2019年高考数学(理)一轮复习不等式选讲 第2节 不等式的证明学案

≥ a 1a 2…a n ，当且仅当 a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．②比商法：若 B >0，欲证 A ≥B ，只需证 ≥1.2 ≥ ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号成立． 3≥ abc ，当且仅当 a ＝b ＝c 时，等号成立．定理 3：如果 a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋cb c d 2 2第二节 不等式的证明[考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(对应学生用书第 206 页)[基础知识填充]1．基本不等式定理 1：设 a ，b ∈R ，则 a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号成立．a ＋b定理 2：如果 a ，b 为正数，则3定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式 )如果 a 1，a 2，…， a n 为 n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn n2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设 a ，，， 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当 ad ＝bc 时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设 α ，β 是两个向量，则|α ||β |≥|α ·β |，当且 仅当 β 是零向量，或存在实数 k ，使 α ＝k β 时，等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设 x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋ (x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥ (x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.(4)柯西不等式的一般形式：设 a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 2＋a 2＋…＋ a n )(b 2＋b 2＋…＋ b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋ a n b n )2，当且仅当 b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得 a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．(1)比较法：①比差法的依据是：a －b >0 a >b 步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．AB(2)综合法与分析法：①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，2．(教材改编)若 a ＞b ＞1，x ＝a ＋ ，y ＝b ＋ ，则 x 与 y 的大小关系是()A [x －y ＝a ＋ － b ＋b ⎪＝a －b ＋b －a ＝(a －b )(ab －1).所以 ＞0，即 x －y ＞0，所以 x ＞y .]4．已知 a ＞0，b ＞0 且 ln(a ＋b )＝0，则 ＋ 的最小值是________.所以 ＋ ＝ a ＋b ⎪(a ＋b )＝2＋ ＋ab ⎝这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．()[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×1 1a bA ．x ＞yC ．x ≥yB ．x ＜yD ．x ≤y1 ⎛ 1⎫ a ⎝ ⎭ab ab由 a ＞b ＞1 得 ab ＞1，a －b ＞0，(a －b )(ab －1)ab3．若 a ＝ 3－ 2，b ＝ 6－ 5，c ＝ 7－ 6，则 a ，b ，c 的大小关系为()A ．a >b >cC ．b >c >aA [“分子”有理化得 a ＝1 3＋2 ，b ＝ B ．a >c >bD ．c >a >b1 6＋ 5 ，c ＝17＋ 6 ，所以 a >b >c .]1 1a b【导学号：79140398】4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，1 1 ⎛1 1⎫ b a⎭a b≥2＋2b·a＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．]＋b⎫⎪－(a＋b)⎝b a⎭⎛a⎫⎛b⎫a－b b－a＝ －b⎪＋ －a⎪＝＋∴a∴aa b125．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.[证明]因为x＞0，y＞0，33所以1＋x＋y2≥3xy2＞0,1＋x2＋y≥3x2y＞0，33故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3xy2·3x2y＝9xy.(对应学生用书第207页)比较法证明不等式已知a＞0，b＞0，求证：a b＋≥a＋b.b a⎛a[证明]法一：∵⎝b⎭⎝a⎭b a＝(a－b)(a－b)(a＋b)(a－b)2＝≥0，ab abb＋≥a＋b.b aa b＋b a法二：由于＝a＋ba a＋b bab(a＋b)＝(a＋b)(a－ab＋b)ab(a＋b)＝a＋b－1ab≥2abab－1＝1.又a＞0，b＞0，ab＞0，b＋≥a＋b.b a≤2＋ (a ＋b )＝2＋ ，a b ab (2) 1＋a ⎪1＋b ⎪≥9.⎝a b ab a b ab [规律方法] 作差比较法证明不等式的步骤：作差； 变形； 判断差的符号；下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第 步要判断商与“1”的大小.[跟踪训练] (2018·临川一中)设 a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4>4ab (a 2＋b 2)．[证明] 因为 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4.又 a ≠b ，所以(a －b )4>0，所以 a 4＋6a 2b 2＋b 4>4ab (a 2＋b 2)．综合法证明不等式(2017·全国卷Ⅱ)已知 a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )3(a ＋b )2 3(a ＋b )34 4所以(a ＋b )3≤8，因此 a ＋b ≤2.[规律方法]1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是： A ⇒ B 1⇒ B 2⇒ …⇒ B n⇒ B A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论 ，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒ ”.2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.[跟踪训练] 已知 a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1 1 1(1) ＋ ＋ ≥8；⎛ 1⎫⎛ 1⎫ ⎭⎝⎭[证明] (1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，1 1 1 1 1 a ＋b∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋⎛b a ⎫a b ⎝ ⎭(2)设 x ≥1，y ≥1，求证 x ＋y ＋ ≤ ＋ ＋xy .要证 x ＋y ＋ ≤ ＋ ＋xy ，a b ＝2 ＋ ⎪＋4≥4b a2 a b ab (2)∵ 1＋ ⎪1＋ ⎪＝ ＋ ＋ ＋1，由(1)知 ＋ ＋ ≥8.⎝ a b∴ 1＋ ⎪1＋ ⎪≥9.⎝ a b 2＋ 2 ＋ 2＝a ＋b ＋c (当且仅当 a ＝b ＝c时等号成立)222⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛1 1⎫ ⎛a ＋b a ＋b ⎫＝2 a ＋b ⎪＝2 a ＋ b ⎪· ＋4＝81 1 1 1(当且仅当 a ＝b ＝ 时，等号成立)，∴ ＋ ＋ ≥8.⎛ 1⎫⎛ 1⎫ 1 1 1 1 1 1 ⎭⎝ ⎭ a b ab a b ab⎛ 1⎫⎛ 1⎫ ⎭⎝ ⎭用分析法证明不等式(1)设 a ，b ，c >0 且 ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3；1 1 1xy x y【导学号：79140399】[证明] (1)因为 a ，b ，c >0，所以要证 a ＋b ＋c ≥ 3，只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而 ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .a 2＋b 2 b 2＋c 2 c 2＋a 2而 ab ＋bc ＋ca ≤ 成立．所以原不等式成立．(2)由于 x ≥1，y ≥1，1 1 1xy x y只需证 xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)2(c ＋1) ≥；2 22所以要证(a ＋1) ＋(b ＋1) ＋(c ＋1) ≥ ， 222只需证 a ＋b ＋c ≥ .222因为 a ＋b ＋c ＝1，所以 a ＋b ＋c ≥ .2 22所以(a ＋1) ＋(b ＋1) ＋(c ＋1) ≥ .2 22所以要证(a ＋1) ＋(b ＋1) ＋(c ＋1) ≥ ，222只需证 a ＋b ＋c ≥ . 22 2因为 a ＋ ≥a ，b ＋ ≥ b ，c ＋ ≥ c ， 222所以 a ＋b ＋c ＋ ≥ (a ＋b ＋c )．222因为 a ＋b ＋c ＝1，所以 a ＋b ＋c ≥ .＝(xy －1)(x －1)(y －1)，因为 x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．[规律方法] 分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.[跟踪训练] (2018·广州综合测试(二))(1)已知 a ＋b ＋c ＝1，证明：(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋163(2)若对任意实数 x ，不等式|x －a |＋|2x －1|≥2 恒成立，求实数 a 的取值范围．[证明] (1)法一：因为 a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ＋b ＋c )＋3＝a 2＋b 2＋c 2＋5.16313因为 a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ca )≥(a ＋b ＋c )2－2(a 2＋b 2＋c 2)，所以 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2.1 316 3法二：因为 a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(c ＋1)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ＋b ＋c )＋3＝a 2＋b 2＋c 2＋5.1631 31 2 1 2 1 29 3 9 3 9 31 23 3132 22所以(a ＋1) ＋(b ＋1) ＋(c ＋1) ≥. 2法三：因为(a ＋1) ＋≥ (a ＋1)，2(b ＋1) ＋ ≥ (b ＋1)，2(c ＋1) ＋ ≥ (c ＋1)，222所以(a ＋1) ＋(b ＋1) ＋(c ＋1) ＋≥ [(a ＋1)＋(b ＋1)＋(c ＋1)]．2 22所以(a ＋1) ＋(b ＋1) ＋(c ＋1) ≥.1－x ＋1－a ，a ≤x ≤ ，2⎨当 a < 时，f (x )＝13x －a －1，x> .⎪⎩此时 f (x )min ＝f ⎪＝ －a ， 要使|x －a |＋|2x －1|≥2 恒成立，必须 －a ≥2，解得 a ≤－ .当 a ＝ 时，f (x )＝⎪x － ⎪＋|2x －1|＝3⎪x － ⎪≥2，即⎪x － ⎪≥ 不可能恒成立．⎨ x ＋a －1， ≤x ≤a ，1当 a > 时，f (x )＝⎪⎩要使|x －a |＋|2x －1|≥2 恒成立，必须 a － ≥2，1 ⎪1⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ 1⎪ 2 此时 f (x )min ＝f ⎪＝a － ，2⎝2⎭⎪2 16 316 8 9 316 89 316 89 316 83 3因为 a ＋b ＋c ＝1，16 3(2)设 f (x )＝|x －a |＋|2x －1|，则“对任意实数 x ，不等式|x －a |＋|2x －1|≥2 恒成立”等价于“f (x )min ≥2”． ⎧－3x ＋a ＋1，x<a ，1 22⎛1⎫ 1 ⎝2⎭ 212322 ⎪ 2⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ 2⎪ 3⎧⎪－3x ＋a ＋1，x<1，1 223x －a －1，x >a .⎛1⎫ 112解得 a ≥ .⎛ ⎫综上所述，实数 a 的取值范围为 －∞，－ ⎪∪⎢ ，＋∞⎪.当且仅当 x ＝ ，y ＝ ，z ＝0 时取等号．所以 x 2＋y 2＋z 2≥ ，当且仅当 x ＝ ＝ ，即 x ＝ ，y ＝ ，z ＝ 时，x 2＋y 2＋z 2 有最小值7 2.利用柯西不等式求最值的一般结构为： a 21＋a 22＋…＋a 2n ) a 2＋a 2＋…＋a 2⎪2⎭ ⎣252⎝⎭柯西不等式的应用已知 x ，y ，z 均为实数．(1)若 x ＋y ＋z ＝1，求证： 3x ＋1＋ 3y ＋2＋ 3z ＋3≤3 3；(2)若 x ＋2y ＋3z ＝6，求 x 2＋y 2＋z 2 的最小值．[解] (1)证明：因为 ( 3x ＋1＋ 3y ＋2＋ 3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以 3x ＋1＋ 3y ＋2＋ 3z ＋3≤3 3.2 13 3(2)因为 6＝x ＋2y ＋3z ≤ x 2＋y 2＋z 2· 1＋4＋9，18 y z 3 6 97 2 3 7 7 718.[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.⎛ 1 1 1 ⎫ ⎝1 2n ⎭＋1＋…＋2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.[跟踪训练] (2017·江苏高考)已知 a ，b ，c ，d 为实数，且 a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.[证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为 a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，所以(ac ＋bd )2≤64，因此 ac ＋bd ≤8.。