大学物理(中国矿业大学出版社)第九章习题

第九章习题

9.1 卢瑟福试验证明，当两个原子核之间的距离小到15

10

m -时，他们之间的排斥力仍遵守

库伦定律。金的原子核中有79个质子，氦的原子核中有两个质子。已知每个质子带电量为：

191.6010C e -=?，α粒子的质量为276.6810kg -?，当α粒子与核相距为156.910m -?时，

求：⑴

α粒子所受的力；⑵ α粒子的加速度。

解：α粒子的带电量为：2Q e α=，金核的带电量为：19Q e =金 15

6.910

m r -=?，276.6810kg M α-=?

2

22

279764N Q Q e F k k r r

α?===金 加速度()2921.1410m s F

a M α

=

=? 9.2 两个相同的小球，质量都是m ；带等量同号电荷q ，各用长l 的细线挂在一起，设平衡时两线夹角为2θ很小。

⑴ 证明下列近似等式：13

202q l x mg πε??

= ???

式中x 为两球平衡时的距离。

⑵ 如果 1.2m l =，2

1.010kg m -=?，2510m x -=?，则每个小球上的电荷q 是多少库

仑？

解：⑴ 对m 进行受力分析列方程为：

cos mg T θ=， sin F T θ=电

tan 2F x

mg l

θ=

=电（θ很小时，tan 2x l θ≈）

即：13

2232

02002422q x q l mgx q l x mgx l mg πεπεπε??=?=?= ???

⑵ 132

32

8002

022 2.3810C 42mgx q x mgx q l q mgx l l πεπεπε-??=?=?==? ???

9.3 两个点电荷带电量为2q 和q ，相距为l ，将第三个电荷放在何处，所受库仑力为零？

解：01201214qq F r πε=

，0

22

02

14qq F r πε= 方向相反

当所受合力为零时，12122212

21:F F r r r r =?=?=

)1221r r l r l +=?=

（2r 为距q 的位置）

(1

2r l =- （1

r 为距2q 的位置）

9.4 两个点电荷，618.010C q -=?，621610C q -=-?，相距0.2m ，求离它们都是0.2m 出

的电场强度E

。

解：由图中可得，1q ，2q 产生的电场强度应该是1E

和2E

的合成。

()966

1

12

0910810 1.810N C 40.04

q E r πε-???===? ()96

62

12

09101610 3.610N C 40.04

q E r πε-???===? 电场强度为：()6

12cos60cos60 2.710

N C x E E E =+=?

()6

12sin60sin60 1.5610N y E E E =-=-?

大小为：()63.110V m E =

=?，方向：与12q q 连线成30 ，右斜向下。

9.5 有四个正点电荷，电量都是q ，分别放在边长为a 的正方形的四个顶点。求正方形中心 放一个什么样的电荷，可以使每个电荷都达到平衡。

解：正方形中心处的电荷为'

q ，四个顶点处的为q ，正方形的边长为a ，则右下顶点处

的电荷所受的电荷力为：2

12

014q F a πε=方向竖直向下

222014q F a πε=方向水平向右，2

32

0142q F a πε=方向沿着对角线向外

这四个力的合力为：2

312

01142q F F a πε?==

??合方向沿着对角线向外

此电荷所受中心电荷的力为：'222001211442qq q F F a a πεπε?==-=-+??合

12

因此中心所放的电荷应为：'

14

q +=-

9.6 有一均匀带电的细棒，长度为L ，所带总电量为q 。求：⑴ 细棒中垂面上到棒的距离为a 处的电场强度；⑵ 细棒延长线上到棒中心的距离为a 处的电场强度大小。 解：

9.7 半径为R 的半球面，均匀带电，电荷密度为σ，求球心处的电场强度。

解：分析：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O 点

处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。

带电圆环在P 点的场强为：()

3

22201?4qx

E r a x πε=+ 在本题中，cos x h R θ==，a r = 所以可得：()

3

3

2

2

2

0044hdq hdq

dE R r h

πεπε=

=

+

上式中()2

22sin dq r Rd R d σπθπσθθ==

即：33

00

2sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσ

θθθπεε== 整个半球面为：200

0sin cos 24E dE d π

σ

σθθθεε===??

??

，方向沿半径向外

9.10 半径为R 的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求电场强度分布。 解：无限长圆柱体带电所激发的电场具有轴对称性，可用高斯定理。

取高斯面为：半径为r ，长为l 的圆柱体，轴线为圆柱带电体的轴线。 当r R <时，高斯定理为： 2110

1

22r E rl r l E ρπρπεε?=

?=

当r R >时，高斯定理为：

2

2

22001

22R E rl R l E r

ρπρπεε?=?=

9.11 在半径为1R 和2R 的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷1Q 和2Q ，求：⑴ Ⅰ， Ⅱ，Ⅲ三个区域内的电场强度分布；⑵ 若12Q Q =-，情况如何。

解：⑴ 电荷激发的电场为球对称，取高斯面为雨带电球面同球心，半径为r 的球面，由

高斯定理可得：1

2

112012

20

04r R Q E r R r R Q Q r R πεε??

??=<

??+>?

?

所以可得到电场强度的表达式为：10E =，10r R << 1

22

014Q E r πε=

，12R r R <<

12

32

014Q Q E r

πε+=

，2r R > ⑵ 若12Q Q =-，10E =，10r R <<，

1

22

014Q E r

πε=

，12R r R << 30E =，2r R > 9.12 两无限大的平行平面均匀带电，面电荷密度分别为σ±，求各区域的电场强度分布。

解：忽略板外表面及边缘处的电荷分布带来的不均匀性，电场只分布在两极板之间，而

且场强的方向垂直于极板。

取一圆柱形高斯面，其中一底面在极板，另一底面在两板之间。由高斯定理可得：

1

i i

S

E dS q ε?=

∑? 00

S ES E σσ

εε?=

?= 当在板外时，正负电荷相互抵消，则0E = 所以在两无限大的平行平面的电场分布为：0

E σ

ε=

（板间区域） 0E = （板外区域）

9.13 两平行平板相距为5mm ，均匀带电后，电势差为30V ，求两板之间的电场强度。

解：W qU Fs qEd U Ed ===?=， 因此两板之间的电场强度为： ()3306000V m 510

U E d -=

==? 9.14 在一电荷面密度为σ的无限大均匀带电平板的电场中，求：⑴ 与平板的距离为d 的一点A 和平板之间的电势差；⑵ 与平板相距分别为1d ，2d 的两点B ，C 之间的电势差

()12d d <；⑶ 有一质量为m ，带电e -电荷的尘粒，从点A 开始向平板移动，问达到平板

上时的速率为多少？

解：⑴ 0

00

22AO

A O d d d U U U Edl dl σσεε=-===-

???? ⑵ ()2

2

1

1210

022d

d BC B C d d U U U Edl dl d d σ

σεε=-=

==-????

⑶ 电场力所作的功等于动能的增量。

20122AO e d eU mv v σε-=

=?=

9.15 如图所示，在点电荷q +和q -产生的电场中，若将一点电荷0q +，沿箭头所示路径由a 点移至b 点，求外力所作的功。

解：000488a q q q U U U l

l

l

πεπεπε+-=+=-

=

0b U =

电场力所作的功为：()00008ab a b a q q

A q U U q U l

πε=-==

外力应克服电场力作功：008q q

A l

πε=-

外 9.16 求题9.10中无限长带电直圆柱体的电势分布（以轴线为零电势参考点）

解：电场强度分布为：10

2r

E ρε=

，0r R << 2

202R E r

ρε=，r R >

并由题意可知，电势为零的点为轴线处，即0r =处。 当0r R <<时，电势为：2

110

4r

r

r U Edr E dr ρε=

==-?

?

当r R >时，电势为：220

22100ln 42R

r

r

R R R R

U Edr E dr E dr r

ρρεε=

=+=-+?

?

?

9.17 求题9.11中同心均匀带电球面在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个区域内的电势分布。

解：电场强度的分布为：10E =，10r R << 1

22

014Q E r πε=

，12R r R <<

12

32

014Q Q E r

πε+=

，2r R > 当10r R <<时，12

1

2

1123R R r

r

R R U Edr E dr E dr E dr ∞

∞

=

=++?

???

2

12

112001144R R R Q Q Q r r πεπε∞

+????

=-- ? ????? 1201

02

44Q Q R R πεπε=

+

当12R r R <<时，22

223R r

r

R U Edr E dr E dr ∞

∞

==+?

??

112

0202

1144Q Q Q r R R πεπε??+=

-+

??? 12002

44Q Q r

R πεπε=+

当2r R >时，12

12332001144r

r r Q Q Q Q U Edr E dr dr r

r πεπε∞

∞

∞

++=

===????

? 9.18 电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，求球体内外的电势分布。

解：电场强度分布：由高斯定理得到：0

S

q

EdS ε=

?

2

3302013444314Q r E r r R R r E Q r R

ππεππε?=

??=>??

电场强度的表达式为：()13

04Qr

E r R R πε=

< ()22

04Q E r R r πε=

>

当r R <时，112R

r

r

R

U Edr E dr E dr ∞

∞

=

=+?

??

222

33

00003422488Q

R r Q Q Qr R R R

πεπεπεπε??=-+=- ???

当r R >时，2204r

r

Q U Edr E dr r

πε∞

∞

=

==

?

?

9.19 已知某静电场的电势函数为()22667SI U x x y y =--。求空间某点()2,3,0处的电场强度。

解：22667U x x y y =-- 612x U E xy x ?=-

=-+?， 2614y U

E x y y

?=-=+? 在（2，3，0）处，2,3,0x y z ===，66x E =，66y E =

所以电场强度：??6666E i j =+

9.20 若有一电场，其电势表达式为()()122

222

ax b

U x y x y =+++，式中a 和b 为恒量，求空间任意点的电场强度。

解：

()()

()

12

2

2

2

2

2222222a x y ax

bx x y U x x y x y +--+?=+?++

()

()()

222

32

2

22

2a y x bx

x

y

x

y

-=

-

++

()()232

22222U axy by y x y x y ?-=-?++ ()()()

22

2322222x a x y U bx

E x x y x y -?=-=+?++ ()()

23222222y U axy by

E y x y x y ?=-

=+?++