三维坐标转换方法研究
三维_极坐标与直角坐标的互化_解释说明
三维极坐标与直角坐标的互化解释说明1. 引言1.1 概述在数学和物理学中，坐标系统是一种用于描述物体位置的工具。
我们常用的直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成，可以描述点在平面上的位置。
然而，在某些情况下，直角坐标系并不能很好地描述物体的位置信息，特别是当涉及到球对称结构或者极向性场景时。
为了解决这个问题，人们引入了三维极坐标系。
极坐标系使用两个参数来描述点的位置：径向距离与方位角。
它将空间划分为一组同心圆和一组以原点为顶点的旋转平面锥（还包括了一个垂直于这些平面锥的半径轴），从而提供了另一种描述三维空间中点位置的方式。
本文将深入探讨三维极坐标与直角坐标之间的互化关系，包括它们各自的定义与表示方法以及彼此之间的转换方法。
1.2 文章结构本文共分为四个部分：引言、三维极坐标与直角坐标的互化、应用场景和优劣势比较以及结论。
在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，并介绍直角坐标系与三维极坐标系的基本概念。
在第二部分，我们将详细介绍三维极坐标与直角坐标的定义与表示方法，包括如何确定点在两种坐标系下的位置。
第三部分将探讨应用场景和优劣势比较。
我们将分析在不同领域中使用三维极坐标和直角坐标的情况，并比较它们各自的优势和劣势。
此外，我们还会通过实际应用案例来说明其具体应用。
最后，在结论部分，我们将总结主要观点和发现结果，并对未来发展趋势提出展望和建议。
1.3 目的本文的目的是深入探究三维极坐标与直角坐标之间的互化关系。
通过详细介绍它们两者的定义、表示方法以及转换方法，希望读者能够更好地理解它们之间的联系和差异，并能够根据具体问题选择适合的坐标系统进行描述。
同时，通过对应用场景和优劣势比较的探讨，进一步增进对这两种坐标系统特点及其适用性的认识，并为未来的研究和应用提供一定的参考和启示。
2. 三维极坐标与直角坐标的互化:2.1 三维极坐标的定义与表示方法:三维极坐标是一种在空间中描述点位置的方式。
它使用一个距离、一个仰角和一个方位角来表示点的坐标。
wgs-84坐标系与地方坐标系转换方法_secret
目录摘要 (1)GPS概述 (2)一、引言 (2)二、多项式拟合法基本原理 (2)1．基本思路 (3)2.数学模型 (3)3．精度评定 (4)三、计算与精度分析 (5)1.工程简介 (5)2.数据处理 (6)3.转换方案 (6)4.精度分析 (7)四、结束语 (8)五、谢辞 (9)参考文献 (9)WGS-84坐标系与地方坐标系转换方法摘要WGS-84 坐标系与地方坐标系之间转换关系的确定是GPS 技术应用中的一个关键问题。
在分析经典三维坐标转换方法的基础上，给出一种采用多项式拟合法进行GPS 坐标转换的方法。
通过工程实例对三维坐标转换的精度和可靠性进行分析，从而验证了多项式拟合法是一种有效的三维坐标转换方法。
关键词：WGS-84 坐标系; 地方坐标系; 坐标转换; 多项式拟合法AbstractKey words: WGS-84 coordinate system; Place coordinate system; Coordinate transformation;Multinomial fitting lawGPS概述全球定位系统（Global positioning system-GPS）是美国从20世纪70年代开始研制，历时20年，耗资200亿美元，于1994年全面建成，具有在海、陆、空进行全方位实时三维导航与定位能力的新一代卫星导航与定位系统。
经近10年我国测绘等部门的使用表明，GPS以全天候、高精度、自动化、高效益等显著特点，赢得了广大测绘工作者的信赖，并成功地应用于大地测量、工程测量、航空摄影测量、运载工具导航和管制、地壳运动监测、资源勘察、地球动力学等多种学科，从而给测绘领域带来一场深刻的技术革命。
GPS单点定位的坐标以及相对定位中解算的基线向量属于WGS-84大地坐标系，因为GPS广播星历是以WGS-84坐标系为根据而提供的。
而实用的测量成果往往是属于某一国家坐标系或地方坐标系（或局部的、参考坐标系）。
三维坐标系变换
三维坐标系变换三维坐标系变换可以理解为将一个三维点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
在实际应用中，我们常常需要对物体或者场景进行三维建模和渲染，而三维坐标系变换是不可或缺的一个基础环节。
本文将介绍三维坐标系变换的相关概念和常见应用，以及一些实用的解决方案。
一、常见的三维坐标系变换方式在三维坐标系变换中，常见的方式包括平移、旋转、缩放和仿射变换。
它们分别对应了三维空间中的平移、旋转、比例变化和直线间的关系变化。
在实际应用中，我们可以通过矩阵乘法的方式进行数学计算，也可以利用计算机图形学库中封装好的函数来实现。
1. 平移：将对象在三维坐标系中沿着某个方向移动一定的距离。
平移变换可以用一个形如平移向量的矩阵表示，在三维空间中的坐标变换表达式为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 tx; 0 1 0 ty; 0 0 1 tz; 0 0 0 1]其中，tx、ty、tz 分别表示在 x、y、z 方向的平移距离。
2. 旋转：将对象绕三维空间中的某个坐标轴或者任意轴进行旋转变换。
如果绕 x 轴旋转，那么旋转变换矩阵为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [1 0 0 0; 0 cos(theta) -sin(theta) 0; 0 sin(theta) cos(theta) 0; 0 0 0 1]同样的，绕 y 轴、z 轴旋转的矩阵也可以类似地表示。
对于绕任一轴的旋转，可以使用 Rodrigues 公式等数学方法来求解。
3. 缩放：将对象在三个方向上分别进行缩放变换，可以分别用三个缩放因子表示，对应矩阵表示为：[x' y' z' 1] = [x y z 1] * [sx 0 0 0; 0 sy 0 0; 0 0 sz 0; 0 0 0 1]其中，sx、sy、sz 分别表示在 x、y、z 方向放缩的比例因子。
如何进行地图数据的坐标转换
如何进行地图数据的坐标转换地图数据的坐标转换在现代社会中扮演着重要的角色。
随着科技的进步，人们对地理信息的需求日益增长，但由于不同地理信息系统使用的坐标系统不同，我们在进行数据分析和应用时常常需要进行坐标转换。
本文将探讨如何进行地图数据的坐标转换，以满足不同需求。
一、坐标系统的基本概念每个地理信息系统都使用不同的坐标系统来表示地球上的位置。
常见的坐标系统包括经纬度坐标系统（如WGS84），平面直角坐标（如UTM），以及其他自定义坐标系统。
在进行坐标转换前，我们首先需要了解各个坐标系统的基本概念和特点。
二、经纬度与平面直角坐标的转换在实际应用中，我们经常需要将经纬度坐标转换为平面直角坐标，或者反过来。
这种转换可以通过数学公式实现。
例如，将经纬度坐标转换为UTM坐标时，可以使用高斯-克吕格投影公式。
这种转换需要考虑到地球椭球体的形状以及大地基准的选择。
三、坐标转换中的数学模型坐标转换通常涉及到复杂的数学模型和算法。
其中，4参数模型和7参数模型在实际转换中应用广泛。
4参数模型考虑了平移和缩放的影响，而7参数模型还考虑了旋转的影响。
通过精确地测量和拟合，我们可以得到适用于特定地区的最佳转换模型。
四、地图投影和坐标转换地图投影是将三维地球表面投影到二维平面上的过程。
在地图投影中，常常需要进行坐标转换来满足不同地区和应用的需求。
例如，将经纬度坐标转换为等面积投影（如面积保真投影）可以在保持地理特性的同时方便计算面积。
坐标转换在地图投影中扮演着重要的角色。
五、实际应用中的坐标转换坐标转换在现实生活中有着广泛的应用。
例如，我们需要将卫星遥感图像上标注的点位坐标转换为现实世界的地理坐标，以便进行地理分析和土地资源管理。
此外，城市规划、航海导航、地质勘探等领域也需要进行精确的坐标转换来满足各自的需求。
六、坐标转换的精度和误差分析在进行坐标转换时，精度和误差分析非常重要。
由于测量误差和模型假设的不确定性，坐标转换常常伴随着一定的误差。
空间直角坐标系与球坐标系的转换方法
空间直角坐标系与球坐标系的转换方法简介空间直角坐标系和球坐标系是数学中常用的两种表示空间中点的坐标系。
本文将介绍这两种坐标系之间的转换方法，帮助读者更好地理解它们之间的关系。
空间直角坐标系空间直角坐标系是三维空间中最常见的坐标系，通常用三个坐标轴来表示空间中的点。
假设三个坐标轴分别为x轴、y轴和z轴，一个点在直角坐标系中的坐标可以表示为(x, y, z)。
球坐标系球坐标系是另一种常用的坐标系，它使用点到坐标系原点的距离、点在xy平面上的投影到x轴的角度和点在xz平面上的投影到z轴的角度来表示点的位置。
一个点在球坐标系中的坐标通常表示为(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是点在xy平面上的极角，φ是点在xz平面上的极角。
直角坐标系到球坐标系的转换将一个点的直角坐标系坐标(x, y, z)转换为球坐标系坐标(r, θ, φ)的过程比较简单。
首先可以计算点到原点的距离r： $r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$然后，可以计算极角θ： $θ = \\arctan(\\frac{y}{x})$最后，计算极角φ：$φ = \\arccos(\\frac{z}{r})$球坐标系到直角坐标系的转换如果已知一个点在球坐标系中的坐标(r, θ, φ)，要将其转换为直角坐标系中的坐标(x, y, z)也是可行的。
转换公式如下： $x = r \\cdot \\sin(θ) \\cdot \\cos(φ)$ $y = r \\cdot \\sin(θ) \\cdot \\sin(φ)$ $z = r \\cdot \\cos(θ)$通过这些公式，我们可以方便地在空间直角坐标系和球坐标系之间进行坐标转换，从而更灵活地描述和计算空间中的点的位置。
结论空间直角坐标系和球坐标系是表示空间中点的两种常用方法，它们之间存在简单的转换关系。
这种转换关系在数学和物理等领域有着广泛的应用，帮助人们更好地理解和描述空间中的事物。
三维坐标系的旋转变换
三维坐标系的旋转变换三维坐标系的旋转变换是指通过旋转操作将一个坐标系转换为另一个坐标系的变换。
在三维空间中，我们可以通过旋转矩阵和欧拉角来描述三维坐标系的旋转变换。
1. 旋转矩阵：旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，表示坐标系旋转的变换。
旋转矩阵可以通过绕坐标轴的旋转角度来构造，例如绕x轴旋转θ角度的旋转矩阵为：|1 0 0||0 cosθ -sinθ||0 sinθ cosθ|类似地，绕y轴旋转θ角度和绕z轴旋转θ角度的旋转矩阵可以通过类似的方式构造。
当我们有一个向量[vx, vy, vz]，通过乘以旋转矩阵，可以得到旋转后的向量[v'x, v'y, v'z]，即：[v'x, v'y, v'z] = [vx, vy, vz] * 旋转矩阵2. 欧拉角：欧拉角是另一种描述三维坐标系旋转的方法。
它将旋转操作分解为绕不同坐标轴的连续旋转。
常见的欧拉角有三个分量，分别表示绕x轴、y轴和z轴的旋转角度。
我们通过旋转矩阵和欧拉角之间的转换来实现三维坐标系的旋转变换。
给定一个欧拉角（α，β，γ），我们可以分别构造绕x轴旋转α角度、绕y轴旋转β角度和绕z轴旋转γ角度的旋转矩阵。
然后将这三个旋转矩阵依次相乘，得到整体的旋转矩阵。
将向量[vx, vy, vz]乘以该旋转矩阵，即可得到旋转后的向量[v'x, v'y, v'z]。
总结起来，三维坐标系的旋转变换可以通过旋转矩阵或欧拉角来描述和实现。
旋转矩阵通过乘法操作直接作用在向量上，而欧拉角需要将旋转操作分解为三次绕不同坐标轴的旋转，最后再将三个旋转矩阵相乘。
坐标转换最简单方法
坐标转换最简单方法坐标转换是一种将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中的点的方法。
在现代科技中，坐标转换是非常重要的，因为它可以帮助我们在不同的坐标系中进行数据分析和处理。
在本文中，我们将介绍最简单的坐标转换方法。
我们需要了解两个坐标系之间的关系。
通常情况下，我们使用笛卡尔坐标系来表示二维平面上的点。
笛卡尔坐标系由两条互相垂直的轴组成，分别称为x轴和y轴。
在这个坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x,y)来表示。
另一方面，地理坐标系是用来表示地球表面上的点的。
地球是一个球体，因此地理坐标系需要使用经度和纬度来表示一个点的位置。
经度是指一个点相对于本初子午线的角度，而纬度是指一个点相对于赤道的角度。
现在，我们来介绍最简单的坐标转换方法。
假设我们有一个点在笛卡尔坐标系中的坐标为(x,y)，我们想要将它转换到地理坐标系中。
我们可以按照以下步骤进行转换：1. 确定地球的半径。
地球的半径约为6371公里。
2. 将笛卡尔坐标系中的x和y值转换为以地球中心为原点的三维坐标系中的x、y和z值。
具体方法是：x = x * cos(y) * cos(x)y = x * cos(y) * sin(x)z = y * sin(y)3. 计算该点相对于地球中心的距离。
具体方法是：distance = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)4. 计算该点相对于本初子午线的经度。
具体方法是：longitude = atan2(y, x)5. 计算该点相对于赤道的纬度。
具体方法是：latitude = asin(z / distance)6. 将经度和纬度转换为度数。
具体方法是：longitude = longitude * 180 / pilatitude = latitude * 180 / pi7. 最后，我们得到了该点在地理坐标系中的坐标，即(longitude, latitude)。
以上就是最简单的坐标转换方法。
itrf2014至cgcs2000坐标转换方法研究及精度分析
意历元 ｔ 的三维坐标至 ＣＧＣＳ２０００ 的坐标转换可以看作
是至 ＩＴＲＦ９７ 框架、历元 ２０００ ０ 的坐标转换ꎬ转换分为
两步ꎬ第一步先将历元 ｔ 时刻的 ＩＴＲＦ２０１４ 框架下三维坐
标转换到 ＩＴＲＦ９７ 框架下坐标ꎬ第二步将 ＩＴＲＦ９７ 框架下
据及地球定向参数( ＥＯＰ ) 来具体实现 [２] ꎮ 与之前发
布的 ＩＴＲＦ 框架相比ꎬＩＴＲＦ２０１４ 在两个方面做了明显
的改进ꎬ一是在数据处理过程中ꎬ首次利用 ４ 种大地测
量技术对全球跟踪站相应时间序列做了半年或一年期
的空间估算ꎬ二是通过拟合全球地震带附近的跟踪站
点的 ＧＮＳＳ 数据ꎬ建立了震后变形模型( ＰＳＤ) 并应用
２０２０ 年 ５ 月
Ｍａｙ.２０２０
城 市 勘 测
第２期
Ｕｒｂａｎ Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ＆ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ
Ｎｏ.２
引文格式:王智ꎬ陈鹏ꎬ孙晓丽等. ＩＴＲＦ２０１４ 至 ＣＧＣＳ２０００ 坐标转换方法研究及精度分析[ Ｊ] . 城市勘测ꎬ２０２０(２) :１１９－１２２.
关键词:ＩＴＲＦ２０１４ꎻＣＧＣＳ２０００ꎻ坐标转换ꎻ速度场
１ 概 述
了验证ꎬ得到了厘米级的转换精度ꎮ
立、维持、更新国际天球参考框架( ＩＣＲＦ) 、国际地球参
２ 转换方法及模型
威机构ꎬ不定期更新 ＩＴＲＦ 框架信息及参数
ꎮ ２０１６
系ꎬ其建立是通过联测我国 ＧＰＳ 连续运行基准站等 ６ 个
考框架 ＩＴＲＦ２０１４ꎬ它是根据 ４ 种大地测量技术( ＧＮＳＳ、
于相关产品中 [３] ꎮ
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5
文章编号 : 0494 2 0911 ( 2010 ) 06 2 0005 2 03
中图分类号 : P282. 2 文献标识码 : B
三维坐标转换方法研究
杨 凡 ,李广云 ,王 力
(信息工程大学 测绘学院 ,河南 郑州 450052 )
- X p 31 - X q 31 0
∑( p ′i i =1 n
) ( pi ′ ) = R qi ′ - R qi ′
T
i i i
T
- Yp 31 - Yq 31 - X q 21 + X p 21 - Yq 21 + Yp 21 - Z q 21 + Z p 21 - X q 31 + X p 31 - Yq 31 + Yp 31 - Z q 31 + Z p 31
6
测 绘 通 报 2010 年 第 6期 Σ = 1
n
n ∑
i =1
( pi - p ) ( qi - q )
T
T 设反对称矩阵 A =Σ - Σ , 列矢 Δ = [ A23 A31
A 12 ] , Q 为对称矩阵
Q =
T
trace (Σ)
ΔT Σ +ΣT - trace (Σ) I3
Research on the M ethods of Ca lcula ti n g 3D Coord i na te Tran sform tion Parameters
YANG Fan, L I Guangyun,WANG L i
摘要 : 从理论上对几种坐标转换方法作严密对比 ,研究各自的适用性及优缺点 。推导基于罗德里格矩阵 3 参数的空间直角坐标转
关键词 : 坐标转换 ; 四元组 ; SVD; 迭代法 ; 线性化 ; 罗德里格矩阵 ; 最小二乘法
一、 引 言
理论研究和实际计算中 , 常涉及两个不同空间 直角坐标系之间的转换问题 。空间直角坐标系的 转换在大地测量 、 工程测量 、 摄影测量以及三维激 [1] 光扫描和跟踪等领域当中扮演着重要的角色 。 在大地测量中 ,有 1954 北京坐标系 、 1980 西安坐标 系、 2000 国家大地坐标系以及各种世界坐标系之间 的转换 ; 工程测量中有勘察设计坐标系 、 施工坐标 系、 监测坐标系之间的转换 ; 摄影测量中 , 空间后方 交会 、 共线方程的建立都要用到空间直角坐标系的 转换 ; 三维激光扫描和跟踪领域 , 不同测站之间的 点云拼接需要坐标转换 。因此 , 研究空间直角坐标 系的转换方法具有很强的理论和实际意义 。 在三维直角坐标转换中 , 常采用七参数 B ursa 2 [2] W lof模型 、 Molodensky模型和武测模型 。当两坐 标系统下有 3 个公共点时 , 就可唯一解算出 7 个转 换参数 ; 多于 3 个公共点时 ,就要进行平差计算 。在 平差计算过程中 ,转换参数初值 (特别是旋转角 ) 的 大小 ,直接影响平差系统的稳定性 、 精确性和计算 速度 ,精度差的初值可能使得解算的结果严重偏离 真值 。本文基于共同长度基准 , 不考虑尺度因子 , [3] 讨论几种比较成熟的参数估计方法 : 四元组法 、 奇异值分解法 ( SVD ) 、 迭代法 , 它们都是在最小平 方距离的目标函数下得到转换参数的最优解 。
( - 2 ab - 2 c) Yp i + ( - 2 b + 2 ac) Z p i ] + T1
+ T2
T3 Xq =MΔx + N ( 7)
N2 =
1 2 2 [ ( 2 c - 2 ab ) X p i + 1 +a +b +c
2
( 1 - a + b - c ) Yp i + ( - 2 a - 2 bc) Z p i ] + T2 N3 =
[5]
和 Faugeras等人研究
了基于单位四元组的参数估计方法 , 其算法最终化 为一个二次型最小化时求解最大特征值及对应特 征向量的迭代算法 。 旋转矩阵 R 可由单位四元组元素表示为
q0 + qx - qy - qz R=
2 2 2 2
2 ( qx qy - q0 qz )
q - qx + qy - qz
Δ
解出 Q 的最大特征值 , 其对应特征向量就是四 3 3 元组 q 。将 q 代入式 ( 2 ) 即可求得旋转矩阵 R , 再 结合式 ( 1 ) 可得到位移矢量 T。 三、 奇异值分解法 点集 P、 Q 的质心分别以 p、 q 表示 , 则中心化后 的点集为 p′ i = pi - p
q′ i = qi - q 考虑到噪声干扰和获取数据的不准确性 , 可以 [3 ] 采用减少误差函数的方法 。L in 等 提出了一种基 于最小平方误差函数最小化的方法 。如果以 R 和 T 表示坐标转换参数 , 对于点集 P、 Q 中的任意点 pi , 经变换后为 R pi + T, 它与对应点 qi 的误差为 ‖qi ( R pi + T ) ‖ , 因此转换总误差为
2 0 2 2 2
2 ( qx qz + q0 qy ) 2 ( qz qy - q0 qx )
q0 - qx - qy + qz
2 2 2 2
2 ( qx qy + q0 qz ) 2 ( qx qz - q0 qy )
3
2 ( qz qy + q0 qx )
T
( 2)
列向量 q = [ q0 qx qy qz ] 为单位四元组 , 满足 条件 q0 + qx + qy + qz = 1, q0 ≥0。 点集 P、 Q 的质心分别表示为 p、 q
换模型 、 其线性化误差方程及最小二乘迭代计算公式 。通过实测数据计算表明 , 几种方法在精度上相似 , 四元组法利用了旋转矩 阵的特征和所有可用的特征点 ,计算过程简单快速 ,具有较强的稳定性和实用性 ; SVD 法理论简单 , 算法容易实现 , 但不能保证得 到旋转矩阵 ; 基于罗德里格矩阵的最小二乘迭代法理论较为复杂 ,不易实现 ,但精度可靠 。
Yq 2 - Yq 1 Zq2 - Zq1
a、 b、 c表示
[5 ]
= R Yp 2 - Yp 1
Zp2 - Z p1
结合式 ( 5 ) 、 式 ( 6 ) 及罗德里格矩阵性质 , 得 0 Z p 21 + Z q 21 Yp 21 + Yq 21
Z p 21 + Z q 21
a b = c
0 - X p 21 - X q 21
p = q =
2 2 2 2
1
n
n
∑p
i =1 n
i
二、 四元组法
一对点 pi 和 qi 的坐标关系可由旋转矩阵 R 和
1
n
∑q
i =1
i
由此得到点集 P、 Q 的交叉共生矩阵 Σ
收稿日期 : 2009 2 11 2 09 作者简介 : 杨 凡 ( 1986 —) ,男 ,四川眉山人 ,硕士生 ,主要研究方向为工业测量系统与测量机器人 。
2 2 2
7
T
- 2 ab - 2 c 1 - a +b - c 2 a - 2 bc
2 2 2
- 2 b + 2 ac - 2 a - 2 bc 1 - a - b +c
2 2 2
N = [N 1 N 2 N 3 ]
・
N1 =
1 2 2 2 2 2 2 [ ( 1 + a - b - c ) Xp i + 1 +a +b +c
n
。设反对称矩阵 S 为 0 - c - b ( 5) S = c 0 - a b a 0 其中 , a、 b、 c 相 互独 立 。 R 可由 S 构成 罗 德 里 格 矩阵 - 1 ( 6) R = ( I +S) ( I - S) 其中 , I是 3 阶单位矩阵 。 任意两 组 点 分 别 按 照 式 ( 1 ) 构 建 方 程 组 , 整 理得 X q2 - X q1 X p2 - X p1
Xq i
四、 最小二乘法
旋转矩阵 R 可由罗德里格矩阵 3 个独立参数
Yq i =
Zq i
1 2 2 ・ 1 +a +b +c
2
2010 年 第 6 期 杨 凡 ,等 : 三维坐标转换方法研究 1 +a - b - c 2 c - 2 ab 2 ac + 2 b
Xp i Yp i Zp i T1
( 2 a - 2 bc) Yp i + ( 1 - a - b + c ) Z p i ] + T3
2 2 2
[8 ]
通过公式 Δx = (M M ) (M N ) 迭代计算可 求出改变量的最终值 , 最后求出矩阵 R。
T
- 1
T
五、 算 例
将 5 组实测点的三维坐标数据代入计算 , 可以 得到基 于 各 种 算 法 的 坐 标 转 换 参 数 R、 T。结 合 式 ( 1 ) 将点集 1 转换得到 P ′ = R P + T, 表 1 列出了 基于各算法的每个点的转换误差 。
位移矢量 T 表示为
[4 ]
Xq Yq Zq
i
Xp
i
i
= R Yp
Zp
i
+T
( 1)
i
i
有很多用少量参数就可以描述 R 的运动参数 估计算法 , 这些参数有旋转轴夹角 、 反对称阵 、 欧拉 角以及单位四元组等 。其中单位四元组表示法具 有重要的地位 , 因为其描述 R 时不会有其他方法存 在的奇异点现象 , 而且单位四元组表示的旋转矩阵 运算比较简捷 。 Horn 等人