地质统计学基本原理
地质统计学简介及其应用
基本理论介绍：
变差函数分析实际是确定数据在方向和距离两方面的变化率
头
尾
滞后距(Lag)
散 点 图
半变差函数
半变差函数图的构成
变差函数图中各部分的名称
基台
变程
跃迁
变差函数图 的构图机理
关 系
变差函数图
半变差函数
H-散点图
二 维 变 差 函 数 模 型
主轴变差图
附轴变差图
三 维 变 差 函 数 模 型
权系数的确定
普通克里金
普遍采用于成图的算法；
远离数据点的值是寻找范围内的数据点的平均值。
3、非稳态克里金 (Nostationary Kriging)
非稳态克里金
比较灵活的克里金算法，因为可以设置网格点的值； 网格点的平均值来自于大范围的数据，而成图区只是一部分。
4、内在趋势克里金
(Universal Kriging)
且统计数据要达到一定的数量。
主要优点是：考虑了数据场的方向性。 其核心是：寻找到相邻数据点对所求点的权。
二、克里金算法介绍
常 用 的 几 种 克 里 金 算 法
1、简单克里金
2、普通克里金 3、非稳态克里金 4、内在趋势克里金
（泛克里金）
（Simple Kriging)
(Ordinary Kriging) (Nostationary Kriging) (Universal Kriging)
组成变差函数模型的结构类型
ห้องสมุดไป่ตู้
球型
高斯
跃 迁
指数
幂函数
变差模型结构
半 变 差 函 数
滞后距
四、一个应用实例
---应用三维属性数据建立砂体模型
多点地质统计学原理、方法及应用__概述及解释说明
多点地质统计学原理、方法及应用概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨多点地质统计学的原理、方法及应用，为读者提供一个全面了解该领域的概述。
多点地质统计学是一门研究如何有效地利用多变量数值以及空间数据进行地质分析和预测的学科。
它通过综合多种数据，包括物理测量数据、遥感图像数据和野外调查数据等，来实现对不同地质现象和过程的建模与研究。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织内容：首先介绍多点地质统计学的基本原理，包括其定义与概念、基本假设以及原理解释。
随后，针对多点地质统计学的方法进行详细阐述，探讨数据收集与预处理、变量选择和缺失值处理以及统计模型拟合与优化算法应用等关键步骤。
接下来，我们将通过具体案例研究来展示多点地质统计学在矿产资源评估与勘探、地下水资源管理与保护以及石油勘探与开发中的应用实践。
最后，在结论部分对全文进行概括总结，并展望未来多点地质统计学研究的发展方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍多点地质统计学的原理、方法及应用，以帮助读者对该领域有一个清晰的认识。
通过阐述基本原理和方法，读者可以了解多点地质统计学在地质分析和预测中的重要性。
此外，通过具体案例的引入，读者将能够更好地理解多点地质统计学在实际问题中的应用价值和潜力。
最后，通过对未来研究方向的展望，读者可以获得一些启示，并为自己在该领域开展研究提供参考。
2. 多点地质统计学原理2.1 定义与概念多点地质统计学是一种广泛应用于地质科学领域的统计学方法。
它通过对多个地点上的地质数据进行收集、分析和解释，旨在揭示地下资源的分布规律和空间变异性。
多点地质统计学基于一系列假设和方法，能够提供可靠的预测结果和决策依据。
2.2 基本假设在多点地质统计学中，存在几个基本假设：- 空间自相关假设：相邻位置上的地质现象存在关联性，即一个位置的观测值可能受到相邻位置观测值的影响。
- 空间平稳假设：在整个研究区域内，不同位置上的地质变量具有类似的变异性。
地质统计分析
2 (42 35)2 (35 35)2 （ 35 35 ） (40 39)2 (39 38)2 (38 37)2
第二类是无基台值模型，包括幂函数模型、线性 无基台值模型、抛物线模型；
第三类是孔穴效应模型。
（1）纯块金效应模型。其一般公式为：
0 ( h) c0 h0 h0
式中：c0>0，为先验方差。该模型相当于区域 化变量为随机分布，样本点间的协方差函数对于 所有距离h均等于0，变量的空间相关不存在。
2 (h) h
分维数 D 为双对数直线回归方程中的斜率， 它是一个无量纲数。分维数 D 的大小，表示变 异函数曲线的曲率，可以作为随机变异的量度。 但该随机分维数 D 与形状分维数有本质的不同。
5.变异函数的理论பைடு நூலகம்型
地统计学将变异函数理论模型分为三大类：
第一类是有基台值模型，包括球状模型、指数模 型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应 模型；
地统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究那些在空 间分布上既有随机性又有结构性，或空 间相关和依赖性的自然现象的科学。 协方差函数和变异函数是以区域化变量 理论为基础建立起来的地统计学的两个 最基本的函数。地统计学的主要方法之 一，克立格法就是建立在变异函数理论 和结构分析基础之上的。
缺失值情况下样本数对的组成和计算过程，☉为缺失值
首先计算南北方向上的变异函数值，由变异函数的 计算公式可得：
(1)
1 [( 40 42) 2 (42 37 ) 2 (37 35)2 (35 36) 2 (36 38)2 (37 38) 2 2 36
地质统计学
地统计（Geostatistics）又称地质统计，是在法国著名统计学家G. Matheron大量理论研究的基础上逐渐形成的一门新的统计学分支。
它是以区域化变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现象的一门科学。
凡是与空间数据的结构性和随机性，或空间相关性和依赖性，或空间格局与变异有关的研究，并对这些数据进行最优无偏内插估计，或模拟这些数据的离散性、波动性时，皆可应用地统计学的理论与方法。
地统计学与经典统计学的共同之处在于：它们都是在大量采样的基础上，通过对样本属性值的频率分布或均值、方差关系及其相应规则的分析，确定其空间分布格局与相关关系。
但地统计学区别于经典统计学的最大特点即是：地统计学既考虑到样本值的大小，又重视样本空间位置及样本间的距离，弥补了经典统计学忽略空间方位的缺陷。
地统计分析理论基础包括前提假设、区域化变量、变异分析和空间估值。
第一章品位与储量计算第一节概述投资一个矿床开采项目，首先必须估算其品位和储量。
一个矿床的矿量、品位及其空间分布是对矿床进行技术经济评价、可行性研究、矿山规划设计以及开采计划优化的基础，是矿山投资决策的重要依据。
因此，品位估算、矿体圈定和储量计算是一项影响深远的工作，其质量直接影响到投资决策的正确性和矿山规划及开采计划的优劣。
从一个市场经济条件下的矿业投资者的角度看，这一工作做不好可能导致两种对投资者不利的决策：(1)矿体圈定与品位、矿量估算结果比实际情况乐观，估计的矿床开采价值在较大程度上高于实际可能实现的最高价值，致使投资者投资于利润远低于期望值，甚至带来严重亏损的项目。
(2)与第一种情况相反，矿床的矿量与品位的估算值在较大程度上低于实际值，使投资者错误地认为在现有技术经济条件下，矿床的开采不能带来可以接受的最低利润，从而放弃了一个好的投资机会。
然而，准确地估算出一个矿床的矿量、品位绝非易事。
大部分矿体被深深地埋于地下，即使有露头，也只能提供靠近地表的局部信息。
地质统计学
第一章绪论一、历史背景与产生地质统计学是二十世纪六七十年代发展起来的一门新兴的数学地质学科的分支。
它开始主要是为解决矿床从普查勘探、矿山设计到矿山开采整个过程中各种储量计算和误差估计问题而发展起来的。
它是由法国著名学者G. 马特隆教授于1962年创立的。
其核心即所谓的“克立格”。
它是一种无偏的最小误差的储量计算方法。
该方法按照样品与待估块段的相对空间位置和相关程度来计算块段品位及储量，并使估计误差为最小。
这是南非采矿工程师D. G. Krige 根据南非金矿的具体情况与1952年提出的，故命名为克立格法。
后来法国学者G. 马特隆（Matheron）对克立格提出的方法进行研究，认为克立格提出的方法是在考虑了空间分布特征的基础上，合理地改进了统计学，是一种传统方法与统计学方法结合起来的新方法。
同时为了解决具二重型（结构型与随机性）的地质变量的条件下使用统计方法的问题。
马特隆教授提出了区域化变量的概念（Regionalized Variable），从而创立了地质统计学。
根据地质统计学理论，地质特征可以用区域化变量的空间分布特征来表征。
而研究区域化变量的空间分布特征分布的主要数学工具是变差函数（Variogram）。
到七十年代中后期，马特隆的学生JOURENL等在研究其它地质变量的基础上，认为某些地质变量并不是一成不变的，而是有一定波动的，这样使用克立格法就不能很好再现地质变量的分布特征。
因此他们采样模拟的方法，将克立格估计的离散方差的波动性模拟出来，从而产生了随机模拟法。
因此，从二十世纪八十年代以来，地质统计学分为两派：一派以法国的马特隆教授等人为主，仍致力于克立格估计的研究；一派以美国JOURENL等人为主，主要致力于随机模拟方法的研究。
地质统计学的产生是在经典统计学的基础上发展起来的。
在此前，为了反映地质变量的空间变化性，一些地质学家曾经使用一些经典的概率统计方法来研究地质变量。
但由于地质变量并不是纯粹的随机变量，因此，直接用简单的统计方法解决复杂的地质问题，有一定的局限性。
地质统计学资源量估算概述
（2）连续性：不同的区域化变量具有不同的连续 性，这种连续性是通过相邻样品之间的变异函数 来描述的。
（3）异向性：当区域化变量在各个方向上具有相 同的性质时称各向同性，否则称各向异性。
（4）相关性：一定范围内、一定程度上的空间相 关性，当超出这一范围后相关性减弱以至消失。
地质统计学资源量估算
功能组成
• 操作简便的资源量汇总方法，任意方向的 品位切图
地质统计学资源量估算应用条件
• 勘探程度高的工作区 • 矿山储量核实 • 矿山采矿设计 • 矿体规模
基本术语
• 资源量，储量，资源储量
• 估算，计算
• 资源量分级：（国内的）331，332，333，334 （国际的）Measured(探明的），
Indicated（控制的），Inferred（预测的）
地质统计学概述
• 定义 地质统计学(Geostatistics)包含经典统计学 与空间统计学，按其基本原理可定义为： 地质统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究那些在空间 分布上既有随机性，又有结构性的自然现 象的科学 。
从地质及矿业角度来看，区域化变量具有如下性质：
（1）空间局限性：即它被限制在一个特定的空间 （如一个矿体内）；该空间称为区域化的几何域； 区域化变量是按几何支撑定义的。
矿体建模：创建矿体三维模型，建行统计分析，样品等长化，特高品位处 理。
品位插值：计算变差函数，块体品位插值计算。 资源量汇总、图表：对已插值模型，按要求统计资源量，形成报表和图形。
地质统计学资源量估算程序
• 方便的三维建模功能
• 实现简单克里格、普通克里格、指示克里 格、距离密次方反比等多种插值计算方法
地质统计学原理
地质统计学原理
1 变差函数（Variogram）基础
变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。
变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。
这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。
通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。
1.1 变差函数原理与数据分析
1.1.1 变差函数的原理
变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。
计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。
Sample variogram
从一组实验样本数据中计算结果。
Variogram model
根据理论变差函数模型拟合的结果。
Transition
曲线类型。
常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。
Plateau
在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。
Range
变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。
变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。
1。
地质统计学[精]
![地质统计学[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/bd022813a417866fb84a8e90.png)
• 指示克立格法(Indicator Kriging)
•协同克里格法（Co-Kriging）
• 协同克里格法（Co-Kriging）
•协同克里格法（Co-Kriging）
• 地质统计学的发展
自70年代，地质统计学的发展突飞猛进。在此期间， 从理论突破的频度、论文发表的篇数、以及世界各地对地 质统计学所表现的极大关心程度，都说明地质统计学达到 了前所未有的发展阶段。目前条件模拟技术广泛应用于石
油、采矿、水文、和环境保护等领域中。研制出一批高水 平的地质统计学方法计算程序软件。在地质统计学的理论 及方法基础上开发了许多成熟的应用软件。如美国开发的 矿床建模软件包（Deposit Modeling System），功能上 可覆盖矿山地质设计的全过程；而MICL（英国矿业计算 机有限公司）开发的DATMINE软件包，则集地、测、采 于一体；法国巴黎高等矿院地质统计学研究中心研制出两 种大型软件系统:ISATIS系统及HERESIM系统；澳大利亚 的MICROMINE软件,SURPAC软件，加拿大的GEOSTAT 软件，CAMET软件和GLS软件系统等。
•相关关系
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 不相关
正相关 负相关
正相关 负相关
完全正线性相关
正线性相关
散点图
(scatter diagram)
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
到上世纪60年代，才认识到需要把样品值之间的相似 性作为样品间距离的函数来加以模拟，并且得出了半变异 函数。法国概率统计学家马特隆（Matheron）创立了一个 理论框架，为克立格作出的经验论点提供了精确而简明的 数学阐释。马特隆创造了一个新名词“克立格法” （Kriging），藉以表彰克立格在矿床的地质统计学评价工 作中所起到的先驱作用。即1962年，马特隆在克立格和西 奇尔研究的基础上，将他们的成果理论化、系统化，并首 先提出了区域化变量（Regionalized variable）的概念， 为了更好地研究具有随机性及结构性的自然现象，提出了 地质统计学（Geostatistics）一词，发表了《应用地质统 计学》，该著作的出版标志着地质统计学作为一门新兴边 缘学科而诞生。地质统计学开始进入了学术界。在法国枫 丹白露成立了地质统计学中心（Centre de Geostatistiques），培养了一大批学员，不仅为地质统计 学的研究而且为它的传播起到了巨大的作用。
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Z(x 差h)的方差之半定义为区域化变量 的Z(变x)差函数，记为
(x, h)
(x, h) 1 Var[Z (x) Z (x h)]
2
变差函数定义
• 定义：在任一方向 a ，相距 | h |的两个区域 化变量 Z(x) 和 Z(x h) 的增量的方差的一半。
• 公式： (h) 1 E[Z (x) Z (x h)]2
几点注意内容
• 变差函数参数
• 块金值：块金值越小，距离越近的点越重要，这样会导 致权值的变化范围变大（从负值到大于1的值变化），使 数据出现异常。块金值越大，估值结果越平滑。
当时h 0，上式变成：
Var[Z(x)] C(0) x
即它有有限先验方差。
本征假设
当区域化变量Z(x) 的增量 Z(x) Z(x h) 满足下列两个条 件时，称该区域化变量满足本征假设： （１）在整个研究区内，区域化变量Z(x的) 增量 Z(x) Z(x 的h)
期望为０： E[Z(x) Z(x h)] 0 x,h
滞后距
实验变差函数计算实例
• 相距为200米的样本点对。
实验变差函数计算实例
• 滞后距为200米的变差函数值。
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距200米的变差函数点
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
500
滞后距
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距300米、400米的变差函数点
几何各向异性
• 基台值相同 • 变程不同
在不同的方向具有相同的变异程 度（基台值相同）但具有不同的 连续程度（变程不同）为几何各 向异性。
带状各向异性
• 基台值不同 • 变程可同可不同
在一些不同的方向上具有不同的变异 程度（基台值不同）连续程度（变程） 可以相同也可不同为带状各向异性。
变差函数结构套合
• 地质统计学是数学地质的重要分支，它首先由 D·G·克立格（Krige）工程师在南非的金属矿产 储量计算中使用，后由法国马特隆 （G·Mathreon）教授领导的小组对此作了深入 的研究并系统地总结出地质统计学的理论和方法。
地质统计学定义
• 地质统计学(Geostatistics)是以区域化变量理论 作为理论基础，以变差函数作为主要工具，对既 具有随机性又具有结构性的变量（如品位值）进 行研究的科学。其核心即“克里格法”，它是一 种无偏的最小误差的储量计算方法。
地质统计学的发展
• 完善的理论基础
• 基本概念—区域化变量 • 基本假设—本征假设
基本工具—变差函数 基本方法—克里格法
• 方法与技巧不断涌出
• 析取克里格、多元高斯克里格和各种条件模拟技术的应用和发展
• 地质统计学的软件包及应用软件不断推出
• 美国斯坦福大学的GSLIB软件包 • 挪威ODEN公司的STORM随机建模软件 • 加拿大的Geostat地质统计学软件 • 澳大利亚的Surpac Vision\Micromine矿山工程软件
对于各向同性模型， (h) (hu , hv , h，w)其 中1(h1)
h1 hu2 hv2 hw2
对于几何各向异性变差函数 h1
( hu )2 ( h，v )2变 (化hw )为2 矩阵形式
au
av
aw
A
1
av 0
0 1 au
0
0
0 0 1 aw
变差函数结构套合
不同方向结构套合
普通克立格方程组
克里格插值类型
• 根据研究目的和条件不同，有各种各样的克立格 法相继产生，如当区域化变量满足二阶平稳（或 内蕴）假设时，可用普通克立格法；在非平稳条 件下采用泛克立格法；当区域化变量服从对数正 态分布时，可用对数正态克立格法；对有多个变 量的协同区域化现象可用协同克立格法；对有特
• 带状各向异性
• 对于带状各向异性，采用分块处理的方法。具体的变差函数模型公式
为 (h) w11(h1) w21，(h其2 ) 中w对3于1(h3 ) 做和几何各1向(h1)
异性相同的处理，对于 1(h做2 ) 如下处理
h3
hw aw
h2，对ahvv于
做如1(h下3) 处理：
总的来说，对于带状各向异性的处理方法是将其看作是几 何各向异性进行坐标变换后，再分别对次轴和垂直轴方向 上多出的基台值进行叠加处理。
地质统计学原理
中国地质调查局发展研究中心
回顾：地理学第一定律及应用
• 地理学第一定律： 距离越近，两点的地理现象相似性越大
逐点移面内插：以待插点为中心， 确定一个邻域范围，用该邻域内 的采样点计算内插点的高程值。
历史背景与产生
• 为解决矿床从普查勘探、矿山设计到矿山开发整 个过程中各种储量计算和误差估计问题发展起来 的。
( h)
基台值
..
块金值 0
. . . Samples
Spatially Correlated 样本空间相关
.(基台值=先. 验方差)
Samples not spatially correlated
样本空间不相关
h
变程
理论变差函数模型
Samples Spatially Correlated
• 球状模型 • 线性模型 Samp•les指no数t 模型 spatially•cor高rel斯ate模d 型
内容介绍
• 三、变差函数建模
变差函数建模
• 为表征一个矿床金属品位等特征量的变化，经 典统计学通常采用均值、方差等一类参数，这些 统计量只能概括该矿床中金属品位等特征量的全 貌，却无法反映局部范围和特定方向上地质特征 的变化。地质统计学引入变差函数这一工具，它 能够反映区域化变量的空间变化特征——相关性 和随机性，特别是透过随机性反映区域化变量的 结构性，故变差函数又称结构函数。
不同方向结构套合
• 几何各向异性
• 基本思路为通过线性变换将各向异性的坐标向量 h (hu , hv , hw )T
转化为各向同性的新坐标向量 h' (h'u , h'设v , h这'w个)T 线性变换为
h' ，Ah其中
A aa1211
a12 a22
a13 a23
a31 a32 a33
then insert and crop
对于不规则采样点： • 沿某一特定方向和特定滞后距上并没有足够的样
本点 • 采用距离和角度容差解决该问题
1st semester 2005
实验变差函数计算
• 步长：4m • 步长容差：2m • 方位角：60 • 倾角：0 • 方位容差：22.5 • 倾角容差：22.5 • 水平带宽：5m • 垂直带宽：5m
内容介绍 • 二、区域化变量
区域化变量
• G.马特隆定义区域化变量是：一种在空间上具有 数值的实函数，它在空间的每一个点取一个确定 的数值，即当由一个点移到下一个点时，函数值 是变化的.
• 特征：随机性和结构性
•
随机性
•
结构性
区域化变量
从地质及矿业角度来看，区域化变量具有如下性质：
（1）空间局限性：即它被限制在一个特定的空间（如一个矿 体内）；该空间称为区域化的几何域；区域化变量是按几何支 撑定义的。 （2）连续性：不同的区域化变量具有不同的连续性，这种连 续性是通过相邻样品之间的变差函数来描述的。 （3）异向性：当区域化变量在各个方向上具有相同的性质时 称各向同性，否则称各向异性。 （4）相关性：一定范围内、一定程度上的空间相关性，当超 出这一范围后相关性减弱以至消失。 （5）对于任一区域化变量而言，特殊的变异性是叠加在一般 规律之上。
2
• 变差函数值与区域化变量位置 x 无关
二阶平稳假设
当区域化变量满足下列两个条件时，称该区域化变量满
足二阶平稳：
（１）在整个研究区内，区域化变量Z(x的) 期望存在且等于常 数：
E[（Z(常x)数] ）m
x
（２）在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函数存在
且平稳：
Cov[Z (x), Z (x h)] E[Z (x)Z (x h)] m2 C(h) x,h
实验变差函数计算(3D)
实验变差函数参数选择
步长大小的选择：
步长间距太小
步长间距较合适
实验变差函数参数选择
步长个数的选择： 原则:
步长大小*步长个数=研究区域长度的一半
步长总间距
理论变差函数
• 实验变差函数并不能定量的反映数据空间相关性， 需要对实验变差函数进行拟合得到理论变差函数。
• 理论变差函数三参数：块金值/基台值/变程
• 图中表示的是东西方向，相距为100米的样本点对。
实验变差函数计算实例
• 通过变差函数计算公式得到东西方向上，滞后距为100米 的变差函数值。
实验变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距100米的变差函数点
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
500
• 区域化变量 • 变差函数 • 克里格估值
与传统储量估算方法相比
• 从传统方法把部分钻孔品位当作一个块段的品位， 从而使高品位估计偏高，低品位估计偏低，而且 没有考虑矿石品位的空间变异性，在计算块段平 均品位时，每个样品的贡献仅仅是若干个几何因 素。
• 地质统计学方法避免了传统方法的两个缺陷。其 加权因子是以矿床的各个方向变差函数的参数为 基础计算出来的, 这种加权方法充分考虑了矿体形 态的空间变化及其品位空间变化特征, 并且采用了 无偏的、误差最小的数理统计方法计算样品的加 权因子和块段的品位。