天津理工大学 高等数学AII 历年期末考试试卷
天津理工大学2015-2016上大物A期末复习
内能能量∆E
m i R(T2 − T1 ) M 2 i =2 (p2 − p1 )V m i R(T2 − T1 ) M 2 i = 2 P (V2 − V1 )
=C =C
V T
pV = C
0
绝热过程就是无热量交换的过程.:: 绝::: 热线 比等温线更陡。 ::::::::::::::::: 2、循环过程 ( 逆循环不考)（二、 5,7,8,10） ♣ 一个循环后, 内 能不变; 净 功大小等于p − V 图上循环曲线所包围的面积. ::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 吸热Q1 放热Q2 , 净功W , W = Q1 − Q2 , 热机效率 η = W Q2 =1− . Q1 Q1
2. 理想气体的压强公式和温度公式（一、 4；三、 3） 2 ¯k 压强公式: p = nε 3 其中ε ¯k 是分子的平 均平动动能。 ::::::::: 3. 能量按自由度均分原理（一、 1,2,3,5,6；二、 4；三、 2） ♣ 如果一个理想气体分子的总自由度为i, 则一个分子的 平均动能 :::::::::: i ε ¯ = kT （平均动能=平均平动动能+转动动能） 2 单原子i = 3;双原子i = 5; 多原子分子i = 6. ♣ 理想气体内能: E =
p T
热量Q
m i R(T2 − T1 ) M 2 i =2 (p2 − p1 )V m i+2 R(T2 − T1 ) M 2 i+2 = 2 P (V2 − V1 ) m 2 RT ln V M V1 m 1 =M RT ln p p2
对外做功W 0 p(V2 − V1 ) =
m R(T2 − T1 ) M V2 m RT ln V M 1 p1 m =M RT ln p 2
天津理工大学高等数学I期末复习题（5篇范文）
天津理工大学高等数学I期末复习题（5篇范文）第一篇：天津理工大学高等数学I期末复习题《高等数学AI》模拟复习题（二）一、单项选择题1、设f'(x)=[ϕ(x)]3，其中ϕ(x)在(-∞,+∞)连续、可导，且ϕ'(x)>0 则必有（）A、f(x)在(-∞ ,+∞)上单调增；B、f(x)在(-∞ ,+∞)上单调减；C、f(x)在(-∞ ,+∞)上是凹的；D、f(x)在(-∞ ,+∞)上是凸的；2、函数f(x)=x3+2在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其在（0，1）内适合f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)的ξ=()1A、；3B、1；C、11；D、223.设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)>g'(x)，则当a<x<b时，有（）A.f(x)>g(x)；B.f(x)+g(a)>f(a)+g(x)；C.f(x)<g(x)；D.f(x)+g(b)>f(b)+g(x).4.若F'(x)=f(x)，则⎰dF(x)=()A、f(x)；B、F(x)；C、f(x)+C；D、F(x)+C5、设函数y=f(x)对任意x满足f''(x)+xf'(x)5=-1-x4，若f'(x0)=0,则以下结果正确的是（）A、f(x0)是f(x)的极大值；B、f(x0)是f(x)的极小值；C、(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点；D、x0不是f(x)的驻点。
⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰xf(a2-x2)dx=（）6、已知f(x)在R上连续，[]A、F(a2-x2)B、F(a2-x2)+C11C、F(a2-x2)+CD、-F(a2-x2)+C 22二、填空题复习题二1、设⎰f(x)dx=ex+sin2x+c，则f(x)=___________；2、曲线y=x-arctanx在区间__________上是凹的；-1x-1x3.若⎰f(x)edx=e+C，则f(x)4、若⎰f(x)dx=F(x)+C,则⎰sinxf(cosx)dx=5、⎰f'(x)-f(x)2dx=___________；6、f(x)在(-∞,+∞)连续，⎰f(x)dx=F(x)+C，则⎰f(ax+h)dx=三、计算题1.求⎰cosxdx2、已知f(x)的一个原函数为excosx，求⎰xf'(x)dx.x(ex+1)-2(ex-1)3.lim 3x→0(arcsinx)4、求函数y=2x+8的单调区间和极值.x四、解下列各题1、⎰xarctanx+x22、已知f(x)的一个原函数为exsinx，求⎰xf''(x)dx五、证明题1、设f(x)在[ 1 , 2]上有二阶导数，且f(1)=f(2)=0，又F(x)=(x-1)2f(x)证明：至少存在一点ξ∈(1 , 2)，使F''(ξ)=0.2、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0求证：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=0；第二篇：天津理工大学高等数学I期末复习题《高等数学 AI》模拟复习题（四）一、选择题1、方程z=(x2+y2)表示的曲面方程是（）A、旋转锥面；2.直线B、双曲抛物面；C、旋转抛物面；D、椭圆柱面.x+3y+4z==与平面4x-2y-2z=3的关系是()-2-7312A、平行，但直线不在平面上；B、直线在平面上；C、垂直相交；D、相交但不垂直.二、填空题1.设有点A（1，3，1），B（1，1，2）和C（2，3，5），则AB⋅AC=.2.若直线⎨⎧2x+3y-z+D=0与x轴有交点，则D=.2x-2y+2z-6=0⎩3、平面x+y=0是().A、与oz轴垂直的平面；B、与xoy平面平行的平面；C、通过oz轴的平面；D、不是前三种平面.三、计算题1.过点M(1,-2,3)作平面，使它与两平面π1:x+y-z-3=0和π2:2x+y+z-1=0都垂直.2、求过直线⎨⎧3x+2y-z-1=0且垂直于已知平面x+2y+3z-5=0的平面方程.⎩2x-3y+2z+2=0复习题四第三篇：高等数学极限复习题高等数学复习资料二川汽院专升本极限复习题一极限计算二两个重要极限三用无穷小量和等价第四篇：天津理工大学文件天津理工大学文件津理工人事…2005‟26号关于印发《天津理工大学福利费管理办法》的通知各学院、机关各处室、各直属单位：《天津理工大学福利费管理办法》已经2005年12月8 日第23 次校长办公会审议通过，现印发执行。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
12高数A期末一真题与答案
淮 海 工 学 院11 - 12 学年 第 2 学期 高等数学A(2)试卷(A 闭卷)答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．设向量(1,0,2)a =，(0,1,2)b =，则a b ⨯= --------------------------------------（C ）（A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）42．2(,)()yf x y x x y =+，则(,0)xx f x=----------------------------------------------------（B ）（A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x23. sin cos u y x z =+-在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大-------（A ） （A ）(0,1,1)-（B ）(1,0,1)- （C ）(1,0,1)-（D ）)1,0,1( 4．二次积分x d y x f dy ee y⎰⎰10),(的另一种积分次序为-----------------------（C ）（A ）1ln 0(,)x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）10(,)x e dx f x y dy ⎰⎰（C ）⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),( （D ）1(,)xe e dxf x y dy ⎰⎰5．2252(51)(1)x y x y ds +=++=⎰-----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）6．设n u =，则级数-------------------------------------------------------------------（C ）（A ）11nn n u ∞∞==∑与（B ）∑∞=1n nu与1n ∞=都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而1n ∞= （D ）∑∞=1n n u 发散，而1n ∞=7．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为2,0(),0x x f x x x πππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(7)S π=------（B ） （A ）2π- （B ）22π- （C ）22π （D ）2π8．微分方程28xy y y e -'''++=的一个特解可设为--------------------------------------（D ） （A ）xae- （B ）x axe - （C ）()x ax b e -+ （D ）2xax e -二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1． 设(,)z f xy x y =+，其中(,)f u v 可微，且0,u f ≠求1()x y uz z f -. 解：x u v z yf f =+------------------------------------------------------------------------------------2y u v z xf f =+-----------------------------------------------------------------------------------2则1()x y uz z y x f -=-.---------------------------------------------------------------------3 2．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,06D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式12360(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212320(1)(1)12r d r π-=++⎰32π=.---------------------------------33．设空间闭区域Ω{}22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰． 解: 2,2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1原式=()P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z ∑Ω∂∂∂++=-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰--------------2 dv Ω=-⎰⎰⎰3π=-．--------------------------------------------------------------------3 4．求411x y y e x x '+=的通解. 解： 1141[]'dx dx x x xye e e x ⎰⎰=-----------------------------------------------------------------------2则4[]'xxy e =-----------------------------------------------------------------------------------2有414xxy e C =+，---------------------------------------------------------------------------2故41()xy e C x=+.--------------------------------------------------------------------------1三、计算题（8分）和建制造，乐在共享。
高等数学A1期末考试试卷.
天津理工大学考试试卷2009～2010学年度第一学期《高等数学 AI》期末考试试卷课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A 命题日期： 2009年 12月 1日答题时限： 120 分钟考试形式：闭卷、笔试得分统计表：大题号总分一二三四五核查人签名阅卷教师一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）得分1、设在的某邻域内有定义，且，则在（）A、有极大值；B、有极小值；C、无极值；D、不能判定是否取得极值.2、设，则在内，是(A、有界函数；B、单调函数；C、周期函数；D、偶函数.3、由两条曲线和所围成的图形的面积为（）A、 B、 C、 D、4、设函数在上连续可导，且，则当时（）A. ；B. ；C. ；D. .5、设，则在区间内适合(A、只有一个；B、不存在；C、有三个；D、有两个.6、设空间曲面与yoz面相截，截线的方程为(A、；B、；C、；D、.7、下列反常积分收敛的是（）A、；B、；C、；D、；8. 若，则为(A、；B、；C、；D、.9、若则（）A、；B、；C、；D、.10、直线与平面的关系是(A、平行，但直线不在平面上；B、直线在平面上；C、垂直相交；D、相交但不垂直.二、填空题（每空3分，共30分）得分1、，且，则；2、；3、设连续，且=；4、；5、由定积分的几何意义知；6、由曲线及直线所围成图形的面积是；7、设，则；8、设有点A（2 ，3，1），B（1，，2）和C（1，4，2），且，则= ；9、若在内连续，则;10、函数的极小值是.三、计算题（每小题7分，共28分）1、已知函数由方程确定，求.2、已知，求.3、求由曲线及所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积.4、求.四、解下列各题（每小题8分，共16分）得分1、已知的一个原函数为，求.2、求过点,且与直线垂直的平面方程.五、证明题（本题6分）得分设在上连续，在内可导，且，，证明，使.。
高数练习题答案(天津理工大学)
同步训练1-1题解（基本题）一、填空题1、],0[],4(ππ⋃--；2、21x +.二、选择题 1、C ；2、A.三、计算题1、1||110[()]0||1001||110x x x e x f g x e x e x ⎧<-∞<<⎧⎪⎪====⎨⎨⎪⎪->-<<+∞⎩⎩， ()1||1[()]1||1||1f x e x g f x e x e x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩. 2、111()()111x x x x x x a a a f x x x x f x a a a ------=-=-==+++，()f x ∴在(,)-∞+∞是偶函数.同步训练1-2题解（基本题）一、填空题1、略；2、n 从[]125aε+开始； 二、选择题1、A,B ；2、B.三、1、0ε∀>，绝对值不等式226|1|5n n n ε++-<+，22226122|1|55n n n n n n n n +++-=<=++， 只须22,n n εε<>，取正整数2[]N ε=，则当n N >时，226|1|5n n n ε++-<+，证毕.2、n x Q 有界，∴存在0M >，对一切n ，||n x M <，又lim 0,0n n y ε→∞=∀>， 对Mε存在正整数N ，当n N >时恒成立，|||0|n n y y M ε=-<，||||||n n n n x y x y M Mεε∴⋅=⋅<⋅=，证毕.同步训练1-3题解（基本题）一、填空题1、略；2、充分必要；3、1,1-,不存在.二、选择题 1、A ； 2、B,A,D ； 3、C.三、1、0ε∀>为使11|sin 0|,|sin |||x x x x x ε-<<，只须|0|||x x ε-=<，取δε=，则当0|0|x δ<-<时，恒成立1|sin 0|x x ε-<，01lim sin 0x x x→∴=.2、0ε∀>，为使|ε<，|=<<Q ，∴ε<，21x ε>，取21X ε=，则当x X >恒成立|ε<，0x →+∞∴=.3. 0ε∀>，为使24|(4)|2x x ε---<+，24|4||24||2|2x x x x -+=-+=++Q ， 只须|(2)||2|x x ε--=+<，取δε=，则当0|(2)|x δ<--<时恒成立24|(4)|2x x ε---<+，224lim 42x x x →--∴=-+.同步训练1-4题解（基本题）一、填空题1、0；2、无穷小乘有界变量是无穷小；3、略；4、,0x k k z π→≠∈；5、A.二、选择题1、A ；2、D.同步训练1-5题解（基本题）1、原式＝32232(3)27lim 34(2)x x x→∞+=+； 2、原式＝11()22112n-=-； 3、原式＝1lim(1)11n n →∞-=+； 4、原式＝1x →=；5、原式＝1lim2x =； 6、由题设知21lim 0x x ax b →++=，即10,1a b b a ++==--，代入原式2111lim lim(1)251x x x ax ax a a x →→+--=++=+=-，3,4a b ∴==-.同步训练1-6题解（基本题）一、填空题1、13；2、12-；3、3；4、1-.二、选择题1、D ；2、A.三、1、原式＝221332122lim{[1]}21x xx x e x +-⋅--+→∞-+=+；2、原式30sin (1cos )1limcos 2x x x x x →-==；3、原式＝13tan cot 3tan 0lim[(13tan )]x xx x x ⋅→+3e =；4、33,3n <∴=；5、222222111()121n n n n n n n n n n <+++<+++++L ； 2222lim lim 11n n n n n n n →∞→∞==++Q ，∴原式＝1；6、原式＝1sin lim11x x x =.同步训练1-7题解（基本题）一、选择题1、B ；2、D.二、1、原式＝000lim lim 1n n m m x x n mx x n m x n m -→→>⎧⎪===⎨⎪∞>⎩；2、原式＝330lim 1x x x →=；3、原式＝220sin lim 1x xx →-=-.同步训练1-8, 1-9题解（基本题）一、填空题1、(,0)(0,)-∞+∞U ；2、9；3、(,2)(2,3)(3),2x -∞--+∞=-U U .二、选择题 1、A ；2、B.三、22||11()lim0||11||1nnn x x x f x x x x x x →∞<⎧-⎪===⎨+⎪->⎩，()f x 在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U 连续， 1x =±为跳跃间断点.四、1、原式＝2x →=；2、原式＝2sincos 22limcos 22x ax a x aa x a →-+⋅=-； 3、lim lim1x x →+∞==；4、原式631336223lim[(1)]6x x x x e x +---⋅-+→∞=-=+.同步训练1-10题解（基本题）一、1、原式2ln 300022()1ln 1233lim3lim limln 3x x x x x x x e x x x →→→--====. 2、原式3sin (1cos )cos x x x x x→-==2001sin 1cos limlim cos x x x x x x x →→-=⋅=二、设()21x f x x =-在[0,1]连续，(0)10,(1)2110f f =-<=-=>，由函数取零值定理，至少存在(0,1)ξ∈，使()0f ξ'=，即210ξξ-=， 即至少有(0,1)ξ∈，使x ξ=是方程21x x =的根.三、设()()F x f x x =-在[,]a b 连续，()()0,()()0F a f a a F b f b b =-<=->，由函数取零值定理在(,)a b 内至少存在ξ，使()0F ξ=，即()f ξξ=.四、()f x Q 在0(,)x a b ⊂连续，0()0f x A =>，00lim ()()x xf x f x A →∴==， 对102A ε=>存在0δ>，使当0||x x δ-<时， 即存在0x 的邻域0(,)(,)x a b δ⊂U 内，使11|()|,()222A f x A A A A f x A -<-<<+，即有1()2f x A >. 同步训练第一章检测题题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、15；3、2611x x ++；4、e.二、选择题1、C ；2、C ；3、B ；4、B. 三、1、原式111lim(1)2212n n →∞=-=+.2<L1n n ==，∴原式＝1.3、原式2cos (cos 1)2limlimcot ln cos sin 0lim 1x x x x x x x x xx e e e →→--→====.四、间断点0,1x x ==，1(00)0,(00),0f f e x --=+=∴=Q 是跳跃间断点，(10)0,(10),1f f x -=+=+∞∴=Q 是无穷间断点.五、lim ()1,0,1x f x a b →∞=∴==Q ，又221lim 02x x cx dx x →++=+-， 21lim0,1,1x x cx d c d d c →∴++=∴+=-=--， 2111(1)(1)(1)lim 0lim 0(2)(1)(2)(1)x x x cx c x x c x x x x x →→+--+-+-⇒=⇒=+-+-， 即0(1)(1)1lim(2)0,2,1(2)(1)3x x x c c c d x x →-++=+==-=+-，即当0,1,2,1a b c d ===-=时，lim ()1x f x →∞=，即1lim ()0x f x →=.六、任取x 及[,]x x a b +∆∈，由题设00|()()|||0x f x x f x L x ∆→≤+∆-≤∆−−−→，lim ()()x f x x f x ∆→∴+∆=，即()f x 在[,]x a b ∈连续，由x 的任意性知()f x 在[,]a b 内连续，又()()0f a f b ⋅<，()f a ∴与()f b 异号，由函数取零值定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=.同步训练2-1题解（基本题）一、填空题1、04()f x '；2、必要，充分；3、!,(1)!n n --.二、选择题1、C ；2、B.三、1、为使()f x 在1x =连续，由(10)(10)(1)1f f f a b -=+=⇒+=， 为使()f x 在1x =可导，由(1)(1)f f -+''=， 计算211()(1)1(1)lim lim 211x x f x f x f x x ---→→--'===--，111()(1)1(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b ax af a x x x ++++→→→-+--'====---， 2,1a b ∴==-，即21()211x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩在1x =连续可导.2、11||x e x e y x e =='==，切线方程1()1y x e e =-+，即xy e=. 3、22()()()()()lim lim lim()()2()x a x a x a f x f a x a g x f a x a g x ag a x a x a→→→--'===+=--.同步训练2-2题解（基本题）1、12arcsin 222xx y '==. 2、12ln y x x '=⋅=3、1ln ln ln y x x x'=.4、22222111111tan cos33sin3tan (cos33sin3)22x x xy e x e x e x x x x x x '=++⋅-=+-.5. arcsin 2xy '=+arcsin 2x =arcsin 2x =.6、222(cos )(cos )2cos sin (cos )sin 2df x f x x xg x x dx'=-⋅=⋅. 7、2222(sin )sin 2(cos )(sin 2)sin 2[(sin )(cos )]dyf x x f x x x f x f x dx''''=⋅+-=-.同步训练2-3题解（基本题）一、1、y '=23/2(1)x y x -''==+.2、22()1,{()()[()]}()[()]f x y y f x f x f x f x f x '''''''==-. 3、()()n x y n x e =+ 4、设2sin ,u x v x ==，(100)(100)1(99)2(98)100100y u v c u v c u v '''=⋅++2100991009998sin()1002sin()2sin()2222x x x x x πππ⋅=++⋅+++ 23sin 200sin()9900sin()2x x x x x ππ=+⋅++⋅+2sin 200cos 9900sin x x x x x =--.同步训练2-4题解（基本题）一、填空题1、12；2、33(1),24(1)t t +-.二、选择题1、D ；2、C.三、1、2223320,3(1)ay y y a y y '''-+==-,2222323222483(1)33(1)9(1)a y y a ay a yy y y y '⋅''===---.2、当0x =时y e =, 2110y xy y x e y''+++=+， 将0,x y e ==代入2110e y e e '++=得21(0)()y e e'=-+.3、122ln 1(ln 1)()x x x y x x x x x '=++-+. 4、22cos sin cos 1,csc sin sin dy t t t t d y t t dx t dx t--====---.5、1ln [ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)]3y x x x x =+++-+--11111[]31234y y x x x x'=+-++++-111]234y x x x '--++-.同步训练2-5题解（基本题）一、填空题1、c ；2、cos sin ln x x x x -. 二、选择题1、A ；2、A.三、1、[2[(2)](2)3[(3)](3)]dy f x x f x f x dx ϕϕϕ''''=+；2、[(1ln )cos sin ]x x dy x x x x x dx =+-；3、sin (1)sin()()0,sin x y x yx y e y xyey xy y xy dy dx e x xy++++''+++==-+.同步训练第二章检测题题解（基本题）一、填空题1、sin cos x x -；2、2(())[()()][()][2()()]f x x x x x f x x x x x ϕϕϕϕϕϕ'''''''+++；3、2cos sin x x x-+；4、1x =.二、选择题1、B ；2、C ；3、B ；4、C.三、1、sin cos tan cos |cos |x x x x xe x y e e e ex -'=⋅=-. 2、ln ln ,ln ln x yx y y x y y y x y x''=+=+,(ln )ln x y x y y y x '-=-，ln (ln )(ln )ln yyy y x y x y x x x y x x y--'==--. 3、2()2()()()(),()0f x x a x x a x f a ϕϕ'''=---=,2()()2()()()()()limlim 2'()x ax a f x f a x a x x a x f a a x a x aϕϕϕ→→'''----''===--. 4、21ln [ln 3ln(1)3ln(1)]2y x x x =+--+236]11xy x x '=--+. 四、22()0x x f x xx ⎧≥=⎨-<⎩，当0x <时，()2f x x '=-，当0x >时，()2f x x '=， 当0x =时，200()(0)(0)lim lim 00x x f x f x f x x---→→--'===-，20(0)lim 0x x f x ++→'==，(0)(0)0f f -+''==，(0)0f '∴=，总之20()20x x f x x x ≥⎧'=⎨-<⎩. 五、1°(0,1]α∈时，当x a →时，()x a α-是无穷小1|sin |1x a≤-， 1lim ()lim()sin0()x ax af x x a f a x aα→→∴=-==-， ()f x ∴在x a =连续，但1()()1()lim lim()sinx ax a f x f a f a x a x a x αα-→→-'==---不存在. ()f x ∴在x a =不可导.2°(1,2]α∈，显然()f x 在x a =连续，又()()()limx af x f a f a x a →-'=-11lim()sin 0x a x a x aα-→=-=-， ()f x ∴在x a =可导，且()0f a '=， 此时1211()()sin()cos (0)f x x a x a x x a x aααα--'=---≠--， 当12α<≤时，lim ()x af x →'不存在，()f x '∴在x a =不连续.3°当[2,)α∈+∞时，lim ()0()x af x f a →''==，()f x '∴在x a =连续.六、()f x Q 以T 为周期，()()f x T f x ∴+=，00()()()()()limlim ()x x f x T x f x T f x x f x f x T f x x x∆→∆→++∆-++∆-''+===∆∆，()f x '∴是以T 为周期的周期函数.同步训练3-1题解（基本题）一、填空题1、2π； 2、3. 二、选择题 1、D ；2、C.三、1、设231120()23n n a a a F x a x x x x n-=++++L ， ()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)(1)0F F ==， ∴至少存在一点(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，即2101210n n a a x a x a x --++++=L 在(0,1)内至少有一根.2、()f x Q 在(,)a b 二阶可导，()f x ∴在1223[,],[,]x x x x 连续，在1223(,),(,)x x x x 内可导， 123()()()0f x f x f x ===，由罗尔定理在12(,)x x 及23(,)x x 内分别至少存在12,ξξ， 使12()()0f f ξξ''==，由题设()f x '在12[,]ξξ连续，在12(,)ξξ可导，12()()f f ξξ''=， ∴至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂，使()0f ξ''=.3、设()ln f x x =，它在[,]b a 连续在(,)b a 可导，由拉格朗日定理至少存在(,)b a ξ∈， 使1ln ln (),ln ln 3a b a ba b a b b a a b a bξ---=-<<⇒<-<. 4、分析：欲证()()0f kf ξξξ'+=，即1()()0k k f k f ξξξξ-'+=，即[()]|0k x x f x ξ='=， 从而可引入辅助函数()()k F x x f x =，证：设()()k F x x f x =在[,]a b 连续在(,)a b 可导，()()0,()()0k k F a a f a F b b f b ====， 由罗尔定理至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=， 即1()()0()()0k k f k f f kf ξξξξξξξ-''+=⇒+=.同步训练3-2题解（基本题）一、填空题1、1；2、0. 二、选择题1、B ；2、C.三、1、原式20011lim lim 366x x x x x xe e xe x x →→+-===；2、原式22cos3cos 3sin3sin limlimtan 22tan 2sec 22x x x x x xxx x ππ→→--+==⋅⋅ 213sin3sin 19cos3cos lim lim4tan242sec 2x x x x x x x xππ→→-+-+==191142-==；3、原式00ln 1limlimln(1)x xxx x xe exe e e e →→--===；4、原式33330000tan sin tan sin sin (1cos )12limlim lim lim tan sin cos 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→⋅---=====. 四、原式00()11()(0)1limlim (0)1222x x f x f x f f x x →→'''--''====. 同步训练3-3题解（基本题）一、填空题1、234561(01)2!3!4!5!6!x xx x x x e e x xθθ=++++++<<；2、341sin 1sin (01)3!4!x x xx θθ=-+<<.二、原式2232330[10()1]2[0()]2!2!3!lim x x x x x x x x x x→++++-+++= 3323233010()20()2!3lim x x x x x x x x x x x→+++++----= 33300()16lim 6x x x x →+== 三、()(),()(1),,()()x x n x f x xe f x x e f x x n e '==+=+L ,(0)0,(0)1,f f '==()(0)2,,(0)n f f n ''==L .()(1)21(0)(0)()()(0)(0)2!!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''∴=++++++L2311(1)2!(1)!(1)!n x n x x n x x x e x n n θθ+++=+++++-+L(01)θ<<.同步训练3-4题解（基本题）一、填空题1、(0,)(,0)+∞↑-∞↓；2、1230,1,1x x x ==-=. 二、选择题1、A ；2、C ；3、B.三、()(2)(1)x f x e x x -'=-+-，令()0f x '=得驻点2,1x x =-=，列表(,2)-∞-， 2-， (2,1)-， 1， (1)+∞()f x ' - 0 + 0 - ()f x ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓(2)f - (1)f 极小值22(2)(461)0f e e +-=-++=， 极大值1212(1)(131)5f e e e e --=+++=+四、设2()sin 12xx f x e x -=+--，()cos x f x e x x -'=-+-，()(1sin )0,(0,)x f x e x x π-''=-+<∈，()f x '∴单调减少，又(0)0f '=， ∴当0x π<<时，()(0)0f x f ''<=， ∴当0x π<<时，()f x 单调减少，又(0)0f =， ∴当0x π<<时，()(0)0f x f <=，即2sin 12xx e x -+<+.五、由322(),()32f x x ax bx f x x ax b '=++=++(1)123(1)32023f a b a b f a b a b =++=-+=-⎧⎧⇒⇒⎨⎨'=++=+=-⎩⎩0,3a b ⇒==-同步训练3-5题解（基本题）一、填空题1、52055(,),[,),(,)32733+∞-∞；2、13()28f =.二、选择题 1、C ； 2、B.三、1、322,32,62y ax bx y ax bx y ax b '''=+=+=+，(1,3)Q 是曲线32y ax bx =+的拐点，3,620a b a b ∴=++=，39,22a b ⇒=-=.2、设底面三角形边长为x ，柱体高为h ，则2V h =，于是h =，表面积22(0)S x x =+=>，由34)0dS x V dx =-=得唯一驻点x =，又2234)0d S Vdx x+>，故当x =时表面积最小. 3、横断面面积2122S r rh π=+，得24S h r r π=-，断面周长()22()024S f r r r r r r ππ=++-<≤，2()22Sf r r π'=+-，令()0f r '=得唯一驻点24Sr π=+， 且32()0Sf r r ''=>，∴当24Sr π=+时()f r 最小， 此时24Sh π=+，故当r h =时，建沟所用材料最省.同步训练3-6题解（基本题）一、1、14,4；2、0；3、水平，2y π=-.二、经讨论：0y =是水平渐近线.同步训练第三章检测题（基本题）一、填空题1、(1,)+∞；2、1；3、(,)-∞+∞；4、()af a '.二、选择题1、D ；2、C ；3、D ；4、D.三、1、原式500lim 0t t t e →+∞==（令21t x=）；2、原式232000cos sin cos sin cos sin cos 1limlim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-====； 3、原式22ln[1(1cos3)]1cos33sin 39limlimlimln(1)22x x x x x xx xx e eee →→→+--+====；4、原式112(ln 2ln(1))11lim2lim()11x x x x x x x x eee →→-+--+===.四、2ln ,2ln ,2ln 21y x x y x x x y x '''==+=++, 令2ln 30y x ''=+=得323ln ,2x x e -=-=，当32,0x e y -''>>，凹区间32(,)e -+∞，当320,0x e y -''<<<凸区间32(0,)e -， 拐点是3323(,)2e e ---五、设()(1)()x F x e f x =-在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)(1)(1)0F F e f ==-=，o x1 2 -1由罗尔定理，至少存在一点(0,1)ξ∈使()0F ξ'=，即()(1)()0f e f ξξξ-'+-=.同步训练4-1题解（基本题）一、填空题 1、22sin con x x x x +； 2、2()f x x x c =-+； 3、2323x c +.二、选择题 1、B ； 2、D ； 3、D.三、计算题1、C x e x dx x e x xdx x e x x x x x ++--=+-=+----⎰⎰||ln 32)()(23125323； 2、222222222121111()arctan (1)(1)1x x x dx dx dx x C x x x x x x x+++==+=-+++++⎰⎰⎰； 3、C e dx e dx e x x x x x ++==⎰⎰313ln 1)3(3； 4、C x x dx x dx x +-=-=⎰⎰sin )cos 1(2sin 22；5、C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22. 同步训练4-2题解（基本题）一、填空题 1、arcsin ()f x c +； 2、arctan ()f x c +. 二、选择题1、D ；2、D.三、计算下列各题1、原式＝2C =-⎰； 2、原式＝444313(1)ln |1|414d x x C x --=--+-⎰； 3、原式＝11112()ln ||32131x dx C x x x --=+-++⎰；4、原式＝1313()arcsin 33C x x-=-+； 5、C ==；6、⎰⎰⎰--=-=x d x x xdx x x xdx x cos )cos (cos sin cos )cos 1(cos sin 755253C x x ++-=8cos 6cos 86；7、C x tg tgx dtgx x tg xdtgx xdx ++=+==⎰⎰⎰322431)1(sec sec .四、计算下列各题1. 2(0)a > 解：令sin ()22x a t t ππ=-<<，原式＝222sin cos (1cos 2)cos 2a ta t a dt t dt a t =-⎰⎰22(sin cos )arcsin 22a a x t t t c c a =-+=. 2、222cos sin sin sec sin sin dt tdt d tt t t t===⎰⎰⎰ C xx C t ++-=+-=21sin 1.3、21sec tan 1cos 9sec tan 9t t dt tdt t t ==⎰⎰1sin 9t C C =+=. 同步训练4-3题解（基本题）一、选择题 1、C2、B二、填空题1．⎰+-'=''c x f x f x dx x f x )()()( 2.c x x x f +-=)1(ln 2)( 三、计算题1、()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C -------=-=-+=--+=-++⎰⎰⎰；2、⎰⎰---=-)11ln()11ln()11ln(xd x xx dx xC x xx x dx xx +---=---=⎰|1|ln )11ln(1)11ln(；3、C x x dx xx x x d x x x x xd dx xx +-=-=-==⎰⎰⎰⎰)2(ln 2)1ln (2)ln ln (2ln 2ln ；4、令udu dx u x u x 2,,2===,⎰⎰⎰⎰-===)sin sin (2sin 2cos 2cosudu u u u ud udu u dx xc x x x c u u u ++=++=)cos sin (2)cos sin (2.四、22()()()()(tan )tan sec 2222x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x x x C C ''==-=-+=+⎰⎰⎰五、⎰⎰⎰-----+=-==xdx x n n x nx x x xdx x n x x x d x I n n n n n n n cos )1(cos sin sin sin )(sin 21121)1(cos sin ----+=n n n n I n n x nx x x I ⎰-+==3455520cos 5sin cos I x x x x xdx x IC x x x x x x x ++-++-=cos )120605(sin )12020(2435同步训练4-4题解（基本题）一、 选择题1、C2、D二、 填空题1、211A B Cx Dx x x x ++++++； 2、2ln |310|x x C +-+； 3、ln |1sin |x C ++.三、计算题1、⎰⎰⎰⎰++-++++=++-+=+++134134)134(2113424221134122222x x dxx x x x d dx x x x dx x x x C x arctg x x x x d x x ++-++=+++-++=⎰)32(31134ln 219)2()2(|134|ln 21222； 2、21111()(ln |1|ln |2|)23123dx dx x x C x x x x =-=--+++--+⎰⎰11ln ||32x C x -=++； 3、解：令tan 2x t =，则221cos 1t x t -=+，221dtdx t=+，22222222113cos 3(1)(1)231dt dx dt dt t c t x t t t t+====-+++-+++⎰⎰⎰⎰；4、⎰⎰⎰+-+=+=+22325631)11(6)1(6)1(t dt t t t dt t t x xx dx =+-=C arctgt t )(6C x arctg x +-)(666.同步训练第4章检测题题解（基本题）一、1、C ；2、C ；3、C ；4、D.二、1、C x ++234)1(61；2、C x arctg +-cos .三、1、原式=C x xx d dx xx ++=++=+⎰⎰|22sin |ln 2sin 2)22(sin 2sin 22cos 2 2、令221x t +=，原式⎰=+-=-=C t t dt t t 35)1(3522C x x ++-+232252)1(31)1(513、原式=⎰⎰=+--=++2)1()1(1112222x x x x d dx xx x C x x arctg +-2121 4、原式⎰⎰⎰+++-=++=++=------1)1()1(1)1(22222x x x x x x xe e d e dx e e e e dx C e e x x +++++-=--]1)1(1ln[25、由212)11ln(xx x -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+知原式⎰=-+-+=)11ln()11ln(21x x d x x C x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+2)11ln(41 6、令t x cos =，原式=⎰⎰⎰-==-tdt t t t td ttdt ctg ctg ctg sin 2C x x xx c t t t +---=+-=221ln arccos 1|sin |ln ctg 7、令arcsin t x =，则sin ,cos ,cos t x t dx tdt ==，原式＝22111cos (1cos 2)cos 2242t tdt t t dt t t tdt =+=+⎰⎰⎰22111(arcsin )424x x x C =+-+. 四、C x x x x x dx x f x xf x xdf dx x xf ++-+=-==⎰⎰⎰ln )sin 1(]'ln )sin 1[()()()()('C x x x x x +-++=)ln 1)(sin 1(ln cos五、⎰+-=-=-='=-=='c u u du u u f u u f x u x x x f 2222)21()(,21)(,sin ,sin 212cos )(sin 则令故c x x x f +-=2)(，代入(0)0f =，得0c =，则2()f x x x =-. 六、()(sin )(sin )cos f x x c x x ''=+==Q ，()()()(cos )cos()2n n n f x x x π∴==+ ()()cos()sin()22n n n f x dx x dx x c ππ∴=+=++⎰⎰同步训练5-1题解（基本题）一、填空题1、必要、充分；2、10ln ()f x dx ⎰3、是介于x 轴，ππ-==x x ,及x x f sin )(=围成的两块面积大小相同(符号相反)的两部分的代数和.二、选择题 1、A ；2、C ；3、C.三、1、x x f 2cos 1)(+=Θ在]45,4[ππ上连续，]45,4[,2)(max ,1)(min ππ∈==x x f x f ，2cos 112≤+≤∴x ，524455()(1cos )2()4444x dx ππππππ-≤+≤-⎰，即5244(1cos )2x dx ππππ≤+≤⎰2、设()()F x xf x =，1201()2()2f xf x dx =⎰Q ，又由积分中值定理，11(0,)2ξ∃∈，使12110()()xf x dx f ξξ=⎰，11111()()()22F f f ξξξ∴==，由罗尔定理，11(,)2ξξ∃∈， 使()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=.同步训练5-2题解（基本题）一、填空题 1、yex cos ； 2、⎰-04222sin 2sin x x x dt t ；3、3x <.二、选择题1、A ；2、B.三、1、证：2)()()()()('a x dtt f x f a x x F x a---=⎰，令()()()()xa G x x a f x f t dt =--⎰，b x a x f a x x G a G ≤≤≤-==0)(')()(',0)(，由0)('≤x G 知)(x G 单调下降，因此0)(≤x G ，从而0)('≤x F .2、222000|sin ||sin ||sin |sin (sin )x dx x dx x dx xdx x dx πππππππ=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰4)(cos )cos (2=+-=0πππx x3、22()22x f x x x +'=++，当[0,1]x ∈时()0f x '>，即()f x 在[0,1]上单调增加，最小值(0)0f =，最大值211122200021(22)(1)(1)22222(1)1t d t t d t f dt t t t t t ++++==+++++++⎰⎰⎰15ln arctan 2224π=+-4、原式＝22011lim 33x x e x →-=同步训练5-3题解（基本题）一、填空题 1、0 ； 2、23；3、1.二、选择题1、B ；2、B.三、1、令t a x sin =，则tdt a dx cos =，当2,00π====t a x t x 时当时⎰-a dx x a x0222⎰⋅=2022cos cos sin πtdt a t ta a ⎰=⋅⋅⋅⋅=-=204422416)22143221()sin 1(sinππππa a dt t t a2、00022222(1)|221(1)dx dxarctg x x x x ---==+++++⎰⎰arctg1arctg(1)442πππ=--=+= 3、000|cos |x dx ππ==⎰⎰220022cos (cos )|sin |xdx x dx x x ππππππ=-=-=4、方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-+≥≥-=--时即当时即当101111011)1(1x x e x x xx f x⎰⎰⎰-+++=--2010211)1(11)1(x dx e dx dx x f x ⎰⎰++-=+-+-+=----10211011112ln |)1ln(1)1(11x x x x e x dx x d e e e )1ln(2ln )]1ln(2[ln 11e e +=++--=-方法二：令1-=x t ，则11≤≤-t ，dt dx =⎰⎰⎰--+==-21111)()1(t e dt dt t f dx x f ⎰++101t dt⎰--+=++-=+++-+=01110)1ln(2ln |])1[ln(1|)1ln(11e e t dt e e e t tt t 同步训练5-4题解（基本题）一、填空题 1、2π；2、21π+.二、选择题 1、A ；2、B.三、1、原式⎰=--=-=---=434302232)2(6|)12arcsin()21()21()21(πππx x x d 方法二：原式⎰==-=434332|arcsin 212πx xx d 2、原式000ln(1)|ln 211xx x xdx e dx e e e+∞+∞-+∞--===-+=++⎰⎰ 3、102211arctan 11111arctan |()ln |ln 2142142x t dx x dx x x x x t ππ+∞+∞+∞+∞=-+⋅=+=+++⎰⎰ 4、令ln u x =，原式＝1P duu+∞⎰，由P253例3，当1P >时收敛，当1P ≤时发散.同步训练第五章检测题题解（基本题）一、填空题 1、0；2、31；3、)2,(),21,(--∞-∞；4、)3(6sin )(cos 2222x xf x x xf --.二、选择题1、A ；2、D.三、1、由积分中值定理12312(0)3()3()()(1)33f f x dx f f ξξξ==⋅⋅=≤≤⎰，由罗尔定理有(0,)(0,1)C ξ∈⊂，使()0f C '=.2、0lim ()lim sin 2(1)0(0)x x x f x e f ++→→=-=≠，()f x 在0x =处不连续，在0x ≠处均连续. 3、令x t =-1，于是21010110(1)()()()f t dt f x dx f x dx f x dx ---==+⎰⎰⎰⎰20122221011(1)1(1)12424xx e dx dx e e x ππ--=+=--+-=+-+⎰⎰ 4、原式03300(arcsin )arcsin limlim(1~,0)4xx x x t t dtx xe x x x x x→→--==-→⎰ 241241lim 1211lim 12111lim 20220220=-=--=--=→→→x x x xx x x x x x 5、证明：2002sin sin sin nn n xdx xdx xdx ππππ=+⎰⎰⎰，而⎰⎰⎰⎰==--2=2=-=222020sin sin ))((sin 0,,sin ππππππππππxdx tdt dt t t x t x xdx nn n n时当令 故sin sin sin 2sin nnnn xdx xdx xdx xdx ππππ2002=+=⎰⎰⎰.同步训练6-1,2（一）面积题解（基本题）一、填空题1、23a π2、462二、计算题1、解：面积33242242220024sin (cos )12sin cos 12sin (1sin )A a td a t a t tdt a t t dt πππ===-⎰⎰⎰2231531312()42264228a a πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=。
历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案
2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。
(整理)天津市l理工高等数学竞赛真题答案.
2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a()d af x x '表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,aS f x x =⎰2()(),S f b b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰x(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x x xϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t y t=解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--= 方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故0220d 2.de x y y x yy xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰a可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值. 九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222xy x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d DBAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰11(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==x z y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z =∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x yn z z=--=∑在xOy面上的投影区域为D, 在极坐标系下表示为:0,02.rθθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d()()d dx yz y z z x x x y z z z x x y∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰d dx x x y∑⎛⎫=---⎪⎪⎝⎭⎰⎰()200d2cos sin dr r rπθθθθ=-+⎰⎰2232cos sin d32πθθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W2d d2d dyz x z x y∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰222000sin2d d sin drr rrπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y=在心形线:1cosL rθ=+所围闭区域D上具有二阶连续偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un∂∂是(,)u x y沿L的外法向的方向导数, L取逆时针方向.(Ⅰ) 证明: d d d .L Lu u us x yn y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y yx y∂∂+=-+∂∂求dLusn∂∂⎰的值.(Ⅰ) 证由方向导数的定义d(cos sin)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于x轴正向的转角.设1α是L的切向量τ相对于x轴正向的转角, 则1,2παα=+或1.2παα=-故11d(sin cos)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d.Lu ux yy x∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解应用格林公式22222d ()d d(1)d dD DLu uus x y x y y x yn x y∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性x1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b +=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+=(4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得644220a a a --=, 故a = 从而2b ==由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当22a b ==时, 此椭圆的面积最小.。