2020年自考高等数学(工专)考试题库及答案

2020年自考高等数学（工专）考试题库及答案第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。

它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。

本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。

重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。

1－2 函数的概念函数的定义：y=f(x)(x∈D),其中x是自变量，f为对应法则，y为因变量，D是定义域。

∀（对任意）x∈D,∃!(有唯一)y与x对应。

y所对应的取值范围称为函数的值域。

当自变量x取平面的点时，即x=(x1,x2)时，f(x)是二元函数；当x取空间中的点x=(x1,x2,x3)时，f(x)是三元函数。

函数的表示法主要有两种。

其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。

例如y=f(x)=e x,符号函数，其中后者是分段函数。

其二是图示法。

如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。

给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。

应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。

1－3 函数的简单性态1．单调性：称函数f(x)在区间I（含于定义域内）单调增，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≤f(x2);称函数在区间I（含于定义域内）单调减，若∀x1,x2∈I,当x1<x2时f(x1)≥f(x2).单调增函数和单调减函数统称为单调函数，I称为单调区间。

判断一个函数f(x)在区间I是否为单调函数，可用单调性的定义或者用第四章中函数在I中的导数的符号。

2．奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称。

如果∀x∈D,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；如果∀x∈D,有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数。

判断一个函数的奇偶性时一般用定义。

在几何上，偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像关于原点对称。

例如sinx, x, 等是奇函数，cosx, x2等是偶函数。

若y=f(x)为任一函数，其定义域D关于原点对称，则可以验证F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，而G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数；f(x)=0既是奇函数，又是偶函数；两奇函数的和还是奇函数，两偶函数的和还是偶函数。

3．有界性：若对属于区间I的任何x，总有|f(x)|≤M（常数），则称f(x)在I上有界，否则称为无界。

类似地可定义上有界和下有界。

4．周期性：对函数y=f(x),若有一正数a存在，对属于定义域的任意x,x+a,x-a,总有等式f(x)=f(x±a)成立，那么称f(x)为周期函数。

若在众多地a中存在一个最小的T，那么T称为周期函数的周期。

例如sinx的周期为2π，sin2x的周期为π等。

1－4 反函数我们把不同的x对应不同的函数值的函数f(x)称为单函数。

设f(x)是单函数，对f(x)的值域中任一点y,有唯一的x，使得y=f(x).由这种对应所确定的函数称为f(x)的反函数，记为x=ϕ(y).注意y=f(x)和x=ϕ(y)实际上同一个函数。

但习惯上以x为自变量，y为因变量，则y=f(x)的反函数为y=ϕ(x),记为y=f-1(x).这时在同一平面上，f(x)与f-1(x)的图像关于y=x对称。

因此，求一个函数的反函数时，先从y=f(x)中解出x=ϕ(y)，然后将x与y互换即得。

1－5 复合函数若函数y=f(u),u=ϕ(x)，则y=f[ϕ(x)]是x的复合函数，称u为中间变量。

一个函数有时可由多个函数复合而成。

这时务必弄清各层的中间变量，这对以后学习复合函数求导时大有益处。

例如由y=e u,u=v2,v=sint,t=s2,s=2x-1复合而成。

1－6 基本初等函数与初等函数基本初等函数主要包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数和反三角函数。

熟练掌握基本初等函数的形式、定义域、值域、单调性、周期性及图像，可为以后的学习打下良好的基础。

初等函数是由基本初等函数和常数经过有限次的有理运算及复合所产生的函数。

1．指数函数：y=a x (a>1,a≠1),定义域为（-∞,+∞）,值域为(0,+∞).当a>1时，函数为单调增；当0<a<1时，函数为单调减。

指数函数的图像始终经过点（0,1）。

2．对数函数：y=log a x (a>1,a≠1), 它是指数函数的反函数。

其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞),图像始终经过点（1,0）。

当a>1时，函数为单调增；当0<a<1时，函数为单调减。

特别地，以e为底的对数函数称为自然对数，记为y=lnx.自然对数在高等数学的学习中占有很重要的地位。

3．幂函数：y=x a(a为任意实数)。

其定义域、值域、单调性等应视a的取值而定。

注意，一般地有或。

所以y=e alnx.可见，幂函数是指数函数y=e u和对数函数u=alnx的复合函数。

4．三角函数正弦函数：y=sinx, -∞<x<+∞, 值域为[-1,1], 它是周期为2π的奇函数。

余弦函数：y=cosx, -∞<x<+∞, 值域为[-1,1], 它是周期为2π的奇函数。

正切函数：y=tgx, x≠(2k+1)π/2,k=0,±1, ⋯, 值域为（-∞,+∞）, 周期为π，它在内单调增，它为奇函数。

余切函数：y=ctgx,x≠kπ,k=0,±1, ⋯, 周期为π的奇函数。

它在（0,π）内单调减。

正割函数：y=secx,x≠(2k+1)π/2, k=0,±1, ⋯,其周期为2π。

余割函数：y=cscx, x≠kπ,k=0, ±1, ⋯, 周期为2π。

5．反三角函数反正弦函数：y=arcsinx, x∈[-1,1], 值域为[-π/2, π/2],它为单调增的奇函数。

反余弦函数：y=arccosx, x∈[-1,1], 值域为[0,π], 它为单调减的偶函数。

反正切函数：y=arctgx, x∈(-∞,+∞),值域为[-π/2, π/2],它为单调增的奇函数。

反余切函数：y=arcctgx, x∈(-∞,+∞),值域为[0, π],它为单调减的奇函数。

1-7 函数关系的建立运用数学工具解决实际问题时，往往需要先找出问题中变量之间的函数，然后对它进行研究，这是解决实际问题重要的一步。

至于如何建立函数关系，并无一定的法则可循，只能根据具体问题作具体处理。

第一章（函数）之例题解析例1.1已知函数。

求f(x)的定义域及f(-x2).解：由x≠0 及1-x2≥0得，其定义域为[-1,0)∪(0,1];例1.2证明：f (x)=sinx在(-π/2,π/2)内单调增。

证明：设x1,x2∈(-π/2,π/2),x1<x2,则f(x2)-f(x1)=sinx2-sinx1=.故 f (x)=sinx在(-π/2,π/2)内单调增。

例1.3证明：对称区间[-t,t]上的任一奇函数与任一偶函数的乘积是奇函数。

证明：设f(x)是[-t,t]上的奇函数，g(x)是[-t,t]上的偶函数，则f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).所以f(-x)g(-x)=-f(x)g(x).即f(x)g(x)是奇函数。

例1.4求的反函数。

解：由得x=y3-1.将上式中x与y互换即得所求的反函数为y=x3-1.第一章（函数）之自我检测测1.1单项选择题1．函数的定义域为（）A. (0,1)B. (0,1)∪(1,4)C. (0,4)D. (0,1)∪(1,4]2. 下列各对函数中为同一函数的是（）A. lnx2与2lnxB.与C. 与D. x 与3. 下列函数中为奇函数的是（）A. |x|-xB.C. e x+e-xD. xtgx4. 的周期是（）A. 2πB. πC. 4πD. π/25. 下列函数中，在其定义域内单调减的是（）A. B. 2- C. x2-x-1 D. e x-16. 函数的反函数为（）A. B. C. D.7. 设, 则（）A. B. C. D.8. 若, 则（）A. B. C. D.9. 设函数，则g(x)= ( )A. B. x2 C. 2x D.〖答案〗1. D 2. B 3. B 4. C 5. B 6. D7. C 8. D 9. C测1.2证明：y=2x-1在(0,+∞)内单调增。

测1.3设f(x)=x2+9, g(x)=4+。

证明：f[g(4)]=5g[f(4)].测1.4某公共汽车路线全长为20公理，票价规定如下：乘坐4公里以下者收费5分，乘坐4至10公里者收费1角，乘坐10公里以上者收费1角5分。

试将票价表成路程之函数。

〖提示〗表成分段函数。

测1.5在半径为r的球面内嵌入一内接圆柱。

试将圆柱的体积表为其高的函数，并确定此函数的定义域。

〖答案〗第2章（极限与连续）之内容方法极限理论是高等数学的基石，函数连续性的概念就是在它的基础上建立起来的。

极限也是研究导数、积分、级数等必不可少的基本概念和工具。

本章主要研究数列的极限、函数的极限、无穷小量和无穷大量以及函数的连续性等问题。

重点是函数的极限概念及极限的运算，连续函数的概念与性质及初等函数的连续性。

难点是极限概念。

2-1 数列的极限1、数列：当自变量n按正数1，2，3，…n，…增大的顺序依次取值时，所得到的一串有序的函数值：称为数列。

记，这数列常记为或，数列中的每一项称为项，称为数列的通项。

至于几个较简单的概念，如单调增、单调减数列，摆动数列，有界数列等，这里不详细列出。

数列极限的定义：如果一个数列和一个不确定的常数A具有如下的关系：使当时，，则称A为数列当时的极限，记作，这时也称收敛。

若无极限，则称之为发散数列。

应当注意：数列的极限反映通项的变化趋势。

通俗的说，就是要多接近A就有多接近A；而上述定义则是这种通俗说法的数学表述。

数列的极限具有以下一些性质：唯一性，有界性，四则运算性质。

另外，单调有界数列必有极限是一条存在性准则。

以此为基础，得到了一个重要极限：。

求数列的极限时，对于较简单的数列，可根据数列的通俗说法看出其极限值；另外一些可根据极限的四则运算性质求得，如。

利用重要极限求极限时，一定要化为其规范形式，如。

还有一些用到极限的存在性原则或一些技巧，如可用单调有界原则或夹逼准则求得，而则用到分子分母同乘有理化因式。

2-2 函数的极限函数的极限比数列的极限要复杂一些。

从自变量的变化来看，分自变量趋于无穷大和自变量趋于有限值两种情形。

第一种情形又有和三种情形，第二种情形有左右极限的情况。

的定义：若定义于的一个函数与一个确定的常数A有如下的关系：，使当时，。