二次函数与一元二次方程
探究3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根
是x1、x2，则由韦达定理得：x1+x2=-
b a
x1x2=
c
若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标 分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），则 是否有同样的结论呢？ 结论3、若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点 坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），
九年级数学(下)第二章 二次函数
用函数的观点看一元二次方程
由上抛小球落地的时间想到
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用 公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高 度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以20m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系如图所示,那么
例4 如图，抛物线 y ax bx c 和X 轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴相交 于点C ∠ABC= ∠ACO 求证：a与c互为倒数
2
y
A o C
B x
5、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞
上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m， 拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞 两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截 面图放在平面直角坐标系中（如下图）． 1、求抛物线 的解析式． 2、求两盏景观灯之 ? 间的水平距离．
三、基础练习
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a 的范围是 ； 2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一 个交点，则a的范围是 。 3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
5
10
1
B
D
?
C
4
10m
A
5m
1m
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解 : 当h 60时, 得 5t 40t 60.
2
解得 : x1 2, x2 6.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们 的关系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
x1
O A
x2 B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？ Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
结论2： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明： 1、△＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有两个交点——相交。 2、△=0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。 3、△＜0 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴没有公共点——相离。
例1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。
例2. 已知二次函数 y x kx k - 2 （1）判别上述抛物线与X轴交点情况
2
（2）设抛物线与X轴交点之间距离 为 2 5 ，求k的值
练习：已知二次函数 y kx 6x 7 的 图像与X轴有两个不同的交点 （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标 的平方和等于50
(1).h和t的关系式是什么？ (2).
h=-5t2+20t
①球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ ②球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ ③球的飞行高度能否达到20.5m？如能，需要多少飞行时间？ ④小球经过多少秒后落地?
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴 的交点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0，
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
,①求抛物线与y轴的 8 5. 已知抛物线 交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
2
y 2 x 1
评:若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标
分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），利用根 与系数的关系，求证：A、B两点间的距离 AB= | a |
2
例3 设二次函数 y x ( m 2 ) x 3 ( m 1) 的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于 C点，线段OA与OB的长的积等于6 （O是坐标原点） 求：m的值
2
一元二次方程的图象解法
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象； (2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与 x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分 别约为-4.3和2.3 (3).确定方程x2+2x-10=0的解;
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0 7．已知二次函数ｙ＝-ax2，下列说法不正确 的是（ D ） Ａ．当ａ＞０,ｘ≠０时,ｙ总取负值 Ｂ．当ａ＜０,ｘ＜０时,ｙ随ｘ的增大而减小 Ｃ．当ａ＜０时，函数图象有最低点，即ｙ 有最小值 Ｄ．当ｘ＜０，ｙ＝ -ax2的对称轴是ｙ轴
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线 y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。 因此，抛物线与一元二次方程是有密切 联系的。 即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 x 点坐标分别是A（ x1，0）， B（ 2，0 ） y
＜ ∆_____0
二次函数
y ax bx c
2
x1
x2 o
x X1=x2 o x o x
(a 0)
一元二次方程 有两个不相等 有两个相 2 等的实数 ax bx c 0 的实数根 根x1=x2= x1,2= (a 0)
b b 4 ac
2
没有实数根
b
2a
2a
二、例题
a
则x1+x2=-
b
，x1x2=
c
a
a
二次函数 y ax bx c (a 0) 与X轴的交点 2 ax bx c 0(a 0) （X1，0），（X2，0） 与方程
2
的两根X1，X2和∆的关系
判别式 ∆______0 ＞
y
y y
∆= b 4 ac
2
∆______0 =
3、A、B两点间的距离AB= | a |
。
4、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它 们的关系如何?
一般地,当y取定值时, 二次函数即为一元二次方程.
独立 作业
知识的升华ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P66 习题2.9 1,2题.
祝你成功！
例4 利用函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
3、已知二次函数y=x 2-kx-2+k. (1)求证:不论k取何值时，这个二次函数 y=x 2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)k为何值时,二次函数y=x 2-kx-2+k与轴两 个交点A、B之间的距离最小？ （3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC . 4、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x 轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴， B在x轴的负半轴， 1）若OA=3OB，求m的值。 2）若3（OA-OB）=2OA· OB，求m的值。
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二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
22.2.1二次函数与一元二次方程
（2）请求出球飞行的最大 水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大 高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛 物线，求出其解析式．
解：(1) y 1 x2 8 x 1 (x 4)2 16
55
5
5
⸫抛物线开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为x=4
(2)令y=0 ，得： 1 x2 8 x 0 55
(3)指出(2)的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y ＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其
飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中y（m）是 55
球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方 向、顶点坐标、对称轴．
的值永远为正的条件是__a_>_ 0,△<0 __
３.求抛物线 y=−2(x+1)2+8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
(1)抛物线y=x2+2x−3与x轴的交点有（ C）
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
(2)抛物线y=mx2−3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）开口方向，开口大小； （2）对称轴； （3）顶点（最低点或最高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线 y=ax2向上平移|k|个单 位，得y=ax2+k
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大 高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛 物线，求出其解析式．
解：(1) y 1 x2 8 x 1 (x 4)2 16
55
5
5
⸫抛物线开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为x=4
(2)令y=0 ，得： 1 x2 8 x 0 55
(3)指出(2)的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y ＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其
飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中y（m）是 55
球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方 向、顶点坐标、对称轴．
的值永远为正的条件是__a_>_ 0,△<0 __
３.求抛物线 y=−2(x+1)2+8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
(1)抛物线y=x2+2x−3与x轴的交点有（ C）
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
(2)抛物线y=mx2−3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）开口方向，开口大小； （2）对称轴； （3）顶点（最低点或最高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线 y=ax2向上平移|k|个单 位，得y=ax2+k
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件
情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
其实，一元二次方程、二次不等式与二次函数是存在有着密切联系的。
他们之
间互相建立起一种相互联系的关系，联系紧密。
首先，要了解一元二次方程、二次不等式与二次函数的定义，才能更好地了解
它们之间的关系。
一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，一般表示为
ax²+bx+c=0 (a≠0)。
二次不等式是指一个不等于0的二次方程和一个零点的方程
组合出的不等式表达式。
而二次函数是指常数项的系数均为0的二次多项式，表示一般形式为y=ax²+bx+c (a≠0)，可以以y为自变量、x为因变量，在平面直角坐
标系上表示成曲线。
接下来，从数学的角度来考虑一元二次方程、二次不等式与二次函数三者之间
的联系。
一元二次方程可以构成一个二次不等式系统，而二次不等式反过来也可以构成一个一元二次方程系统，由此可见，它们之间是相互转化关系。
二次函数则可以用来描述一元二次方程与二次不等式，得出它们之间是图形联系的。
就如，
y=ax²+bx+c这样的一次函数，可以用来描绘ax²+bx+c=0这一个元二次方程的解，
前者生成的关系图像就是后者的解的图象。
综上所述，一元二次方程、二次不等式与二次函数之间存在着相互联系的关系。
它们彼此可以相互转化，可以印证彼此，也可以从图形上看出关系并求出结果。
只有了解并运用好这些数学概念，我们才能学好数学，更好地把握思维去解决现实生活中的问题。
《二次函数与一元二次方程》数学PPT课件
虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程不等式的关系表格
二次函数与一元二次方程不等式的关系表格
二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系可以通过表格的形式进行总结。下面是一个简单的表格：
概念
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
定义
y = ax^2 + bx + c
ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a < 0)
图像Байду номын сангаас
抛物线
交点或无实根
与x轴的交点或区间
根的性质
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时在区间内恒成立，有时不恒成立
判别式
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
根与系数的关系
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
无特定关系(但与方程的根有关)
最值问题
可能存在最小值或最大值，取决于a的正负和Δ的值
无特定最值问题(但与方程的解有关)
可能存在区间内的不等式恒成立问题，取决于a的正负和Δ的值
这个表格简要概述了二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系。
二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系可以通过表格的形式进行总结。下面是一个简单的表格：
概念
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
定义
y = ax^2 + bx + c
ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a < 0)
图像Байду номын сангаас
抛物线
交点或无实根
与x轴的交点或区间
根的性质
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时在区间内恒成立，有时不恒成立
判别式
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
根与系数的关系
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
无特定关系(但与方程的根有关)
最值问题
可能存在最小值或最大值，取决于a的正负和Δ的值
无特定最值问题(但与方程的解有关)
可能存在区间内的不等式恒成立问题，取决于a的正负和Δ的值
这个表格简要概述了二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系。
二次函数与一元二次方程
能力提升
若二次函数y=-x2+mx的图象如图所示，其中对 称轴为直线x=2，若且关于x的一元二次方程 -x2+mx-t=0（ t为实数）在1 <x < 5的范围内
有解，则t的取值范围是（ D ）
A t＞-5 B-5 <t < 3 C 3 <t ≤4 D -5<t ≤4
-1
1 23 4
课堂小结
一元二次方程 y=0
记得
1.一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点坐标
为 （-2,0。）一元一次方程x＋2＝0的根为 ___-_2___．
2.一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点坐
标为 （2,0。）一元一次方程－3x＋6＝0的根为 ____2___．
3.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的
就是一元一次方程kx＋b＝0的根． 横坐标
求解方法？
4.小球抛出 4 秒后，距离地面的 高度最大，最大为 80 米。
5.小球抛出 2或6 秒后，距离地面
的距离是60米？
6.方程60=-5t2+40t的根的实际意义是什么？你 能在图中表示吗？
小球抛出2秒和6秒后，
距离地面的高度为60米。
7.你认为一元二次方程 ax2+bx+c=h的根与二次函数 y=ax2+bx+c和直线y=h图象之 间有什么关系？
学
3.观察图2-13中图（3）， 该抛物线的函数关系式 为 y=x2-2x+2，抛物线与 x轴有 0 个交点。一元 二次方程x2-2x+2=0有 0 个实数根，该方程根的判别 式的值为 -4 。
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系