2. 曲线论

法平面方程： [R－r（θ 0）] · r′（θ 0）＝0
{R－[a· e（θ 0）＋pθ
0
· k]}· [a· g（θ 0）＋p· k]＝0
R· [a· g（θ 0）＋p· k]－ p2θ 0＝0
2.1.2 曲线的隐含方程式
1．平面曲线
① .曲线的方程和切线 曲线Γ：F（x，y）＝0 其中 x＝x（t） y＝y（t）
任意一点处密切面的法线矢量 N＝ r′（t）×r″（t）
密切面方程： [R－ r（ t0）]· N＝0 即 [R－ r（ t0）]· [r′（t0）×r″（t0）]＝0 即 （R－ r（ t0），r′（t0），r″（t0））＝0
2. 副法线
密切面π在P点处的法线称为曲线Γ在该点处的副法线N 其单位矢量为： γ＝ r′×r″/|r′×r″|

S a2 p2 S a p
2 2
r a e(
)
pS a p
2 2
k
例8：圆的渐开线在 0～θ 之弧长s： 基圆半径为a的渐开线（平面曲线Γ） 矢量方程： r＝a· e(ζ)－aζ·g(ζ) r′＝aθ e（θ ） ( ζ)
r a 1 2 S a d a 2 0
2、曲线论
2.1、曲线、切线、弧长
2.2、曲线的基本三棱形
2.3、曲线的基本公式 2.4、曲线的曲率和挠率 2.5、曲线上一点邻近的结构 2.6、曲线的本然方程 2.7、实例应用分析
2.1 曲线、切线、弧长
1、参数式曲线方程
2、曲线的隐含方程式
3、曲线的弧长
2.1.1 参数式曲线方程
1. 曲线的参数方程
时称为曲线的逗留点，与 r′×r″＝0 有相同效果
过曲线Γ上点P垂直于主法线β的平面称为从切面
主法线方程： ρ＝r＋w · β （w ） 从切面方程： （R－r）· β ＝0
例题1：
圆柱螺旋线Γ：r＝a · e(θ )＋pθ · k
求：Γ 上任意点：α β γ 解：r′＝a · g(θ )＋p· k
＋[w－z（t0）] · z′（t0）＝0 ④ . 切矢量 r′（t）
r′（t0）≠0 ， P点是Γ上的寻常点
r′（t）≠0 ， 称Γ为简单曲线 r′（t0）＝0时， P点是Γ上的奇异点
单位切矢量 α＝r′（t）/ | r′（t）|
例5：圆柱螺旋线：r＝a · e（θ ）＋pθ · k
（θ ）
r′＝a · g（θ ）＋p· k
r＝OP＝OA＋AP r＝a e（θ ）＋pθ k （θ ）
设螺旋线螺距为s时：螺旋参数p＝s/2π
螺旋升角λ＝atan（s/2aπ） 例3：圆锥螺旋线方程
半锥角α，螺旋参数p的圆锥等距螺旋线方程是
OP＝pζ/cosα r＝pζ/cosα·m（θ ，α） （θ ）
例4. 圆环螺旋线
r＝(b+a· sinkζ)· cosζ·i +(b+a· sinkζ)· sinζ·j +a· cos kζ·k
平面曲线Γ在 t0 时P点的切线和法线方程分别为： 切线方程： [ρ－r（t0）]· N＝0 [ξ－x（t0）]· Fx＋[ε－y（t0）]· Fy ＝0 或：ρ－r（t0）＝λ·T [ξ－x（t0）]/（dx/dt）＝[ε－y（t0）]/（dy/dt）
法线方程：
[R－r（t0）]· T＝0 [u－x（t0）]· （dx/dt）＋[v－y（t0）]· （dy/dt）＝0
P0P＝r（t）－r（t0）
＝ r（t0）＋ r′（t0）Δt＋0.5 r″（t0）Δt2－r（t0） P0P＝ r′（t0）Δt＋0.5 r″（t0）Δt2
密切面π的法线矢量 N∥ r′（t0）× P0P
而： r′（t0）× P0P ＝0.5 r′（t0）×r″（t0）Δt2 取 N＝ r′（t0）×r″（t0）
或： R－r（t0）＝λ·N
[u－x（t0）]/Fx＝[v－y（t0）]/Fy
② .曲线的奇点 当曲线Γ上某点P：Fx＝Fy＝0 ，
切线方向不定，称该点为奇点。
奇点分类：孤立点、结点、尖点
孤立点：
y2＋x4－x6＝0 结点： 在 P（0，0）点
y2－ax3＝0
尖点：
y2－ax3＝0 在P（0，0）点
Σ2 上M点处的法矢量： N2＝[ψx，ψy，ψz]T
Γ在M点的切矢量：T＝ N1×N2
i
T x
j
k
x
y z y z
例6. 曲面：Σ1 2x2+4y2-z＝0
Σ2 4-3x2-y2-z＝0
由Σ1和Σ2相交得空间曲线Γ
Σ1上M点处的法矢量：N1＝[4x，8y，-1]T Σ2上M点处的法矢量：N2＝[-6x，-2y，-1]T
例题2 ： 圆的渐开线Γ：r＝a · e(θ )－aθ · g(θ ) 求：Γ上任意点：α β γ 解：r′＝a · g (θ )－a· g (θ )＋aθ · e (θ )＝aθ · e(θ ) r″＝a · e (θ )＋aθ · g (θ )
r′× r″＝a2θ 2 · k
| r′|＝aθ | r′× r″|＝a2θ
当n→∞时，折线段长度之和的极限即为该曲线段的弧长。 |P i-1P i |＝|r（ti）－r（ti-1）|＝|Δr i|
S n ri
i 1 i 1 t
n
n
ri
t
t
S lim S n r(t ) dt
t 0 t0
由弧长表达式可得：ds＝|r′（t）|dt＝|dr|
副法线方程：ρ＝r（ t0）＋v ·γ
3.特性 当 r′×r″≠0 是可确定密切面，
（v）
r′×r″＝0
时称P0为曲线Γ的逗留点。
① .曲线Γ 上所有点均为 r′×r″＝0时，Γ为一直线，直线的密切面不定； ② .平面曲线的密切面为该曲线所在之平面； ③ .曲线Γ r＝r（t）为平面曲线的充要条件是：（r′，r″，r(3)）＝0 证明：A.设Γ 为平面曲线，副法线 N＝C（常矢量） 平面曲线Γ 的 r′、r″、 r(3) 与r均在同一平面内， r′· N＝0， r″· N＝0， r(3) · N ＝0 当N≠0时 （r′，r″， r(3)）＝0 B.由于N为常矢量， r′· N＝0，两边积分得： r· N＝p （常数） 即 r· N－p ＝0 为平面曲线方程，故曲线Γ 在平面上； 平面曲线在密切面内，即平面曲线Γ 所在的平面称为密切面。
在θ 0点： r（θ 0）＝a · e（θ 0）＋pθ
0
· k
r′（θ 0）＝a · g（θ 0）＋p· k
切线方程：ρ＝r（θ 0）＋u· r′（θ 0）
ρ＝a · e（θ 0）＋pθ
0
（u）
· k＋u[a · g（θ 0）＋p· k]
＝a · e（θ 0）＋u a· g（θ 0）＋p（u＋θ 0）· k
r（t0）＝[x（t0）,y（t0）,z（t0）]T
r′（t0）＝[x′（t0）,y′（t0）,z′（t0）]T ② .切线对称方程
ρ－r（t0）＝u· r′（t0）
[ξ－x（t0）]· i＋[ε－y（t0）]· j＋[δ－z（t0）]· k ＝u· [x′（t0）· i＋y′（t0）· j＋z′（t0）· k]
（θ ）
r″＝-a · e(θ )
r′× r″＝a2 · k－a p· g(θ ) | r′|＝（a2 ＋p2）1/2 | r′× r″|＝a· （a2 ＋p2）1/2
α r / r
a a2 p2
g ( )
p a2 p2
k
r r p a γ g( ) k 2 2 2 2 r r a p a p β γ α e( )
2.2.3 曲线的主法线及从切面
1. 曲线Γ： r＝r（t）
切线单位矢量 ： α＝r′/|r′| 副法线单位矢量： γ＝ r′×r″/ | r′×r″|
主法线单位矢量： β＝ γ×α
主法线方向矢量： B＝（r′×r″）×r′＝r′2 · r″－（r′·r″）r′ 2. 曲线Γ： r＝r（s）
切线单位矢量 ：
半径为b的 圆周上,半径 为a之圆环螺 旋线Γ,圏数 k为正整数。
(ζ)
2. 参数式曲线的切线与法平面
曲线Γ ：r＝r（t）
参数t
r′（t0）为与t0对应的P点处Γ 的切矢量 如图曲线Γ 在P点的切线L、法平面M
① .切线矢量方程
ρ＝r（t0）＋u· r′（t0） 在σ里：ρ＝[ξ,ε,δ]T （u）
x(t0 ) y(t0 )
x(t0 ) y(t0 )
③ . 法平面方程

z (t0 )
z(t0 )
u
曲线Γ上任意一点P的法平面M，其上一点G
PG⊥r′（t0），M上G点的矢径 R＝[u,v,w]T [R－r（t0）] · r′（t0）＝0
[u－x（t0）] · x′（t0）＋[v－y（t0）] · y′（t0）
设有曲线Γ ：r＝r（t） 参数t （t1≤t≤t2 ） 在坐标系σ 中表示为：
r＝x（t）i＋ y（t）j＋ z（t）k
或：x＝x（t），y＝y（t），z＝z（t） 例1：直线方程
过r（t0） 点，平行于e的直线方程是
r＝r（t0）＋u· e （参数 u）
例2：圆柱螺旋线方程
半径为a，螺旋参数p的圆柱螺旋线方程是
ห้องสมุดไป่ตู้
α dr / ds r r 2 r (r r ) r r α r α α r rr r 0 α r α r
主法线方向矢量： B
主法线单位矢量：
β r/ r γ αβ
副法线单位矢量：
r 0
3. 从切面