高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备
大一高数的考研知识点
大一高数的考研知识点高等数学是考研数学的一门重要基础课程，对于准备考研的同学来说，掌握大一高数的知识点是至关重要的。
本文将从微分和积分两个方面，介绍大一高数的考研知识点。
一、微分微分作为高数的基本概念，在考研数学中有着广泛的应用。
以下是大一高数中的常见考研知识点：1. 导数的概念及性质：导数表示函数在某一点的变化率，常用符号为f'(x)或dy/dx。
考研中常会涉及到导数的定义、加法法则、乘法法则、链式法则以及高阶导数的计算方法。
2. 常用函数的导数：大一高数中熟悉的函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数都是考研中的重要知识点。
同学们需要牢记这些函数的导数公式，并能够熟练运用。
3. 隐函数与参数方程微分：考研中，经常会遇到隐函数与参数方程的微分问题。
同学们需要了解这些问题的解法，掌握相应的技巧。
4. 微分中值定理：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
对于解析几何、极值问题等，掌握微分中值定理是非常重要的。
二、积分积分是微分的逆运算，同样在考研数学中扮演着重要的角色。
以下是大一高数中常见的考研知识点：1. 不定积分与定积分：不定积分是积分的基本形式，通过求导运算可以得到原函数。
定积分则表示函数在某一区间上的累积变化量。
考研中需要对这两种积分有较为深入的理解。
2. 基本积分公式与通积分法：大一高数已经学习了一些基本的积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数的积分公式等。
考研中需要掌握更多的积分公式，并了解通积分法的运用。
3. 曲线长度与曲面面积：在考研数学中，经常会遇到求解曲线长度与曲面面积的问题。
这需要结合积分的概念，通过适当的积分方法，来解决这些问题。
4. 定积分的应用：考研中，定积分的应用非常广泛。
例如，计算图形的面积、质心、重心等问题，都需要运用定积分的知识。
总结起来，大一高数的考研知识点主要包括微分和积分。
同学们需要牢记微分的定义与性质，熟练掌握常用函数的导数公式，以及了解隐函数与参数方程的微分求解方法。
考研数学必备高等数学知识点总结
考研数学必备高等数学知识点总结高等数学作为考研数学科目的一部分，是考生们需要重点复习的内容之一。
在考研数学中，高等数学占据了相当大的比重，因此对高等数学知识点的掌握和理解是考生们成功的关键。
本文将对考研数学中必备的高等数学知识点进行总结，以帮助考生们更好地备考。
1. 极限与连续1.1 极限的定义及性质极限是高等数学中的核心概念之一，它描述了函数或者数列的趋近行为。
在考研数学中，需要掌握极限的定义以及一系列的性质，如极限的四则运算法则、夹逼准则等。
1.2 连续函数连续函数是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某一点的连续性。
在考研数学中，需要理解连续函数的定义以及一些常见连续函数的性质，如初等函数的连续性、连续函数的运算法则等。
2. 导数与微分2.1 导数的定义及性质导数是描述函数在某一点的变化率，它是高等数学中的重要概念之一。
在考研数学中，需要掌握导数的定义以及一系列的性质，如导数的四则运算法则、链式法则等。
2.2 微分与微分近似微分是导数的几何意义，它描述了函数在某一点的切线斜率。
在考研数学中，需要理解微分的定义及其与导数的关系，同时还需要了解微分近似的方法，如线性近似、切线法等。
3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的求法不定积分是函数的原函数，它描述了函数在一定区间上的变化情况。
在考研数学中，需要掌握常见函数的不定积分求法，如初等函数的不定积分、分部积分法、换元积分法等。
3.2 定积分的计算与应用定积分是函数在一定区间上的累积变化量，它描述了函数在该区间上的总体变化情况。
在考研数学中，需要理解定积分的定义以及一些计算方法，如定积分的基本性质、定积分的几何意义等。
同时还需要掌握定积分在几何、物理等方面的应用，如面积计算、质量、重心等的计算。
4. 二重积分与三重积分4.1 二重积分的计算与应用二重积分是函数在二维区域上的累积变化量，它描述了函数在该区域上的总体变化情况。
在考研数学中，需要掌握二重积分的计算方法，如二重积分的基本性质、二重积分的换序等。
高数大一最全知识点
高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。
掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。
下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。
第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。
2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。
3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。
第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。
2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。
3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。
3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。
第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。
2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。
3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。
第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。
2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。
大一高数考研知识点归纳
大一高数考研知识点归纳高等数学是考研数学的重要组成部分，也是大学学习中的一门重要课程。
掌握大一高数的知识点对于考研复习至关重要。
本文将对大一高数的知识点进行归纳总结，以供考研学子参考。
1. 数列与极限1.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，可以是有限个或无限个。
1.2 数列的极限数列的极限是指数列随着自变量趋于无穷大或趋于某个值时，数列的值也趋于某个值。
1.3 数列的收敛性若数列存在极限，则称数列收敛；若数列不存在极限，则称数列发散。
2. 函数与极限2.1 函数的定义函数是一种映射关系，将一个元素从一个集合映射到另一个集合的元素。
2.2 函数的极限函数的极限是指函数在自变量趋于无穷大或趋于某个值时，函数的值也趋于某个值。
2.3 连续函数函数在某一点上存在极限，并且该点的函数值等于该点的极限值，则称该函数在该点上连续。
3. 导数与微分3.1 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
3.2 函数的可导性若函数在某一点上存在导数，则称该函数在该点上可导；若函数在某一点上不存在导数，则称该函数在该点上不可导。
3.3 微分的概念微分是函数在某一点上的变化量的近似值，可以用来近似计算函数在该点附近的取值。
4. 不定积分与定积分4.1 不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程，也可以理解为反导数运算。
4.2 定积分的定义定积分是求解函数在一定区间上的面积的过程，可以理解为求解曲线下的积分。
5. 常微分方程5.1 常微分方程的定义常微分方程是关于未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个自变量的函数。
5.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
本文对大一高数的知识点进行了简要归纳，并未详细介绍每个知识点的推导过程和具体例题。
在考研复习中，建议学生通过参考教材和习题集来深入学习和巩固这些知识点，同时还要进行大量的练习和习题积累，提高自己的解题能力。
高数大一知识点总结基础
高数大一知识点总结基础一、函数与极限1. 函数的定义与性质：函数是一种对应关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值上。
函数具有定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。
2. 极限的概念与性质：极限是函数在某一点或无穷远处的趋近值。
极限的存在性与唯一性可以通过数列极限的定义来判定。
3. 函数的连续性：连续性是指函数在定义域内没有突变、间断点的性质。
连续函数具有局部性质及整体性质。
4. 导数与函数的凸凹性：导数是函数在某一点的切线斜率，可以表示函数的变化率。
凸凹性指函数图像在某一区间上的弯曲程度。
二、微分学1. 微分的定义与性质：微分是函数局部线性逼近的结果，是函数在某一点的变化量。
微分的计算可以使用导数。
2. 高阶导数：高阶导数是导数的导数，表示函数变化的快慢程度。
高阶导数的计算可以使用导数的性质和公式。
3. 微分中值定理：微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，用于描述函数在某一区间的特性。
4. 泰勒展开：泰勒展开是将函数在某一点附近用无穷多项式逼近的结果，用于求函数的近似值。
三、积分学1. 定积分的定义与性质：定积分是函数在某一区间上的面积或有向长度，可以用无穷小分割与极限的思想进行计算。
2. 不定积分与积分常数：不定积分是求解函数的原函数过程，不定积分的结果存在积分常数。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式将定积分与不定积分联系起来，描述了两者的关系。
4. 微积分基本定理：微积分基本定理包括第一类与第二类，用于计算定积分与不定积分。
四、级数1. 数项级数的收敛性：数项级数是由无穷多个数相加而成的表达式，根据其通项的性质可以判断级数的收敛性。
2. 常用级数：常用级数包括等比级数、调和级数等，可以通过特定的方法求解其和。
3. 幂级数：幂级数是一种特殊的级数，具有收敛域与求解方法。
幂级数常用于函数展开与近似计算。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
考研 高等数学必看知识点
考研高等数学必看知识点对于准备考研的同学来说，高等数学是一门至关重要的科目。
高等数学的知识点繁多且复杂，需要我们花费大量的时间和精力去理解和掌握。
在这篇文章中，我将为大家梳理一些考研高等数学中必看的知识点，希望能对大家的备考有所帮助。
一、函数、极限与连续函数是高等数学的基础，理解函数的概念、性质和分类是学好高等数学的第一步。
要掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，以及常见的函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
极限是高等数学中的核心概念之一，它贯穿了整个高等数学的学习。
要熟练掌握数列极限和函数极限的定义、性质和计算方法。
极限的计算方法包括四则运算、洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒公式等。
连续是函数的一个重要性质，要理解函数在一点连续的定义，以及连续函数的性质，如最值定理、介值定理、零点定理等。
二、一元函数微分学导数是微分学的核心概念，要掌握导数的定义、几何意义和物理意义，以及基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则。
能够熟练运用导数求函数的单调性、极值、最值、凹凸性和拐点。
微分是导数的一种应用，要理解微分的定义和几何意义，掌握微分的基本公式和运算法则，能够用微分进行近似计算和误差分析。
中值定理是微分学中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
要掌握这些定理的条件和结论，并能够运用它们解决相关的问题。
三、一元函数积分学不定积分是积分学的基础，要掌握不定积分的定义、性质和基本积分公式，能够熟练运用换元积分法和分部积分法求不定积分。
定积分是不定积分的应用，要理解定积分的定义、几何意义和物理意义，掌握定积分的基本性质和计算方法，能够用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
反常积分是定积分的拓展，要掌握反常积分的定义、收敛性的判断和计算方法。
四、多元函数微积分学多元函数的概念和性质是多元函数微积分学的基础，要理解多元函数的定义域、值域、偏导数、全微分等概念，掌握多元函数的连续性和可微性的判断方法。
大一高数考研知识点总结
大一高数考研知识点总结高等数学作为大一学生必修的课程之一，在考研的备考过程中扮演着重要的角色。
它不仅是考研数学科目的基础，还对于其他科目的掌握和应用有着重要的影响。
因此，在大一阶段就要认真学习和掌握高等数学的知识点，为将来顺利考研打下坚实的基础。
下面是大一高数考研知识点的总结：1. 数列与数学归纳法数列是高数中的重要概念之一，考研中常常涉及数列的性质、极限以及收敛性等问题。
在学习数列的过程中，需要掌握常见数列的计算方法和性质，如等差数列、等比数列等；同时还要学会使用数学归纳法解决一些关于数列的证明问题。
2. 函数与极限函数与极限是高等数学的核心内容，也是考研数学中的重点和难点。
在学习函数与极限的过程中，要熟悉各类函数的性质，包括初等函数、三角函数、指数函数和对数函数等；同时还要掌握极限的定义和计算方法，了解重要极限的性质，如无穷小量、无穷大量等。
3. 导数与微分导数与微分是高等数学的另一个重要内容，也是考研数学中的常考点。
在学习导数与微分的过程中，要掌握导数的定义和性质，了解导数的计算法则，掌握常用函数的导数表达式，并能灵活运用导数解决实际问题。
4. 积分与定积分积分与定积分是高等数学的核心概念之一，也是考研数学中的重要内容。
在学习积分与定积分的过程中，要掌握积分的定义和性质，了解不定积分与定积分的关系，掌握常用函数的不定积分表达式，并能运用定积分解决几何问题。
5. 常微分方程常微分方程是高等数学的扩展内容，也是考研数学中的拓展点。
在学习常微分方程的过程中，要了解常微分方程的基本概念和分类，熟悉常微分方程的解法，如一阶常微分方程的分离变量法、齐次方程法等，并能运用常微分方程解决实际问题。
6. 多元函数与偏导数多元函数与偏导数是高等数学的拓展内容，也是考研数学中的难点之一。
在学习多元函数与偏导数的过程中，要了解多元函数的定义和性质，掌握偏导数的定义和计算方法，熟悉二阶偏导数的概念，了解多元函数的泰勒展开式等，并能运用多元函数与偏导数解决实际问题。
大一高数知识点有哪些
大一高数知识点有哪些大一高数（即《高等数学》）是大学数学的一门基础课程，涵盖了一系列的知识点。
以下是大一高数课程中的一些重要知识点：1.函数与极限：-函数的概念和性质-极限的概念及其性质-极限的运算法则-无穷小与无穷大-极限存在准则2.导数与微分：-导数的概念和定义-导数的性质和运算法则-微分的概念和性质-高阶导数与高阶微分-幂函数、指数函数、对数函数及其导数3.微分中值定理：-拉格朗日中值定理-柯西中值定理-罗尔中值定理4.泰勒公式与近似计算：-函数的泰勒展开-麦克劳林展开-泰勒公式及其应用-近似计算方法5.微分方程：-微分方程的概念-一阶微分方程的解法-可降阶的一阶微分方程-齐次线性微分方程-非齐次线性微分方程-高阶线性微分方程6.不定积分与定积分：-不定积分的概念与性质-基本初等函数的不定积分-不定积分的运算法则-定积分的概念与性质-牛顿-莱布尼茨公式-定积分的运算法则7.微积分基本定理：-第一类微积分基本定理-第二类微积分基本定理8.曲线与曲面积分：-参数方程曲线的弧长-定积分计算曲线长度-曲面积分的概念与性质-曲面积分的计算9.重积分与三重积分：-二重积分的概念与性质-二重积分的计算-极坐标系下的二重积分-三重积分的概念与性质-三重积分的计算-柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分10.偏导数与多元函数微分学：-多元函数的偏导数-高阶偏导数-隐函数的偏导数-多元函数的全微分-多元复合函数的求导法则。
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大一期末复习与考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域:设α与δ就是两个实数,且δ＞0、满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域,点α称为此邻域的中心,δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义:如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应,则称y就是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量,y 叫做函数值(或因变量),变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注:为了表明y就是x的函数,我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们就是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时,函数只有一个确定的值与它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系与值域。
由于值域就是由定义域与对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域与对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a):解析法:用数学式子表示自变量与因变量之间的对应关系的方法即就是解析法。
例:笛卡尔直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆的方程就是:x2+y2=r2b):表格法:将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即就是表格法。
例:在实际应用中,我们经常会用到的平方表,三角函数表等都就是用表格法表示的函数。
c):图示法:用坐标平面上曲线来表示函数的方法即就是图示法。
一般用横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量。
例:笛卡尔直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为:3、函数的简单性态⑴、函数的有界性:如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立,其中M就是一个与x无关的常数,那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界。
注:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数例题:函数cosx在(-∞,+∞)内就是有界的、⑵、函数的单调性:如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1＜x2时,有,则称函数在区间(a,b)内就是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小,即:对于(a,b)内任意两点x1及x2,当x1＜x2时,有,则称函数在区间(a,b)内就是单调减小的。
例题:函数=x2在区间(-∞,0)上就是单调减小的,在区间(0,+∞)上就是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=,则叫做偶函数;如果函数对于定义域内的任意x都满足=-,则叫做奇函数。
注:偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性对于函数,若存在一个不为零的数l,使得关系式对于定义域内任何x值都成立,则叫做周期函数,l就是的周期。
注:我们说的周期函数的周期就是指最小正周期。
例题:函数就是以2π为周期的周期函数;函数tgx就是以π为周期的周期函数。
4、反函数⑴、反函数的定义:设有函数,若变量y在函数的值域内任取一值y0时,变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应,即,那末变量x就是变量y的函数、这个函数用来表示,称为函数的反函数、注:由此定义可知,函数也就是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理:若在(a,b)上严格增(减),其值域为R,则它的反函数必然在R上确定,且严格增(减)、注:严格增(减)即就是单调增(减)例题:y=x2,其定义域为(-∞,+∞),值域为[0,+∞)、对于y取定的非负值,可求得x=±、若我们不加条件,由y的值就不能唯一确定x的值,也就就是在区间(-∞,+∞)上,函数不就是严格增(减),故其没有反函数。
如果我们加上条件,要求x≥0,则对y≥0、x=就就是y=x2在要求x≥0时的反函数。
即就是:函数在此要求下严格增(减)、⑶、反函数的性质:在同一坐标平面内,与的图形就是关于直线y=x对称的。
例题:函数与函数互为反函数,则它们的图形在同一笛卡尔直角坐标系中就是关于直线y=x对称的。
如右图所示:5、复合函数复合函数的定义:若y就是u的函数:,而u又就是x的函数:,且的函数值的全部或部分在的定义域内,那末,y通过u的联系也就是x的函数,我们称后一个函数就是由函数及复合而成的函数,简称复合函数,记作,其中u叫做中间变量。
注:并不就是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。
例题:函数与函数就是不能复合成一个函数的。
因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值(都大于或等于2),使都没有定义。
6、初等函数⑴、基本初等函数:我们最常用的有五种基本初等函数,分别就是:指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
下面我们用表格来把它们总结一下:函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1、对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负;在区间(-,+∞)的值为正;在定义域内单调增、幂函数a为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。
令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y就是偶函数;b):当m,n都就是奇数时,y就是奇函数;c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义、三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数就是以2π为周期的周期函数b):正弦函数就是奇函数且反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值、⑵、初等函数:由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数、例题:就是初等函数。
7、双曲函数及反双曲函数⑴、双曲函数:在应用中我们经常遇到的双曲函数就是:(用表格来描述)函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正弦a):其定义域为:(-∞,+∞);b):就是奇函数;c):在定义域内就是单调增双曲余弦a):其定义域为:(-∞,+∞);b):就是偶函数;c):其图像过点(0,1);双曲正切a):其定义域为:(-∞,+∞);b):就是奇函数;c):其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间;在定域内单调增;我们再来瞧一下双曲函数与三角函数的区别:双曲函数的性质三角函数的性质shx与thx就是奇函数,chx就是偶函数sinx与tanx就是奇函数,cosx就是偶函数它们都不就是周期函数都就是周期函数双曲函数也有与差公式:⑵、反双曲函数:双曲函数的反函数称为反双曲函数、a):反双曲正弦函数其定义域为:(-∞,+∞);b):反双曲余弦函数其定义域为:[1,+∞);c):反双曲正切函数其定义域为:(-1,+1);8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
⑴、数列:若按照一定的法则,有第一个数a1,第二个数a2,…,依次排列下去,使得任何一个正整数n对应着一个确定的数a n,那末,我们称这列有次序的数a1,a2,…,a n,…为数列、数列中的每一个数叫做数列的项。
第n项a n叫做数列的一般项或通项、注:我们也可以把数列a n瞧作自变量为正整数n的函数,即:a n=,它的定义域就是全体正整数⑵、极限:极限的概念就是求实际问题的精确解答而产生的。
例:我们可通过作圆的内接正多边形,近似求出圆的面积。
⑶、数列的极限:一般地,对于数列来说,若存在任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在正整数N,使得对于n＞N时的一切不等式都成立,那末就称常数a就是数列的极限,或者称数列收敛于a 、记作:或注:此定义中的正数ε只有任意给定,不等式才能表达出与a无限接近的意思。
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε就是有关的,它就是随着ε的给定而选定的。
⑷、数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它的一个几何解释,以使我们能理解它。
数列极限为a的一个几何解释:将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε,a+ε),如下图所示:因不等式与不等式等价,故当n＞N时,所有的点都落在开区间(a-ε,a+ε)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
注:至于如何求数列的极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论。
⑸、数列的有界性:对于数列,若存在着正数M,使得一切都满足不等式││≤M,则称数列就是有界的,若正数M不存在,则可说数列就是无界的。
定理:若数列收敛,那末数列一定有界。
注:有界的数列不一定收敛,即:数列有界就是数列收敛的必要条件,但不就是充分条件。
例:数列 1,-1,1,-1,…,(-1)n+1,…就是有界的,但它就是发散的。
9、函数的极限前面我们学习了数列的极限,已经知道数列可瞧作一类特殊的函数,即自变量取1→∞内的正整数,若自变量不再限于正整数的顺序,而就是连续变化的,就成了函数。
下面我们来学习函数的极限、函数的极值有两种情况:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0,如果在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。
我们已知道函数的极值的情况,那么函数的极限如何呢?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!⑴、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义:设函数,若对于任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式的一切x,所对应的函数值都满足不等式那末常数A就叫做函数当x→∞时的极限,记作:下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下:数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A,任给一正数ε＞0,总可找到一正整数N,对于n＞N的所有都满足＜ε则称数列,当x→∞时收敛于A记:。
存在函数与常数A,任给一正数ε＞0,总可找到一正数X,对于适合的一切x,都满足,函数当x→∞时的极限为A,记:。
b):自变量趋向有限值时函数的极限。
我们先来瞧一个例子、例:函数,当x→1时函数值的变化趋势如何？函数在x=1处无定义、我们知道对实数来讲,在数轴上任何一个有限的范围内,都有无穷多个点,为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:从中我们可以瞧出x→1时,→2、而且只要x与1有多接近,就与2有多接近、或说:只要与2只差一个微量ε,就一定可以找到一个δ,当＜δ时满足＜δ定义:设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义,且存在数A,如果对任意给定的ε(不论其多么小),总存在正数δ,当0＜＜δ时,＜ε则称函数当x→x0时存在极限,且极限为A,记:。