2
2
3
`
2
4
2
5
1 12
1
1
2
2
3
1
4
2
4
3
4
4
4
》
5
4
3
5
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
1
7
2
7
3
7
!
4
7
5
7
12356
以上第一行为软件中所用数字，第二行为实际代表未知数，两位的为X，一位的为Y。
而这超过软件的求解深度了。
&
所以，得出一个近似的解
以下为第一个是最佳值后面依次是Xi
那么近似的整数解应该为，
X5=80 X6=95 X7=110 X8=125 X9=140 X11=70 X12=60 X13=873 X14=1000 X15=1000 X16=200 X17=559 X19=60 X20=285 X25=1
其余都为0
—
案例11
解：用Xi=1,0表示是否给项目ABCDE投资，Yi表示1 2 3年的贷款金额，Zi表示公司第i 年的剩余资金。
1999年初可用资金：280000+Y1
1999年年底的投资收益：
）
55000X1+30000X2+70000X4+32500X5+
2000年初可用资金：55000X1+30000X2+70000X4+32500X5+年年底的投资收益：
75000X1+100000X2+120000X3+67000X4+362000X5+年初可用资金
75000X1+100000X2+120000X3+67000X4+362000X5+
+y3
2001年年底的投资收益：
95000X1+73000X2+40000X3+84000X4+50000X5+求3年年底的投资收益之和得到目标函数max Z=95000X1+73000X2+40000X3+84000X4+50000X5+ 约束条件：
280000+Y1=106250X1+95000X2+64000X3+50000X4+56000X5+Z1
,
55000X1+30000X2+70000X4+32500X5+为0,1变量， Yj ,Zj ≥0 i=1,2,3,4,5 j=1,2,3
由运筹学软件求最优值为其中
X1=1 X2=1 X3=1 X4=1 X5=1
Y1=91250 Y2=58200 Y3=0
Z1=0 Z2=0 Z3=144066
.
案例16
解：属于M/M/3/∞/∞系统
然后c=3 λ=1/3 μ=5/36
软件求解可得：
由此可知，一位顾客在系统中的平均逗留时间为小时，满足平均维修时间不超过2天的要求，因此不需要增加维修人员。
案例17
解：M/M/c/∞/∞系统
合并前λ=次/小时μ=1次/小时 c=3
合并后λ=4次/小时μ=次/小时 c未确定
要使维修及时率控制为99%，即顾客等待的概率小于1%
由运筹学软件得当c=11时，Pw=%
当c=12时，Pw=%
当c=12时可以保证维修及时率，维修工共2×12=24 < 16×3=48
所以方案可行。