第三章傅立叶变换习题复习过程
第三章傅立叶变换
第一题选择题
1．连续周期信号f (t )的频谱F(w)的特点是 D 。
A 周期连续频谱
B 周期离散频谱
C 非周期连续频谱
D 非周期离散频谱
2．满足抽样定理条件下，抽样信号f s (t)的频谱)(ωj F s 的特点是 （1）
（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱；
（3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
3．信号的频谱是周期的连续谱，则该信号在时域中为 D 。
A 连续的周期信号
B 离散的周期信号
C 连续的非周期信号
D 离散的非周期信号
4．信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为 （2） 。
（1）连续的周期信号 （2）离散的周期信号
（3）连续的非周期信号 （4）离散的非周期信号
5．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为（ 1 ）
（1）2Δω （2）ω∆2
1 （3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2） 6．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f （ 4 ）
（1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2
(21j e j F -- （3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2
(21j e j F -- 7．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为（ 1 ）
（1）π100 （2）π
200 （3）100π （4）200
π 8．某周期奇函数，其傅立叶级数中 B 。
A 不含正弦分量 B 不含余弦分量 C 仅有奇次谐波分量 D 仅有偶次谐波分量
9．某周期偶谐函数，其傅立叶级数中 C 。
A 无正弦分量
B 无余弦分量
C 无奇次谐波分量
D 无偶次谐波分量
10．某周期奇谐函数，其傅立叶级数中 C 。
A 无正弦分量
B 无余弦分量
C 仅有基波和奇次谐波分量
D 仅有基波和偶次谐波分量
11．某周期偶函数f(t)，其傅立叶级数中 A 。
A 不含正弦分量
B 不含余弦分量
C 仅有奇次谐波分量
D 仅有偶次谐波分量
第二题判断题
1．若周期信号f （t ）是奇谐函数，则其傅氏级数中不会含有直流分量。
（√）
2．若f (t )是周期奇函数，则其傅氏级数中仅含有正弦分量。
(√)
3．若周期信号f （t ）是周期偶函数，则其傅氏级数中只有偶次谐波 （×）
4．奇函数加上直流后，傅氏级数中仍含有正弦分量。
（√）
5．周期性冲激序列的傅里叶变换也是周期性冲激函数。
（√）
6．周期性的连续时间信号，其频谱是离散的、非周期的。
（√）
7．非周期的取样时间信号，其频谱是离散的、周期的。
（×）
8．周期信号的频谱是离散谱，非周期信号的频谱是连续谱。
(√)
9．周期信号的傅里叶变换由冲激函数组成。
( √ )
10．信号在时域中压缩，等效于在频域中扩展。
( √ )
11．信号在时域中扩展，等效于在频域中压缩。
(√)
12．周期信号的幅度谱是离散的。
( √ )
13．周期信号的幅度谱和频谱密度均是离散的。
(√)
14．奇谐函数一定是奇函数。
(×)
15．满足抽样定理条件下，时域抽样信号的频谱是周期连续谱。
(√)
第三题填空题
1．已知F )()]([ωj F t f =，则
F =-)]33([t f 1()33
j j F e ωω- F =-)]1([t f ωωj e j F --)( F =-)]52([t f ωω25)2(21j e j F - F [f （3-2t ）] =3
21()22
j j F e ωω-- F =)]2([t tf )2(21ωj jF F =])([0
t j e t f ω)(F )]([00ωωωω--或j F F[f （t ）cos200t ]={}1[(200)][(200)]2
F j F j ωω++- F =
-]cos )([0t t f ωτ{}
00()()001[()][()]2j j F j e F j e ωωτωωτωωωω-+--++-
F 0)([t j e j F ωω--1]=0()f t t - F 10[(()]F j ωω--=0()j t f t e ω
2.已知信号的频谱函数)()()(πωδπωδω--+=j F ，该信号为
t j t f ππsin 1)(= 3．已知信号f （t ）的频谱函数在（-500Hz ，500Hz ）区间内不为零，现对f （t ）进行理想取样，则奈奎斯特取样频率为 1000 Hz 。
4.对带宽为20kHz 信号)(t f 均匀抽样，其奈奎斯特间隔 25 us ；信号f(2t) 的带宽为 40 kHz ，其奈奎斯特频率f N = 80 kHz 。
5．=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f ωωωω2121)2
(21)2(21j j e F e j F ----或 6．周期信号f （t ）如题图所示，若重复频率f =5KHz ，脉宽s μτ20=，幅度E =10V ，则直流分量= 1 V 。
22
四、计算题
1、若F[f(t)]=)(ωF ,t t p cos )(=，)()()(t p t f t f p =，求)(ωp F 的表达式，并画出频谱图。
解：t t p cos )(=， 所以 )]1()1([)(-++=ωδωδπωP
因 )()()(t p t f t f p =，由频域卷积性质可得
)]1()1([)(21)()(21)(-++*=*=ωδωδπωπ
ωωπωF P F F p )]1()1([2
1-++=ωωF F
2、若单位冲激函数的时间按间隔为T 1，用符号)(t T δ表示周期单位冲激序列，即∑∞
-∞=-=
n T nT t t )()(1δδ，求单位冲激序列的傅里叶级数和傅里叶变换。
解：因为)(t T δ是周期函数，可把它表示成傅立叶级数 ∑∞-∞==
n t jn n T e F t 1)(ωδ，其中121T πω=
1
2121112121111)(1)(1T dt e t T dt e t T F T
T t jn T
T t jn T n =⎰=⎰=----ωωδδ ∑∞-∞
==∴n t jn T e T t 111)(ωδ )(t T δ的傅立叶变换为：
∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞
-∞=-=-=-=n n n n n n T n F F )()(22)(2)(11111ωωδωωωδππωωδπω。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题答案
课后习题及答案_第3章离散傅⾥叶变换--上机习题答案第3章离散傅⾥叶变换(DFT)上机习题答案1. 解：该题求解程序为ex323.m，程序运⾏结果如下图所⽰。
第（1）⼩题⽤1024点DFT近似x(n)的傅⾥叶变换；第（2）⼩题⽤32点DFT。
题下图(e)和(f)验证了X(k)是X(e jω)的等间隔采样，采样间隔为2π/N。
图(g) 验证了IDFT 的惟⼀性。
2. 解：设x1(n)和x2(n)的长度分别为M1和M2，X1(k)=DFT［x1(n)］N, X2(k)=DFT［x2(n)］NY c(k)=X1(k)X2(k), y c(n)=IDFT［Y c(k)］N所谓DFT的时域卷积定理，就是当N≥M1+M2－1时，y c(n)=x1(n)*x2(n)。
本题中，M1=M2=4，所以，程序中取N=7。
本题的求解程序ex324.m如下：% 程序ex324.mx1n=［2 1 1 2］；x2n=［1 －1 －1 1］；%时域直接计算卷积yn：yn=conv(x1n，x2n)%⽤DFT计算卷积ycn：M1=length(x1n)；M2=length(x2n)；N=M1+M2－1；X1k=fft(x1n，N)；%计算x1n的N点DFTX2k=fft(x2n，N)；%计算x2n的N点DFTYck=X1k.*X2k；ycn=ifft(Yck，N)程序运⾏结果：直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积yn和⽤DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积ycn 如下：yn=［2 －1 －2 2 －2 －1 2］ycn=［ 2.0000 －1.0000 －2.0000 2.0000－2.0000 －1.0000 2.0000］3.解：本题的求解程序为ex325.m。
程序运⾏结果如下图所⽰。
由图可见，循环卷积为线性卷积的周期延拓序列的主值序列；当循环卷积区间长度⼤于等于线性卷积序列长度时，⼆者相等，见图（b）和图(c)。
第3章 习题解答
第三章 习题解答(部分)［1］求以下序列)(n x 的频谱()j X e ω，其中0a >。
(2)()an e u n - (5)0sin()()an e n u n ω-解：对题中所给的)(n x 先进行z 变换，再求其频谱。
(2)由于111)]([)(----==ze n u e Z z X a an ，所以ωωωj a ez j e e z X e X j --=-==11)()(。
(5)由于aa a ane z e z e z n u n eZ z X 2201010cos 21sin )]()sin([)(-------+-==ωωω，所以ωωj e z j z X e X ==)()(aj a j a j e e e e e e 2200c o s 21s i n ------+-=ωωωωω ［2］ 设()j X e ω和()j Y e ω分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。
(7)(2)x n (8)(),()20n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩＝偶，＝奇解：(7)2)()2()]2([ωωn jn n jn en x en x n x DTFT -∞∞-∞=-∑∑==为偶数 2)]()1()([21ωn j nn e n x n x -∞-∞=-+=∑)(21)(21)(21)(212222⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞-∞=-+=+=∑∑πωωπωωj j n n j n n j e X e X e n x e n x(8))()'()2/()]([2''2ωωωj n n j n jn e X en x en x n g DTFT ===∑∑∞-∞=-∞-为偶数［3］求出下面序列的傅里叶变换(1))5(2)(-δ=n n x (4))3()2()(--+=n u n u n x解：由DFT 定义有：(1)ωωωδ52)5(2)(j n jn j e en e X -∞-∞=-=-=∑(4)ωωωωωωj j j n jn n jn j ee e een u n u e X ---=-∞-∞=---==--+=∑∑1)]3()2([)(3222⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=------ωωωωωωωωωωωω21sin 25sin 11222225252525j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e ［5］已知001,()0,j X e ωωωωωπ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩，求()j X e ω的傅里叶逆变换()x n 。
傅里叶变换习题
n 1 N
设
N (t ) f (t ) sN (t )
N (t ) [ f (t ) a0 ( a1n cos n 0t b1n sin n 0t )]2
2 n 1 N
0
T
i1 (t )
T
v 2 (t )
i1 (t ) i1 (t )
2 bn T
1
a0 0, an 0
0
i (t ) sin n
0
tdt
T
2 [1 cos( 2n )] n T
2 ( sin n 0 tdt sin n 0 tdt) T 0
注意在要求均方误差En的过程中
f (t ) a0 (a n cos n0 t bn sin n0 t )
其中an,bn分别用p89(3-3）,（3-4）表达 均方误差En为
En 1 T
N N 1 2 2 2 f 2 (t ) a 0 (a1n b1n ) (a1n an b1n bn ) 2 n1 n 1
例六：P168.3-27
1 f 1 (t ). f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
2 T f (t ) E sin t[u(t ) u(t )] T 2
2 2 2 T f (t ) ( ) E sin t[u(t ) u(t )] T T 2
第三章 习题课 一.本章要点 1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离 散谱. 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱. 3.理解信号的时域与频域间的关系. 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换. 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.
第三章 傅里叶变换(复习)
t
d 由f(t)的傅氏变换求 dt f t 的傅氏变换，用微分性质
由 d f t 的傅氏变换求 f(t)的傅氏变换，用积分性质
dt
有时，微分后再积分回不到原函数，就不能直接用积分 性质。可以采用下式
1 df t F f t j F dt f f
f ( t )e j t d t
f e ( t ) f o ( t ) cos t j sin t d t
2 f e ( t ) cos t d t j 2 f o ( t ) sin t d t 0 0 实部 虚部
X
第 6 页
R 2 f e ( t ) cos t d t
第 7 页
X
6．傅里叶变换的性质
• • • • • • • • • 对称性 线性 奇偶虚实性 尺度变换性 时移性 频移性 微分性质 时域积分性质 卷积性质
第 8 页
X
7．微积分性质注意事项（一）
使用微分性质的原则： 求导时，至全部由冲激及冲激导函数表示为止
第 9 页
求导时，至出现原函数为止
直流分量单独处理，余下部分再用微分性质
FT 2 F n1 n1
F n1
1 F0 n1 T1
周期单位冲激信号的傅里叶变换
T t 1 n1
n
X
第 12 页
求周期信号的傅里叶变换有两种方法
● 指数形式的幅度谱为偶 函数
F ( n 1 ) F ( n 1 )
● 相位频谱为奇函数
(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。
（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。
第3章 傅里叶变换-例题全文编辑修改
1 2
Sa
4
1 e j
π n π
n
π
sin n
4
2 n n π
1 ejnπ n π
4
2
n
sin n π 4
n
1
(1)n
n
π
方法二:利用周期信号的傅里叶级数求解
f(t)的傅里叶级数为
1
Fn T
f (t ) e jn1td t
T
12sin3212nπG12
(
t
下面用三种方法求解此题。
方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质
方法一：利用傅里叶变换的微分性质
要注意直流，设fA(t)为交流分量， fD(t)为直流分量，则
f t fA t fD t
F FA ω FD ω
f t
2 1
O1
t
f (t) 3/2 D
将 f (t)看成是信号1 cos t 经过窗函数 G2π t 的
截取，即时域中两信号相乘
f (t) 1 cos t G2π(t)
根据频域卷积定理有
F
ω
1
2
F
1
cos t F
G2 π
t
1 2π
2
π
δ
ω
π
δ
ω
1
π
δ
ω
1
2
sinπ ω
ω
2sinπ ω ω ω2 1
例3-8
求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分）， 若对f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN 和奈奎斯特周期TN。
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk 。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.2 （1）设()xn 为实周期序列，证明()x n 的傅里叶级数()X k 是共轭对称的，即*()()X k X k =- 。
（2）证明当()xn 为实偶函数时，()X k 也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nkNn N N nk nkNNn n Xk xn W X k xn W xn W Xk --=---==-=-===∑∑∑（2）因()xn 为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =- 或*()()X k X k -= 又因()xn 为偶函数，即()()x n x n =- ，所以有 (1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk ，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+ ，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =- ，对于所有的k ； （3）(0)0X= ；（4）25()jkXk e π ，对所有的k 是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n 一个周期为N ＝10的周期序列，故()Xk 也是一个周期为N ＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n 一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()Xk 是共轭对称的，即应有*()()Xk X k =- ，这里()X k 不一定是实数序列。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--上机习题
n L n >L
其中 a=0.9， L=10。 （1） 计算并绘制信号 x(n)的波形。 （2）证明： X (e jω ) = FT[ x(n)] = x(0) + 2 （ 3） 按照 N=30 对 X(ejω)采样得到
Ck = X (e jω )
ω=
－|n|
R21(n+10)
2
2π k N
∑ x(n)cosω n
n =1
L
, k = 0,1, 2,L , N − 1
（4） 计算并图示周期序列
% n) = x 1 N
∑C e
k k =0
N −1
j(2 π / N ) k n
%(n) 与 x(n)的关系。 试根据频域采样定理解释序列 x
1
% ( n) = （5） 计算并图示周期序列 y
离散傅里叶变换离散傅里叶变换性质傅里叶变换习题二维离散傅里叶变换离散傅里叶变换作用离散傅里叶变换公式离散时间傅里叶变换离散傅里叶逆变换dft离散傅里叶变换傅里叶变换
第3章 上机习题
离散傅里叶变换(DFT)
1. 已知序列 x(n)={1, 2, 3, 3, 2, 1}。 （1） 求出 x(n)的傅里叶变换 X(ejω)， 画出幅频特性和相频特性曲线(提示： 用 1024 点 FFT 近似 X(ejω))； （2） 计算 x(n)的 N（N≥6）点离散傅里叶变换 X(k)， 画出幅频特性和相频 特性曲线； （3） 将 X(ejω)和 X(k)的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中， 验 证 X(k)是 X(ejω)的等间隔采样， 采样间隔为 2π/N； （4） 计算 X(k)的 N 点 IDFT， 验证 DFT 和 IDFT 的惟一性。 2. 给定两个序列: x1(n)={2, 1, 1, 2} , x2(n)={1, －1, －1, 1}。
课后习题及答案_第3章离散傅里叶变换--习题答案
m −1 N −1
−j
2 π ( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk k r −1 − j2mπ lk mN m = ∑ ∑ x( n′)e = X ∑e e l =0 n′=0 r l =0 k 因为 m = 整数 m −1 − j 2 π lk m m = ∑e k l =0 0 ≠ 整数 m m −1 N −1
m =0 n =0
N −1
N −1
由于
∑W
n =0
N −1
n (m+ k ) N
N = 0
m= N −k m ≠ N − k, 0 m
N −1
所以
5.
DFT［X(n)］=Nx(N－k)
N −1 k =0
k=0, 1, …, N－1
证: 由 IDFT 定义式
x(n) = 1 N
∑ X (k )W
=
1− e
−j
2π (m −k ) N N 2π (m−k ) N
1− e
N −1 n =0
−j
N = 0
N −1 n =0
k=m k≠m
2π 2π
0≤k≤N－1
- j mn - j kn 2π 1 j mn (6) X (k ) = cos ∑ mn ⋅ WNkn = ∑ (e N + e N )e N
Xep(k)=DFT［xr(n)］ ， 是 X(k)的共轭对称分量；
Xop(k)=DFT［jxi(n)］,
是 X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果 x(n)为实序列， 则 Xop(k)=DFT ［jxi(n)］
=0，