球坐标系,三位坐标变换,旋转
三维空间中直角坐标与球坐标的相互转换
三维空间中直角坐标与球坐标的相互转换三维直角坐标系三维直角坐标系是一种利用直角坐标(x,y,z)来表示一个点 P 在三维空间的位置的三维正交坐标系。
注：本文所讨论的三维直角坐标系，默认其x-轴、y-轴、z-轴满足右手定则（如右图所示）。
在三维空间的任何一点 P ，可以用直角坐标(x,y,z)来表达其位置。
如左下图显示了三维直角坐标的几何意义：点P在x-轴、y-轴、z-轴上的投影距离分别为x、y、z。
如右下图所示，两个点 P 与 Q 的直角坐标分别为(3,0,5)与(-5,-5,7) 。
球坐标系球坐标系是一种利用球坐标(r, , )来表示一个点 P 在三维空间的位置的三维正交坐标系。
下图描述了球坐标的几何意义：原点O与目标点P之间的径向距离为r，O到P的连线与正z-轴之间的夹角为天顶角，O到P的连线在xy-平面上的投影线与正x-轴之间的夹角为方位角。
假设 P 点在三维空间的位置的三个坐标是。
那么， 0 r 是从原点到 P 点的距离， 0 是从原点到 P 点的连线与正 z-轴的夹角， 0 <>时，与都一起失去意义。
当或时，失去意义。
三维空间下直角坐标与球坐标的相互转换直接坐标转球坐标、、。
球坐标转直角坐标、、。
基于Flex的坐标转换实现直角坐标定义类CartesianCoord.cs package hans_gis.coord{public class CartesianCoord{public var x:Number;public var y:Number;public var z:Number;static private var temp:CartesianCoord = CartesianCoord.ZE RO;public function CartesianCoord(x:Number=0, y:Number=0, z:Number=0){this.x = x;this.y = y;this.z = z;}public function clone():CartesianCoord{return new CartesianCoord(this.x, this.y, this.z);}public function copyTo(n:CartesianCoord):void{n.x = this.x;n.y = this.y;n.z = this.z;}public function copyFrom(n:CartesianCoord):void{this.x = n.x;this.y = n.y;this.z = n.z;}public function reset(newx:Number = 0, newy:Number = 0, newz:Number = 0):void{this.x = newx;this.y = newy;this.z = newz;}static public function get ZERO():CartesianCoord{return new CartesianCoord(0, 0, 0);}}}球坐标定义类SphericalCoord.cspackage hans_gis.coord{public class SphericalCoord{public var radius:Number;public var theta:Number;public var phi:Number;static private var temp:SphericalCoord = SphericalCoord.ZE RO;public function SphericalCoord(radius:Number=0, theta:Nu mber=0, phi:Number=0){this.radius = radius;this.theta = theta;this.phi = phi;}public function clone():SphericalCoord{return new SphericalCoord(this.radius, this.theta, this.phi);}public function copyTo(n:SphericalCoord):void{n.radius = this.radius;n.theta = this.theta;n.phi = this.phi;}public function copyFrom(n:SphericalCoord):void{this.radius = n.radius;this.theta = n.theta;this.phi = n.phi;}public function reset(newradius:Number = 0, newtheta:Nu mber = 0, newphi:Number = 0):void{this.radius = newradius;this.theta = newtheta;this.phi = newphi;}static public function get ZERO():SphericalCoord{return new SphericalCoord(0, 0, 0);}}}坐标转换定义类CoordsTransform.cspackage hans_gis.coord{public class CoordsTransform{public function CoordsTransform(){}public function CartesianT oSpherical(coord:CartesianCoord): SphericalCoord{var radius = this.GetModuloFromCartesianCoord(coord);var theta = this.GetThetaFromCartesianCoord(coord);var phi = this.GetPhiFromCartesianCoord(coord);return new SphericalCoord(radius, theta, phi);}protected function GetModuloFromCartesianCoord(coord:C artesianCoord):Number{return Math.sqrt( coord.x*coord.x + coord.y*coord.y + coor d.z*coord.z );}protected function GetThetaFromCartesianCoord(coord:Car tesianCoord):Number{// return Math.atan(Math.sqrt(coord.x*coord.x + coord.y*co ord.y)/coord.z);return Math.acos(coord.z/this.GetModuloFromCartesianCoo rd(coord));}protected function GetPhiFromCartesianCoord(coord:Cartes ianCoord):Number{return Math.atan(coord.y/coord.x);}public function SphericalToCartesian(coord:SphericalCoord): CartesianCoord{var x = this.GetXFromSphericalCoord(coord);var y = this.GetYFromSphericalCoord(coord);var z = this.GetZFromSphericalCoord(coord);return new CartesianCoord(x, y, z);}protected function GetXFromSphericalCoord(coord:Spheric alCoord):Number{return coord.radius*Math.sin(coord.theta)*Math.cos(coord.p hi);}protected function GetYFromSphericalCoord(coord:Spherica lCoord):Number{return coord.radius*Math.sin(coord.theta)*Math.sin(coord.p hi);}protected function GetZFromSphericalCoord(coord:Spherica lCoord):Number{return coord.radius*Math.cos(coord.theta);}}}实例运行结果附：实例下载。
坐标系转换方法和技巧
坐标系转换方法和技巧1.二维坐标系转换：二维坐标系转换是将平面上的点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
常用的方法有旋转、平移和缩放。
-旋转：通过改变坐标系的旋转角度，可以将点从一个坐标系转换到另一个坐标系。
-平移：通过改变坐标系的平移量，可以将点从一个坐标系平移到另一个坐标系。
-缩放：通过改变坐标系的比例尺，可以将点从一个坐标系缩放到另一个坐标系。
2.三维坐标系转换：三维坐标系转换是将空间中的点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
常用的方法有旋转、平移和缩放。
-旋转：通过改变坐标系的旋转角度，可以将点从一个坐标系转换到另一个坐标系。
-平移：通过改变坐标系的平移量，可以将点从一个坐标系平移到另一个坐标系。
-缩放：通过改变坐标系的比例尺，可以将点从一个坐标系缩放到另一个坐标系。
3.地理坐标系转换：地理坐标系转换是将地球表面点的经纬度坐标转换为平面坐标系（如UTM坐标系）或其他地理坐标系中的点。
常用的方法有投影转换和大地坐标转换。
-投影转换：根据不同的地理投影模型，将地理坐标系中的点投影到平面上。
常用的地理投影包括墨卡托投影、兰伯特投影等。
-大地坐标转换：根据椭球模型和大地测量的理论，将地理坐标系中的点转换为具有X、Y、Z三维坐标的点。
常见的大地坐标系包括WGS84和GCJ-02等。
4.坐标系转换的技巧：-精度控制：在坐标系转换过程中，需要注意精度的控制，以确保转换后的坐标满足要求。
-参考点选择：在坐标系转换过程中，选取合适的参考点可以提高转换的准确性和稳定性。
-坐标系转换参数的确定：在进行坐标系转换时，需要确定旋转角度、平移量和比例尺等参数，可以通过多点共面条件、最小二乘法等方法进行确定。
-转换效率优化：针对大规模的坐标系转换，可以采用分块处理、并行计算等技术来提高转换效率。
在进行坐标系转换时，需要根据具体的需求选择适当的方法和技巧，并结合具体的软件工具进行实现。
同时，还需要注意坐标系转换的精度和准确性，确保转换结果符合要求。
球坐标课件
一种三维坐标系，其中每个点P在空间中由三个参数r、θ、φ来确定，分别表示点P到原点 的距离、点P与正z轴的夹角、点P与正x轴的夹角。
微积分
微积分是研究函数、变量和它们之间的关系的一种数学方法，包括极限、连续性、可微性 、积分等概念。
球坐标系中的微积分
在球坐标系中，微积分的基本概念和定理同样适用，但需要将直角坐标系中的函数和公式 转换为球坐标系中的形式。
总结词
在球坐标系中，向量可以用径向距离、方位角和仰角表示，也可以用直角坐标系中的x、y、z分量表 示。
详细描述
在球坐标系中，向量可以用径向距离、方位角和仰角表示。一个向量可以视为从原点到某一点的有向 线段，因此也可以用这三个参数描述。此外，一个向量也可以用直角坐标系中的x、y、z分量表示， 通过转换公式可以将球坐标系中的向量转换为直角坐标系中的向量。
在球坐标系中，函数通常表示为f(r, θ, φ)，其中r、θ和φ是自变量，函数值是因变量。
球坐标系中的函数性质
周期性
由于θ和φ都是角度，因此它们具有周期性。例如，当θ=0时，表示x轴正方向 ；当θ=π时，表示x轴负方向。因此，θ的周期为2π。同样地，φ的周期也为 2π。
奇偶性
在球坐标系中，函数的奇偶性取决于函数的定义和性质。例如，如果一个函数 f(r, θ, φ)满足f(-r, θ, φ)=f(r, θ, φ)，则该函数是偶函数；如果满足f(-r, θ, φ)=f(r, θ, φ)，则该函数是奇函数。
02 球坐标系中的函数
球坐标系中的函数定义
球坐标系
在三维空间中，以原点为中心，以某固定点为极点，通过旋转得到三个坐标平面。这三个坐标平面与固定点的距 离分别为r、θ和φ，其中r表示原点到某点的距离，θ表示该点在xoy平面上的投影与x轴正方向的夹角，φ表示该 点与xoy平面的夹角。
坐标系之间的换算
• §1 三维坐标系间的变换 • §2 二维坐标系间的变换 • §3 一维坐标系间的变换
§1 三维坐标系间的变换
地球坐标系统 表示方式
笛卡儿坐标
曲线坐标
平面直角坐标
坐标系 中心
地心
参心
站心
参 考 面
总地球椭球 参考椭球
地心大地 坐标系 参心大地 坐标系
大地体
天文 坐标系
投影平面
T
B B1 B2 Bn
X 0 Y0 Z 0 Y dK X Y Z
则误差方程 法方程
ˆL VX BY X ˆ BT PL 0 BT PBY X
Z
0 X
Y X i 0 X Yi Z i 0 Z i Yi
有
dB dX 1 1 da d L A d Y A C d dH dZ X X da A1 Y A1 Y A1C d Z Z T X 0 0 X A1 Y0 A1 Y dK A1 Z i Z Y Z 0 i Zi 0 Xi Yi X X X da X i Y A 1 Y A 1 Y A 1C d 0 Z Z Z
顾及
0 QX i Z X Yi Z i 0 Z i Yi
Zi 0 Xi
Yi X X i Y 0 Z
常用坐标系介绍及变换PPT课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。
球面上的坐标系与坐标变换
❝§3-1 球面坐标系、坐标变换的意义与一般公式❝§3-2 决定新极Q 的地理坐标φ0，λ0❝§3-3 地理坐标φ，λ换算为球面极坐标α，Z❝球面余弦公式Ac b c b a cos sin sin cos cos cos ⋅⋅+⋅=Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ==Bc a c a b cos sin sin cos cos cos ⋅⋅+⋅=Cb a b ac cos sin sin cos cos cos ⋅⋅+⋅=❝球面正弦公式sinacos B =cos b sin c －sin b cos c cos A❝球面边正弦与邻角余弦之积公式球面三角形的基本公式边的余弦公式定理：球面三角形任意边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边的正弦及其夹角余弦的连乘积。
Ac b c b a cos sin sin cos cos cos +=正弦公式定理：球面三角形各边的正弦和对角的正弦成正比。
Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ==一、球面坐标系、坐标变换为在球面上确定点位可是需要采用不同的坐标系。
制图实践中常使用的有地理坐标系（φ、λ），球面坐标系（a, z）和球面直角坐标系（x,y）。
目前以上三种坐标系在测绘技术上应用最为广泛。
三者之间可以进行简单的相互换算。
如下图，其中K 为球面上一点地理坐标为，球面极坐标为。
P 是地理坐标系极点，Q 是球面极坐标系新极点。
二、坐标变换的一般公式()λϕ，()00λϕ，()z ，α由地理坐标系到球面极坐标系之间的变换：()000cos cos cos sin sin cos λλϕϕϕϕ-+=z 在球面三角形PQA ，由边的余弦公式有：()()ϕϕ--=︒︒90cos 90cos cos 0z ()()()00cos 90sin 90sin λλϕϕ---+︒︒即式中φ0、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标()000cos sin cos cos sin cos sin λλϕϕϕϕ--=a z )sin(cos sin sin 0λλϕ-=a z 由第一正余弦公式有()()ϕϕ--=︒︒90cos 90sin cos sin 0a z ()()()00cos 90sin 90cos λλϕϕ----︒︒即由正弦公式有()a z sin 90sin )sin(sin 0ϕλλ-=-︒由此得到：()000cos cos cos sin sin cos λλϕϕϕϕ-+=z ()()0000cos sin cos cos sin sin cos λλϕϕϕϕλλϕ---=tga由球面极坐标到地理坐标之间的变换：a z z cos sin cos cos sin sin 00ϕϕϕ+=在球面三角形PKQ ，由余弦公式有：()()zcos 90cos 90cos 0ϕϕ-=-︒︒()αϕcos sin 90sin 0z -+︒即式中φ0、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标()αϕϕλλϕcos sin sin cos cos cos cos 000z z -=-)sin(cos sin sin 0λλϕ-=a z 由第一正余弦公式有()()()z cos 90sin cos 90sin 00ϕλλϕ-=--︒︒()αϕcos sin 90cos 0z --︒即由正弦公式有()a z sin 90sin )sin(sin 0ϕλλ-=-︒由此得到：αϕϕϕcos sin cos cos sin sin 00z z +=()zz tg sin cos sin cos cos sin cos 000αϕϕαϕλλ-=-由地理坐标到球面直角坐标间的变换：如图POP 1为中央经线，其经度为，新极点Q 位于赤道上，其经度为球面上点A 地理坐标为，，过A 点作垂直圈QAB 与中央经线交于B ，令BO＝x,，BA ＝y 则A 的球面直角坐标为（x ，y）0λ︒+900λϕλ在球面直角三角形PBA 有()()()0cos 9090ctg ctg x λλφ︒︒-=--()()0sin 90sin sin λλϕ--=︒y 于是得到由地理坐标到球面直角坐标的变换公式为()0sec λλϕ-=tg tgx ()0sin cos sin λλϕ-=y在球面直角三角形PBA 有()()yx cos 90cos 90cos -=-︒︒ϕ()()090sin λλ-=-︒tgyctg x 于是得到yx cos sin sin =ϕ()xtgy tg sec 0=-λλ在一般情况下，大多数地图投影都采用地理坐标表示球面位置建立平面直角坐标与的关系。
常用坐标系介绍及变换
➢ GPS定位采用坐标系： 在GPS定位测量中，采在空用间的两位类置和坐方标向应系保持，不变，
或仅作匀速直线运动。
即天球坐标系与地球坐标系，两坐标系的坐 标原点均在地球的质心，而坐标轴指向不 同。天球坐标系是一种惯性坐标系，其坐标 原点及各坐标轴指向在空间保持不变，用于 描述卫星运行位置和状态。地球坐标系随同 地球自转，可看作固定在地球上的坐标系， 用于描述地面观测站的位置。
长半轴： （m） 扁率： 1：298.3
BJ54可归结为： a．属参心大地坐标系； b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数； c. 大地原点在原苏联的普尔科沃； d．采用多点定位法进行椭球定位； e．高程基准为 1956年青岛验潮站求出的黄海平
均海水面。
f．高程异常以原苏联 1955年大地水准面重新平 差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得 。
➢ 为什么选用空间直角坐标系？ 任一点的空 间位置可由该点在三个坐标
面的投影（X，Y，Z）唯一地确定，通过坐 标平移、旋转和尺度转换，可以将一个点的 位置方便的从一个坐标系转换至另一个坐标 系。与某一空间直角坐标系所相应的大地坐 标系（B，L，H），只是坐标表现形式不 同，实质上是完全等价的，两者之间可相互 转化。
几何定义：
ZWGS84
原点—在地球质心
BIH定义的
Z轴—指向 BIH 1984.0 零子午圈
定义的协议地球 （1984.0）
P
N
CTP
赤道
平面
(CTP）方向。
X轴—指向BIH 1984.0
O
的零子午面和CTP 赤道的交点。 Y轴—与Z、X轴构成右
手坐标系。
E
YWGS8
4
XWGS84
三维坐标系的旋转变换
三维坐标系的旋转变换三维坐标系的旋转变换是计算机图形学和几何学中一个非常重要的概念。
它能够将一个物体在三维空间中绕着指定的轴进行旋转，从而改变它相对于其他物体的位置和方向。
本文将介绍三维坐标系的旋转变换的原理、方法和应用，并提供一些指导意义的实例。
一、三维坐标系的基本概念在介绍旋转变换之前，我们先来了解一下三维坐标系的基本概念。
三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成：X轴、Y轴和Z轴。
X轴代表左右方向，Y轴代表前后方向，Z轴代表上下方向。
每个点在三维空间中都可以由三个坐标值来表示，分别表示其在X轴、Y轴和Z轴上的位置。
二、旋转变换的原理旋转变换是通过改变坐标系的方向和角度来实现的。
在三维坐标系中，我们可以选择一条旋转轴，将其视为一个固定不动的轴，然后将其他点围绕着这个轴进行旋转。
旋转角度可以是正数（顺时针方向）或负数（逆时针方向），单位通常是弧度或角度。
三、旋转变换的方法通过旋转变换，我们可以在三维空间中实现各种各样的变换效果，例如旋转、翻转、缩放等。
以下是几种常见的旋转变换方法：1. 绕X轴旋转：围绕X轴进行旋转变换时，我们可以通过改变Y 轴和Z轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。
2. 绕Y轴旋转：围绕Y轴进行旋转变换时，我们可以通过改变X 轴和Z轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。
3. 绕Z轴旋转：围绕Z轴进行旋转变换时，我们可以通过改变X 轴和Y轴的坐标值，来实现点在平面上的旋转效果。
四、旋转变换的应用旋转变换在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
它可以用来进行三维模型的角度调整，实现刚体变换，以及修正物体在三维空间中的位置和方向。
例如，在计算机游戏中，我们可以通过旋转变换来实现角色的动画效果，使其在三维空间中做出各种各样的动作。
五、旋转变换的指导意义掌握三维坐标系的旋转变换对于计算机图形学和几何学的研究和应用都非常重要。
它可以帮助我们理解和分析三维空间中的物体运动和变化，并通过数学方法实现对其的控制和调整。
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球坐标系与直角坐标系的转换关系
球坐标是一种三维坐标。
分别有原点、方位角、仰角、距离构成。
设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
θ∈[0, π] .
当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:
r = 常数，即以原点为心的球面；
θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
φ= 常数，即过z轴的半平面。
与直角坐标系的转换:
1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:
r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2);
φ= arctan(y/x);
θ= arccos(z/r);
球坐标系下的微分关系:
在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：
dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ
球坐标的面元面积是：
dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ
体积元的体积为：
dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用.在测量实践中，球坐标中的θ角称为被测点P（r，θ，φ）的方位角，90°－θ成为高低角。
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。
关于右手笛卡尔坐标系
的x-, y- 和z-轴的旋转分别叫做roll, pitch 和yaw 旋转。
因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。
绕x-轴的旋转定义为: 这里的θx 是roll 角。
绕y-轴的旋转定义为: 这里的θy 是pitch 角。
绕z-轴的旋转定义为: 这里的θz 是yaw 角。
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。
除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。
此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原。