数分选讲讲稿第讲
数据的分段整理说课稿
数据的分段整理说课稿数据的分段整理说课稿1一、说教材一.本教学内容在教材中的地位和作用数据的分段整理是苏教版小学数学四年级上册第九单元《统计与可能性》中的内容。
分段整理数据是基本的统计活动在第一学段学生已经能够按统计对象的某些属性如品种、形状、颜色、用途进行分类统计。
本单元继续教学把一组数据按大小分成若干段进行统计并把统计获得的数据填入相应的统计表里。
本课时是初步教学分段统计数据所以例题和习题都明确了数据以及各段的数值范围不要求学生独立设计分段。
本课时内容主要是数据的分段整理。
教材通过创设学校准备为鼓号队员购买服装想请全体学生出谋划策的教学情境引出怎样购买鼓号服这一学习任务。
使学生能想到要按身高数据分段整理感受分段整理的必要性。
然后引导学生自主分段整理数据完成统计表分析整理后的数据根据分析结果解决实际问题。
《数学课程标准》指出教师不应只做教材忠实的实施者而应该做教材的开发者和建设者要学会创造性地使用教材。
为了更加贴近每个学生生活经历让学生有话可说我对教材进行了重新开发把购买鼓号队服改为购买校服。
围绕购买校服而产生的一系列问题引导学生经历收集数据--分段整理--制作统计表--分析数据的全过程而学习重点放在分段整理数据上整理的方法采用多种方法在交流比较的过程中逐步优化突出画正字的方法得到的数据仍然采用单式统计表描述。
所以教学中应突出数据分段的必要性、分段方法以及如何分段整理使学生在活动中掌握这部分知识形成相关的统计技能。
为今后更进一步学习统计图表、概率等知识打好基础。
二.教学的重点、难点重点学会数据的分段整理。
难点能对统计数据进行简单的分析做出决策。
三.教学目标的确定教学目标是教学任务的具体化是教学活动的出发点和归宿。
前苏联教育家巴班斯基认为实现教学最优化的第一个办法或第一位工作就是制定恰当的教学目标或教学任务。
教学目标具有定向、调节、激励、检测和评价等功能。
因此制定具体、全面的教学目标显得很重要。
数的奇偶性讲课逐字稿
数的奇偶性讲课逐字稿同学们，今天我们要一起探讨一个非常有趣的数学概念——数的奇偶性。
这个概念在我们的日常生活中非常常见，比如我们经常会遇到一些需要区分奇数和偶数的情况。
那么，什么是奇数和偶数呢？让我们一步步来揭开这个谜题。
首先，我们来看一个简单的定义。
在自然数中，能被2整除的数被称为偶数，而不能被2整除的数则被称为奇数。
例如，2、4、6、8等都是偶数，而1、3、5、7等则是奇数。
接下来，我们通过一些例子来加深理解。
假设我们有一个班级，里面有30个学生。
如果我们要将这些学生分成两组进行游戏，每组15人，那么我们可以很容易地做到这一点，因为30是一个偶数。
但如果班级里有31个学生，我们就很难平均分成两组了，因为31是一个奇数。
现在，让我们来看一些关于奇偶性的数学性质。
首先，偶数加偶数总是得到一个偶数，奇数加奇数也总是得到一个偶数，而偶数加奇数则得到一个奇数。
同样，偶数乘以偶数、奇数乘以奇数都是偶数，而偶数乘以奇数则是奇数。
为了帮助大家更好地记忆这些性质，我们可以做一个小游戏。
我会随机给出一些数，然后请大家判断它们的奇偶性，并且解释为什么。
比如，数字7，它是奇数，因为它不能被2整除，除以2会余1。
此外，我们还可以探讨一下奇偶性在实际生活中的应用。
比如在计算机科学中，奇偶性可以用来检测数据传输中的错误。
在体育比赛中，奇偶性也可以用来决定谁先发球或者谁先选择场地。
最后，我们来做一个小练习。
我会给大家出几道题目，让大家判断一些数的奇偶性，并解释你们的判断依据。
比如，数字100，它是偶数，因为它可以被2整除，没有余数。
通过今天的学习，希望大家能够掌握奇偶性的基本概念和性质，并能够灵活运用到实际问题中去。
现在，让我们开始今天的练习吧！。
数分选讲讲稿第18讲
讲 授 内 容 备 注 第十八讲§4.4 积分值估计、积分不等式及综合性应用一、积分值估计1、利用达布和数估计积分值若 11, S nni i i i i i S m x M x ===∆=∆∑∑ 表示积分()baI f x dx =⎰ 的下、上达布和数，那么积分存在时，有估计 ()ba S f x dx S ≤≤⎰例1 求,A B ，使得A B ≤≤⎰，要求0.1B A -≤解在[0,1]上连续，一定可积.将[0,1]n 等分，的单调增加性，在每个小区间上的端点处()f x 达到上、下确界. 因此1111nnn n i i S S n n ===≤≤=⎰ 这时1S 1)S n-=要使 S 0.1n n S -<，只要取5n =，于是511 1.0535i A ===511 1.1355i B ===例2 若()f x 在[,]a b 上可积，()0.f x >试证()0baf x dx >⎰证 ()0f x >，1()0n i i i f x ξ=∆>∑.因而由可积性知3学时1()lim ()0nbi i ai f x dx f x λξ→==∆≥∑⎰利用反证法证明()0baf x dx =⎰不成立．若 ()0baf x dx =⎰，则对于()f x 的达布大和，有1lim 0ni i i M x λ→=∆=∑则10, ε∀>∃分划T ，使得11()niii M xb a ε=∆<-∑由此至少存在一个1.i M ε<因为，否则每个1i M ε≥，应有1111()nniii i i M xx b a εε==∆≥∆=-∑∑ 与上式矛盾．将1i M ε<的这个小区间记为11[,]a b ，且保证11().2b a b a --<于是()f x 在11[,]a b 上可积，把11[,]a b 取作上面的[,]a b ，重复上述推理，可得到2211[,][,]a b a b ⊂，使得2222sup (),a x b M f x ε≤≤=≤ 2211211()().22b a b a b a -<-<-如此无限进行下去，可得一区间套01 1122[,][,][,][,]n n a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃2 10<()0 ()2n n n b a b a n -<-→→∞使每个[,]n n a b 上sup (), (1,2,,)n nn n a x b M f x n n ε≤≤=≤=据区间套定理 [,] (1,2,)n n a b n ξ∃∈= 从而 0(), (1,2,,)n n f M n n ξε≤≤≤= 令0,n ε→可知()0f ξ= 与已知条件()0f x >矛盾．2、利用变形求估计及积分估计的应用 若()f x 在[,]a b 上可积，一般来说可以通过各种变形来对积分 ()ba f x dx ⎰的值进行估计．如变量替换、分部积分、中值公式、Taylor 公式等．使积分变成易于估计的形式．另外，被积函数放大、缩小，区间放大、缩小也是获得估计的重要方法．例3 证明2 00.x dx >⎰证 令2x y =，则22 0012I x dx π==⎰⎰212 0 1122dy I I πππ=+=+⎰⎰2 2 0 0111222y z I πππππ=+===-⎰⎰⎰ 于是012I dy π⎛⎫=-⎰1sin 2y dy π⎛⎫=⎰ 在(0,)π内，sin 0y ⎛⎫>，且连续 所以 0.I >若(),()f x g x 在[,]a b 上有2n 界连续导数，且()()()()()()()()0 (0,1,2,,1)i i i i f a f b g a g b i n =====- 则反复利用分部积分法，可得(2)(2) ()()()().bbn n aaf xg x dx f x g x dx =⎰⎰此式给出了一个重要的变形.例4 设()f x 在[,]a b 上有2n 阶连续导数，(2)()n f x M ≤()()()()0, (0,1,2,,1)i i f a f b i n ===- ，试证：2 21 (!)()()(2)!(21)!bn an Mf x dx b a n n +≤-+⎰．证 令()()(),n n g x x a b x =--则 ()()()()0 (1,2,,1)i i g a g b i n ===-(2)()(1)(2)!n ngx n =-(1)()()(1)(2)!(2)!n bb naaf x dx f x n dx n -=-⎰⎰(2) (1)()()(2)!n b n a f x g x dx n -=⎰ (2) (1)()()(2)!n b n a f x g x dx n -=⎰ (2) 1()()()()(2)!bb n n naa f x dx f x x ab x dx n ≤--⎰⎰ ()()(2)!bn n aM x a b x dx n ≤--⎰ 而 ()()bn n ax a b x dx --⎰()1()(1)()()x a t b a n n n n t b a t b a b a dx =+-=----⎰121()(1)n n nb a t t dx +=--⎰21()(1,1)n b a n n +=-B ++ 22121(1)(1)(!)()()(22)(21)!n n n n n b a b a n n ++Γ+Γ+=-=-Γ++总之2 21 (!)()().(2)!(21)!bn an Mf x dx b a n n +≤-+⎰利用缩小被积函数和积分区间得到积分估计的例子． 例5 设()f x 在[0,1]上有连续的二阶导数，(0)(1)0f f ==，()0, (0,1)f x x ≠∈．试证： 1()4()f x dx f x ''≥⎰． 证 因为()0, (0,1)f x x ≠∈，所以()f x 在(0,1)内恒正或恒负（否则由介值性，必有零点在(0,1)内,与题设矛盾）． 不妨设 ()0 f x >（()0f x <的情况类似）因为()f x 在[0,1]上连续，(0)(1)0f f ==， (0,1)c ∴∃∈ 使得 [0,1]()max ()0x f c f x ∈=>．于是,:01a b a b ∀<<<，有11 10 0()()1()()()()f x f x dx dx f x dx f x f c f c ''''''≥=⎰⎰⎰ 1()()b a f x dx f c ''≥⎰ 1()()baf x dx f c ''≥⎰1()()()f b f a f c ''=- 适当选取,a b ，便可得到所需的估计．(0)(1)0f f ==(0,c),ξ∴∃∈ 使得()(0)()()0f c f f c f c cξ-'==-(c,1),η∃∈ 使得(1)()()()11f f c f c f c cη--'==--令, a b ξη==得到()()()()()()1f c f c f b f a f f c cηξ''''-=-=-- 111()().1(1)f c f c c c c c =-=-- 即1()1 4.()(1)f x dx f x c c ''≥≥-⎰1122c c +-≤=例6 设()f x 在[,]a b 上二次可微．()0,2a bf +=试证： 3()().24ba M f x dxb a ≤-⎰ 其中sup ()a x b M f x ≤≤''= 证 将()f x 在2a bx +=处用Taylor 公式展开，注意到()0,2a b f +=有 ()21()222!2a b a b a b f x f x f x ξ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 右端第一项 022b a a b a b f x dx ++⎛⎫⎛⎫'-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰． 所以 21()()2!2b b a a a b f x dx f x dx ξ+⎛⎫''≤- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()336224b a M a b M x b a +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 例7 设()f x 在[0,1]上连续，110 0()0, ()0, ,f x dx xf x dx ==⎰⎰ 11 0()0 ,n x f x dx -=⎰但1() 1 (1) n x f x dx n =>⎰求证：在[0,1]上的某一部分上()2(1).nf x n ≥+证 由已知条件，对任意,α恒有1()() 1 (1) n x f x dx n α-=>⎰利用反证法：设在[0,1]上处处有()2(1).nf x n <+则11()() 2(1) nn n x f x dx n x dx αα-≤+-⎰⎰12112(1) 2nnn x dx α==+-⎰1121 0 2112(1) 1.22n n n n x dx x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰矛盾．命题成立．通过积分值的估计，解决零点的存在性问题．例8 设()f x 在[0,]2π上连续，22 0()sin ()cos 0 f x xdx f x xdx ππ==⎰⎰试证：()f x 在(0,)2π内至少有两个零(值)点．证 01 若()f x 在(0,)2π内无零点，且()f x 连续所以()f x 在(0,)2π内恒保持同号．不妨设()0 (0)f x ><则得估计2 0()sin 0 (0)f x xdx π><⎰与已知矛盾．可见()f x 在(0,)2π内至少有一个零点0(0,).2x π∈02 若()f x 除0x 外，在(0,)2π内再无零点，则()f x 在0(0,)x 与0(,)2x π内分别保持不变号．若()f x 在0(0,)x 与0(,)2x π内符号相异，则0()sin()f x x x -在0(0,)x 与0(,)2x π内恒正（或恒负）．20 0()sin()0 (0)f x x x dx π-><⎰但由已知条件，20 0()sin()f x x x dx π-⎰2200 0 0cos ()sin sin ()cos 0x f x xdx x f x xdx ππ=-=⎰⎰矛盾．若()f x 在0(0,)x 与0(,)2x π内符号相同，则0()cos()f x x x -在0(0,)x 与0(,)2x π内恒正（或恒负）．同样可推出矛盾．所以，()f x 在(0,)2π内除0x 外至少还有一个零点．二、积分不等式联系两个以上的定积分的不等式，称为积分不等式． １、用微分学的方法证明积分不等式例9 设()f x 在[0,1]上可积，且当(0,1)x ∈时，0()1, (0)0.f x f '<<=试证：()2113 0()().f x dxf x dx >⎰⎰证I 只要证明()2113 0()()0.f x dx f x dx ->⎰⎰令()23 0()()()xxF x f t dtf t dt =-⎰⎰则(0)0F =，只需证明()0 (0,1).F x x '>∈3 0()2()()()xF x f x f t dt f x '=-⎰2 0()2()() (1)xf x f t dt f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 已知 0()1, (0)0f x f '<<= (0,1)x ∈ 所以，当(0,1)x ∈时，()0.f x >令 2 0()2()()xg x f t dt f x =-⎰，则(0)0g =()2()2()()g x f x f x f x ''=-[]2()1()0 (0,1)f x f x x '=->∈于是 2 0()2()()0 (0,1)xg x f t dt f x x =->∈⎰()0 (0,1).F x x '∴>∈ 得证．证II 只要证明()210 13() 1.()f x dxf x dx>⎰⎰令 ()2()()xF x f t dt =⎰， 3 0()()x G x f t dt =⎰则 ()21(1)()F f x dx =⎰， 13 0(1)()G f x dx =⎰，(0)0F =，(0)0G = 由Cauchy 中值定理()210 13 0()(1)(0)()(1)(0)()()f x dxF F FG G G f x dxξξ'-=='-⎰⎰ 0 0322()()2() 01()()f f t dtf t dtf f ξξξξξξ==<<⎰⎰01122112()2()2()2(0)()(0)()(0)f t dt f t dtF F f fG G ξξξξ--==--⎰⎰2()11 0 1.2()()()f f f f ηξηηηη==><<<'' 证毕． 2、利用被积函数的不等式证明积分不等式例10证明： 11(1)≥⎰⎰证 令arcsin , t x dt ==12 0cos(sin )dx t dt π∴=⎰⎰令arccos , t x dt ==12 02sin(cos )sin(cos )t dt t dt ππ∴=-=⎰⎰⎰欲证的不等式转化为22 0cos(sin )sin(cos ) (2)t dt t dt ππ≥⎰⎰只需证明 cos(sin )sin(cos ) (3)t t ≥cos(sin )cos(|sin |)sin(|sin |) (0,)22t t t t ππ==-∈)3( ∴式可改写成(同名函数)sin(|sin |)sin(cos ) (4)2t t π-≥(-,)22ππ内sin x 严格递增，要)4(式成立，只须将被积函数化为同名函数，便于比较大小cos |sin | (5)222t t πππ-≤≤-≤cos sin sin()42t t t ππ±=±≤1cos sin |sin | 2222t t t ππππ∴-<-≤≤≤-≤命题得证．例11 函数()f x 在闭区间[0,1]上有连续的一阶导数． 证明：{}1110 0()max(),()f x dx f x dx f x dx '≤⎰⎰⎰证 01 若 11()()f x dx f x dx =⎰⎰，问题得证．（()f x 在[0,1]上不变号）02 若11()()f x dx f x dx <⎰⎰，则()f x 在[0,1]上变号．由()f x 的连续性知，0 (0,1)x ∃∈，使0()0.f x = 于是[]00 ()()()()()xxx x f x f x f x f t dt f t dt ''=-=≤⎰⎰两边积分()1111()()().f x dx f x dx dx f x dx ''≤=⎰⎰⎰⎰例12 函数()f x 在[0,1]上单调不增，证明： 对任何 10 0(0,1), ()() (1)f x dx f x dx ααα∈≥⎰⎰证 将(1)改写： 1()()()f x dx f x dx f x dx ααααα≥+⎰⎰⎰即 1(1)()()f x dx f x dx αααα-≥⎰⎰或111()()1f x dx f x dx αααα≥-⎰⎰()f x 在[0,1]上单调不增， 011()()()f x dx f dx f αααααα∴≥=⎰⎰1111()().11f dx f x dx ααααα=≥--⎰⎰例13 设,0,a b >函数()0f x ≥，且()f x 在[,]a b -上可积，[0,]α上的平均值不小[,1]α上的平均值11()0.baxf x dx -=⎰试证明： 2 ()().bbaax f x dx ab f x dx --≤⎰⎰证 考虑积分[] ()()()0bax a b x f x dx -+-≥⎰2()()0ba x ab a b x f x dx -⎡⎤∴-+--≥⎣⎦⎰ 2 ()()bba ax f x dx abf x dx ---≥-⎰⎰即2()().bbaax f x dx abf x dx --≤⎰⎰例14 设()f x 在[,]a b 上连续．试证：1max ()()().b b a a a x b f x f x dx f x dx b a≤≤'≤+-⎰⎰ 证 ()f x 在[,]a b 上连续[,]a b ξ∴∃∈，使得 1()()baf f x dx b a ξ=-⎰0 [,]x a b ∴∃∈，使得0max ()()()()x a x b f x f x f t dt f ξξ≤≤'==+⎰即 0max ()()()()x a x b f x f x f t dt f ξξ≤≤'==+⎰()()x f t dt f ξξ'≤+⎰1()().bbaaf t dt f x dx b a '≤+-⎰⎰。
数学演讲稿（15篇）
数学演讲稿（15篇）数学演讲稿(15篇)数学演讲稿1各位老师、同学们：你们好！我想问一问各位同学一个问题，你觉得数学难不难?——难，对吧?特别是像我们女孩子，觉得数学就像天书一样难懂。
曾经，我有这么个想法，这么难，还没有什么用，你看，买菜能用上二次函数、对数函数吗?数学老师的一席话却让我对数学有了不一样的看法。
她说：是的，买菜用不上什么高深的数学知识，买菜只需要加减乘除就够了，但是你的人生就只有买菜吗?比如说，“双十一”除了会计算，哪种组合更便宜不是只有加减乘除就可以算出来的'，还有高速路上堵车了，怎样选择更快的路?现在都是大数据的时代，等等都蕴含了丰富的数学知识，数学不仅仅是一门工具帮助我们计算，她还锻炼我们的思维，让我们的生活变得更便捷。
更何况，我们现在学习不只是为了买菜呀，我们学习为了有一天可以更上一层楼，现在我们所有的专业都可以考本科，将来还可以考研究生甚至更高的层次，数学是必须过的一关。
但是数学那么的抽象，怎么才可以学好呢?在这里，我想分享自己的一些做法，与各位同学共勉。
学习有四种程度：听懂，记住，学会，掌握。
其相对应的学习程序则是：专心听课（听懂），认真看书（记住），做例题（学会），做习题（掌握）。
因为人的听力系统会自动漏掉80%，所以除了上课听懂老师的意思外，课后还要把老师所讲的内容认真看几遍，眼睛就像视觉扫描仪，能弥补听觉漏掉的内容。
而对于数学的学习，我觉得要注重以下几个要点：1、把数学定义搞懂2、把数学定理、符号搞懂3、把数学定理的证明过程搞懂4、要多练，熟悉每个定理、公式的应用数学是国家创新的基础，是社会民族进步的表现；数学是门科学，发挥着不可替代的作用；数学是大自然的鬼斧神工，变换莫测，永无止境。
所以，同学们，学习的路还很长，需要勇气、需要坚持，加油吧各位！数学演讲稿220xx年8月，是我人生一个大的转折。
我怀着希望与梦想，成为了新纪元教育集团的一名教师。
在这几年的教学生涯中，我有过成功的喜悦，也有过失败的忧伤，有过收获的快乐，也有过痛苦的彷徨。
数的认识说课精选文稿
《数的认识》讲课稿今日我的内容是北大版小学三年数学下册复《数的》一、教材剖析数的部分侧重要复小学段学的全部的数的观点。
部分内容从向看包含整数、分数、小数、百分数的观点和数的初步，从横向看，能够数的意、写法、大小比、性、改写。
教材安排了两个次的复，并配了两个“做一做” 。
教材 1 排的内容多而散，既有复又有新授。
每个内容里面的知容量很大，不行能在 1 内达成，只好取我数的程中最重要的部分，，找比适合的资料和手段加以呈和串。
二、学情剖析学生自然数是从学前开始的，系地学数的知是从一年的数数开始自然数，接着是三年上册初步分数，三下初步小数，四上是大数的，描绘性地呈了自然数的观点，四下小数的意，五下分数的意，六下数。
本归纳整数。
由此能够看出数的分别在各年，知像一粒粒珍珠分布在各个角落。
并且新教材中各样数的观点是描绘性的，比如：像 0、1、2、3、4⋯⋯的数叫自然数。
然描绘性的观点更为近学生的生活，适合学生年，但缺乏数学的本，学生学就忘了。
小学六年对于数的，在学生中的印象是琐碎而的。
当你学生小学阶段学过哪些数时？学生的回答从整数开始到百分数，有人会扯到因数、倍数甚至倒数。
你问学生疏数、整数、自然数、负数的意义时，分数和负数学生还记得，小数基本记不起来，自然数更是无从提及。
三、我的想法反省老师们平常的复习课教课，主要有两种形态：一是在自己教室里，关起门来时，教师的办理大多是“一练究竟” ，复习课成了做习题课。
二是假如要上公然课了，立刻就变为“自主整理”——你能用自己的方法进行整理吗？这样的教课要求充满着复习课公然教课的讲堂。
我认为，把复习课上成练习课，缺失了复习课整理、交流的功能。
这也是一到公然课教师多半不会这样上的原由。
可是，当我们不假考虑把复习课的教课目的定位于培育学生自主整理的意识和能力时，我们的复习课开始变为了践行“新理念”的工具。
但这样的“新理念”真的正确吗？我们看到，当教师部署学生自主整理时，大部分学生成了陪客，他们不知如何下手。
数分选讲讲稿第17讲
青岛大学讲稿讲 授 内 容备 注 第十七讲§4.3 定积分的可积性一、直接用定义证明可积性1lim()()nb i i ai f x J f x dx λξ→=∆==∑⎰：0, 0εδ∀>∃>，使得对[,]a b 的任何分割T，以及在其上的任意选取的点集{}i ξ，只要||||T δ<，就有1()ni i i f x J ξε=∆-<∑．例1 设(), F()f x x 在[,]a b 上连续，且a x b <<时，F ()()x f x '=试用定义直接证明()f x 在[,]a b 上可积，且()()().b af x dx F b F a =-⎰证 对任意分划 01:n T a x x x b =<<<=[]11()()()()nii i F b F a F x F x-=-=-∑111()() [,]nii i i i i i F x x x x ηη--='=-∈∑111()() [,]ni i i i i i i f x x x x ηη--='=-∈∑因为1 01()lim() [,]nb i i i i i ai f x dx f x x x λξξ-→==∆∈∑⎰问题是要证明 01lim ()()()ni i i f x F b F a λξ→=∆=-∑3学时即证： []10,()()nii ii f f x εξη=∀>-∆∑11()() ,[,]ni i i i i i i i f f x x x ξηεξη-=≤-∆<∈∑因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上一致连续，0, 0εδ∀>∃>，当,[,]x x a b '''∈，且x x δ'''-<时，有()()f x f x b aε'''-<-．因此，当||||T λδ=<时，i i i x ξηλδ-≤∆≤<故11()().nni i i ii i f f x xb a εξηε==-∆≤∆=-∑∑例2 证明：()f x 在[,]a b 上可积的充要条件是：对任何一个使得||||0k k T λ=→的分划序列{}k T 所作的积分和 1()kn i i i f x ξ=∆∑，其极限1lim()kn i i k i f x ξ→∞=∆∑恒存在，并且相同（不妨记为I ）证 必要性明显.充分性：（利用反证法）若()f x 在[,]a b 上不可积，则010, 0,kε∃>∀>∃分划kT 及()1[,]k i i i x x ξ-∈，虽然对应的1||||k k T kλ=<，但()01()kn k i i i I f x ξε=-∆≥∑.如此得到一个分划序列{}k T ，虽然0k λ→，但()1lim()kn k ii k i f x I ξ→∞=∆≠∑与已知条件矛盾.二、利用定理证明可积性 定理9.3 （可积准则）函数()f x 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0,ε>总存在相应的一个分划T ，使得()()S T s T ε-<.定理9.3' （可积准则）函数()f x 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0,ε>总存在相应的一个分划T ，使得iiTxωε∆<∑.定理9.16 （可积的充要条件）函数()f x 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给正数,εη、总存在某一个分划T ，使得属于T 的所有小区间中，对应于振幅k ωε'≥的那些小区间k '∆的总长.k k x η''∆<∑方法A ：若1ni i ω=∑有界，可以利用11nni i i i i x M ωλωλ==∆≤≤∑∑，只要Mελ<即可.方法B ：证明, (1,2,,)i i n ωε<= 从而1()n i i i x b a ωε=∆<-∑． 方法C ：利用i i i i i i x x x ωωω'''∆=∆+∆∑∑∑ 其中'∑中，,i b aεω<-则i i ix x b aεωε''∆<∆<-∑∑.''∑中，ix ε''∆<Ω∑，则i ii x x ωε''''∆<Ω∆<∑∑. 其中[,][,]sup ()inf ()x a b x a b f x f x ∈∈Ω=-是()f x 在[,]a b 上的全振幅.方法D ：利用f g i i ωω≤（其中,f g i i ωω分别表示函数()f x 与()g x 在第i 个小区间上的振幅）.从()g x 的可积性，得()f x 的可积性.见参考书 《数学分析》 上册（第三版）华师大数学系编证明单调函数的可积性证明连续函数的可积性如：()f x 在[,]a b 上可积，用方法D 可证()f x 在[,]a b 上可积例3 设()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，即()f x 在[,]a b 上的全变差在11sup ()()ni i Ti M f x f x -=⎧⎫=-<+∞⎨⎬⎩⎭∑.试证：()f x 在[,]a b 上可积.证 对任意分划T ，有1ni i M ω=≤∑由方法A ，可证其可积性.例4 设()f x 在[,]a b 上的每一点处的极限存在并且皆为零.试证：()f x 在[,]a b 上可积，且 ()0.ba f x dx =⎰证 设0[,]x a b ∀∈，有0lim ()0x x f x →=.010, 0,x εδ∀>∃>当0000(,)x x x x x δδ∈-+时，有10() ()f x x x ε<≠如此，{}0000(,)[,]x x x x x a b δδ-+∈组成了[,]a b 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖{}(,)1,2,,i i ix i x xx i kδδ-+=至此，证明了除有限个点{}12,,,k x x x 外，恒有112() (,,,)k f x x x x x ε<≠ （A ） 下证()f x 的可积性.0, ε∀>令1=4()b a εε-,则（A ）式成立. 取{}121max (),(),,(),k M f x f x f x ε> ，作一分划T使含12,,,k x x x 的各小区间之总长.4i x Mε'∆<∑ 则iii ii i x x xωωω'''∆=∆+∆∑∑∑()()ii i i i i Mm x M m x'''=-∆+-∆∑∑122i iMx xε'''≤∆+∆∑∑122()4Mb a Mεεε<+-=其中'∑表示含12,,,kx x x的各小区间的对应项之和.''∑表示其余各项之和.()f x ∴在[,]a b 上可积.既然()f x 在[,]a b 上可积，点i ξ不论怎样选取，积分和的极限相同.因此，每次只要选取i ξ与（A ）中的12,,,k x x x 不同．取{}12m in ,,kx x x δδδδ= ，当||||T λδ=<时，11111()()()n n ni i i i i i i i f x f x x b a ξξεε===∆≤∆≤∆=-∑∑∑1lim()=0ni i i f x λξ→=∴∆∑即： ()0.baf x dx =⎰例5 设()f x 在[,]a b 上可微．试证：()f x '在[,]a b 上可积的充要条件是：存在可积函数()g x ，使得()()().xa f x f a g t dt =+⎰ (1)证 必要性 令 ()()g x f x '=，则()g x 在[,]a b 上可积()()()()x x aaf x f a f t dtg t dt '-==⎰⎰充分性 设01: n T a x x x b =<<<= 是[,]a b 的任一分划．记11inf (), sup ()i ii ig g i i x x x x x x m g x M g x --≤≤≤≤== 1,2.i n =则 g g g iiiM m ω=- 1,2.i n =设 1[,]i i x x x -∈为任意一点，1[,]i i x x x x -+∆∈，则由题设()()1()x x xf f x x f xg t dtxxx+∆+∆-==∆∆∆⎰注意到 ()g g i i m g x M ≤≤，所以关于充分性，下面的证法是错误的： 将(1)式两端对x求导，得()()f xg x '=由()g x 的可积性，知()f x '可积. 错误是()g x 未必g gi if m M x∆≤≤∆.令0x ∆→，得1() [,]g g ii i i mf x Mx x x -'≤≤∀∈因此()f x '在1[,]i i x x -上的振幅11sup ()inf()i ii if g g g i iiix x x x x x f x f x Mm ωω--'≤≤≤≤''=-≤-=故 0f g i i i i x x ωω'≤∆≤∆∑∑因为()g x 在[,]a b 上可积，0lim 0g i i x λω→∆=∑可知 0lim 0f i i x λω'→∆=∑所以()f x '在[,]a b 上可积．例6 证明R iem ann 函数()R x 在[0,1]上可积． 例7 ()f x 在[,]a b 上可积的充要条件是：0, ε∀>0,σ∀> ∃分划T，使得振幅i ωε≥的那些小区间1[,]i i x x -的长度之和i i x ωεσ≥∆<∑．（通俗地说，即是振幅不能任意小的那些小区间之总长可任意小）证 必要性 设()f x 在[,]a b 上可积，则0, ε∀>0,σ∀> ∃分划T，使得iixωεσ∆<∑1i i ni iiiii x xxωεωεεωωεσ≥≥=∴∆≤∆≤∆<∑∑∑有.i i x ωεσ≥∆<∑充分性 已知10, ε∀>0,σ∀> ∃分划T ，使得i x ωεσ≥∆<∑连续，从而()()()x ag t dtg x '=⎰未必成立.从而 111i i ni i i i i i i x x x ωεωεωωω=≥<∆=∆+∆∑∑∑111i i i i x x ωεωεε≥<≤Ω∆+∆∑∑1()b a σε<Ω⋅+-其中[,][,]sup ()inf ()x a b x a b f x f x ∈∈Ω=-是()f x 在[,]a b 上的全振幅.当0, ε∀>取1, , 2()2T b a εεεσ==∃-Ω，则有1niii xωε=∆<∑所以，()f x 在[,]a b 上可积.例8 设()y f u =在[,]A B 上连续，()u x ϕ=在[,]a b 上可积.当[,]x a b ∈时，().A x B ϕ≤≤试证：[]()()F x f x ϕ≡在[,]a b 上可积.证 ()f u 在[,]A B 上连续，()f u ∴在[,]A B 上一致连续.0, 0εδ∀>∃>，当,[,], u u A B u u δ''''''∈-<时，有()()<(1)2f u f u ε'''-因此作分划后，在1[,]i i x x -上，若()x ϕ的振幅i ϕωδ< 则[]()()F x f x ϕ≡的振幅F i ωε<.[事实上，这时1,[,],i i x x x x -'''∀∈ 记(), ()u x u x ϕϕ''''''== 则 ()()i u u x x ϕϕϕωδ''''''-=-≤< 从而 ()()()()<.2F x F x f u f u ε''''''-=-1,sup()()2i iF i x x x x F x F x εωε-'''≤≤'''=-≤<]本例题可作为定理用.关键在于对0, ε∀>0,σ∀>找一个分划T ，使得.i i x ωεσ≥∆<∑由此可见，在1[,]i i x x -上，若F i ωε≥，必有i ϕωδ≥ 故(2)Fi i i i x x ϕωεωδ≥≥∆≤∆∑∑如此，0, ε∀>0σ∀>，首先按(1)式找出0,δ>再由()x ϕ在[,]a b 上可积，对0δ>与0,σ> ∃分划T ，使得<i i x ϕωδσ≥∆∑由(2)得F ii i i x x ϕωεωδσ≥≥∆≤∆<∑∑所以，()F x 在[,]a b 上可积.下面讨论可积性与连续性的关系.例9 若()f x 在[,]a b 上的不连续点，可以用有限个总长度任意小的有限个区间所覆盖，则()f x 在[,]a b 上可积.（直接应用定理9.16）例10 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 连续点在[,]a b 上处处稠密.证 只要证明()f x 在[,]a b 内至少有一个连续点.若找到一个连续点0x ，则()f x 在0[,]a x 、0[,]x b 上可积，在 0[,]a x 、0[,]x b 内有连续点.以此类推，证明了连续点处处稠密.用区间套定理，证明()f x 在[,]a b 内至少有一个连续点. ()f x 在[,]a b 上可积，1lim0.ni i i x λω→=∴∆=∑对11, 2ε=∃分划1T ，使得1() (1)i i x b a ωε∆<-∑如此，至少存在一个小区间1[,]i i x x -，使得其上()f x 的振幅1i ωε<（若不然，11()i i i x x b a ωεε∆≥∆≥-∑∑与(1)式矛盾）将此小区间适当收缩，总可以使得它的长度11()2i i x x b a --<-记缩小后的小区间为11[,]a b ，则11111, (),2a ab b b a b a <<<-<-()f x 在11[,]a b 的振幅 11[,]112fab ωε<=．将11[,]a b 取代上面的[,]a b ，作同样的处理 ，可知对 11, 2ε=2211 [,][,][,]a b a b a b ∃⊂⊂， 1221, a a b b <<<2211211()(),22b a b a b a -<-<-()f x 在22[,]a b 的振幅 22[,]2212fab ωε<=如此无限做下去，可得一区间套1 1122[,][,][,][,]n n a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃2 1 0<()0 ()2n n nb a b a n -<-→→∞且()f x 在[,]n n a b 的振幅 [,]12nn f ab n nωε<=据区间套定理，[,] (1,2,)n n a b n ξ∃∈=lim lim (1,2,)n n n n n n a b a b n ξξ→∞→∞==<<=则()f x 在ξ处连续.事实上0,ε∀>可取n 足够大，使得12nε<从而令 {}min ,n n b a δξξ=-- 则当 x ξδ-<时，[,]n n x a b ∈，有[,]1()()2n n fa b nf x f ξωε-≤<<即 lim ()()x f x f ξξ→=所以()f x 在ξ处连续.例11 证明：若()0f x ≥在[,]a b 上有定义且可积，则 等式 ()0ba f x dx =⎰．成立的充要条件是()f x 在连续点上恒为零．证 必要性（反证法）若0[,]x a b ∈为()f x 的连续点，0()0f x >，则0,δ∃>使得00 ()()0b x ax f x dx f x dx δδ+-≥>⎰⎰矛盾．所以，0()0f x =．充分性 因为 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 的连续点在 [,]a b 上处处稠密.∀分划01: n T a x x x b =<<<=取i ξ为1[,] (1,2,,)i i x x i n -= 上()f x 的连续点，则()0i f ξ=积分和1()0ni i i f x ξ=∆=∑1()lim()=0nb i i ai f x dx f x λξ→==∆∑⎰．连续函数的局部保号性。
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讲 授 内 容 备 注 第十四讲4、用求极值的方法证明不等式要证明()()f x g x ≥，只要求函数()()()F x f x g x =-的极值，证明 min ()0F x ≥．例4 设ln 21a >-，为任一常数．试证：221x x ax e -+< （0x >）． 证 设2()21x f x e x ax =-+- （0x >）()22xf x e x a '=-+ ()2x f x e ''=-()f x '得()f x '的唯一稳定点 ln 2x =当ln 2x <时，()0f x ''<；当ln 2x >时，()0f x ''>． 0min ()(ln 2)22ln 22x f x f a >''==-+2(1ln 2)20a =-+>．例5 设n 为自然数， 试证：2(1)t n t t te e n n----≤ ()t n ≤．证 原不等式等价于 21(1)n t t te n n--≤只要证明 2()1(1)0n t t t f t e n n ⎡⎤=---≥⎢⎥⎣⎦()t n ≤． 12()(1)(1)(1)t n n t t t tf t e e n n n-'=+--+-12(1)t n t t e n n -⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦令()0f t '=，得稳定点0t =，t ξ=（满足1(1)2n e nξξ--=）3学时则()f t 的可能极值点为0t =，t ξ=．但(0)0f =，2()1(1)n f e n n ξξξξ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦ 212(1)n n ξξ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦222(1)(1)0n n nξξ=-+-≥而()1f n n =-，2()lim 1(1)n t t t t f e n n →-∞⎧⎫⎡⎤-∞=---=+∞⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭由此得 ()min ()(0)0t nf t f t f ≤≥== ()t n ≤．5、利用单调极限证明不等式若x b <时，()f x （严 ），且0x b →-时，()f x A →， 则()f x A ≤（x b <）或()f x A <（x b <）．对于递减或严格递减的情况，有类似的结论． 例6 证明：0x >，t x ≤时，(1)0tx te x---≥．证 当0t =或t x =时，不等式成立．只需证明0x >，t x <，0t ≠的情况．为此，只需证明：当x →+∞时，()(1)x tf x x=-单调增，趋于t e -即可．事实上，当0x >，t x <，0t ≠时，()ln ()ln(1)ln(1)x x x t t f x x x x ''⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2()ln(1)t x x x t x x x t x--=-+⋅⋅- ln()ln tx t x x t=--+-ttx t ξ=-+- 0, 00, 0 t x x t x t x x t ξξ<<<-<<⎧⎨<<<<-⎩当 当ln()ln x t x --()ln ()x x x t x ξ='=--tξ=-0t tx t x t-≥+=--． 因为ln ()f x 单调增，而()f x 与ln ()f x 单调性同，所以()f x 单调增．lim ()lim (1)x t x x tf x e x-→+∞→+∞=-=． 即当x →+∞时，(1)x tx-单调增趋于t e -．例7 证明：集合 10, (1)x A x e x αα+⎧⎫=∀>+>⎨⎬⎩⎭有最小值，并求最小值．证 01 不等式 1(1)x e xα++>，等价于1()ln(1)1x x α++>即 11ln(1)x x α>-+．所以A α∈等价于α是1()1ln(1)f x x x=-+的上界（0x >）． 按确界定义，即0min sup ()x A f x >=．02 由不等式2211ln (1)(1)Ex x x x>++知211()101(1)ln (1)f x x x x'=⋅->++因为()f x 严 ，即0sup ()lim ()x x f x f x →+∞>=03 11()111ln(1)ln(1)f x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦ ln(1)2211111(())22t x x o x x x +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦的展开式11111()2x o x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦11111()1()22x o x o x x x ⎡⎤=++-=+⋅⎢⎥⎣⎦1的展开式1-t所以 1()11lim ()lim 122x x o x f x x→+∞→+∞=+=1min sup ()lim ()2x x A f x f x →+∞>===．二、凸函数凸函数的几种定义以及它们的关系定义1 设函数()f x 在区间I 上有定义，()f x 在I 上称为是凸函数，当且仅当12,x x I ∀∈，(0,1)λ∀∈，有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- ()A注 01 ()A 中""≤改成""<，则是严格凸函数的定义． 02 ()A 中""≤改成""≥或"">，则分别是凹函数与严格凹函数的定义．由于凸与凹是对偶的概念，对凸函数有什么结论，对凹函数亦有相应的结论．所以只讨论凸函数． 03 几何意义．定义2 设函数()f x 在区间I 上有定义，()f x 在I 上称为是凸函数，当且仅当12,x x I ∀∈，有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()B定义3 设函数()f x 在区间I 上有定义，()f x 在I 上称为是凸函数，当且仅当12,,,n x x x I ∀∈ ，有12(1)x x λλ+- 是介于12,x x 之间的值12()(1)()f x f x λλ+-是介于1()f x2()f x 之间的值1212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭ ()C 定义4 设函数()f x 在区间I 上有定义，当且仅当曲线()y f x =的切线，恒保持在曲线以下，则称()f x 为凸函数．若除切点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称()f x 为严格凸函数．注 01 定义2、定义3是等价的．2 当()f x 连续时，定义1、定义2、定义3是等价的． 03 当()f x 处处可导时，定义1、2、3、4是等价的．常用凸函数的结论：1、开区间内的凸函数为连续函数；2、凸函数在每点处有左、右导数；3、若()f x 在区间I 上有二阶导数，则()f x 在I 上为凸（严格凸）函数的充要条件是：()0(0)f x ''≥>．4、()f x 为I 上的凸函数的充要条件是：对I 上任意三点123x x x <<，总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--例8 设函数()f x 在区间I 上为凸函数．试证：()f x 在I 的任一闭子区间上有界．证 设[,]a b I ⊂为任意一闭子区间连接两点弦的斜率的比较 图示01 证明()f x 在[,]a b 上有上界．[,]x a b ∀∈，取(0,1)x ab aλ-=∈-，则(1)x b a λλ=+-．由()f x 为凸函数()((1))()(1)()f x f b a f b f a λλλλ=+-≤+-(1)M M M λλ≤+-=其中{}max (),()M f a f b =，即()f x 在[,]a b 上有上界． 02 证明()f x 在[,]a b 上有下界．记2a bc +=为,a b 的中点，则[,]x a b ∀∈，有关于c 点的对称点x '，由()f x 为凸函数()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+从而 ()2()f x f c M m ∆≥-=． 即()f x 在[,]a b 上以m 为下界． 综合01、02知，()f x 在[,]a b 上有界．例9 设()f x 为区间(,)a b 内的凸函数．试证：()f x 在(,)a b 内 的任一闭子区间[,](,)a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件．证 因为[,](,)a b αβ⊂，故可取0h >充分小，使得[,](,)h h a b αβ-+⊂于是12,[,]x x αβ∀∈，若12x x <，取32x x h =+，由()f x 为凸函数 32212132()()()()f x f x f x f x M m x x x x h---≤≤--其中,M m 分别是()f x 在[,]h h αβ-+上的上、下确界． 从而2121()()||M mf x f x x x h--≤- (1)若21x x <，取32x x h =-，由()f x 为凸函数，有32211223()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 2121()()||M mf x f x x x h --≤- (2)若21x x =，则2121()()||M mf x f x x x h --≤-成立． 所以，对12,[,]x x αβ∀∈，(1)式均成立．当1x 与2x 交换时，(1)式也应成立． 故有2121()()||M mf x f x x x h--≤- 令M mL h-=，则 2121()()||f x f x L x x -≤-．注 本例说明，在开区间内的凸函数，必内闭一致连续，从而得出连续性．例10 设(0)0f =，()f x 在[0,)+∞上为非负的严格凸函数， ()()f x F x x=(0)x >．试证：()F x ，()f x 为严格递增的． 证 因为()f x 在[0,)+∞上为严格凸，所以012,,[0,)x x x ∀∈+∞，且012x x x <<，有10201020()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--．12,(0,)x x ∀∈+∞，且120x x <<，212121()()()()f x f x F x F x x x -=- 2121()(0)()(0)000f x f f x f x x --=->--所以()F x 当0x >时，严格递增．因为()f x 非负，所以0x ∀>，有()0(0)f x f ≥=． 下证()0f x >(0)x >．若在某点10x >，使得1()0f x =，则210x x ∃<<， 使得2()0f x ≥（否则()0f x ≡，与()f x 严格凸矛盾）．12(0)()()02f f x f x +≥=，与()f x 严格凸矛盾．所以0x ∀>，必有()0f x >． 120x x ∀<<，有21112111()()()(0)()00f x f x f x f f x x x x x --≥=>--即21()()f x f x >．于是()f x 在[0,)+∞上为严格递增的．例11 设()f x 在[,]a b 上二次可微，对[,]a b 上每个x ，()f x 与 ()f x ''同号或同时为零．又()f x 在[,]a b 的任何子区间内不恒为零．试证：()0f x =在(,)a b 内如果有根，则必唯一．证 （反证法）设()0f x =在(,)a b 内有二个相异的实根12,(,)x x a b ∈，不妨设12x x <因为()f x 在12[,]x x 上连续，存在最大值最小值，但12()()0f x f x ==．所以最大、最小值至少有一个在内部达到（否则与题设矛盾）．设在12(,)x x ξ∈处，有最大值()0f ξ>． 由连续函数的局部保号性，0ε∃>，使得()0f x > (,)x ξεξε∈-+ 由题设 ()0f x ''> (,)x ξεξε∈-+所以()f x 为严格凸函数．又因为12()()0f x f x ==，可取0ε>足够大，使得当(,)x ξεξε∈-+时，()()f x f ξ≠．于是1(,)ξξεξε∃∈-+，使得10()()f f ξξ<<（()f ξ为最大值）． 记1ξ关于ξ的对称点为2(,)ξξεξε∈-+，有20()()f f ξξ<<．从而1212()()()()22f f f f ξξξξξ++<=与()f x 的凸性矛盾．对于在12(,)x x 内部达到最小值，类似可证．例12 设()f x 在区间(,)a b 内为凸函数，且有界． 试证：极限0lim ()x a f x →+与0lim ()x b f x →-存在．证 (,)x a b ∀∈，()n f x M ≤≤，,m M 为常数． 10x x x >>为(,)a b 内任意三点，由()f x 的凸性当x 单调增加时，00()()f x f x x x --单调增加．又因为00010()()()f x f x M f x x x x x --≤-- 10()x x x ∀>>所以00()()f x f x x x --有界．据单调有界定理，存在极限00()()limx b f x f x A x x →--=-．从而 000000()()lim ()lim ()()x b x b f x f x f x x x f x x x →-→-⎡⎤-=-+⎢⎥-⎣⎦00()()b x A f x =-+．所以0lim ()x b f x →-存在．同理可证0lim ()x a f x →+存在．例13 设函数()f x 在区间I 上有定义，则()f x 为凸函数的充要条件是： 00x I ∀∈，∃实数α，使得对x I ∀∈，有00()()()f x x x f x α≥-+其中0I 表示I 的全体内点组成的集合．证 必要性 因为()f x 为凸函数，00x I ∀∈，0()f x -'存在，且00()()f x f x x x --单调增趋于0()f x -'，由此，任取一点0()f x α-'>，则当0x x <时，有00()()f x f x x x α-≤-所以00()()()f x x x f x α≥-+．同理，当取0()f x α+'≤，则当0x x >时，有00()()f x f x x x α-≥-所以00()()()f x x x f x α≥-+．因为00()()f x f x -+''≤，所以对α∀，只要满足00()()f x f x α-+''≤≤x I ∀∈，恒有00()()()f x x x f x α≥-+．充分性 设123x x x <<是区间I 上任意三点， 由已知条件，对2x ，∃α，使得此时00()()f x f x x x --单调减趋于0()f x +'11 22()()()f x x x f x α≥-+ x I ∀∈ 令1x x =， 1212()()f x f x x x α-≤-， 1x x =，3232()()f x f x x x α-≥-， 所以123x x x <<时，32121232()()()()f x f x f x f x x x x x α--≤≤-- 所以()f x 为凸函数．。
数学演讲稿范文（精选9篇）
数学演讲稿范文（精选9篇）数学篇1尊敬的：感谢大家给我一个上台的机会!俗话说：“台上一分钟，台下十年功。
”如果一个人很有成就，不是别人给予的，更不是从天上掉下来的。
是靠自己的努力、勤奋争取的。
才能主要来自勤奋学习是不可猜疑的。
每一个人的才能不是天生就有的，而是靠自己的勤奋努力而来的。
比如说德国数学家、物理学家和天文学家高斯。
他从小就酷爱学习，一生为科学事业做出了巨大贡献，但是如果他没有从小的勤奋努力学习，他也不可能成为著名的科学巨人。
没有勤奋努力的学习是不可能有成就的。
这样的例子有很多很多，可以说每一位有成就的人都曾努力学习、努力探索过。
学习的关键在于“肯学”和“敢学”。
如果你的愿望是成为一名有成就、有才能让人敬重的人物，但你又不肯，或不敢去学习最终还是会一事无成的。
居里夫人和她的丈夫为了证明镭的存，千辛万苦，冒着可能失去生命的危险，经过他们的勤奋、努力最终提炼出了十分之一克极纯净的氯化镭，并准确地测定了它的原子量，证实了镭的存在。
这是一次多么让人惊叹的事实。
正是居里夫人的肯做、敢做才证实了镭的存在。
因此，要想成为有才能的人，就要从小“肯学”、“敢学”。
谢谢大家!数学演讲稿范文篇2尊敬的老师，亲爱的同学们：大家好!前不久，我读了一则童话故事，它是英国作家王尔德写的《巨人的花园》。
故事讲的是一个巨人看到孩子们在自己的花园里玩耍，很生气，他在花园周围筑起了高墙，将孩子们拒于墙外。
从此以后，园里花不开，鸟不语，一片荒凉，春夏秋都不肯光临，只有冬天永远留在这里。
一天，孩子们从墙洞爬进来，春天也就跟着孩子们来了，园里立刻变得生机勃勃。
当他把孩子们再次赶出花园之后，花园又被冰雪覆盖了。
后来，在小男孩的启发下，巨人醒悟了，随即拆除了围墙，花园成了孩子们的乐园，巨人生活在漂亮的花园和孩子们中间，感到无比地幸福……王尔德的这个快乐故事，让我的心久久不能平静，那个巨人，他两次的自私与冷酷给花园带来了冰雪寒冬，让孩子们失去欢乐的同时，他自己也同样孤单寂寞，更享受不到花园里明媚的景色!我们常说：“赠人玫瑰，手有余香”。
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第十九讲
3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式
例15证明：当x 0时，
证已知cosx 1，( x 0，只有x 2n时，等号成立)
在此式两端同时取［0, x］上的积分，得
i
X2
再次取［0, x］上的积分，得 1 cosx 一x 0
2
:
i 一X3
第二次取［0, x］上的积分，得x sinx —x 0 |
3
所以x —sin x
6
2
上式再在［0, x］上的积分，得——1 cosx x 0 '
2 24
2 4 I 即cosx 1 —一
2 24
3 5 |再在［0, x ］上的积分，得si nx x - + -^ x 0.
6 120 i
: 例16设f (x)是［a,b］上连续的凸函数.试证：
人公2 ［a,b］,人X2，有
!
证令t X1 (X2 xj (0,1)，贝U
同理，令t X2 (X2 xj, (0,1)，贝U
i 从而
注意到
X1 (X2 X1)与X2 (X2 X1)关于中点凶一X1对称，f (X)又!
2
为凸函数，所以
另一方面，由(1)式及f (X)的凸性
I 例17设函数g(x)在［a,b］上递增.试证：x (a,b)
X
函数f (x) ° g(t)dt为凸函数.3学时
几何解释：方法III可推广. Cauchy不等式的积分形式称为Schwarz 不第二项积分值大于零.
证 Q g(x)在［a, b ］上递增， x 1, x 2, x 3 (a,b),为 x 2 x 3
所以，f(x)为凸函数.
b
例 18 设 f (x) , p(x)在［a,b ］上连续，p(x) 0, p(x)dx 0
a
且m f(x) M ,
(x)在［m,M ］上有定义，并且有二阶导数，
I (利用积分和)将区间［a,b ］ n 等分，记
在［a,b ］上取积分
其中
(x)
0.试证:
(x) 0，
(x)为凸函数.
由詹禁定理，取 P i
n
P j
j 1
(j 1,2,L , n)，
i
II
r b a P i f i —— i 1 n
n
b a P i
i 1
n
n
P i (f i )
i 1
~n
P i
b a
n b a n
(利用Taylor 公式)
X 。
b
p(x) f (x)dx a b
a P(x)dx
(y)
(X 。
) (X o )(y X 。
)
()(y X 。
)2. 注意 (y)
(x o )
(x °)(y
x °).
在上式中，令
f(x)，然后两边乘以
b P(X)
，得 a
P(x)dx
b a
P(x)
b
a P(x)dx
f(x) dx
---------- (X o ) (X 。
)
b
a P(X) f(x) X o dx
a
b
a P(x)dx
§ 4.5
不等式
、Cauchy 不等式及Schwarz 不等式 1. Cauchy 不等式
设a i ,b i (i 1,2,L , n)为任意实数，则
n
2
n
n
aQ a 2
b j 2.
( Cauchy 不等
式)
i 1
i 1
i 1
其中等号当且仅当a i 与b 成比例时成立.
证1 (判别式法)
上式是关于x 的二次三项式，保持非负，故判别式
证II (配方法) 因此，Cauchy 不等式成立.
等号成立当且仅当a i b j a j b , (i 1,2,L , n).
证III (利用二次型)
即关于x,y 的二次型，非负定，因此
n
n
n
2
即
a 2
b 2
a i
b i .
i 1
i 1
i 1
2. Schwarz 不等式
设f(x), g(x)在［a,b ］上可积，则
若f(x),g(x)在［a,b ］上连续，其中等号当且仅当存在常数
,，使得f (x)
g(x)时成立.(，不同时为零)
3. Schwarz 不等式的应用
b
例 1 已知 f(x) 0，在［a,b ］上连续，a f(x)dx 1. k 为任意实数.求证：
证第一项应用Schwarz 不等式：
b
2
b 2
(1) + (2):
& f (x)cos kxdx a f (x)sin kxdx 1.
同理
2
(x)sin kxdx
b
2
f (x)sin kxdx
a
例2设f(x)在［a,b］上有连续的导数，f(a) 0.试证:
g (x) f (x) , a x b.由 f (a)
0，知
b
b
f(x)f (x) dx a g(x)g(x)dx
例3设f(x)在［a,b ］(b a)上有连续的n 阶导数f (n)(x), 且 f (k )(a)
0, (k 0,1,2丄，n 1).求证:
由Schwarz 不等式: 两端同时积分
令 g(x )
f (t) dt, a x b
因此, 其中0 k m n.
先证明n 1的情况.此时m
1,k 下证
(x)在［a,b ］上有连续的导数,
(a)
0.
1 b
2 2
a 2
(x)dx
1 2
(b a) (x) 2
dx
x
(x) a (t)dt,
[a,b]
两边同时开方:
2
(x)dx
1
1 2 2 (b
a) (x)
1
2 2
dx
对一般情况,
(x)
(k)/
、
(x), x
[a, b]
例4设f(x) , g(x)在[a,b]上连续, f (x)不恒为零，g(x)有 正的下界. 记 d n
f (x/ g(x)dx,
(n 1,2,L ).
试证:
d n 1
lim
一 n d n
max | f (x)|
只需证明 lim n
10
先证
lim d n
n
十存在.
d n 1
单调增
d
d n 1
max f (x
), in
im
d
J
lim d n
；
有界.
、平均值不等式
(即几何平均值 算术平均值)其中等号成立当且仅当
例5设正值函数f(x)在［0,1］上连续•试证：
证 由条件知f(x), In f(x)在［0,1］上可积，将［0,1］ n 等分, 作积分和
即 d n 1
d
n
d n d n 1
d n 1 Z
d n
因为f(x)在［a,b ］上连续，所以
0,使得 30
d n 1
d n
.n 1
f(x) g(x)dx
-------------------- M n
f (x) g(x)dx
f(x) g(x)dx
M
f(x)n g(x)dx
既然
d
n 1
d n
单调有界，存在极限.
基本形式：对任意n 个实数a 0,
(i 1,2丄，n)，恒有。