2020年福建省福州高二(下)期中数学试卷解析版
19. 在极坐标系中，已知曲线 C：ρ＝2cosθ，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，然后 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 C1，又已知直线 l：
（t 是参数），且直线 l 与曲线 C1 交于 A、B 两点．
（1）求曲线 C1 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点 P（0， ），求
（2）线性回归直线必过点
；
（3）对于分类变量 A 与 B 的随机变量 k2，k2 越大说明“A 与 B 有关系”的可信度
越大
（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数 R2 的值越大，说
明拟合的效果越好．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，若是一件废品，则必须至少
16. 有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲 看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2.”乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5.”则 甲的卡片上的数字是___________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知复数 z=1+2i（i 为虚数单位）
（1）若 z•z0=2z+z0，求复数 z0 的共轭复数； （2）若 z 是关于 x 的方程 x2-mx+5=0 一个虚根，求实数 m 的值．
18. 已知数列{an}满足
．
（1）请写出这个数列的前 4 项，并猜想这个数列的通项公式． （2）请证明你
2
3
4
5
y
5
4m
7
则 m=（ ）
A.
B. 6
C. 7
D. 5
10. 执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 M=（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 椭圆 C 的焦点在 x 轴上，一个顶点是抛物线 E：y2=12x 的焦点，过焦点且垂直于长 轴的弦长为 2，则椭圆的离心率为（ ）
B. （0，±4）
C. （±5，0）
D. （0，±3）
7. 在△ABC 中，若 AC⊥BC，AC=b，BC=a，则△ABC 的外接圆半径 r=
，将此结
论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 S-ABC 中，若 SA、SB、SC 两两互 相垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体 S-ABC 的外接球半径 R=（ ）
1.6
1469
108.8
表中 wi= i， =
wi．
（1）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传 费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y-x．根据（2）的结果回答下 列问题： ①年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu
A.
B.
C.
D.
12. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己
、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉
、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始
，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，
5. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设
为（ ）
A. a，b，c 中至少有两个偶数
B. a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C. a，b，c 都是奇数
D. a，b，c 都是偶数
6. 椭圆的参数方程为
（θ 为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）
A. （±4，0）
经过的工序数目为（ ）
A. 6 道
B. 5 道
C. 4 道
D. 3 道
4. 有一段演绎推理：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线；已知直 线 b⊄平面 α，直线 a⊊平面 α，直线 b∥平面 α，则直线 b∥直线 a”的结论是错误的，
这是因为（ ）
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知 i 为虚数单位，若复数 z=i•（a+i）2 为正实数，则实数 a 的值为（ ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
2. 下列说法正确的个数有（ ）
（1）已知变量 x 和 y 满足关系 y=-2x+3，则 x 与 y 正相关；
．
第 3 页，共 13 页
20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）
对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统
计量的值．
46.6 563 6.8 289.8
第 1 页，共 13 页
A.
B.
C.
D.
8. 在极坐标系中，圆 ρ=4cosθ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A. θ=0（ρ∈R）和 ρcosθ=4
B. θ= （ρ∈R）和 ρcosθ=4
C. θ=0（ρ∈R）和 ρcosθ=2
D. θ= （ρ∈R）和 ρcosθ=2
9. 已知 x，y 的值如表所示：如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为
13. 若复数 z 满足
（i 为虚数单位），则|z|=______．
14. 已知直线 l 的参数方程为
（t 为参数 ），曲线 C 的参数方程为
（θ 为参数 ） 则它们公共点的坐标为______．
15. 若“x＞a”是“x2-5x+6≥0”成立的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是______ ．
…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申，乙酉，丙戌，…，癸巳，…，共
得到 60 个组成，周而复始，循环记录，2010 年是“干支纪年法”中的庚寅年，那
么 2019 年是“干支纪年法”中的（ ）
A. 乙亥年
B. 戊戌年
C. 己亥年
D. 辛丑年
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
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福建省福州市八县(市)2019-2020学年高二下学期期中联考试题数学(理)-附答案(已审阅)
2017-2018学年第二学期八县（市）一中期中联考高中二年数学（理）科试卷考试时间：4月25日 完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是()A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln aD.2x 2－1ln a4．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353 D ．3235．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )A ． 1+n B ． n 2C ．222++n n D ． 12++n n8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '()12x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ． ()()()91411f f f -<<+B ． ()()()11491f f f +<<-C ． ()()()52411f f f +<<-D ． ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（ ）A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3） 11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（ ）A.最大值eB.最大值1e +C.最小值e -D.最小值e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为. 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．18. 已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试证明：b n ＝2n ＋11－2n .20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。
2019-2020学年福州市八县高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年福州市八县高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，若数列{a n}满足：a1=i，且(1−i)a n+1=(1+i)a n，则复数a5=()A. −iB. −1C. iD. 12.给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b//平面α.，直线α⊂平面α；(小前提)则直线b//直线α(结论)那么这个推理是()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误3.设a，b∈R，给出下列条件：①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤a3+b3>2；⑥ab>1，其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件有()个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和()A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对5.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：根据如表可得回归直线方程y=b∧x+a∧，其中b∧=0.76，a∧=y−b∧x，据此估计，该社区一户收入为20万元家庭年支出为()A. 11.4万元B. 11.8万元C. 15.2万元D. 15.6万元6.从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，中得出第n个等式是()A. 1+2+3+⋯+n=(2n−1)2B. n+(n+1)+⋯+(2n−1)2=(2n+1)2C. n+(n+1)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2D. n+(n+1)+⋯+(3n−2)=(2n+1)27.函数f(x)的定义域为R+，且对于任何正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，若f(8)=6，则f(√2)=()A. 1B. 2C. −1D. √28.下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设一个线性回归方程y=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位；③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是()A. 3B. 2C. 1D. 09.如图是计算函数的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是()A. B. C. D.10.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⫋β，α∩β=b，则“a//α”是“a//b”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件11.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k+1)与f(k)的关系是()A. f(k+1)=f(k)+k+1B. f(k+1)=f(k)+k−1C. f(k+1)=f(k)+kD. f(k+1)=f(k)+k+212.若存在实数m，n，使得1e x −ax≥0的解集为[m,n]，则a的取值范围为()A. (1e2,e) B. (0,1e2) C. (0,12e) D. (0,1e)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y∈R，i是虚数单位．若x+yi与3+i1+i互为共轭复数，则x+y=______ ．14.2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为1114，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是13；若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是25.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为P n，若当n≥2时，P n≤M恒成立，则M的最小值为______．15.对任意实数x和任意，恒有，则实数a的取值范围为．16.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设a ij(i,j∈N∗)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2015，则i+j=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.求满足|z+1z−1|=1且z+2z∈R的复数z．18.设函数f(x)=−cos2x−4t⋅sin x2cos x2+2t2−6t+2(x∈R)，其中t∈R，将f(x)的最小值记为g(t)(1)求g(t)的表达式；(2)当−1<t<1时，要使关于t的方程g(t)=kt有且仅有一个实根，求实数k的范围．19. 为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．(1)若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率； (2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：①用变量y 与x 、z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；②求y 与x 、z 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分． 参考公式：相关系数r =n i=1i i √∑(n i=1x i −x)2⋅∑(n i=1y i −y)2回归直线方程是：y ^=bx +a ，其中b =∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2,a =y .−bx .，参考数据：x .=77.5,y .=85,z .=81,∑(8i=1x i −x .)2≈1050,∑(8i=1y i −y .)2≈456，∑(8i=1z i −z .)2≈550,∑(8i=1x i −x .)(y i −y .)≈688，∑(8i=1x i −x .)(z i −z .)≈755,√1050≈32.4，√456≈21.4,√550≈23.5．20.某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高二年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表．(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=2ax2+bx+1(e为自然对数的底数)．(x+2)，求a，b的值；(1)函数F(x)=f(x)e x在点(−2,F(−2))处的切线方程为y=1e2(2)若b=e−1−2a，方程f(x)=x x在(0,1)内有解，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为(√2,3π4)，半径r=1．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若α∈[0,π3]，直线l的参数方程为{x=tcosαy=2+tsinα(t为参数)，点P的直角坐标为(0,2)，直线l交圆C与A、B两点，求|PA|⋅|PB||PA|+|PB|的最小值．23.已知函数f(x)=|a−3x|−|2+x|．(1)若a=2，解不等式f(x)≤3；(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥1−a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵(1−i)a n+1=(1+i)a n，∴a n+1a n =1+i1−i=i(1−i)1−i=i，∴数列{a n}是等比数列，首项为i，公比为i．∴a n=i n．∴a5=i5=i．故选：C．由(1−i)a n+1=(1+i)a n，可得a n+1a n =1+i1−i=i，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.答案：A解析：本题考查演绎推理的三段论，以及线面、线线的位置关系的定义，属于基础题．根据线面、线线的位置关系的定义进行判断即可．解：因为直线平行于平面，所以直线与平面没有公共点，则直线与面内所有的直线平行或异面，所以大前提错误，故选A．3.答案：B解析：解：∵a=b=23时，a+b>1，∴①×；∵a=b=1时，a+b=2，∴②×；对③，假设a、b都不大于1，a≤1，b≤1⇒a+b≤2与a+b>2矛盾，∴③√；∵a=b=−2时，a2+b2>2，∴④×；对⑤，假设a、b都不大于1，a≤1，b≤1⇒a3≤1，b3≤1⇒a3+b3≤2与a3+b3>2矛盾，∴⑤√；∵a=−2，b=−1时，ab=2>1，∴⑥×；故选B利用举反例的方法验证①②④⑥；用反证法证明③⑤；本题主要考查反证法．4.答案：A解析：本题考查回归分析，属于基础题．解：用指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，说明残差平方和越小．故选：A．5.答案：D(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10，解析：解：由题意可得x=15(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8，y=15代入回归方程可得a=8−0.76×10=0.4，∴回归方程为y=0.76x+0.4，把x=20代入方程可得y=0.76×20+0.4=15.6，故选：D．由题意可得样本中心点，代入可得回归方程，把x=20代入方程求得y值即可．本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．6.答案：C解析：解：等号的右边为对应奇数的平方，等号的左边分别是以n开始的2n−1个数的和，所以第n个等式n+(n+1)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2，故选C．分别观察三个等式的左边和等号右边式子的特点确定选项．本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．7.答案：A解析：本题考查了抽象函数的赋值法，属于基础题．利用赋值法，有f(8)=f(4)+f(2)，f(2)=f(2)+f(2)，f(2)=f(√2)+f(√2)，可求得f(√2).解：∵对于任何正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，∴f(8)=f(4)+f(2)，f(4)=f(2)+f(2)，∴f(2)=2，∵f(2)=f(√2)+f(√2)，∴f(√2)=1，故选：A．8.答案：C解析：解：对于①，根据方差公式，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；对于②，设一个线性回归方程y=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，故②正确；对于③，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，故③错误；对于④，在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故④正确．∴其中错误的个数是1个．故选：C．由一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变判断①；利用回归方程的意义判断②；根据具有相关关系的两个变量的相关系数值与相关性判断③；由独立性检验中K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查了变量间的相关关系，熟记教材结论是关键，是基础题．9.答案：B解析：试题分析：①处应填入自变量的解析式，②处应填入自变量的解析式，③处应填入自变量的解析式。
福建省福州市八县(市) 高二下册第二学期期中联考试题数学(理)word版有答案【精选】.doc
2019-2020学年第二学期八县（市）一中期中联考高中二年数学（理）科试卷考试时间：4月25日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是()A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln aD.2x 2－1ln a4．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353 D ．3235．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )A ． 1+n B ． n 2C ．222++n n D ． 12++n n8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()12x f x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ． ()()()91411f f f -<<+B ． ()()()11491f f f +<<-C ． ()()()52411f f f +<<-D ． ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（ ）A ．（0，12）B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（ ）A.最大值eB.最大值1e +C.最小值e -D.最小值e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为. 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．18. 已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试证明：b n ＝2n ＋11－2n.20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
2020福建省高二下学期期中联考试题数学(文)含答案
期中联考高中二年数学科（文科）试卷命 题： 复 核：完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( )A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos 4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定 8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a b ad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ） A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆 B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆 C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2--B ．3(,0)2-C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
福建省福州市八县(市、区)协作校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
福州市八县 （市） 协作校2023——2024学年第二学期期中联考高二 数学试卷【完卷时间: 120分钟; 满分: 150分】命题：福州树德学校 罗建平 陈少敏一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. 6 B. 12 C. 24 D. 42【答案】D 【解析】【分析】利用排列数，组合数的计算公式计算.【详解】.故选：D.2. 的展开式中，常数项是（ ）A. 81 B. 32C. 24D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解..【详解】展开式的通项公式为，令，解得，则，即展开式的常数项为24.故选：C3. 某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为；若浇水，盆栽枯萎的概率为．邻居浇水的概率为．则该人回来盆栽没有枯萎的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】22444!A C ++=2244434!A C 432143422⨯++=⨯⨯⨯+⨯+=42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭42(x x+4421442C (2C r r r r r rr T x x x --+==420r -=2r =4222442C 2C 24r r rx -==0.80.150.80.7850.720.7650.67【分析】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，利用全概率公式可求得的值，再利用对立事件的概率公式可求得的值.【详解】记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，，，，由全概率公式可得,由对立事件的概率公式可得，故选：B.4. 已知函数的导函数为，若，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B 【解析】【分析】根据求导公式和运算计算法则求出a ，进而直接得出结果.【详解】由，得，所以，解得，所以，所以.故选：B5. 已知随机变量的概率分布如下表x 124P则（ ）A. 1 B. C. 11D. 15【答案】D 【解析】【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.【详解】由，故，则.A W ()P A ()P A A W ()0.8P W =()0.2P W =()0.8P A W =()0.15P A W =()()()()()0.80.150.20.80.28P A P W P A W P W P A W =+=⨯+⨯=()()110.280.72P A P A =-=-=()e x f x ax =+()f x '(0)0f '=(1)(0)f f +=1-ee 1-()e x f x ax =+()e x f x a '=+(0)10f a '=+=1a =-e ()x x f x =-(1)(0)e 11e f f +=-+=X 0.4a0.3()54E X += 2.21a 0.40.31a ++=0.3a =()()()5454510.420.340.3415E X E X +=+=⨯⨯+⨯+⨯+=故选：D .6. 吸烟有害健康.小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面摆放三支相同的香烟和五支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定：每次想吸烟时，按顺序从盒子里取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖.若小明想要最后一支为口香糖，且任意2支香烟不能相邻，那么他的这些香烟和口香糖共有（ ）种排列方式.A. 6 B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，列式计算即得.【详解】把5支口香糖排成一列，在前4支口香糖形成的5个空隙中，任取3个空隙放入3支香烟，有种方法，所以香烟和口香糖的不同排列方式有（种）.故选：C7. 正值春夏交接时节，学生极易发生感冒.某学校高一、高二、高三三个年级的人数之比为3:2:1，且这三个年级分别有、、的人患有感冒.现在从这三个年级中任选一人进行调查，在此人患了感冒的条件下，此人来自高二年级的概率最大.则下列取值可能的是（ ）A. 、 B. 、C. 、 D. 、【答案】D 【解析】【分析】设事件分别表示“此人高一，高二，高三的学生”，事件D 表示“此人感冒”，利用条件概率公式求出，根据题中条件可得出关于的不等式，解出之间的大小关系，分别对选项进行比较即可.【详解】设事件分别表示此人高一，高二，高三的学生，事件D 表示此人感冒，则,，35C 35C 10=%x %y ()%x y +3x =2y =3x =3y =3x =4y =3x =5y =,,A B C ()()()|,|,|P A D P B D P C D ,x y ,x y ,,A B C ()()()312111,,321232133216P A P B P C ======++++++()()()()|%,|%,|%P D A x P D B y P D C x y ===+则因为来自高二年级概率最大，所以,即,即，即，即，故选：D.8. 若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设切点，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得，结合计算即可求解.【详解】设，则，设切点为，则，所以切线方程为，又该切线过原点，所以，整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故，解得.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.()()()()()()()()11143|||%%%236600x y P D P A P D A P B P D B P C P D C x y x y +=++=⋅+⋅+⋅+=()()()()||,||P B D P A D P B D P C D ＞＞()()()()()()()(),P BD P AD P BD P CD P D P D P D P D ＞300200300600,43434343600600600600y x y x y x y x y x y x y +++++＞23,y x y x >>32y x >1e xax y +=1413001(,)e x ax x +2010ax x ++=Δ0=1()e x ax y f x +==1()e xax a f x -+-'=0001(,)e x ax x +0001()e x ax a f x -+-'=0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-20010ax x ++=()y f x =140a ∆=-=14a =9. 下列说法正确的是（ ）A. 若随机变量X 服从两点分布且，则B. 若随机变量满足，，则C. 若随机变量，则D. 设随机变量，若恒成立，则的最大值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从两点分布且，所以，所以，故A 错误；对于B ，因为随机变量满足，，所以，所以，故B 正确；对于C ，因为随机变量，所以，故C 错误；对于D ，因为随机变量，恒成立，所以恒成立，所以，所以，故D 正确.故选：BD.10. 关于函数及其导函数，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若函数为奇函数，则D. 若，则【答案】ACD1(0)4P X ==3()8E X =2(,)X N μσ (1)0.22P X <=(3)0.78P X <=2μ=1(6,2X B 1(2)4P X ==(,)X B n p ()3D X ≤n 1(0)4P X ==3(1)4P X ==133()0+1=444E X =⨯⨯2(,)X N μσ (1)0.22P X <=(3)0.78P X <=(3)(1)0.22P X P X ≥=<=1322μ+==1(6,)2X B 22461115(2)C ()(12264P X ==-=(,)X B n p ()3D X ≤()(1)3D X np p =-≤221(1)()()3244n nnp p n p p n p -=-=--+≤≤12n ≤()f x ()f x '()ln f x x x =(e)2f '=()sin f x x =π(())12f f '=()f x ()()f x f x ''=-()()0f x f x '->()()20242023ef f >【解析】【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC ；构造函数，利用导数证明为增函数，即可判断D.【详解】A ：由，得，所以，故A 正确；B ：由，得，所以，则，故B 错误；C ：由为奇函数，得，等式两边同时取导数，得，即，故C 正确；D ：由，且定义域为，可构造函数，则，所以为R 上的增函数，则，则，故D 正确.故选：ACD11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E 处，陈同学家在如图所示的F 处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ）A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F 处和陈同学汇合并一同前往的概率为C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A ：张同学经过陈同()()e xf xg x =()g x ()ln f x x x =()ln 1(0)f x x x '=+>(e)ln e 12f '=+=()sin f x x =()cos f x x '=π()02f '=π(())(0)sin 002f f f '===()f x ()()f x f x -=-()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=()()0f x f x '->R ()()exf xg x =()()()0exf x f xg x -''=>()g x ()()()()202420232024202320242023eef fg g =>=()()20242023ef f >1835学家；事件B ：从F 到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 【答案】AB 【解析】【分析】对于A ：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B ：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C ：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D ：求出和，再利用条件概率公式求解.【详解】对于A ：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A 正确；对于B ：在张同学去人民广场选择的最短路径中，总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法，到F 处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F 处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种，则概率为，B 正确；对于C ：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀，①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法，③先从走到，再走到有种走法，综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法，则欣赏灯光秀有种走法，C 错误；对于D ：，D 错误.故选：AB.()5|12P B A =()P AB ()P A 24C 6=37C 35=F 613C 3=6318⨯=183535E F 3F G 326⨯=E A 14C 4=A G 13C 3=3412⨯=E B B G 1612119++=351916-=()()()622353|18935P AB P B A P A ⨯⨯===【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为格中，有格向上，向右的问题来解答.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种【答案】240【解析】【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案故答案为：.13. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X ，则次品件数X 的期望为______．【答案】1.2【解析】【分析】确定随机变量X 服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从超几何分布，其中，，，于是次品件数X 的期望，故答案为：1.214. 若函数有零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】利用导数说明函数单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出参数的取值范围.【详解】函数的定义域为，.的n m n m -25C 10=44A 24=1024240⨯=24010N =4M =3n =() 1.2nME X N==1()ln ef x x x a =-+a [)0,∞+()max 0f x ≥1()ln ef x x x a =-+()0,∞+又，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又时，时，又函数有零点，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法? （用数字作答）.（1）既有内科医生，又有外科医生；（2）至少有1名主任参加；（3）既有主任，又有外科医生.【答案】（1） （2） （3）191【解析】【分析】（1）分内科医生去人四种情况计算；（2）至少有1名主任即为只有1名或2名，分别计算求解；（3）分两类：一种若选外科主任，则其余可任意选，另一种若不选外科主任，则必选内科主任，分别求解即可；【小问1详解】既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去人，得选派方法为：；【小问2详解】分两类：一是选1名主任有种方法；11e ()e e x f x x x-'=-=0e x <<()0f x '>e x >()0f x '<()f x ()0,e ()e,+∞()()max e f x f a ==0x →()f x →-∞x →+∞()f x →-∞1()ln ef x x x a =-+()max 0f x ≥0a ≥a [)0,∞+[)0,∞+2461961,2,3,41,2,3,46661423324144446C C C C C C C C 246+++=1428C C 140=二是选2名主任有种方法；故至少有1名主任参加的选派方法共种；【小问3详解】若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法； 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法； . （也可以直接法：+=65）故既有主任，又有外科医生的选派种数为.16. 在 的展开式中，（1）求展开式中所有项的系数和；（2）求二项式系数最大的项；（3）系数的绝对值最大的项是第几项?【答案】（1）1（2）（3）第6项和第7项【解析】【分析】（1）借助赋值法令即可得；（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；（3）解不等式组即可得.【小问1详解】令，可得展开式中所有项的系数和为；【小问2详解】二项式系数最大的项为中间项，即第5项，的展开式的通项为：，2328C C 56=14056196+=49C 126=4485C C 65-=13223535C C C C +3135C C 12665191+=822x ⎫⎪⎭651120T x -=1x =118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩1x =()811-=822)x-()584218822C 2C ,8,N rrr rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭故；【小问3详解】由的展开式的通项为：，设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即，解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求的值;（2）以频率估计概率，完成下列问题.(i )若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；(ii )若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.【答案】（1）（2）(i )分布列见解析，；(ii ) 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；()4466582C 1120T x x --=-=822)x-()584218822C 2C ,8,N rrr rrr T x r r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-≤∈ ⎪⎝⎭1r +08r <<118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩8!8!2!(8)!(1)!(7)!8!8!2!(8)!(1)!(9)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅≥⎪---⎩1162182r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩56r ≤≤N r ∈=5r 6r =[]15,25a 4[)19,21X X ()E X []21,2523cm 0.125()1E X =261251（2）(i )依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii )利用条件概率的概率公式计算可得.【小问1详解】依题意可得，解得；【小问2详解】(i )由（1）可得高度在的频率为，所以，所以，，，，，所以的分布列为：所以；(ii )在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件，则，，所以.18. 某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍()4,0.25X B ()0.050.0750.150.121a ++++⨯=0.125a =[)19,210.12520.25⨯=()4,0.25X B ()438104256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222413272C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯()31341333C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⨯⎝⎭⨯()444114C 4256P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭X X1234P812562764271283641256()1414E X =⨯=32[]21,25M 123cm N ()3313111C 222P M ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22322331113113C C 525105125P MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1326125|11252P NM P N M P M ===数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；附：若，则．（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品概率为，刮出乙奖品的概率为．①求顾客获得乙奖品的概率；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．【答案】（1）16372 （2）①；②【解析】【分析】（1）由题意，由此结合题中数据以及对称性即可求解相应的概率，进一步即可求解；（2）由题意有，进一步分3大种情况求得，对于①，由全概率公式即可求解；对于②，由条件概率公式即可求解.【小问1详解】由题意，若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额在内的人数为；【小问2详解】设事件“顾客中龙腾奖”， 事件“顾客中旺旺奖”， 事件“顾客获得乙奖品”，由题意知，事件包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为的X ()2130,25N X []105,180()2,X Nμσ ()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈3414373842137()()()1051802P X P X P x μσμμμσ≤≤=-≤≤+≤≤+()()()112171,|,|8164P A P B A P B A ===()216P A =()()()105180105130130180P X P X P x ≤≤=≤≤+≤≤()()()120.68270.95450.81862P X P x μσμμμσ=-≤≤+≤≤+≈+≈X []105,1800.81862000016372⨯=1A =2A =B =()()()23112331371,|1,|684164P A P B A P B A ⎛⎫===-== ⎪⎝⎭2A18”，则（i ）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”， “1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况，共有种；（ii ）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”， “2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，共有种；（iii ）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；所有，①由全概率公式可得，即顾客获得乙奖品概率为；②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是，所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是.19. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导得，分是否大于0进行讨论即可得解；（2）原问题等价于对任意恒成立，令，的213313C C A 136110++=++=31233213323331A C C A A C C 163663125+++++=+++++=()23310251361666P A ++===()()()()()1122171137||81664384P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=37384()()()()()()111117|21816|3737384P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====2137()2e 2,xf x ax a =-∈R ()f x ()22f x x a ≥+()0,x ∈+∞a 2ln2⎡⎤-⎣⎦()2e 2xf x a =-'a 222e 20x ax x a --≥-()0,x ∈+∞()222e 2xg x ax x a =---不断求导得在上单调递增，注意到，由此结合导数与最值的关系分是否大于1进行讨论即可.【小问1详解】.当时，在上恒成立，所以在上单调递增.当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.设，则.当时，，所以在上单调递增，所以当时，.①若，当时，上单调递增，则，所以，所以，②若，则，又当时，，所以，使得，即.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，则，所以，所以.由，令函数，则当时，，所以，所以.在()g x '()0,∞+()()021g a '=-a ()2e 2x f x a =-'0a ≤()0f x ¢>R ()f x R 0a >()0f x '<ln x a <()0f x ¢>ln x a >()f x (),ln a ∞-()ln ,a ∞+()22f x x a ≥+()0,x ∈+∞222e 20x ax x a --≥-()0,x ∈+∞()222e 2xg x ax x a =---()2e 22xg x x a '=--()()2e 22xx g x x a ϕ'==--()2e 2xx ϕ'=-0x >()2e 20xx ϕ'=->()g x '()0,∞+0x >()()()02221g x g a a ''>=-=-10a -≥0x >()()0,g x g x '>()0,∞+()2020g a =-≥a ≤≤1a ≤≤10a -<()00g '<x →+∞()g x '→+∞00x ∃>()0002e 220xg x x a =--='00e xa x =-00x x <<()()0,g x g x '<()00,x 0x x >()()0,g x g x '>()0,x +∞()()()()0000022min 00()2e 2e e e 2e 0x x x x x g x g x x a ==-+=-=-≥0e 2x ≤00ln2x <≤00e xa x =-()e xh x x =-0ln2x <≤()e 10xh x '=->()12ln2h x <≤-12ln2a <≤-综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出在上单调递增，且注意到，由此即可顺利得解.a 2ln2⎡⎤-⎣⎦()g x '()0,∞+()()021g a '=-。
2020年福建省福州市八县(市)一中高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（）A. 三个内角都不大于 60°B. 三个内角至多有一个大于 60°C. 三个内角都大于60°D. 三个内角至多有两个大于 60°2.复数z满足，则z的虚部是（）A. B. - C. - D.3.将曲线+=1按φ：变换后的曲线的参数方程为（θ为参数）（）A. B.C. D.4.设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系（）A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. b＞c＞a5.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2x+cos x，则=（）A. -1B. 0C. 1D. 26.用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A. B. -C. +D.7.已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A. （0，4）B.C. D. （0，1），（4，+∞）8.平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）A. B. C. D.9.设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x-ln x，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A. （0，1]B. （0，e-2]C. [e-2，1]D. [1-，1]10.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）-ax恰有两个零点时，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （0，）C. [，）D. [，e）11.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 612.已知函数f（x）的定义域是R，f′（x）是f（x）的导数，f（2）=e2，对∀x∈R，有f（e=2.71828…是自然对数的底数）．不等式f（x）＜（x-1）e x的解集是（）A. （-∞，2）B. （0，2）C. （1，2）D. （2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若z∈C且|z|=1，那么|z+2-i|的最小值为______．14.已知函数f（x）=mx2+ln x-2x在定义域内存在单调递减区间，则实数m的取值范围是______．15.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术记载：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定x=2，则2-______．16.对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sin x；③f（x）=；④f（x）=．其中在区间[1，+∞）上有一个通道宽度为1的函数是______（写出所有正确的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2a cosθ（a＞0），过点P（-2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求a的值．18.已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象与直线y=2x+1相切于点A（1，f（1）），（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求由y=f（x）的图象、直线y=2x+1及直线x=4所围成的封闭区域的面积．19.设i为虚数单位，θ∈[0，2π）．已知（cosθ+i sinθ）2=cos2θ+i sin2θ，（cosθ+i sinθ）3=cos3θ+i sin3θ，（cosθ+i sinθ）4=cos4θ+i sin4θ．（1）你能得到什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想；（2）已知z=，试利用（1）的结论求z10．20.某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：．（1）求该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数；（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少？21.已知函数f（x）=x2+（1-a）x-a ln x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a＜0，若对∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范围．22.已知f（x）=e x-x lnx+ax；（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：当a≥ln2-1时，方程f（x）=0在（1，+∞）上无解．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．故选：C．熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．2.【答案】A【解析】解：由=2-i，得，∴z=，则z的虚部是．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由变换φ：，可得：，代入曲线+=1可得：3（x′）2+2（y′）2=1，即为：3x2+2y2=1，令（θ为参数）即可得出参数方程．故选：D．由变换φ：，可得：，代入曲线+=1，再利用同角三角函数的基本关系式即可得出．本题考查了椭圆的参数方程、坐标变换、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：依题意，a===|=；b=，表示单位圆的面积，所以b===；c===；所以b＞a＞c．故选：C．a===|=；b=，表示单位圆的面积，所以b===；c===；则a，b，c的大小可比．本题考查了定积分的求法、定积分的几何意义．主要考查计算能力和分析解决问题的能力．属于中档题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）=2x+cos x，则f′（x）=2f′（）-sin x，则f′（）=2f′（）-sin=2f′（）-1，解可得f′（）=1，=-=-f′（）=-1；故选：A．根据题意，由导数的计算公式可得f′（）=2f′（）-sin=2f′（）-1，解可得f′（）=1，进而有导数的定义分析可得答案．本题考查函数导数的计算，关键是掌握函数导数的几何意义，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+-=-．故选：B．求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题．结合函数图象求出f′（x）-f（x）＜0成立的x的范围即可．【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）-f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．8.【答案】B【解析】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=，BO=AO=a-OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故选：B．由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．9.【答案】C【解析】解：由于，，∵x∈[1，e]，0＜a≤1，∴f'（x）＞0，g'（x）＞0，即f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，由任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以f（x）min≥g（x）max，即f（1）≥g（e），∴1+a≥e-1，∴a≥e-2，又0＜a≤1，得e-2≤a≤1，故选：C．运用导数可得f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，要使对任意的x1，x2∈[1，e]，有f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）min≥g（x）max．本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．10.【答案】C【解析】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴x＞1时，y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y-y0=（x-x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：C．由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．11.【答案】A【解析】【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3x2+2ax+b=0，得x=x1，或x=x2，即3（f（x））2+2af（x）+b=0的根为f（x）=x1或f（x）=x2的解．若由题意知函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1<x2,如图,如图所示：由图象可知f（x）=x1有2个解，f（x）=x2有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为3，若，把上图中的看成即可，易知同样有3个实根.故选：A．12.【答案】D【解析】解：构造函数g（x）=f（x）-（x-1）e x，g（2）=f（2）-e2=0．g′（x）=f′（x）-xe x．令h（x）=xe x，x∈R，则h′（x）=（x+1）e x，可得x=-1时，函数h（x）取得极小值即最小值，∴h（x）≥h（-1）=．又对∀x∈R，有f，∴g′（x）=f′（x）-xe x≤-+=0．∴函数g（x）在R上单调递减．∴g（x）＜0=g（2），解得x＞2．∴不等式f（x）＜（x-1）e x的解集是（2，+∞）．故选：D．构造函数g（x）=f（x）-（x-1）e x，g（2）=f（2）-e2=0．g′（x）=f′（x）-xe x．令h（x）=xe x，x∈R，利用导数研究其单调性可得：h（x）≥h（-1）=．又对∀x∈R，有f，进而得出g′（x）≤0．可得其单调性．即可解出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】【解析】解：如图，∵|z+2-i|=|z-（-2+i）|，∴|z+2-i|的最小值为．故答案为：．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．14.【答案】（-∞，）【解析】解：根据题意，函数f（x）=mx2+ln x-2x，其导数f′（x）=2mx-2+，（x＞0）若函数f（x）=mx2+ln x-2x在定义域内存在单调递减区间，则f′（x）=2mx-2+≤0在（0，+∞）上有解；若f′（x）=2mx-2+≤0，变形可得m≤-=-（-1）2+，则m≤-（-1）2+在（0，+∞）上能成立，设t=，则t＞0，则-（-1）2+=-（t-1）2+≤，则必有m＜，故m的取值范围为（-∞，）；故答案为：（-∞，）．根据题意，求出函数的导数，分析可知f′（x）≤0在（0，+∞）内能成立，利用参变量分离法，转化为m≤-（-1）2+在（0，+∞）上能成立，设t=，利用换元法分析可得答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．15.【答案】=1【解析】解：由题意，可知：根据题干中的例子，可设2-=x，即：x+=2，解得：x=1．故答案为：1．本题可根据题中的例子同样的设关于x的表达式，解出x即可得到结果．本题主要根据已有的例子归纳出方法并加以运用．本题属基础题．16.【答案】①③④【解析】解：函数①，在区间{1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[-1，1]，满足-1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2-y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x-1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤＜1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；故答案为：①③④．利用各个函数在{1，+∞）上的值域区间的长度小于等于1来判断．本题考查了函数的最值及其几何意义，属中档题．17.【答案】解：（1）曲C的极坐标方程为ρsin2θ=2a cosθ（a＞0），等式两边同乘ρ，得ρ2sin2θ=2aρcosθ①．……………………（1分）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①中，得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）．……………………（2分）将直线l的参数方程消去t，得直线l普通方程为y=x-2…………（4分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax（a＞0）中，得t2-2+8a=0……………………（5分）由△＞0且a＞0，得a＞4……………………（6分）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2则有t+t2=2a＞0，t1t2=8a＞0∴t1t2同正．……………………（7分）∵|PA|，|AB|，|PB|成等比数列∴|PA|•|PB|=|AB|2|又∵|PA||PB|=|t1||t2|=t1t2，|AB|=|t1-t2|∴t1t2=|t1-t2|2，即（（t1+t2）2=5t1t2……………………（8分）∴（2）2=5×8a，解得a=0（舍去）或a=5a=5满足△＞0∴a的值为5．……………………（10分）【解析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2a cosθ（a＞0），等式两边同乘ρ，得ρ2sin2θ=2aρcosθ①．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①中，得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax （a＞0），将直线l的参数方程消去t，得直线l普通方程为y=x-2；（2）根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18.【答案】解：（1）由f（x）=ax2+bx得f′（x）=2ax+b，二次函数f（x）=ax2+bx的图象与直线y=2x+1 相切于点A（1，f（1）），所以，即，解得，因此f（x）=-x2+4x．（2）作函数y=f（x）的图象、直线y=2x+1及直线x=4的图象，则由y=f（x）的图象、直线y=2x+1及直线x=4所围成的封闭区域的面积为：=．【解析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得切点，即有a，b的方程组，解方程可得所求解析式；（2）作出所求围成的封闭区域，再由定积分的运算可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，以及定积分的运用：求面积，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）猜想（cosθ+i sinθ）n=cos nθ+i si n nθ（n∈N*）成立．证明：①当n=1时，左边=右边=cosθ+i sinθ，所以猜想成立；②假设当n=k（k∈N*）时，（cosθ+i sinθ）k=cos kθ+i sin kθ成立，则当n=k+1时，（cosθ+i sinθ）k+1=（cosθ+i sinθ）k（cosθ+i sinθ）=（cos kθ+i sin kθ）（cosθ+i sinθ）=（cos kθcosθ-sin kθsinθ）+i（sin kθcosθ+cos kθsinθ）=cos（k+1）θ+i sin（k+1）θ，当n=k+1时，猜想也成立；综上，由①②可得对任意n∈N*，猜想成立；（2）z==2（+i）=2（cos+i sin），可得z10=210（cos+i sin）=1024（cos-i sin）=1024（-i）=512-512i．【解析】（1）由给出的恒等式可得（cosθ+i sinθ）n=cos nθ+i si n nθ（n∈N*）成立；由数学归纳法证明，注意当n=k+1时，运用假设和两角和差的三角函数公式，即可得证；（2）化复数z为三角式，再由（1）的结论，化简可得所求值．本题考查数学归纳法的运用，证明复数的乘方的恒等式，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】（本小题满分13分）解：（1）因为该厂的日产量为x，则其次品数为，正品数为，根据题意得，化简整理得．（2）∵，∴=，当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0．所以x=16时，T有最大值，即T max=T（16）=800元．答：（1）该厂的日盈利额，x∈N*；（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为16件．【解析】（1）因为该厂的日产量为x，则其次品数为，正品数为，由此能求出该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数．（2）由，利用导数知识能求出为获最大盈利，该厂的日产量．本题考查导数知识在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求导数，得f′（x）=x+1-a-=，若a≤0，则f'（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则由f'（x）=0得x=a，当0＜x＜a时，f'（x）＜0，当x＞a时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（2）不妨设x1≤x2，而a＜0，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x1）≤f （x2）从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），4x1-f（x1）≥4x2-f（x2）①令g（x）=4x-f（x），则g′（x）=4-f′（x）=4-（x+1-a-）=-x+3+a，因此，①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g′（x）=-x+3+a≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤对∀x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤（）min，又=x+1+-5≥2-5=-1，当且仅当x+1=，即x=1时，等号成立．∴a≤-1，故a的取值范围为（-∞，-1]．【解析】（1）求出f（x）的定义域为（0，+∞），求导数，若a≤0，若a＞0，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性．（2）不妨设x1≤x2，而a＜0，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），4x1-f（x1）≥4x2-f （x2），令g（x）=4x-f（x），通过函数的导数求解函数的最值，推出结果．本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．22.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=e x-x lnx，f′（x）=e x-（ln x+1）．令u（x）=e x-（ln x+1），u′（x）=e x-在（0，+∞）上单调递增．存在唯一x0＞0，使得=．使得函数u（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f′（x）≥u（x0）=+x0-1≥2-1=1＞0．∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）由e x-x lnx+ax=0，x∈（1，+∞）．∴a=ln x-．令g（x）=ln x-．x∈（1，+∞）．则g′（x）=-=．令h（x）=x-（x-1）e x，x∈（1，+∞）．则h′（x）=1-xe x，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递减．2＜0，∴存在x=0．x（1，x1）x1（x1，+∞）g′（x）+0-g（x）↗极大值↘∵h（x1）=0，∴=．g（x）max=g（x1）=ln x1-=ln x1-．令v（x）=ln x-，则v（x）在（1，2）上为增函数．∴ln x1-＜ln2-1．即g（x）max＜ln2-1．∴当a≥ln2-1时，方程f（x）=0在（1，+∞）上无解．【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=e x-x lnx，f′（x）=e x-（ln x+1）．令u（x）=e x-（ln x+1），u′（x）=e x-在（0，+∞）上单调递增．存在唯一x0＞0，使得=．根据单调性即可得出．（2）由e x-x lnx+ax=0，x∈（1，+∞）．可得a=ln x-．令g（x）=ln x-．x∈（1，+∞）．则g′（x）=-=．令h（x）=x-（x-1）e x，x∈（1，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020-2021学年福建省福州八中高二(下)期中数学试卷(选修2-3)(附答案详解)
2020-2021学年福建省福州八中高二（下）期中数学试卷（选修2-3）1.已知复数z1=1−i，则复数z2=z1+1z1−1的虚部是()A. 2iB. −2iC. 2D. −22.四名同学站在一起合影，甲与乙不相邻，总共有()种站法．A. 4B. 6C. 8D. 123.某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有3名教师和2名学生要进入校园(不分先后顺序)，请问进入校园的方式共有()A. 32种B. 24种C. 12种D. 6种4.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有()种．A. A 43B. 43C. 34D. C 435.在某次学科知识竞赛中(总分100分)，若参赛学生成绩ξ服从N(80,σ2)(σ>0)，若ξ在(70,90)内的概率为0.8，则落在[90,100]内的概率为()A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.26.2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”.某校6名大学生分成两个小组，到A，B两个社区做宣传，每个组至少分配2人，则不同的安排方案共有()A. 35种B. 55种C. 50种D. 70种7.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，记事件B“取出一个蓝球，一个绿球”，则P(B|A)=()A. 213B. 313C. 413D. 6138.武汉市从2020年2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等四类人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户3口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p <1)且相互独立，该家庭至少检测了2个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p =p 0时，f(p)最大，则p 0=( )A. 1−√63B. √63C. 12D. 1−√339. 下列说法正确的是( )A. 对于独立性检验，随机变量K 2的观测值k 值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大B. 在回归分析中，相关指数R 2越大，说明回归模型拟合的效果越好C. 随机变量ξ~B （n ，p ），若E （x ）=40，D （x ）=30，则n =80D. 以拟合一组数据时，经z =ln y 代换后的线性回归方程为，则c =e 3，k =0.210. 已知(x √x )n (a >0)的展开式中第3项与第9项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )A. 展开式中偶数项的二项式系数和为512B. 展开式中第5项和第6项的系数最大C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含x 4项的系数为21011. 已知具有线性相关的变量x ，y ，设其样本点为A i (x i ,y i )(i =1,2，…，8)，回归直线方程为y ̂=14x +a ，若OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+OA 8⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2)，(O 为坐标原点)，则a =______ ．12. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+⋅⋅⋅+(1+x)15的展开式中x 2的系数为______ (用数字作答)．13. 已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=a2k−1，其中k =1，2，3，4，5，6，则a = ______ ． 14. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是13，假设各局比赛结果相互独立.则甲队获胜的概率为______ ．15. 福建省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模式，为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高二年级800名学生的选科情况，部分数据如表：(1)根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)16.已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（100，52）.（1）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于85mm的概率；（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为500元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费，已知故障维修费第一次为200元，此后每增加一次则故障维修费增加200元.假设每个维护周期互相独，求该生产设备运行的四年内生产维立，每个周期内设备不能连续运行的概率为12护费用总和Y 的分布列与数学期望.参考数据：若X ~N （μ，σ2），则P （μ-σ＜X ＜μ+σ）=0.6827，P （μ-2σ＜X ＜μ+2σ）=0.9545，P （μ-3σ＜X ＜μ+3σ）=0.9974，0.998710≈0.9871.17. 某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令u i =lnx i ，v i =lny i ，得到相关数据如表所示：∑u i 10i=1v i∑u i 10i=1∑v i 10i=1∑u i 210i=130.5 15 15 46.5(1)从①y =bx +a ；②y =m ⋅x k (m >0,k >0)；③y =cx 2+dx +e 三个函数中选择一个作为年广告费用x 和年利润额y 的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；(2)根据(1)中选择的回归类型，求出y 与x 的回归方程；(3)预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元)参考数据：10e ≈3.6788,3.67883≈49.787．参考公式：回归方程y ̂=a ̂+b̂t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2，a ̂=y −−b̂t −．18.已知函数f(x)=2f′(1)lnx−x3，则f(x)的极大值点为()A. 13B. 12C. 2D. 319.设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d.已知a3=12，S12<0，a6>0，则()A. a7<0B. 数列{1a n}是递减数列C. S n>0时，n的最大值为11D. 数列{S na n}中最小项为第7项20.已知函数f(x)=3x+4lnx−x−a+1在区间(0,2)上至少有一个零点，则实数a的取值范围是______ ．21.已知∠A，B，C为△ABC的各个内角，a，b，c为其对应的对边，且存在bsinA =asinB．(1)若cosB=√32，求∠C大小；(2)若c=4，∠A的取值范围是[π6,π3]，求S△ABC的取值范围．22.在①3a n+12=a n(2a n−5a n+1)，且a n>0；②S n，2S n+1，3S n+2成等差数列，且a2=19；③2S n+a n+t=0(t为常数)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，____，其中n∈N∗．(1)求{a n}的通项公式；(2)记b n =a n ⋅{log 13a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：23≤T n <54．23. 已知圆F 1：(x +√3)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −√3)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点P 的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=45上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由复数z1=1−i，得到：z2=z1+1z1−1=1−i+11−i−1=2−i−i=(2−i)i−i⋅i=1+2i．所以复数z2=z1+1z1−1的虚部是2．故选：C．把等式右边利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z2，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：根据题意，先将其他2名学生排好，有2种不同的顺序，2人排好后，有3个空位，在其中任选2个，安排甲乙，有A32=6种情况，则甲与乙不相邻的站法有2×6=12种，故选：D．根据题意，分2步进行分析：先将其他2名学生排好，2人排好后，有3个空位，在其中任选2个，安排甲乙，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，3名教师要进入校园，则每人有两种进入校园方式，则3名教师有2×2×2=8种不同的方式，2名学生要进入校园，则每人有两种进入校园方式，则2名学生有2×2=4种不同的方式，所以5人有8×4=32种不同的方式．故选：A．先按3名教师要进入校园，2名学生要进入校园，进行分类，再把两种分类的结果相乘，即可得到答案．本题考查了排列组合的综合应用，先分类再分步是解本题的关键，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意，每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有3×3×3×3=34种可能故选：C．每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．本题以实际问题为载体，考查计数原理，解题的关键是利用每个冠军都有3种可能．5.【答案】B【解析】解：∵ξ服从N(80,σ2)，∴P(80<ξ<90)=1P(70<ξ<90)=0.4，2又P(80<ξ≤100)=0.5，∴P(90≤ξ≤100)=0.5−0.4=0.1．故选：B．根据正态分布的对称性求出答案．本题考查了正态分布的性质，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：C63=25种分组方法，①将6名大学生分成两个小组，每个组至少分配2人，有C62+12②将分好的2组全排列，安排到A，B两个社区做宣传，有2种情况，则有25×2=50种不同的安排方法，故选：C．根据题意，分2步进行分析：①将6名大学生分成两个小组，每个组至少分配2人，②将分好的2组全排列，安排到A，B两个社区做宣传，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意可得，P(AB)=C 31C 21C 92=16，P(A)=C 41C 31+C 31C 21+C 41C 21C 92=1318，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=161318=313．故选：B ．先求出P(A)，P(AB)，然后利用条件概率的计算公式求解即可．本题考查了条件概率的求解，解题的关键是掌握条件概率的计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：设事件A 为：检测2个人确定为“感染高危户”， 事件B 为：检测3个人确定为“感染高危户”， 所以P(A)=p(1−p)，P(B)=p(1−p)2， 则f(p)=p(1−p)+p(1−p)2=p 3−3p 2+2p ， 所以f′(p)=3p 2−6p +2，令f′(p)=0，解得p =1−√33，当0<p <1−√33时，f′(p)>0，则f(p)单调递增，当1−√33<p <1时，f′(p)<0，则f(p)单调递减，所以当p =1−√33，即p 0=1−√33时，f(p)取得最大值．故选：D ．先求出概率，然后利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．本题考查了概率问题的求解，相互独立事件的概率乘法公式的运用，利用基本不等式求解最值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：对于A ：对于独立性检验，随机变量K 2的观测值k 值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故A 错误；对于B ：在回归分析中，相关指数R 2越大，说明回归模型拟合的效果越好，故B 正确； 对于C ：随机变量ξ~B （n ，p ），若E （x ）=np =40，D （x ）=np （1-p ）=30，则n =100，故C 错误；对于D：以拟合一组数据时，经z=ln y代换后的线性回归方程为，令z=ln y，则，所以ln c=4，c=e3，k=0.2，故D正确；故选：BD．直接利用独立性检测和变量间的关系，回归直线的相关系数，均值和方差的关系，回归直线的方程的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：独立性检测和变量间的关系，回归直线的相关系数，均值和方差的关系，回归直线的方程的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵C n2=C n8，∴n=10，又展开式的各项系数之和为1024，a>0，∴(1+a)10=210=1024，∴a=1．×210=512，故A正确；对于A，展开式中偶数项的二项式系数和为12对于B，∵n=10，展开式共11项，中间项为第六项，该二项式系数最大，该项的系数也是其二项式系数，故B错误；对于C，由通项T=C10r⋅x−r2⋅x10−r=C10r⋅x10−32r，令10−32r=0，得r=203∉Z，r+1故展开式中不存在常数项，故C错误；r=4，得r=4，故展开式中含x4项的系数为C104=对于D，由C中通项可知，令10−3210×9×8×7=210，故D正确，4×3×2×1故选：AD．由二项式系数的性质可得n=10，从而对A、B、C、D四个选项逐一分析可得答案．本题考查二项式定理，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】116【解析】解：∵OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+OA 8⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2)， ∴x 1+x 2+⋯+x 8=6，y 1+y 2+⋯+y 3=2， ∴x −=68=34，y −=28=14，把点(x −,y −)的坐标代入回归直线方程，得14=14×34+a ， ∴a =116．故答案为：116．根据已知条件求出样本中心点(x −,y −)的坐标，将该点坐标代入回归方程，即可求出a 的值．本题主要考查了线性回归方程，考查了计算能力，是基础题．12.【答案】560【解析】解：∵(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+⋅⋅⋅+(1+x)15的展开式中x 2的系数为：C 22+ C 32+C 42+....+C 152 =C 33+ C 32+C 42+....+C 152 =(C 43+C 42)+C 52+....+C 152 =(C 53+C 52)+C 62+....+C 152 =C 153+C 152 =C 163=16×15×143×2×1=560． 故答案为：560．依题意可得所求的展开式中x 2的系数为C 22+ C 32+C 42+....+C 152，反复利用组合数的性质C n m +C n m−1=C n+1m 可得答案．本题考查二项式定理的应用，着重考查组合数的性质的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】3263【解析】解：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=a2k−1， 所以a20+a21+a22+a23+a24+a25=1， 则a =3263． 故答案为：3263．利用概率之和为1，列出关于a 的关系，求解即可．本题考查了概率分布列的性质，解题的关键是掌握概率之和为1，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．14.【答案】727【解析】解：由题意可得，先胜了3局者获得比赛的胜利，则至多打5局，至少打3局， 记事件A 为：打3局甲获胜，事件B 为：打4局甲获胜，事件C 为：打5局甲获胜， 则P(A)=(13)3=127，P(B)=C 31×23×(13)2×13=227， P(C)=C 42×(23)2×(13)2×12=427，所以甲获胜的概率为P =P(A)+P(B)+P(C)=127+227+427=727． 故答案为：727．分析题意，可知甲获胜的情况有三种：打3局甲获胜，打4局甲获胜，打5局甲获胜，分别求出其概率，然后由分类计数原理求解即可．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)根据题意填写列联表为：因为K 2=800×(300×150−250×100)2550×250×400×400=(450−250)255×25×2=16011>10.828，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关． (2)按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人． 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2． 所以P(X =0)=C 20C 33C 53=110，P(X =1)=C 21C 32C 53=35，P(X =2)=C 22C 31C 53=310．所以X 的分布列为：所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65．【解析】(1)根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(2)按照分层抽样法计算抽取男生、女生人数，得出随机变量X 的可能取值，计算对应的概率，写出分布列，求出数学期望．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．16.【答案】解：（1）因为X ~N （100，52），所以P(X ＜85)=1−0.99742=0.0013，则P （X ≥85）=1-0.0013=0.9987，设事件A 为“至少有一个尺寸小于85mm ”， 则P （A ）=1-（0.9987）10=1-0.9871=0.0129； （2）四年内正常维护费为500×4=2000元， 故障维修费第一次200元，第二次400元，第三次600元，第四次800元， 所以四年内生产维护费用总和Y 的可能取值为2000、2200、2600、3200、4000，则P(Y =2000)=C 4⋅(12)4=116， P(Y =2200)=C 41⋅12⋅(12)3=14， P(Y =2600)=C 42(12)2(12)2=38， P(Y =3200)=C 43⋅(12)3⋅12=14，P(Y =4000)=(12)4=116， 则Y 的分布列为：故E(Y)=2000×116+2200×14+2600×38+3200×14+4000×116=2700．【解析】（1）利用正态分布求解P （X ≥85），再利用对立事件的概率求解即可； （2）先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了正态分布概率求解，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由散点图知，年广告费用x 和年利润额y 的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型y =m ⋅x k 更好．(2)对y =m ⋅x k 两边取对数，得lny =lnm +klnx ，即v =lnm +ku ， 由表中数据得，k ̂=∑u i 10i=1υi −10u −υ−∑u i 210i=1−10u−2=30.5−10×1.5×1.546.5−10×1.5×1.5=13， 所以lnm ̂=v −k ̂u =1.5−13×1.5=1， 所以m̂=e ， 所以年广告费用x 和年利润额y 的回归方程为y ̂=e ⋅x 13． (3)由(2)，知y ̂=e ⋅x 13， 令y ̂=e ⋅x 13>10，得x 13>10e，得x 13>3.6788， 所以x >3.67883≈49.787，所以x ≈49.78(十万元)=498(万元)． 故下一年应至少投入498万元广告费用．【解析】本题考查回归直线方程的应用，散点图的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)由散点图即可得到答案；(2)对y=m⋅x k两边取对数，得lny=lnm+klnx，即v=lnm+ku，求出回归直线方程的系数，然后求解回归方程即可；(3)通过ŷ=e⋅x13>10，说明下一年应至少投入广告费用．18.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2f′(1)lnx−x3，∴f′(x)=2f′(1)⋅1x −13，令x=1，可得：f′(1)=2f′(1)−13，解得f′(1)=13，∴f′(x)=23⋅1x−13=2−x3x，令f′(x)=0，解得x=2．令f′(x)>0，解得0<x<2；f′(x)<0，解得x>2．∴f(x)的极大值点为2．故选：C．函数f(x)=2f′(1)lnx−x3，可得f′(x)=2f′(1)⋅1x−13，令x=1，可得：f′(1)=2f′(1)−13，解得f′(1)，进而得出函数的极值点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】ACD【解析】解：S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)<0，∴a6+a7<0，又∵a6>0，∴a7<0∴A 对；由A的分析可知，当1≤n≤6时a n>0，当n≥7时a n<0，可知等差数列{a n}为递减数列，当1≤n≤6时，数列{1an}为递增数列，∴B错；S11=11(a1+a11)2=11a6>0，又S12<0，∴C对；n∈[1,11]时S n>0，n∈[12,+∞)时，S n<0，∴n∈[1,6]∪[12,+∞)时，S na n>0，当n∈[7,11]时，S na n <0、a n<0且递减、S n为正数且递减，∴S7a7最小．∴D对．故选：ACD．S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)<0，结合a6>0，可判断A；结合A的分析可知当1≤n≤6时a n>0，当n≥7时a n<0，可判断B；S11=11(a1+a11)2=11a6>0，结合S12<0可判断C；由前面分析可知，n∈[1,6]时a n>0，n∈[7,+∞)时，a n<0，n∈[1,12]时S n>0，n∈[13,+∞)时，S n<0，由此分析S na n变化情况，以确定S7a7是否最小．本题考查等差数列前n项和及函数特性，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．20.【答案】[3,+∞)【解析】解：函数f(x)=3x+4lnx−x−a+1在区间(0,2)上至少有一个零点，可得a−1=4lnx+3x−x在x∈(0,2)有解，设g(x)=4lnx+3x −x，导数g′(x)=−1+4x−3x2=−(x−1)(x−3)x2，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)递减；当1<x<2时，g′(x)>0，g(x)递增，可得g(1)取得极小值，且为最小值2，作出y=g(x)的图象，可得a11≥2，即a≥3．∴实数a的取值范围是[3,+∞)．故答案为：[3,+∞)．由题意可得a−1=4lnx+3x −x在x∈(0,2)有解，设g(x)=4lnx+3x−x，利用导数求其最小值，画出g(x)的图象，即可得到a的范围．本题考查函数的零点个数问题解法，考查参数分离和数形结合思想方法，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵asinB =bsinA，asinA=bsinB，∴asinAsin2B =asinA，故sin2A=sin2B，∵cosB=√32，∴∠B=30°，又∵0<A<150°，∴sinA=12，故∠A=30°，∴∠C=180°−30°−30°=120°．(2)∵asinA =4sinC=bsinB，由(1)可知sinA=sinB，即A=B，故a=b=4sinAsinC，∴S=12sinC⋅ab=12⋅sinC⋅16sin2Asin2C=8sin2AsinC，S=8sin2Asin(π−2A)=8sin2A2sinAcosA=4tanA，∵∠A的取值范围是[π6,π3 ]，∴S∈[4√33,4√3]．【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得sin2A=sin2B，由cosB=√32，可得∠B=30°，结合范围0<A<150°，由sinA=12，可得∠A=30°，利用三角形的内角和定理可求C 的值．(2)由(1)可得A=B，利用正弦定理可得a=b=4sinAsinC，根据三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S=4tanA，由已知A的范围利用正切函数的性质即可求解其取值范围．本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)选择条件①，因为3a n+12=a n (2a n −5a n+1)，所以3a n+12−2a n 2−5a n a n+1=0，所以(3a n+1−a n )(a n+1+2a n )=0， 因为a n >0，所以3a n+1−a n =0,即a n+1a n=13，所以{a n }是首项a 1=13，公比13的等比数列， 所以a n =(13)n ， 选择条件②，因为S n ，2S n+1，3S n+2成等差数列， 所以4S n+1=S n +3S n+2，所以3(S n+2−S n+1)=S n+1−S n ，即3a n+2=a n+1， 又a 2=19=13a 1，所以a n+1a n=13，所以{a n }是首项a 1=13，公比13的等比数列， 所以a n =(13)n ； 选择条件③，因为2S n +a n +t =0(t 为常数)， 所以当n ≥2时，2S n−1+a n−1+t =0，两式相减得2(S n −S n−1)+a n −a n−1=0，即3a n =a n−1(n ≥2)， 又a 1=13，a nan−1=13(n ≥2)，所以{a n }是首项a 1=13，公比13的等比数列， 所以a n =(13)n ；(2)证明：由(1)知a n =(13)n .∴b n =a n ⋅log 13a n+1=(n +1)(13)n，T n =2×131+3×132+⋯+(n +1)×13n ， ∴13T n =2×132+3×133+⋯+(n +1)×13n+1．∴23T n =2×131+(132+133+⋯+13n )−(n +1)×13n+1 =23+132(1−13n−1)1−13−(n +1)×13n+1=56−2n+52⋅3n+1． ∴T n =54−2n+54⋅3n，∵T n+1−T n =(54−2n+74⋅3n+1)−(54−2n+54⋅3n)=n+23n+1>0，∴T n+1>T n ，即数列{T n }递增， ∴T n ≥T 1=23，又∵2n+54⋅3n>0，∴T n <54，∴23≤T n <54．【解析】(1)分别选①②③，由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求； (2)由对数的运算性质求得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的单调性和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)设公共点为P ，则|PF 1|=r ，|PF 2|=4−r ，所以|PF 1|+|PF 2|=4>2√3=|F 1F 2|，则公共点P 的轨迹为椭圆，且2a =4，所以a =2， 又c =√3，则b 2=1， 故曲线E ：x 24+y 2=1；(2)当直线PQ 斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√45，代入E ：x 24+y 2=1，可得y =±√45，所以OP ⋅OQ =45−45=0， 故OP ⊥OQ ；当直线PQ 斜率存在，设PQ 的方程为y =kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切， 则√k 2+1=r ⇒5m 2=4(k 2+1)， 将PQ 方程代入E ：x 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，所以x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，故OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−4)4k 2+1−8k 2m 24k 2+1+m 2=5m 2−4(k 2+1)4k 2+1，将5m 2=4(k 2+1)代入上式，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OQ ． 综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−45， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值−45．【解析】(1)设公共点为P ，利用圆的几何性质可得以|PF 1|+|PF 2|=4>2√3=|F 1F 2|，由椭圆的定义可知点P 的轨迹为椭圆，求解a ，b ，c ，即可得到椭圆的标准方程； (2)当直线PQ 斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√45，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ斜率存在，设PQ 的方程为y =kx +m ，利用直线与圆相切，则可得m 与k 的关系，再联立PQ 与椭圆E 的方程，得到韦达定理，然后利用向量数量积的坐标表示进行化简，可得OP ⊥OQ ，由此求解AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．本题考查了动点轨迹方程的求解，主要考查了定义法求解轨迹方程，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
2019-2020学年福州市三校联盟高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年福州市三校联盟高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数z =1−i 对应的向量为OP⃗⃗⃗⃗⃗ ，复数z 2对应的向量为OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么向量PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( )A. 1−iB. 1+iC. −1+iD. −1−i2.等于( )A.B.C.D.3. 用数学归纳法证明时，从k 到k +1时，左端需增乘的代数式为( )A.B.C.D.4. 过原点的直线l 与抛物线y =x 2−2ax(a >0)所围成的图形的面积为y =92a 3，则直线l 的方程为( )A. y =axB. y =ax 或y =−6axC. y =−axD. y =ax 或y =−5ax5. 若函数ℎ(x)在定义域D 上可导，且其导函数ℎ′(x)在D 上也可导，则称ℎ(x)在D 上存在二阶导函数，记作ℎ″(x)，即ℎ″(x)=(ℎ′(x))′，当ℎ″(x)<0在D 上恒成立时，称ℎ(x)在D 上是凸函数．下列函数在(0,π2)上不是凸函数的是( )A. f(x)=sinx +cosx +m(m ∈R)B. f(x)=lnx −2015x +m(m ∈R)C. f(x)=−x 3+2020x +m(m ∈R)D. f(x)=xe x +m(m ∈R)6. 已知函数f(x)=aln(x +2)−x 2在(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式f(p+1)−f(q+1)p−q>2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,24]B. (−∞,12]C. [12,+∞)D. [24,+∞)7. 对大于1的自然数2×2的三次幂可用奇数进行以下方式的“裂”：23{35, 33{7911, 43{13151719,…，若m 3的“分裂数”中有一个是345，则m 为( )A. 16B. 17C. 18D. 198. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A. 324B. 328C. 360D. 6489. 若定义在R 上的函数f(x)满足f(0)=−1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A. f(1k )<1k B. f(1k )>1k−1 C. f(1k−1)<1k−1D. f(1k−1)>kk−110. 已知定义在R 上的可导函数y =f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)−f(x)>1,f(0)=2019，则不等式f(x)>2020⋅e x −1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A. (−∞,0)∪(0,+∞)B. (2020,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,0)∪(2020,+∞)11. 《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( )A. 216B. 420C. 720D. 108012. 若函数f(x)=−x +bln(x +2)在[−1,+∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.14. 若a =∫o πsinxdx ，则(x−ax )2018的展开式中各项系数的和为______．15. 已知函数f(x)=x 3−ax 2−x +a ，其中a 为实数，若f(x)在x =−1处取得极值，则a = ______ ． 16. 设函数f(x)满足f(e x )=x −e x ，若对x ∈(0,+∞)都有a ≥f(x)，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知复数Z =4+3i1+2i (i 为虚数单位)，求Z 及|Z|18.设函数f(x)=−x3+2ax2−a2x(x∈R)，其中a∈R(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(Ⅱ)当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；(Ⅲ)当a>3时，证明存在k∈[−1,0]，使得不等式f(k−cosx)≥f(k2−cos2x)对任意的x∈R恒成立．19.设正有理数x是√3的一个近似值，令y=1+2．1+x(1)若x>√3，求证：y<√3；(2)求证：y比x更接近于√3．20.若数列{b n}：对于n∈N∗，都有b n+2−b n=d(常数)，则称数列{b n}是公差为d的准等差数列．设数列{a n}满足：a1=a，对于n∈N∗，都有a n+a n+1=2n．(1)求证：{a n}为准等差数列，并求其通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，若S63>2014，求a的取值范围．21.已知实数λ为常数，函数f(x)=3x+λ3x．(1)当λ=−2时，求方程f(x)=1的解集；(2)如果函数f(x)为偶函数，求证函数f(x)在[0,+∞)上是单调增函数(3)若不等式f(x)≤6对任意x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围22.已知函数f(x)=lnx，g(x)=32−ax(x为实常数)．(1)当a=1时，求函数φ(x)=f(x)−g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值；(2)若方程e2f(x)=g(x)(其中e=2.71828…)在区间[12,1]上有解，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 求出复数z 2 的值，把OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数减去OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数，解得向量PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数． 解：复数z =1−i 对应的向量为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，复数z 2=−2i 对应的向量为OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则向量PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为：−2i −(1−i)=−1−i ． 故选D ．2.答案：C解析：试题分析：。
2020-2021学年福建省福州市三校联盟高二(下)期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年福建省福州市三校联盟高二(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数．z =2i1−i ，则|z|=( )A. 0B. √2C. 2D. −22. 有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l 升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况； ④正方形的边长和面积； ⑤汽车的重量和百公里耗油量； 其中两个变量成正相关的是( )A. ①③B. ②④C. ②⑤D. ④⑤3. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，集合B ={x|log 2x ≤1}，则A ∩(∁U B)=( )A. (2,3]B. ⌀C. [−1,0)∪(2,3]D. [−1,0]∪(2，3]4. 原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(−2,2√3)的极坐标是( )A. (4,−2π3)B. (4,2π3)C. (−4,π3)D. (4,4π3)5. 已知i 为虚数单位，则复数21−i 的共轭复数所对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 设正弦曲线C 按伸缩变换{x′=12xy′=3y后得到曲线方程为y′=sinx′，则正弦曲线C 的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π7. 集合A ={x|{x(x +2)>0|x|<1}，集合B ={x|x+1|x−3|>0}，则x ∈A 是x ∈B 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.命题p：∃x∈R，使(12)x<0；命题q：设a，b∈R，则“2a−b>1”是“log2a>log2b”的充要条件，则下列命题为真命题的是()A. p∨qB. p∧qC. (￢p)∨qD. p∧(￢q)9.若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈(0,π)，那么在f(−1)，f(1)两个函数值中()A. 只有一个小于1B. 至少有一个小于1C. 都小于1D. 可能都大于110.设随机变量X～N(100,σ)，p(80<X≤120)=34，则p(X>120)=()A. 116B. 18C. 14D. 1211.已知复数x+(y−2)i，(x,y∈R)的模为√3，则yx的取值范围是()A. [−√33,√33] B. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)C. [−√3,√3]D. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)12.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫()A. 合情推理B. 演绎推理C. 类比推理D. 归纳推理二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且z⋅z+2i⋅z=8+ai(a∈R)，则实数a的取值范围为______ ．14.已知集合A={x|x2−9x+14=0}，集合B={x|ax+2=0}，若B⊊A，则实数a的取值集合为______．15.在极坐标系中，曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(cosθ−sinθ)=1的交点的极坐标为______.(ρ≥0,0≤θ<2π)16.某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图1所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，如图1的点P，线段AB尽管过P，但是由A，B两点确定的)，这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则下面所给线路图2中可以成为屏幕解锁图案的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n2+6a n+6(n∈N∗).(1)设C n=log5(a n+3)，求证{C n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n=1a n−6−1a n2+6a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的范围．18.在一次考试中，某班学习小组的五名学生的数学、物理成绩如下表(1)要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的数学成绩不低于95分的概率．(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归直线方程．(3)若该学习小组中有一人的数学成绩是92分，试估计其物理成绩(结果保留整数)．参考公式回归直线的方程是：y=bx+a，其中对应的值．b=，a=−b．19.已知函数f(x)=sinωx−sin2+(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的取值范围．20.已知A，B分别是椭圆x225+y216=1长轴的左，右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，满足PA⊥PF．(1)求点P的坐标；(2)若线段AB上的一点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．21.设命题p：函数f(x)=lg[(a2−1)x2+(a+1)x+1]的值域为R；命题q：函数y=|x2−1|x−1的图象与函数y=ax−2的图象恰有两个交点；如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1+12ty =√32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为{x =cosθy =2sinθ(θ为参数).设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查复数的运算，属基础题.将z的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，按多项式展开，将i2用−1代替，再利用复数模的公式求出z的模．解：z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i，所以|z|=√2，故选B．2.答案：C解析：解：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的．故两个变量成正相关的是②⑤．故选C．①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的；判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．3.答案：D解析：解：∵全集U=R，集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，集合B={x|log2x≤1}={x|0<x≤2}，∴C U B={x|x≤0或x>2}，∴A∩(∁U B)={x|−1≤x≤0或2<x≤3}=[−1,0]∪(2，3]．故选：D．求出集合A，集合B，从而得到C U B，由此能求出A∩(∁U B)．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：∵点(−2,2√3)，∴ρ=√(−2)2+(2√3)2=4，tanθ=2√3−2=−√3，θ=2π3，∴点(−2,2√3)的极坐标是(4,2π3).故选：B．利用直角坐标和极坐标的互化公式直接求解．本题考查点的极坐标的求法，考查直角坐标和极坐标的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.答案：D解析：解：∵21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴z=1−i．∴z所对应的点的坐标为(1,−1)，在第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.答案：D解析：本题考查平面直角坐标系的伸缩变化，关键是求出C的方程，属于基础题．根据题意，由伸缩变换公式可得曲线C的方程，进而由三角函数的周期公式计算可得答案．解：根据题意，伸缩变换为{x′=12xy′=3y,若y′=sinx′，则有3y =sin 12x ，即C 的方程为y =13sin 12x ， 其最小正周期T =2π12=4π．故选：D ．7.答案：A解析：解：A ={x|{x(x +2)>0|x|<1}={x|{x <−2或x >0−1<x <1}={x|0<x <1}, B ={x|x+1|x−3|>0}={x|x >−1且x ≠3}，则由x ∈A ⇒x ∈B ，反之不成立． ∴x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件． 故选：A ．求解不等式(组)化简A ，B ，再由充分必要条件的判定得答案．本题考查一元二次不等式、绝对值的不等式及分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．8.答案：C解析：解：由指数函数的值域可得(12)x >0，则命题p 为假命题；由2a−b >1，得a −b >0，即a >b ，不一定有log 2a >log 2b ，如b <0时．∴a ，b ∈R ，则“2a−b >1”是“log 2a >log 2b ”的不充分条件，故命题q 为假命题． ∴p ∨q 为假命题；p ∧q 为假命题；(￢p)∨q 为真命题；p ∧(￢q)为假命题． 故选：C ．由指数函数的值域及不等式的性质分别判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 本题考查复合命题的真假判断，考查指数函数的值域及不等式的性质，是基础题．9.答案：B解析：解：∵函数f(x)=x2+ax+b有两个零点cosα，cosβ，∴cosα+cosβ=−a，cosα×cosβ=b．∴f(1)=1+a+b=1−cosα−cosβ+cosαcosβ=(1−cosα)(1−cosβ)，f(−1)=1−a+b=1+cosα+cosβ+cosαcosβ=(1+cosα)(1+cosβ)．∵α，β∈(0,π)，下面对α，β分以下三种情况讨论(不妨设α<β)．①当0<α<β≤π2时，0≤cosβ<cosα<1，∴1>1−cosα>0，1≥1−cosβ>0，1+cosα>1，1+cosβ≥1，∴f(1)<1，f(−1)>1．②当π2≤α<β<π时，−1<cosβ<cosα≤0，∴0<1+cosβ<1，0<1+cosα≤1，1−cosβ>1，1−cosα≥1，∴f(1)>1，f(−1)<1．③当0<α≤π2<β<π时，−1<cosβ<0≤cosα<1，cosαcosβ≤0．当cosα=0时，f(−1)=1+cosβ<1．下面对cosαcosβ<0用反证法证明f(1)、f(−1)必有一个小于1．假设f(1)≥1，f(−1)≥1，则1−cosα−cosβ+cosαcosβ≥1，1+cosα+cosβ+cosαcosβ≥1，∴cosαcosβ≥cosα+cosβ≥−cosαcosβ，∴cosαcosβ≥0，这与cosαcosβ<0矛盾，故f(1)与f(−1)中必有一个小于1．对0<α<π2≤β<π时，同理可得f(1)与f(−1)中必有一个小于1．综上①②③可知：f(1)与f(−1)中必有一个小于1．故选B．因为cosα，cosβ是函数f(x)=x2+ax+b有两个零点，所以可用cosα及cosβ表示f(1)、f(−1)，再对α、β分①当0<α<β≤π2时；②当π2≤α<β<π时；③当0<α≤π2<β<π时，及当0<α<π2≤β<π时讨论即可．本题综合考查了一元二次方程的根与系数的关系、函数的零点、三角函数的单调性及值域，分类讨论是解决此问题的关键．10.答案：B解析：解：∵P(X<80)=P(X>120)，∴P(X>120)=12[1−P(80<X<120)]=18．故选B．根据正态分布的对称关系计算．本题考查了正态分布的特点，属于基础题．11.答案：B解析：解：∵√x2+(y−2)2=√3，化为x2+(y−2)2=3，令yx=k，即y=kx，∵直线与圆有公共点，∴√1+k2≤√3，解得：k≤−√33或k≥√33．故选：B．由已知可得√x2+(y−2)2=√3，化为x2+(y−2)2=3，令yx=k，利用直线与圆的位置关系即可得出．本题考查了复数的模、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：D解析：解：根据归纳推理的定义，可得由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫归纳推理，故选D．根据归纳推理的定义，可得结论．本题考查归纳推理的定义，比较基础．13.答案：(−4√2,0)解析：本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，求出0>x>−2√2，是解题的关键，属于基础题．设z=x+yi，可得x<0，y>0，由z⋅z+2i⋅z=8+ai可得x2+y2+2y+2xi=8+ai，可得x2+(y +1)2=9，a =2x.根据1<y +1<3，求得x 的范围，可得a 的范围． 解：设z =x +yi ，∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限， ∴x <0，y >0，x 、y ∈R ．则由z ⋅z +2i ⋅z =8+ai 可得x 2+y 2+2y +2xi =8+ai ， ∴a =2x <0，x 2+y 2+2y =8， ∴x 2+(y +1)2=9． ∵1<y +1<3，∴0>x >−2√2，∴0>a >−4√2， 故答案为：(−4√2,0)．14.答案：{−1,−72,0}解析：解：A ={x|x 2−9x +14=0}={2,7}，因为B ⊆A ， 所以若a =0，即B =⌀时，满足条件． 若a ≠0，则B ={−2a }，若B ⊆A ，则−2a =2或−7，解得a =−1或−72． 则实数a 的取值的集合为{−1,−72,0}． 故答案为：{−1,−72,0}．先确定集合A ={2,7}，然后利用B ⊆A ，得到集合B 的元素和A 的关系，分类讨论，即可得出结论． 本题主要考查集合关系的应用，注意当B 为空集时，也满足条件，防止漏解．15.答案：(1,0)解析：解：根据{x =ρcosθy =ρsinθ，曲线ρ(cosθ+sinθ)=1转换为直角坐标方程为x +y −1=0．ρ(cosθ−sinθ)=1转换为直角坐标方程为x −y −1=0． 所以{x +y −1=0x −y −1=0，解得{x =1y =0，转换为极坐标为(1,0)．故答案为：(1,0)首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步建立直线的方程组，求出交点的坐标，最后求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线间的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：①②解析：解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，∴得知只有一种方法可以解锁屏幕，根据①，②，③的信息，可得①，②只有一种使其唯一确定，③有多种，故答案为：①②．由题目条件，易得结论．本题考查学生合情推理的能力，看懂题意是解题的关键．17.答案：(1)证明：依题意，由a n+1=a n2+6a n+6，可得a n+1+3=a n2+6a n+9=(a n+3)2．两边取以5为底的对数，可得log5(a n+1+3)=2log5(a n+3)，即c n+1=2c n．∵c1=log5(a1+3)=log5(2+3)=1，∴数列{c n}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)知，c n=2n−1，即log5(a n+3)=2n−1，∴a n+3=52n−1，∴a n=52n−1−3，n∈N∗．(3)解：由(2)知，b n=1a n−6−1a n2+6a n=1a n−6−1a n+1−6，∴T n=b1+b2+⋯+b n=1a1−6−1a2−6+1a2−6−1a3−6+⋯+1a n−6−1a n+1−6=1a1−6−1a n+1−6=1521−1−3−6−152n−3−6=−14−15n−9．∵n∈N∗，∴2n≥2，∴52n≥52=25，∴52n−9≥25−9=16，∴0<152n−9≤152−9=116．∴−516≤−14−152n−9<−14．即−516≤T n<−14．解析：第(1)题将递推式进行转化变形可得a n+1+3=(a n+3)2.再两边取以5为底的对数进行计算可证得数列{c n}是等比数列；第(2)题先根据第(1)题的结论计算出数列{c n}的通项公式，进一步可计算出数列{a n}的通项公式；第(3)题先将数列{b n}的表达式进行变形之后运用裂项相消法计算前n项和T n，然后根据n∈N∗逐步推导并进行不等式运算可得T n的范围．本题主要考查数列由递推公式求通项公式，裂项相消法计算前n项和．考查了转化和化归思想，整体思想，以及不等式的运算能力，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：解析：本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．(1)用列举法可得从5名学生中任取2名学生的所有情况和其中至少有一人数学成绩不低于95分的情况包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．(2)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图；根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(3)将92代入到回归直线方程中，可求出物理的成绩．19.答案：(1)，k∈Z.(2)解析：(1)f(x)=sinωx−+=sinωx+cosωx=sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω=2，所以f(x)=sin，由2kπ−≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ−≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．(2)因为x∈时，所以2x+∈，所以−≤sin≤1，故函数f(x)在上的取值范围是20.答案：解：(1)由已知得A(−5,0)，F(3,0)，设点P(x,y)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( x +5 )( x −3 )+y 2=0， 结合x 225+y 216=1，可得(x +5)(9x +5)=0，即x =−5或x =−59，又因为点P 位于x 轴上方，所以x =−59，此时y =16√59，所以点P 坐标为( −59 , 16√59 )． (2)由(1)可知，直线AP 方程为2x −√5y +10=0， 设点M(m,0)，−5≤m ≤5，则有| 2m+10 |3=5−m ，解得m =1，∴椭圆上任意一点(x,y)到点M 的距离d =√( x −1)2+y 2=√925( x −259)2+1289，又−5≤x ≤5， 故当x =259时，d 取得最小值8√23．解析：(1)设点P(x,y)，通过AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( x +5 )( x −3 )+y 2=0，结合x 225+y 216=1，求出P 的坐标即可．(2)求出直线AP 方程为2x −√5y +10=0，设点M(m,0)，通过| 2m+10 |3=5−m ，解得m =1，然后求解椭圆上任意一点(x,y)到点M 的距离的表达式，然后求解最小值．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：解：命题p ：函数f(x)=lg[(a 2−1)x 2+(a +1)x +1]的值域为R ，p 真时①当a =1时f(x)=lg(2x +1)值域为R ，符合． ②当a 2−1>0时△≥0，即(a +1)2−4(a 2−1)≥0， 解得1≤a ≤53， 命题q ：函数y =|x 2−1|x−1的图象与函数y =ax −2的图象恰有两个交点，q 真时，x >1时，y =x +1与函数y =ax −2的图象有一个交点， 可得a =1+3x <4，即有0<a <4且a ≠1； x =0时函数y =−1，不成立，当0<x <1时，y =−x −1与函数y =ax −2的图象有一个交点， 可得a =−1+1x ，即有a >0；当x <0时，y =−x −1与函数y =ax −2的图象有一个交点， 可得a =−1+1x ，即有a <−1． 则q 真时，0<a <1或1<a <4．依命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题， 可得p ，q 一真一假，当p 真q 假时，{a ≥4或a ≤0或a =11≤a≤53，得a =1；当p 假q 真时，{0<a <1或1<a <4a>53或a<1，得0<a <1或53<a <4 综上0<a ≤1或53<a <4．解析：考虑p 真，讨论a =1与当a 2−1>0时△≥0，解不等式求并集；q 真时，讨论x >1，x =0和0<x <1，x <0函数图象的关系和转化为方程，求得a 的范围，再由题意可得p ，q 中一真一假，解不等式即可到所求范围．本题考查命题的真假判断，考查函数的值域为R 的问题解法，注意分类讨论和结合二次函数的图象，考查函数图象的交点问题解法，注意运用分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题． 22.答案：解：由{x =1+12t①y =√32t②(t 为参数)， 由②得t =2√33y ， 代入①并整理得，√3x −y −√3=0． 由{x =cosθy =2sinθ(θ为参数)，得{x =cosθy 2=sinθ， 两式平方相加得x 2+y 24=1．联立{√3x −y −√3=0x 2+y 24=1，解得{x =1y =0或{x =−17y =−8√37．∴|AB|=(1+17)+(0+8√37)=167．解析：分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．。