正交试验设计方差分析
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实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
正交试验的方差分析法
C×D
B×D A×D
A
B A×B C A×C D A×D
C×D
B×D
B×C
A
B A×B C A×C D
E
D×E C×D C×E B×D B×E A×E A×B
B×C
(四) 列出试验方案
把正交表中安排原因旳各列(不包括欲考 察旳交互作用列)中旳每个数字依次换成该原 因旳实际水平，就得到一种正交试验方案。
上一张 下一张 主 页 退 出
此例不考察交互作用，可将品种(A)、 密度(B)和施氮量 (C)依次安排在L9(34)旳第1、 2、3列上，第4 列 为空列，见表2-4。
表11-4 表头设计
列号 1 2 3 4 因素 A B C 空
原因 数 2 3
4
L9（34）表头设计
列
号
1
2
3
4
A A B×C1
C 3 1(3) 2(5) 3(8) 2(5) 3(8) 1(3) 3(8) 1(3) 2(5)
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第二节 正交试验资料旳方差分析
若各号试验处理都只有一种观察值，则称 之为单个观察值正交试验；
若各号试验处理都有两个或两个以上观察 值，则称之为有反复观察值正交试验。
上一张 下一张 主 页 退 出
A原因是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平 ； B原因是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平 ； C原因是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一种3原因每个原因3水平旳试验 ，各原因旳 水平之间全部可能旳组合有27种。
上一张 下一张 主 页 退 出
假如进行全方面试验 ，能够分析各原因 旳效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合。
卫生统计学第八章正交试验方差分析
REPORTING
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
THANKS
感谢观看
REPORTINGΒιβλιοθήκη https://VS
正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
REPORTING
WENKU DESIGN
数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
WENKU DESIGN
正交试验设计定义与原理
正交试验设计定义
正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根 据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验， 这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点。
正交试验设计原理
正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种 设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分 析，了解全面试验的情况。
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正交表特点
每列中不同数字出现的次数相等；任意两 列中数字的排列方式齐全而且均衡。
正交试验设计步骤
挑因素，选水平
根据试验的目的和专业知识，挑选出与考察指标有关的因素。对选出的因素要分清主次，合理安排。 选取的水平数应根据实际情况而定，过少会导致结果不准确，过多则可能数据分布的规律性较差，代 表性差；
通过建立线性模型来描述各因素 与结果之间的关系，从而进行方 差分析和参数估计。
PART 03
正交试验方差分析步骤
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数据整理与描述性统计
整理试验数据
按照试验因素和水平整理数据，列出试验指标的观察值。
计算总均值和总变异
计算所有观察值的总和、均值、离差平方和等描述性统计量。
选正交表，进行表头设计
根据确定的列数（C）与水平数（t）选择相应的正交表。选择的原则是首先满足列数，其次是水平数。若 有2个或2个以上正交表满足条件时则应选取行数最少的一个；
正交试验设计步骤
明确试验方案，进行试验；
高级篇 第二章 正交试验设计及统计分析-方差分析
0.415
（2）显著性检验
根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表，结果见表10-24
变异来源
A B C△ 误差e 误差e△ 总和
平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03
自由度 2 2 2 2 4
表10-24 方差分析表
均方 F值
Fa
22.70 79.6 F0.05(2,4) =6.94
油温℃A 1 1 2 2 3 3 4 4
1.8 4.5 9.8 6.8 3.24 20.25 96.04 46.24
表10-27 试验方案及结果分析
含水量％B 油炸时间s C
1
1
空列 1
2Hale Waihona Puke 2211
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2 11.4
1 10.2
1 12.1
11.5
12.7
10.8
空列 1 2 2 1 2 1 1 2
3.24 11.4 F0.01(2,4)=18.0
0.16
0.41
0.285
显著水平 ** *
因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。 因素主次顺序A-B-C。
（3）优化工艺条件的确定
本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优 水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影
响，从经济角度考虑，选C1。优水平组合为A3B1C1。 即温度为58℃，pH值为6.5，加酶量为2.0%。
K2k2 SST＝QT CT
…
Kmk2 SSk
Q
＝
j
1 r
正交试验设计(方差分析)
子
A 罗拉加压 10×11×10 （原工艺） 11×12×10 13×14×13
B 后区牵伸 1.80 （原工艺） 1.67 1.50 6 8 10
C 后区隔距 （原工艺）
返回
首先要选择一个合适的正交表,选 L9 (34 ) 来制定试验 方案. 其次，将A、B、C三个因素随机地填在表的三列上， 如A、B、C依次放在1，2，3列，第4列为空列，这个过 程叫表头设计.
A1 1、 2、 3、 4、
A2 5、 6 7、
A3 8、 9
各水平所在的试 验号
各水平所在试验 号的试验数据
1.5、1.3、－0.2
2.6、1.4、－0.3
2.8、 0.4、 0
在因素A每个水平的三次试验中，因素B、C三个水平 都分别各出现一次，因此,可以理解为因素A有三个水平， 每个水平重复做三次试验，按照单因子方差分析:
第4 列 1 2 3
因素A第1 水平3次 试验结果yi 重复测定 y1 值 y2 y3
单因素 4 2 1 2 3 y4 5 2 2 3 1 y5 因素A第2 试验数 1 （y1 y2 ... y9 ） SS 6 ＝ （ y1 y22 y3 ） （y4 3y5 y6 ） （y7 y8 2y9 ） （修正项） 水平 3次重 1 y6 据资料 3 9 复测定值 7 1 3 1 3 2 y7 T 格式 ＝ （K K K ） 8 3 2 1 3 y8
，
，
同理可选出因素B和因素C的最好条件分别为B3、C1。 于是通过 “算一算”得到一个较优的水平组合A1 B3C1.称为 “算一算” 的好条件. 比较“直接看”的好条件A2B3C1与 “算一算”的好条 件A1 B3C1，除了因素A的水平不同外，其它两个因素所取 的好条件是一致的。又因为第一列的极差与误差列的极差 接近，认为因素A对条干不匀率的影响不显著,为方便操作 选取原工艺A1.最后确定最优工艺为A1B3C1.
5-2正交试验设计(方差分析)
衡量试验条件好坏的特性（可以是质量特性 也 可以是产量特性或其它）称为指标，用 y表示。 由于y是一个随机变量，因此可以假定它 有如下的结构式：y=μ+ε 其中μ是一个依赖于试验条件的常量，随 试验条件的变化而改变，ε是一个随机变量， 常假定它服从正态分布N（0,σ2）。
正交表
选择部分条件进行试验，再通过数据分析来 寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过 少量的试验获得较多的信息，达到试验的目 的：发现那些因子对试验结果确有影响，因 子的什么水平组合是最好的。
第五章 正交试验设计
一、试验设计的基本概念与正交表
多因素试验遇到的最大困难是试验次数太 多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素 取两个不同状态进行比较，有210=1024、 如 果每个因素取三个不同状态310=59049个不同 的试验条件
在多因素试验中，有人采用“单因素轮换 法”，但是这种方法不一定能找到好的条件 譬如：考察两个因子，先固定A在A1，发 现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好 的条件是A2B2。 B1 B2 B3 A1 50 56 62 A2 56 70 60 A3 54 60 58
利用正交表进行试验设计的方法就是正交试 验设计。
表 4 .1 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 列号 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
L 9 (3 ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
“L”表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试 验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排 的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同 数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。
二、无交互作用的正交设计与数据分析
正交表
选择部分条件进行试验，再通过数据分析来 寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过 少量的试验获得较多的信息，达到试验的目 的：发现那些因子对试验结果确有影响，因 子的什么水平组合是最好的。
第五章 正交试验设计
一、试验设计的基本概念与正交表
多因素试验遇到的最大困难是试验次数太 多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素 取两个不同状态进行比较，有210=1024、 如 果每个因素取三个不同状态310=59049个不同 的试验条件
在多因素试验中，有人采用“单因素轮换 法”，但是这种方法不一定能找到好的条件 譬如：考察两个因子，先固定A在A1，发 现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好 的条件是A2B2。 B1 B2 B3 A1 50 56 62 A2 56 70 60 A3 54 60 58
利用正交表进行试验设计的方法就是正交试 验设计。
表 4 .1 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 列号 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
L 9 (3 ) 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
“L”表示正交表，“9”是行数，在试验中表示试 验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排 的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同 数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。
二、无交互作用的正交设计与数据分析
正交设计与方差分析
适用范围
正交设计适用于多因素、多水平的试验安排，而方差分析 适用于检验数据间的差异和因素显著性。
04
正交设计与方差分析的实例
正交设计实例
实验设计
正交设计是一种实验设计方法， 通过选择合适的正交表，安排多 因素多水平的实验，以最小实验 次数获得尽可能多的信息。
特点
正交设计具有均衡分散、整齐可 比的特点，能够快速有效地找到 最优方案。
THANKS
感谢观看
复合正交设计
适用于多个因素，每个因素有多个水平的实验。
混合水平正交设计
适用于某些因素水平较多，而其他因素水平较少 的实验。
02
方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两 个或多个组之间的平均值差异是否显著。它通过分析数据 的变异来源，将总变异分解为组间变异和组内变异，从而 评估不同组之间的差异是否具有统计意义。
适用范围有限
正交设计主要适用于多因素、多水平的实验设计，对于其他类型 的实验可能不太适用。
对实验条件要求较高
正交设计要求实验条件相同，对于实验条件不易控制的情况可能不 太适用。
对实验结果分析要求较高
正交设计需要对实验结果进行复杂的统计分析，对于数据分析能力 要求较高。
正交设计与方差分析的发展趋势
多元化
正交设计与方差分析在未来的应用前景
科学研究
正交设计与方差分析在科学研究领域的应用将会越来越广泛，特别是在生物、化学、物理 等领域。
工业生产
工业生产中需要进行大量的实验研究和数据分析，正交设计与方差分析可以为工业生产提 供有效的实验设计和数据分析方法。
数据分析
正交设计与方差分析作为一种统计分析方法，在数据分析领域的应用将会越来越广泛。
正交设计适用于多因素、多水平的试验安排，而方差分析 适用于检验数据间的差异和因素显著性。
04
正交设计与方差分析的实例
正交设计实例
实验设计
正交设计是一种实验设计方法， 通过选择合适的正交表，安排多 因素多水平的实验，以最小实验 次数获得尽可能多的信息。
特点
正交设计具有均衡分散、整齐可 比的特点，能够快速有效地找到 最优方案。
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复合正交设计
适用于多个因素，每个因素有多个水平的实验。
混合水平正交设计
适用于某些因素水平较多，而其他因素水平较少 的实验。
02
方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两 个或多个组之间的平均值差异是否显著。它通过分析数据 的变异来源，将总变异分解为组间变异和组内变异，从而 评估不同组之间的差异是否具有统计意义。
适用范围有限
正交设计主要适用于多因素、多水平的实验设计，对于其他类型 的实验可能不太适用。
对实验条件要求较高
正交设计要求实验条件相同，对于实验条件不易控制的情况可能不 太适用。
对实验结果分析要求较高
正交设计需要对实验结果进行复杂的统计分析，对于数据分析能力 要求较高。
正交设计与方差分析的发展趋势
多元化
正交设计与方差分析在未来的应用前景
科学研究
正交设计与方差分析在科学研究领域的应用将会越来越广泛，特别是在生物、化学、物理 等领域。
工业生产
工业生产中需要进行大量的实验研究和数据分析，正交设计与方差分析可以为工业生产提 供有效的实验设计和数据分析方法。
数据分析
正交设计与方差分析作为一种统计分析方法，在数据分析领域的应用将会越来越广泛。
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和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。
上述推论可通过以下简单换算予以证明。
若令Xi=yi-C (i=1, 2, ……n)
则
X
1 n
n i1
xi
1 n
n i1
yi
C
X yC
n
n
n
于是 S (xi x)2 [(yi C) (y C)]2 (yi y)2
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。
方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。
显然，S越大，该组数据越分散；反之，S越小，说明该
组数据越集中。
2.平均偏差平方和与自由度
为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或
集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和)平
均偏差平方和的计算n方法是：将n个数(y1, y2, y3, ……yn)
例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。
在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中
只有(n-1)个可“自由”变动，所以，求平均偏差平
方和时除以(n-1)，数学上将这个(n-1)称为S的自由
度。
当实验所测得的n个数(y1, y2, y3, ……yn)数值较 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据yi(i=1, 2, 3……n)都减去同一个常数C，这并不影响偏差平方
n
则
S
( yi y)2
i 1
为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：
若令： 则
n
n
n
n
S yi2 2 yi y y2 yi2 ny2
i 1
i 1
i 1
i 1
n
G yi i 1
CT
G2 n
n
S yi2 CT i 1
列号 A
实验号
wH2SO4 (%)
K1
104.21
K2
116.12
K3
131.35
k1
34.78
k2
38.70
k3
43.78
R
9.05
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
的偏差平方和 S ( yi y)2 除以平方项的个数减1， i1
即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。
平均偏差平方和
S n1
为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这yn)之间并非彼此毫无关系，它们满
足的关系是：
y
1 n
n i 1
yi
i1
i1
i1
3. F比与F分布表
(1) F比
F比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误
差的平均偏差平方和的比值。即：
S因素
F = f因素
(2) F分布表及其查阅方法
比 S误差 f误差
为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的
改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的
4.因素的显著性判断 设因素A的F比为FA：
当FA >F0. 01 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有很显著的影响，记作**。
当FA >F0. 05 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有显著的影响，记作*。
当FA >F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有一定的影响，记作O。
三.正交试验设计的方差分析
现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平
如表1和表2所示。
水平 一
二
三
表1. 因素水平
因素
A wH2SO4 (%) 20
B mCuSO4·5H2O(g) 0.4
25
0.5
30
0.6
C mZn (g) 4
5
6
表2.实验方案及实验结果的直观分析
差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个 标准来衡量F比值，此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。
列号 实验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A wH2SO4 (%) 1 2 3 1 2 3 1 2 3
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
1
1
1
2
1
3
2
3
2
1
2
2
3
2
3
3
3
1
空白列
2 1 3 1 3 2 3 2 1
10min内H2的 产率
32.62 40.40 41.07 34.97 36.53 45.75 36.62 39.19 44.53
二.方差分析中的一些基本概念
1.偏差平方和
方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，
充分理解这一概念是至关重要的。
所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y1, y2,
y3……yn)与它们的算术平均数y之差的平方和。用符号
S来表示。即：
1
1n
y n ( y1 y2 ......yn ) n i1 yi
上述推论可通过以下简单换算予以证明。
若令Xi=yi-C (i=1, 2, ……n)
则
X
1 n
n i1
xi
1 n
n i1
yi
C
X yC
n
n
n
于是 S (xi x)2 [(yi C) (y C)]2 (yi y)2
为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。
方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。
偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。
显然，S越大，该组数据越分散；反之，S越小，说明该
组数据越集中。
2.平均偏差平方和与自由度
为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或
集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和)平
均偏差平方和的计算n方法是：将n个数(y1, y2, y3, ……yn)
例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。
在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。
即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中
只有(n-1)个可“自由”变动，所以，求平均偏差平
方和时除以(n-1)，数学上将这个(n-1)称为S的自由
度。
当实验所测得的n个数(y1, y2, y3, ……yn)数值较 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据yi(i=1, 2, 3……n)都减去同一个常数C，这并不影响偏差平方
n
则
S
( yi y)2
i 1
为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：
若令： 则
n
n
n
n
S yi2 2 yi y y2 yi2 ny2
i 1
i 1
i 1
i 1
n
G yi i 1
CT
G2 n
n
S yi2 CT i 1
列号 A
实验号
wH2SO4 (%)
K1
104.21
K2
116.12
K3
131.35
k1
34.78
k2
38.70
k3
43.78
R
9.05
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
的偏差平方和 S ( yi y)2 除以平方项的个数减1， i1
即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。
平均偏差平方和
S n1
为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这yn)之间并非彼此毫无关系，它们满
足的关系是：
y
1 n
n i 1
yi
i1
i1
i1
3. F比与F分布表
(1) F比
F比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误
差的平均偏差平方和的比值。即：
S因素
F = f因素
(2) F分布表及其查阅方法
比 S误差 f误差
为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的
改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的
4.因素的显著性判断 设因素A的F比为FA：
当FA >F0. 01 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有很显著的影响，记作**。
当FA >F0. 05 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有显著的影响，记作*。
当FA >F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有一定的影响，记作O。
三.正交试验设计的方差分析
现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平
如表1和表2所示。
水平 一
二
三
表1. 因素水平
因素
A wH2SO4 (%) 20
B mCuSO4·5H2O(g) 0.4
25
0.5
30
0.6
C mZn (g) 4
5
6
表2.实验方案及实验结果的直观分析
差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个 标准来衡量F比值，此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。
在F分布表上横行(n1：1, 2, 3…)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。
列号 实验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A wH2SO4 (%) 1 2 3 1 2 3 1 2 3
B
C
mCuSO4·5H2O(g) mZn (g)
1
1
1
2
1
3
2
3
2
1
2
2
3
2
3
3
3
1
空白列
2 1 3 1 3 2 3 2 1
10min内H2的 产率
32.62 40.40 41.07 34.97 36.53 45.75 36.62 39.19 44.53
二.方差分析中的一些基本概念
1.偏差平方和
方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，
充分理解这一概念是至关重要的。
所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y1, y2,
y3……yn)与它们的算术平均数y之差的平方和。用符号
S来表示。即：
1
1n
y n ( y1 y2 ......yn ) n i1 yi