平面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。
如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。
图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。
分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。
图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。
分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。
2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。
两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。
X坐标确定两点的左右位置关系。
X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。
Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。
Z坐标值大的点在上。
图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。
3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。
此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。
平面的投影
c
●
a●
● b ●b
a●
●
c
两相交直线
这几种平面的表示方法是可以互相转化的。在投影图上，可以用这些几
何元素的投影来表示平面。
平面的投影
二、平面对投影面的各种相对位置及其投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
平面分类
平面对投影面的相对位置
正平面（∥V 面）
平行于一个投
特
投影面平行面
影 面，垂直于另外
平面的投影
四、平面上的点和直线
3.平面上取点
例5：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。
解法一：
b
解法二：
b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
四、平面上的点和直线
3.平面上取点
例6：在△ABC内取一点M，
并使其到H面V面的距离均
为10mm。
d
平面的投影
a
e m
●
c
0
1
b
X
O
a
0
1
d
平面的投影
平面的投影
平面的表示法 各种位置平面及其投影特性 平面上的点和直线
一、平面的表示法
平面的投影
平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示。
c
●
a● ● b
●b a●
●
c
不在同一直线 上的三个点
c
●
a●
d
●
● b
●b
a●
●
d
●
c
直线及线 外一点
2-3-2 各种位置平面的投影特性
e h
e
f
h f
f
X
g O f
QHe(f) (g)h
e(f)
g
QH
h(g)
efgh--直线; g YW 反映、角
的真实角度;
efgh和efgh --类似形。
YH
i
l
i
i
j i
(l)
RW
j
(k) j
X i
l Zi(l)
RW
（3）侧垂面
ijkl --直线;
K
j (k) 反映、角
O
YW 的真实角度;
l
ijkl和ijkl
jk
j
k
--类似形。
YH
投影面垂直面的投影特 性
a(b)
d (c)
b
c cb d
a
d
§2－3 平面的投影
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为直线，其与相邻投 影 轴的夹角反映平面对另两 投影 面的真实倾角；
2)另两投影为面积缩小的类似 形。
§2－3 平面的投影
2. 投影面平行面
ijkl --实形; k YW ijkl和ijkl
--直线，分别平 行于OZ、OY轴
投影面平行面的投影特 性
a
d
a(d)
b
b (c) a(b) d(c)
1)在与其平行的投影面上的投 影反映平面的实形；
2)另两个投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。
§2－3 平面的投影
3. 投影面倾斜面
a a
一般位置平 面
§2－3 平面的投影
1. 投影面垂直面 （1）正垂面
Z
d(c) c
d
d(c)
6-平面的投影
则CD与平面P平行。
例6-4 已知直线DE∥△ABC，试完成直线DE的水平投影。
解：因为直线DE∥△ABC，所以在△ABC中必可找到 一条直线与DE平行。该直线的投影也必然与DE的同 面投影平行。
例6-5 试判别直线DE是否平行于△ABC。
解：如果在△ABC所确定的平面内能找到平行于直线DE的 直线，则直线DE∥△ABC，否则直线DE与△ABC不平行。
例6-2 已知ΔABC内一点K的水平投影k，求其正面投影k’。
解法2：运用点在平面上的条件求k’。
(1) 在平面的水平投影△ abc上，连ak与bc相交于点3； (2) 由点3作垂线与b’c’相交于点3’； (3) 连a’3’与过k所作的垂线交于k’。
直线在平面上的条件是：
若一直线通过平面上任意两 已知点，则直线在该平面上。
线AC、AD、AE等，这些直
线对投影面H的倾角各不相
同，但其中必有一条直线
AD对投影面的倾角是最大
的，该直线垂直于直线CE，
即垂直于平面P关于投影面
H的平行线，此直线称为平 面P对投影面H的最大斜度 在三投影面体系中对H、V、W面分别
线。
有三组不同的最大斜度线。最大斜度
线对投影面的倾角反映平面对该投影
n
f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例6-14 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN
是否垂直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
平面的投影
平面的投影由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。
但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。
从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。
平面的表示方法1．不在一条直线上的三点；2．一条直线和线外一点；3．两平行直线；4．两相交直线；5．任意一平面图形。
图2—21几何元素表示平面平面形在三面投影体系中的特性平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。
平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。
三角形是最简单的平面形，如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。
其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。
其它多边形的作法与此类似。
又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。
图2—22一般位置平面的投影图2—23投影面平行面的投影特性平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图2—22所示。
一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。
由此得到一般位置平面的投影特性：（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。
2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。
如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。
三种投影面平行面的投影特征：（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；（3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。
直线、平面在三面投影体系中的投影特性分析
直线、平面在三面投影体系中的投影特性分析【摘要】建筑制图中直线、平面相对于三个投影面的不同位置关系的分类相同，空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系可分为三种：投影面平行线、投影面垂直线和投影面倾斜线。
【关键词】相对位置；投影特性；分析一、投影面平行线与投影面平行面1.定义的区别（1）投影面平行线：与一个面平行与另外两个面倾斜，按其与水平投影面、正立投影平面、侧立投影平面平行的位置分为水平线、正平线、侧平线。
（2）投影面平行面：与一个面平行与另外两个面垂直，按其与水平投影面、正立投影平面、侧立投影平面平行的位置分为水平面、正平面、侧平面。
2.投影特性的区别（1）投影面平行线：直线在所平行的投影面上的投影反映实长，此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形；直线在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，但不反映实长。
“开发资产管理应用程序时，我们首要任务之一是帮助客户完全掌控过程知识。
为此，我们首次允许用户灵活地借助收集的情报快速创建自己的资产模型。
”ABB设备管理和资产优化全球产品经理NeilShah说到，“包括根本原因分析在内的资产分析是帮助客户在当今工业市场中保持竞争力的另一个关键因素。
”（2）投影面平行面：平面在它平行的投影面上的投影反映实形，其它两个投影积聚成线段，并且分别平行于相应的投影轴。
3.空间位置的判别（1）投影面平行线：一斜两直线，必为平行线；斜线在哪面，平行哪个面。
（2）投影面平行面：一框两直线，必为平行面；框在哪个面，平行哪个面。
投影面平行线投影图投影面平行面投影图二、投影面垂直线与投影面垂直面1.定义的区别众所周知，信息化条件下的现代战争，武器装备的优劣在很大程度上影响战争的胜败，但是决定战场胜负的主体因素依然是人。
现代战争中的每一项军事行动，都离不开军人良好身体素质的支撑。
良好身体素质的获得自然离不开真、难、严、实的军事训练，而逼近实战的军事训练中也将不可避免的发生军事训练伤。
平面的投影
例11：试过水平线AB作一与H面成30º夹角的 平面。
作业
P23 P24 P26
4.4 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题
包 括
直线与平面平行
m
●
n
b
唯一解
⒉ 两平面平行
①若一平面上的两相 交直线分别平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。
b
c d a c a b b d
e
f
f e f
②若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
d
e
a
h
h
c
a
c
b
d
e
f
例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行, 已知AB∥CD∥EF∥MH
●
h′
●
b′ e′
n′
●
f′ a
作图
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH 上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后， 故mc 可见。
b
n● d(e)
2 h(f) ● m 1
●
●
c
⑵
d′
空间及投影分析
h′
m′
●
b′ e′
n′
●
f′ a m
●
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 c′ mn即为交线MN的水平投影。
对于特殊位置直线，只 有两个同名投影互相平行， 空间直线不一定平行。
平面的投影特性是什么
平面平行于投影面， 平面平行于投影面，投影 原形现 平行于投影面 平面倾斜于投影面， 平面倾斜于投影面，投影 面积变 倾斜于投影面 平面垂直于投影面， 平面垂直于投影面，投影 聚成线 垂直于投影面
投影面的平行面：
平行于一个投影面，而垂直于 其他两个投影面的平面
（1）正平面： （2）水平面： （3）侧平面：
平行于V面，垂直于H、W面的平面 平行于H面，垂直于H、W面的平面 平行于W面，垂直于H、W面的平面
V 正平面 ∥ V面 X
Z W X Y
Z
O YH
YW
V面投影反映实形，H面、W面投影聚成直线
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平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性
1
Байду номын сангаас
平面对一个投影面的投影特性
P
平面//P 反映实形
实形性
平面P 积聚成直线
积聚性
平面 P 类似图形 类似性
2
平面在三投影面体系中的投影特性 平面相对于三投影面的位置
V
平面相于投影
面的位置可归 纳为几类？
W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置面
3
一般位置面用迹线如何表示？
V
X Px
Z
Pz
W
PV
P
PW
Px
O
PH
Py
H
Y
PZ
PV
Pw
Py
PH
Py
4
V
H V
H
V
W
W
H
V 正垂面
H 铅垂面
W
平面某一投影面
投影面垂直面
W 侧垂面
5
铅垂面用迹线如何表示？
Z
V
PV
Pw
PV
P
W Px
Py
X Px
PW
O
PH
PH
Py
Py
H
Y
6
V
H V
H
V
W
W
H
且反映平面与投影面的倾角
另二投影为类似图形
11
投影面平行面 平行于某一投影面的平面
//OX轴
a'
a
//OY轴
b' c' c" a" b" 是什么面？ 水平 为面什么？
c V
W
反映实形
b
H
投影特性
在所平行的投影面内的投影反映实形
另二投影分别积聚成直线且平行于相应的投影轴
12
9
一般位置平面 对H、V、W 均倾斜的平面
b'
b"
a' c'
b
a" c"
P
c a
投影特性
在H、V、W面内的投影均为空间平面图形的 类似图形
10
投影面垂直面
积聚性
c'
a'
类似图形
c
仅垂直于一个投影面的平面
b'
b"
c"
类似图形
是什么面？正垂面
a" 为什么？
V
W
a
b
H
投影特性
在所垂直的投影面内的投影积聚成直线，
// V 正平面
// H 水平面
W
平面//某一投影面
投影面平行面
// W 侧平面
7
水平面用迹线如何表示？
Z
V
PV
PV
Pz
PW W
P
X
O
H
Y
Pz PW
8
归纳 平面相对于投影面的位置
一般位置面
投影面垂直面
铅垂面：H面 正垂面：V面 侧垂面：W面
投影面平行面
特殊位置面
水平面：∥H面 正平面：∥V面 侧平面：∥W面