高中数学知识点总结之排列组合概率论篇
高考数学总复习------排列组合与概率统计
高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件 确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件 的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解 关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补 事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件 发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的， 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 ．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时， 通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤． 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值， 获得对这两个变量之间的整体关系的了解． 分析两个变量的相关关系 时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系， 这 条直线叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程． 在本节要经常与数据打交道， 计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ． （4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的 样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
高三排列组合知识点大全
高三排列组合知识点大全排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对对象进行选择、安排和组合的方式。
在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，既存在于基础知识的学习中，也存在于解决实际问题的应用中。
在本文中，将介绍高三排列组合知识点的大全，帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、排列与组合的基本概念排列是指从若干不同元素中按照一定的顺序选择出一部分元素进行排列。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行排列，有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)共6种排列方式。
组合是指从若干不同元素中无顺序地选择出一部分元素进行组合。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行组合，有(1,2)、(1,3)和(2,3)共3种组合方式。
二、排列与组合的计算公式1. 排列的计算公式排列的计算公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算公式组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
三、排列与组合的性质和应用1. 唯一性在排列和组合中，每个元素只能被选择一次，保证了每种排列和组合的唯一性。
这个性质在实际问题中很重要，可以避免重复计算或重复选择。
2. 应用于实际问题排列组合在实际问题中有广泛的应用。
比如在概率中，排列与组合可以求解事件发生的可能性；在密码学中，排列与组合可以用于计算密码的强度；在组织活动中，排列与组合可以用于计算可能的活动安排等。
四、高阶排列组合问题除了基本的排列组合问题之外，高三数学中还会涉及到一些高阶的排列组合问题。
下面将介绍一些常见的高阶排列组合问题。
1. 重复元素的排列组合当有重复的元素存在时，排列与组合的计算公式需要进行相应的调整。
比如从数字1、1、2、3中选择两个数字进行排列，存在重复元素1，这时排列的总数为4!/2! = 12种。
概率论与数理统计知识点总结
第1章随机事件及其概率
我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生
与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
，。
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验。
高中排列组合知识点
高中排列组合知识点在高中数学中，排列组合是一个重要且具有一定难度的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解决问题的能力起着关键作用。
首先，我们来了解一下什么是排列。
排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么不同的排列方式就有很多种。
排列的计算公式是：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“n”表示总数，“m”表示选取的个数。
“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
举个例子，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，即 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60 种不同的排列方式。
接下来是组合。
组合则是从给定的元素集合中，选取若干个元素组成一组，不考虑元素的顺序。
比如从 5 个不同的水果中选取 3 个，不管选取的顺序如何，只要是这 3 个水果就算一种组合。
组合的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
还是以从 5 个不同的元素中选取 3 个为例，组合的方式为 C(5, 3) ＝5! ／ 3! ×（5 3)！＝ 10 种。
在实际解题中，我们需要根据具体的问题来判断是使用排列还是组合。
如果问题中强调了顺序的重要性，那么通常使用排列；如果顺序不重要，只关注选取的元素组合，那就使用组合。
比如，安排 5 个人坐在 3 个不同的座位上，因为座位的顺序是有影响的，所以要用排列，即 A(5, 3) 。
而如果是从 5 种不同的水果中选取3 种作为礼物，不考虑选取的顺序，这时候就用组合 C(5, 3) 。
在解决排列组合问题时，还有一些常见的方法和技巧。
插空法：当要求某些元素不能相邻时，可以先将其他元素排列好，然后将不相邻的元素插入到这些元素之间的空隙中。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
概率组合知识点总结
概率组合知识点总结概率组合是概率论中的一个重要概念，它描述了在一组事件中发生某个组合的可能性。
概率组合在各种领域都有广泛的应用，比如在统计学中用于描述随机变量的组合出现的概率，以及在工程学中用于分析系统的可靠性。
概率组合的基本概念包括排列和组合。
排列描述的是一组元素的有序排列，而组合描述的是一组元素的无序排列。
在概率论中，组合通常是指从n个元素中取出r个元素的不同组合的数目。
在这篇文章中，我们将对概率组合的相关知识点进行总结和介绍。
一、排列和组合1. 排列排列是描述一组元素的有序排列，它的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n为元素的总数，r为取出的元素的个数，!表示阶乘。
排列计算的结果即为从n个元素中取出r个元素的有序排列数目。
2. 组合组合是描述一组元素的无序排列，它的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n为元素的总数，r为取出的元素的个数，!表示阶乘。
组合计算的结果即为从n个元素中取出r个元素的不同组合的数目。
二、概率组合的计算概率组合的计算通常涉及两个部分：一是确定事件的样本空间，二是确定事件的概率。
在确定事件的样本空间时，需要考虑元素的个数和元素的排列方式；在确定事件的概率时，需要将事件发生的可能性与总样本空间进行比较，计算出事件发生的概率。
1. 样本空间确定事件的样本空间是概率组合计算的第一步。
样本空间是描述所有可能事件的集合，它包括了所有可能的组合和排列。
在确定样本空间时，需要考虑元素的个数和排列方式，这样才能准确描述事件的可能性。
2. 事件的概率确定事件的概率是概率组合计算的第二步。
事件的概率是描述事件发生的可能性，它是用概率值来表示的。
确定事件的概率需要将事件发生的可能性与总样本空间进行比较，然后计算出事件发生的概率。
三、概率组合的应用概率组合在各种领域都有广泛的应用，具体包括以下几个方面：1. 统计学中的应用在统计学中，概率组合用于描述随机变量的组合出现的概率。
概率高二知识点总结
概率高二知识点总结一、排列组合排列和组合是概率论中最基础的知识点之一。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列。
而组合则是指从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序。
在实际问题中，排列和组合常常用来统计事件发生的可能性。
1.1 排列的计算方式设n是自然数且大于0，则n个不同元素进行排列的方法数为n!，其中!表示阶乘。
阶乘的计算方式为n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
例如，5个不同元素进行排列的方法数为5!=5×4×3×2×1=120。
1.2 组合的计算方式设n是自然数且大于0，m是自然数，且满足0≤m≤n，则n个不同元素进行组合的方法数为C(n,m)=n!/(m!×(n-m)!)，其中C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合方法数。
例如，5个不同元素进行排列的方法数为C(5,2)=5!/(2!×(5-2)!)=10。
1.3 应用举例在排列和组合的知识点中，常常会涉及到具体问题的求解。
例如，从8个人中选出5个人排成一队，求不同的排队方式数。
根据排列的知识点，这个问题可以用8个人进行排列的方法数为8!，然后再除以5!，得到8!/(8-5)!=8×7×6。
这样，我们就可以求出这个问题的答案。
二、事件的概率事件的概率是概率论中另一个重要的知识点。
事件的概率表示了事件发生的可能性大小，它是一个介于0和1之间的数。
事件的概率可以通过实验进行统计，也可以通过数学公式进行计算。
2.1 基本概率公式在概率论中，事件的概率可以通过基本概率公式进行计算。
对于一个随机事件A，它的概率为P(A)=n/N，其中n是事件A发生的次数，N是试验的总次数。
基本概率公式也可以表示为P(A)=S(A)/S，其中S(A)表示事件A的样本点数，S表示样本空间的样本点数。
高三数学排列组合知识点归纳总结
高三数学排列组合知识点归纳总结数学是一门需要大量的思考和应用的学科，其中排列组合是数学中的一个重要部分。
在高三数学学习中，排列组合也是必修的一个内容，掌握了排列组合的知识，既能够帮助我们解决实际问题，又能够培养我们的思维能力和数学思维方式。
本文将对高三数学中的排列组合知识点进行归纳总结。
一、排列问题排列是指将若干个不同的元素按照一定的顺序排列起来，根据实际问题的不同，排列分为不放回排列和放回排列。
1. 不放回排列不放回排列的特点是每次抽出一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。
例如，将10个不同的球依次排列，共有多少种排列方式？解法：根据乘法原理，第一个球有10种选择，第二个球有9种选择……依次类推，最后一个球有1种选择，因此共有10*9*…*1=10!种排列方式。
2. 放回排列放回排列的特点是每次抽出一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。
例如，将10个不同的球排列，每次抽取时都将球放回，共有多少种排列方式？解法：与不放回排列不同，放回排列时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有10*10*…*10=10^n种排列方式。
二、组合问题组合是指从若干个不同的元素中取出一部分元素，不考虑其顺序，根据实际问题的不同，组合分为不放回组合和放回组合。
1. 不放回组合不放回组合的特点是每次抽取一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。
例如，从10个不同的球中取出3个球，共有多少种组合方式？解法：根据组合的定义，只要选择了球，无论其顺序如何，都算作同一种组合方式。
所以，共有C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!)种组合方式。
2. 放回组合放回组合的特点是每次抽取一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。
例如，从10个不同的球中取出3个球，每次抽取时都将球放回，共有多少种组合方式？解法：与不放回组合不同，放回组合时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有C(10+3-1,3) = C(12,3) =12!/(3!(12-3)!)种组合方式。
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49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（）分类计数原理：……112N m m m n =+++ （为各类办法中的方法数）m i 分步计数原理：·……N m m m n =12 （为各步骤中的方法数）m i
（2）排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为n m A n m .
()()()()()A n n n n m n n m m n n m =---+=
-≤121……!
!
规定：0!1=
（3）组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不
同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为m C n m .
()()()C A A n n n m m n m n m n
m
n m m
m
==--+=-11……!!!! 规定：C n 0
1= （）组合数性质：4 C C C C C C C C n m
n
n m
n m n m n m n n n n n
=+=+++=--+，， (11012)
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
{}
x i x x x x i ∈=<≤<899091929312341234，，，，，，，，且满足，()
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12
D. 10
解析：可分成两类：
（）中间两个分数不相等，1
有（种）C 54
5= （2）中间两个分数相等 x x x x 1234<=<
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理
()a b C a C a
b C a b C a b C b n
n n
n n n n n r n r r n n n
+=++++++---0
1
1
222……
二项展开式的通项公式：，……T C a
b r n r n r
n r
r +-==101()
C n r
为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：
()
（）对称性：，，，……，1012C C r n n r n
n r
==- （）系数和：…2C C C n n n n n
012+++= C C C C C C n n n n n n n 1
3
5
2
4
1
2
+++=+++=-……
（3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
n C n n n
n
2112
+⎛⎝ ⎫⎭
⎪+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式() 系数最大即第项及第项，其二项式系数为n n C C n n n n +++=-+121
2
1121
2
()如：在二项式的展开式中，系数最小的项系数为（用数字x -111
表示）
（∵＝n 11
∴共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第项1212
2
67= 由，∴取即第项系数为负值为最小：C x
r r r
r 1111156--=()
-=-=-C C 116
115
426 ()
()又如：……，则122004
012220042004-=++++∈x a a x a x a x x R
()()()()a a a a a a a a 010********++++++++=
……（用数字作答）
（令，得：x a ==010
令，得：……x a a a =+++=11022004
()
∴原式……）=++++=⨯+=200320031120040012004a a a a 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（）必然事件，，不可能事件，110ΩΩP P (==)()φφ
（）包含关系：，“发生必导致发生”称包含。
2A B A B B A ⊂
A B
（）事件的和（并）：或“与至少有一个发生”叫做与3A B A B A B A B +Y 的和（并）。
（）事件的积（交）：·或“与同时发生”叫做与的积。
4A B A B A B A B I
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥。
A B ·=φ
（6）对立事件（互逆事件）：
“不发生”叫做发生的对立（逆）事件，A A A A A A A Y I ==Ω，φ
（7）独立事件：A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
A B A B A B A B 与独立，与，与，与也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P A A m
n
()=
=包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数
()（）若、互斥，则2A B P A B P A P B +=+()() ()
()()（）若、相互独立，则··3A B P A B P A P B = （）41P A P A ()()=-
（5）如果在一次试验中A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生
()
k 次的概率：P k C p p n n k k
n k
()=--1
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
P C C 14
2102215==⎛⎝
⎫⎭⎪
（2）从中任取5件恰有2件次品；
P C C C 2426
3
10
5
1021==⎛⎝ ⎫⎭⎪ （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n ＝103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴·m C =+32
2
1
3
464
∴··P C 33223
3
46410
44125=+= （4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序） ∴，n A m C A A ==105
42
52
63
∴P C A A A 442526
3
10
51021==
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法： ()（）算数据极差；1x x max min - （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。
其中，频率小长方形的面积组距×频率
组距
== ()
样本平均值：……x n x x x n =
+++1
12 ()()()[]
样本方差：……S n
x x x x x x n 2
122221=-+-++-
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
（）C C C 1045
215
6。