分式有意义无意义分式值为0的条件
分式的基本性质
bm b bm 2a 2a m 2 am
an a (2) bn b
解： n 0
a an a n bn b n b
思考:为什么n≠0？
练习：要使等式成立，分式值不变，括号中 应该填什么？为什么？
×
a
×
a b ( a 2 ) ab （1） 2 ab a b
判断以下分式是不是最简分式
15bc （ 1） 12a 2 （ 3 a b） （2） ba 2 2 a b (3) 2( a b ) a b ( 4) ab
2 2
1.系数也要约分 2.不是乘除运算， 不可以约分 3.运用公式法将多 项式转化 4.b-a 与 a-b 的关 系
练习：
x 1 x 9 (1) 2 (3) 2 x 2x 1 x 6x 9 2 2 m 3m 7x x ( 2) （4） 2 2 9m 49 x
A 一.分式的概念： 形如 的形式： B 1、两个整式相除
2. B 中含有字母
3. B 0
B 二.分式有意义的条件：
三.分式无意义的条件： 四.分式值为 0 的条件:
0
B0
分子A=0 分母B ≠0
问题：（1）下列分数是否相等？可以进行变形的依据是什么？
3 6 9 15 30 = = = = 4 8 12 20 40
2a 2ab 2a (4) 2 3ab 3b
2
因式分解
目的：将多项式转化成整式的乘积 方法：一提二套 1.提取公因式
ma mb mc m(a b c)
2.平方差公式
a b (a b)(a b)
2 2
3.完全平方公式
分式的概念、性质及运算
分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。
分式
A( x 2) B( x 1) x5 解： ( x 1)(x 2) ( x 1)(x 2)
A( x 2) B( x 1) x 5
Ax 2 A Bx B x 5
( A B 1) x (2 A B 5) 0
A B 1 0 2 A B 5 0 A 2 解得： B 1
回 头 看 看 ， 今 天 学 了 什 么
分式的定义，及其 分式有意义的条件
分式的性质
分式的约分 分式的通分
……
(其中M是不等于0的整式)
★
分式的约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母 分别除以它们的公因式叫做分式的约分.
1: 约去分子和分母中相同字母(或含字母的式子)的 最低次幂，并约去系数的最大公约数即可. 2:分子、分母是多项式，要先将分子或分母分别 因式 分解，找出它们的公因式，然后约分.
方法
第一章
分数
分数的构成 分数的性质 分数的意义
·
分式的概念
一般地,如果A、B表示两个整式 ,并 · A 且B中含有字母,那么代数式 B 叫做 分式,其中A是分式的分子,B是分式 的分母.
分式有意义的条件
分式
A B
有意义的条件:
B≠0
想想分数有 意义的条件
分式无意义的条件： B=0 分式值为0的条件：
求a ＝2 ，b ＝3 时
2 2 骣 a +b a + b÷ 2ab ç 的值。 ÷ ? ç 2 2 2 ÷ ç ÷ a - b a- b (a - b)(a + b) 桫
好好 想想
留的课堂作业
3、如果整数Ａ、Ｂ满足等式
分式讲义
分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。
（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。
（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。
（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（7）有理式：整式和分式统称有理式。
2、分式的基本性质： （1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
二、例题讲析 1、 （2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、 （2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ． 解得x =1500． 经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元． （2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案． （3）方法一： 设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同． 方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位 清淤费用（元/m 3） 清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。
分式无意义条件
分式的概念
掌握分式的概念应注意： 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否 是A/B的形式，关键要满足 （1）分式的分母中必须含有未知数。 （2）分母的值不能为零，如果分母的值为零， 那么分式无意义。
分式有无意义
（1）分式有意义条件：分母不为0； （2）分式无意义条件：分母为0；
分式方程
初中生解分式方程 ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母, 将分式方程化为整式方程) ②按解整式方程的步骤求出未知数的值 ③验根(求出未知数的值后必须验根,因为 在把分式方程化为整式方程的过程中,扩 大了未知数的取值范围,可能产生增根).
1 2 12 2 x 3 3 x x 9
分式方程实际问题
武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共 同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道， 若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程 队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰 好完成，请问： ⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？ ⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙 工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项 目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至 少施工多少天？
同分母分式加减
• 【分析】根据分式的运算法则即可求出答 案． x 11 • 【解答】解：原式= =1
x
异分母分式加减
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式的混合运算
分式的加、减、乘、除混合运算注意以下几点： （1）一般按分式的运算顺序法则进行计算，但 恰当地使用运算律会使运算简便。 （2）要随时注意分子、分母可进行因式分解的 式子，以备约分或通分时备用，可避免运算烦 琐。 （3）注意括号的“添”或“去”、“变大”与 “变小”。 （4）结果要化为最简分式。
分式有意义、无意义、分式值为0的条件
导入新课
回顾思考
什么是分式？
分式有意义、无意义、值为零的条件
问题引导
f
问题1 分式 在什么条件下无意义，在什么条件下有意义？
g
当g=0时， 分式 当g≠0时，分式
无意f义.
g 有意f义.
问题2 要使
g =0，f 分子、分母满足什么条件？
g
当 f =0且g≠0时，分式 的值为f零. g
练一练
1. 当x取什么值时，分式 （1）有意义；（2）等于0？
的值x会有2以下情况： 2x 3
3.一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时，它顺流航行100千 米所用的时间，与逆流航行60千米所用的时间相等，已知江水的流速 为v千米/时， （1）可列方程为 ________ ;
课堂小结
分式有意义、 无意义、值为 零的条件
有意义 无意义 值为零
分母不等于零
分母等于零
分子等于零且分母不 等于零
课后思考
分式重点难点归纳
分式重点难点归纳1. 分式的定理：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2. 分式有意义、无意义的主要条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3. 分式值为零的主要条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
）4. 分式的基本特质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为（），其中A、B、C是整式注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本特质的一个制约条件；（2）应用分式的基本特质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本特质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；（4）分式的基本特质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本特质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分定义：和分数一样，根据分式的基本特质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分式有意义、无意义、分式值为0的条件
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回顾思考
什么是分式？
分式有意义、无意义、值为零的条件
问题引导
f
问题1
分式
在什么条件下无意义，在什么条件下有意义？ g
当g=0时， 分式 f 2 要使 f =0，分子、分母满足什么条件？ g
当 f =0且g≠0时，分式 f 的值为零. g
分式有意 义、无意 义、值为 零的条件
有意义 无意义 值为零
分母不等于零
分母等于零 分子等于零且 分母不等于零
课后思考
练一练
1. 当x取什么值时，分式 x 2 的值会有以下情况：
2x 3
（1）有意义；（2）等于0？
3.一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时， 它顺流航行100千米所用的时间，与逆流航行60千米 所用的时间相等，已知江水的流速为v千米/时， （1）可列方程为 ________ ;
课堂小结
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练一练
1. 当x取什么值时，分式 x 2 的值会有以下情况：
2x 3
（1）有意义；（2）等于0？
3.一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时， 它顺流航行100千米所用的时间，与逆流航行60千米 所用的时间相等，已知江水的流速为v千米/时， （1）可列方程为 ________ ;
课堂小结
分式有意 义、无意 义、值为 零的条件
有意义 无意义 值为零
分母不等于零
分母等于零 分子等于零且 分母无意义、 分式值为0的条件
导入新课
回顾思考
什么是分式？
分式有意义、无意义、值为零的条件
问题引导
f
问题1
分式
在什么条件下无意义，在什么条件下有意义？ g
当g=0时， 分式 f 无意义. g
当g≠0时，分式 f 有意义. g
问题2 要使 f =0，分子、分母满足什么条件？ g
当 f =0且g≠0时，分式 f 的值为零. g