单摆非线性动力学

单摆的非线性动力学分析亚兵（交通大学车辆工程专业，，730070）摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。

对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。

再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。

关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力Abstract:The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation. Drawing tools with help from matlab, small angle and wide-angle pendulum motion simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement.Key words: simple pendulum; vibration; damp; drive force1 引言单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动。

θ=时, 随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至0加速度取极小值。

本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运，得出了在运动过程中.,tθθθ--的关系。

图1 单摆模型2单摆的线性情况2.1线性单摆的无阻尼振动如图所示，忽略细绳重量，也不计小球受到的空气阻力，则上诉单摆可看成理想单摆，对其进行受力分由牛顿第二定律得：θsin mg ma -=（1） 因为2222dtd l dt s d a θ==)(θl s = （2）把（2）代入（1）式可得0sin 22=+θθmg dtd ml（3）将（3）两端同除以ml 可得 0sin 22=+θθl gdt d （4） 令lg=0ω，其中0ω为自然频率.则（4）可变为 0sin 2022=+θωθdtd （5） 当θ很小时,θθ=sin故有,02022=+θωθdt d （6）解此方程得:t i ti e C eC t 0021)(ωωθ-+= （7）若θ为实数,则有θθ=*,即t i t i ti t i e C e C e C e C 000021*2*1ωωωω--+=+ （8）所以, *21C C =, *12C C = （9）令ϕi e A C 21=,ϕi e A C -=22.则有())cos(2)(0)()(0ϕωθϕωϕω+=+=+-+t A e e A t t i t i （10） )cos()(0ϕωθ+=t A t （11）从能量守恒方面考虑:0022=+θωθdtd 可变形为 020=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛θωθθθdt d d dt d d （12） 令dtd θθ='，则有 0''20=+θωθθθd d （13）两边同时乘以θd ，得到 0''20=+θθωθθd d （14）在对两边求积分， ⎰⎰⎰=+θθθωθθd d d 0''20 （15）积分结果为E =+220221'21θωθ （16） 令2'21θ=T (动能),22021θω=V (势能). 则有E V T =+,机械能守恒.E =+220221'21θωθ为椭圆方程：图2 无阻尼单摆的相平面轨迹图3 有阻尼和有驱动力单摆的运动分析有阻尼和有驱动力单摆的运动方程为...2sin cos f t θβθθ++=Ω (17) 在任意大振幅下，方程(17)的解变得十分复杂，下面利用计算机模拟，分别讨论单摆运动随初值的变化和其混沌运动。

3.1 初值不同所产生的t θ-曲线为简单计，设0.10,1,2/3f β==Ω=，当t=0时，两振动初始条件相差极小，有.11.12(0)0, (0)0.01(0)0.01, (0)0θθθθ⎧==⎪⎨⎪=-=⎩ (18) 取0120t s ≤≤，对(6)式在初始值(18)式下利用MATLAB 绘图，其t θ-变化曲线如图4所示(其中实线为1t θ-，虚线为2t θ-)。

图3 有阻尼和驱动力的t θ-图由图4可以看出，当025t s ≤≤时，两条曲线重合，两个解12()()t t θθ、不能分辨；但当25t s ≥时，两条曲线不再重合，两个解12()()t t θθ、、完全不一样，这种混沌运动对初始条件的敏感性称为蝴蝶效应。

3.2 振幅不同所产生的相图.θθ-为简单计，设方程(17)中，除驱动参数f 取变值外，其余参数不变，即0.25,2/3β=Ω=。

对(17)式在初始值式.(0)0, (0)0θθ==下利用MATLAB 作计算模拟绘图，相图.θθ-如图3所示。

当 1.06f =时，振荡周期τ等于外加周期力的周期T ，2/3T τπϖπ===，应应单周期解，其相图.θθ-如图4示。

图4当 1.07f =时，3T τ=，对应三倍周期解，其相图.θθ-如图5示。

图5当周期强迫力的振幅达到某一临界值 1.684f σ=时，2T τ∞→，系统运动出现混沌，其相图.θθ-如图6示。

图64 无阻尼、无驱动力单摆的运动稳定性当单摆的阻尼因数为0时，即当单摆既无驱动力又无阻尼时，单摆的运动方程为0sin =+θθmg ml 此线性系统的本征方程和本征值分别为012=+λ ωλi ,21±=本征值为纯虚根，线形方程的零解是为稳定的。

将初值设定为：初始角度θ=1.8，角速度为0，此时的阻尼因数驱动力都为0，利用matlab ，作出此时的单摆运动的相图为图8所示。

-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4角度角速度图7 阻尼为0驱动力为0单摆的小摆角运动相图由图可知，无阻尼、无驱动力的单摆运动的相图是一个极限环。

因此这种单摆的运动是稳定的。

由此可以验证，当角度很小时，方程的推导是正确的，即线性时是稳定的。

当增大初始角度，令θ=45时保持其他条件不变，利用matlab 绘出大角度单摆无阻尼无驱动里的相图，如图9。

-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8角度角速度图7 阻尼为0驱动力为0单摆的大摆角运动相图由图可知，当摆角变大时，无阻尼、无驱动的单摆运动的相图也是一个极限环，也就是说，此时的单摆运动也是稳定的。

综上所述，由方程推导的结果以及利用工具matlab 绘图所得到的结论都是相同的，即不论摆角的大小，无阻尼、无驱动力的单摆的运动都是稳定的5 结论本文以单摆为研究对象。

研究了实际条件下的单摆问题，即含阻尼的受迫运动。

在受迫阻尼运动中，单摆的运动反映出如下特征，即:(l)描述运动特征的动力学方程是非线性的；(2)这些非线性的方程是“确定性的”，不包含任何随时间变化的随机项； (3)在某些情况下，系统运动轨道的时间行为存在对初始条件的敏感性，初始条件的微小差异可能导致结果的变化非常大；(4)整个系统长期行为的全局特征与初始条件无关。

从本文的分析中，结合各种情况下的位移时间图像及相图，我们可以得出以下结论：（1）在摆角较小即5θ<时，单摆其相轨迹是围绕原点的椭圆曲线，即我们所熟知的简谐运动相轨迹，此时单摆在平衡位置附近作简谐运动；随着摆角的增加，单摆作非线性振动，周期与摆角θ有关，周期随摆角θ的增大而增大。

因此，当摆角较大时，单摆运动存在若干稳定点和鞍点(不稳定点)，振动曲线和周期是非线性振动的结果；（2）在有阻尼和有驱动力的情况下，非线性单摆的振动对初始条件非常敏感，称为蝴蝶效应；在有阻尼和有驱动力的情况下，若取某一参数变值由小到大，其余参数不变，非线性振动的相图会出现由单周期解→倍周期解→四周期解…混沌→单周期解…，如此反复。

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