时钟上的角度
人教版七年级上册数学作业课件 第四章 几何图形初步 类比归纳专题：钟表中的角度问题
A．1：00
B．3：03
C．5：05
D．10：10
◆类型三 钟表问题的拓展延伸 7．如图，在一个圆形时钟的表面上，OA 表示时针，
OB 表示分针(O 为两针的旋转中心)．下午 3 点时， OA 与 OB 成直角． (1)3：40 时，时针与分针所成的角度为 130° ；
(2)在下午 3 点至 4 点之间，从下午 33 点至 4 点之间，从下午 3 点开始，经过
x 分钟，时针与分针成 60°角．①当分针在时针上方时，
由题意得 90＋0.5x－6x＝60，解得 x＝6101；②当分针在
时针下方时，由题意得 6x－(90＋0.5x)＝60，解得 x＝
300.综上可知，在下午 3 点至 4 点之间，从下午 3 点开 11
◆类型二 求分针与时针的夹角
4．8 时 30 分，时钟的时针与分针的夹角为( D )
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．在钟表上，下列时刻的时针和分针所成的角为 90°
的是( D )
A．2 点 25 分
B．3 点 30 分
C．6 点 45 分
D．9 点
6．下列时刻中的时针与分针所成的角最大的是( C )
故小方是
8
时
43
7 分出门的． 11
设下午 2 时 y 分时针与分针方向相反，
则 6y－60－0.5y＝180，解得 y＝43171.
故小方是下午
2
时
43
7 分时回到家的． 11
由上可知，小方采蘑菇共用了 6 小时．
1．钟表的分针经过 40 分钟转过的角度是( B ) A．120° B．240° C．150° D．160°
2．时钟的时针在不停地旋转，时针从上午的 6 时到 9 时旋转的角度是( C ) A．30° B．60° C．90° D．9°
《时钟角度问题》课件
逻辑推理与演绎法
总结词
通过逻辑推理和演绎法，根据题目所给的信息和常识，逐步推导出答案。
详细描述
这种方法需要我们根据题目所给的信息和日常生活中的常识来进行推理。例如，我们可以根据指针的 运动规律和时间的关系，逐步推导出指针之间的角度。这种方法需要我们具备一定的逻辑推理能力。
CHAPTER 04
时钟角度问题的实际应用
随着数学和几何学的发展，时钟角度问题逐渐演变成一个具有挑战性的数学问题。
问题的重要性
时钟角度问题有助于提高数学 和几何学的应用能力，培养解 决实际问题的能力。
它有助于理解时间和角度之间 的关系，加深对几何图形的认 识。
解决时钟角度问题需要运用逻 辑思维、推理能力和创造性思 维，有助于培养这些重要的思 维能力。
问题解决能力培养
时钟角度问题可以作为数学建模的实 例，帮助学生理解数学在实际问题中 的应用。
通过解决时钟角度问题，可以培养学 生的逻辑思维、推理能力和问题解决 能力。
几何学应用
时钟角度问题涉及到几何学中的角度 和圆周等概念，有助于学生加深对几 何学的理解。
CHAPTER 05
时钟角度问题的扩展与深化
时针与分针的角度关系
随着时间的推移，时针和分针会形成不同的角度。例如，在整点时，时针和分 针重合；在3点钟位置时，时针和分针形成90度的角。
分针与秒针的角度关系
分针和秒针每分钟都会形成一定的角度。例如，在1分钟时，分针和秒针重合； 在60分钟时，分针和秒针形成360度的角。
时钟角度问题的基本类型
确定特定时间时分针和秒针的角 度：给定一个时间点，计算分针 和秒针在那个时间点所对应的位
置。
计算时针、分针、秒针之间的角 度差：比较不同时间点上时针、
数学里的钟表问题 “钟面角”
钟表问题“钟面角”日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意．其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧．一、认识“钟面角”要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：①钟表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了．二、解决与钟面角有关的数学问题⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．例1.⑴从3：15到7：45，时针转过度．⑵从1：45到2：05，分针转过度．分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角⑴求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．⑵11：40，时针、分针的夹角为．分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准时针转过的角度为：11×30°=350°分针转过的角度为：40×6°=240°∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°②观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有6x－0.5x=90 解得：x≈16⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有6x－0.5x=90+180 解得：x≈49⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈33②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈65（不合题意，舍去）⒋钟面角的综合应用例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有6x—0.1x=90 解得x=15即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．钟表夹角问题公式钟面上分12大格60小格。
时整时针和分针成一条线
时整时针和分针成一条线时整，时针与分针成一条直线。
分析过程如下：
当时针与分针成一条直线的时候，所表示的时间也就是6时整。
6时整有两种情况，第一种是早上六点，还有一种情况是下午六点。
此时，分针指向数字12，时针指向数字6，分针和时针成一条直线，角度为180度。
如下图所示：
扩展资料：
时间单位的换算关系：
（1）一天=1440分钟，1小时=60分钟，1分钟=60秒。
（2）一刻=15分钟，一字=5分钟（闽南广东地区用法）。
时钟各指针的角度关系：
（1）普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角。
（2）钟表上的每一个大格对应的角度是：30°。
（3）时针每走过1分钟对应的角度应为：0.5°
（4）分针每走过1分钟对应的角度应为：6°。
时钟表盘中角度问题探究
问题研究新课程NEW CURRICULUM一、圆形时钟钟面采取实物教具———圆形石英钟和同学们一起探讨表盘中指针的夹角，通过演示可以明确知道，表盘给我们一个360°的周角形象。
让学生观察时钟表面结构可知：时针12小时转表盘一圈，即旋转了360°，所以时针1小时旋转360°÷12=30°，就很容易得到时针1分钟转30°÷60=0.5°；而分针60分钟转一圈，所以分针1分钟转360°÷60=6°。
我们经过探究，得出结论，形成概念。
（1）表盘中共有12个数字，每两个相邻的数字中心线间的夹角是30°。
（2）表盘中分针每分钟转6°，而时针每分钟转0.5°。
（3）在同一时间内，分针是时针所转度数的12倍。
利用这些关系就可以解决钟表上的有关问题。
【例1】七点三十分时，钟表上时针与分针的夹角是多少度？分析：七点三十分时，分针指在6上，而时针指在7~8中间的位置，两指针之间相距1.5个30°。
所以，夹角度数为30°×1.5=45°。
二、探究数学模型通过实物演示和学生一起建立了以下数学模型：1.整点时间指针度数的计算把钟表指针拨向1点、3点、5点、6点时，学生能够利用先前得到的结论很容易地算出用小时数乘以30°；这时，把指针指向7点，结果有许多学生把度数计算成210°，提示大家：时针与分针所夹的角是指小于180°的角，那么应怎样计算呢？学生通过观察讨论认为用360°去减，算另外一侧的角。
由此得出数学模型：令时间为a 小时，则两指针的夹角=a ×30°或360°-a ×30°。
2.非整点时间指针度数的计算把钟表指针拨到如图，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？我们很容易地看到此时的夹角是分针与12点中心线的夹角减去时针与12点中心线夹角的差。
【初中数学暑期课程数学讲义】北师大版初一(七年级)数学讲义-时钟问题分析
第1讲角度换算及时钟上的角知识定位讲解用时：5分钟A适用范围：北师大版初一，基础一般；B知识点概述：本讲义主要用于北师大版初一新课，本节课我们要学习时钟上的角度问题求解、角度换算。
知识梳理讲解用时：20分钟度分秒的换算公式：1°=60′ 1′=60″钟面上时针和分针转过的角度：时针：1小时转1大格=30° 1分钟转0.5°分针：1小时转12大格=360° 1分钟转6°课堂精讲精练【例题1】38.33°可化为（）A．38°30ˊ3″B．38°20ˊ3″C．38°19ˊ8″ D. 38°19ˊ48″【答案】D【解析】讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握度分秒是60进制教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习1.1】15.25°可化为（）【答案】15°15′【解析】∵0.25°=15′，∴15.25°=15°15′讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题2】把15°48′36″化成以度为单位是（）【答案】15.81°【解析】36″÷60=0.6′，48.6′÷60=0.81°，0.81°+15°=15.81°讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习2.1】把38°19ˊ48″化成以度为单位是（）【答案】38.33°【解析】48″÷60=0.8′，19.8′÷60=0.33°，0.33°+38°=38.33°讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题3】若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30〞，∠C＝20.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B【答案】A【解析】解答：∵∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30〞，∠C＝20.25°＝20°15′，∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．讲解用时：5分钟解题思路：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习3.1】若∠P＝25°12′，∠Q＝25.12°，∠R＝25.2°，则下列结论中正确的是（）A．∠P＝∠Q B．∠Q＝∠RC．∠P＝∠R D．∠P＝∠Q＝∠R【答案】C【解析】解答：25°12′＝25.2°，∴∠P＝∠R．故选C．讲解用时：5分钟解题思路：本题是度分秒的换算，根据换算结果直接得到答案．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题4】计算15°48′36″+21°32′40″【答案】请输入内容【解析】15°48′36″+21°32′40″ =36°80′76″=37°21′16″讲解用时：5分钟解题思路：满60进1，注意进位跟十进制的区别之处教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习4.1】计算15°48′36″+15.48°【答案】31°17′24″【解析】15.48°=15°28′48″，15°48′36″+15.48°=15°48′36″+15°28′48″=30°76′84″=31°17′24″讲解用时：5分钟解题思路：先换算成同样的单位，然后再计算，注意满60进1难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题5】已知∠α＝37°50′，∠β＝52°10′，则∠β－∠α＝______．【答案】14°20′．【解析】解答：∠β－∠α＝52°10′－37°50′＝14°20′．故答案为：14°20′．讲解用时：5分钟解题思路：把已知的度数代入式子计算，度与度对应相减，分与分对应相减，被减数的分小于减数的分，根据1度等于60分借1度计算即可．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习5.1】计算 90°﹣57°23′27″．【答案】32°36′33″【解析】90°=89°59′60″，90°﹣57°23′27″=89°59′60″-57°23′27″=32°36′33″讲解用时：5分钟解题思路：借1为60，注意借位跟十进制的区别之处难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题6】钟表在3点时，它的时针和分针所组成的角（小于180°）是（）A．30° B．60° C．75° D．90°【答案】D【解析】钟表被分成12大格，每一大格是30°，3点时，时针指向3，分针指向12，所以所成夹角为90°讲解用时：5分钟解题思路：画出时针分针所指位置，再根据时针分针单位时间所走过的角度计算即可教学建议：可以截一个钟表过来作为道具难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习6.1】钟表在早晨8点时，它的时针和分针所组成的角（小于180°）是（）【答案】120°【解析】钟表被分成12大格，每一大格是30°，8点时，时针指向8，分针指向12，所以所成夹角为90°讲解用时：5分钟解题思路：画出时针分针所指位置，再根据时针分针单位时间所走过的角度计算即可难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题7】从9.00到9.30时针转过的角度为（），分针转过的角度为（）【答案】15°、180°【解析】9.00到9.30经过了30分，时针每分钟转过的角度是0.5°，分针每分钟转过的角度是6°。
钟面角度数公式
钟面角度数公式是用于计算时钟上指针的角度的公式。
在一个标准的12小时制时钟中，时针、分针和秒针分别围绕表盘转动。
以下是计算时钟上指针角度的常用公式：
1. 时针角度：
时针每小时转动30度，每分钟转动0.5度，每秒钟转动1/120度。
假设当前时间为h小时，m分钟，s秒钟，则时针的角度为：(h * 30 + m * 0.5 + s *
(1/120))度。
2. 分针角度：
分针每分钟转动6度，每秒钟转动1/10度。
假设当前时间为m分钟，s秒钟，则分针的角度为：(m * 6 + s * (1/10))度。
3. 秒针角度：
秒针每秒钟转动6度。
假设当前时间为s秒钟，则秒针的角度为：s * 6度。
这些公式适用于标准的12小时制时钟。
时针与分针的角度计算公式(一)
时针与分针的角度计算公式(一)时针与分针的角度在时钟中，时针和分针的角度是一种有趣的几何关系。
当我们知道特定的时间时，我们可以使用以下公式计算时针与分针之间的角度。
公式1: 时针角度计算公式时针的角度可以通过以下公式计算：时针角度 = (时钟时数 % 12 + 分钟数 / 60) * 30这里，时钟时数是指当前小时数，范围从0到12；分钟数是指当前分钟数，范围从0到60。
示例假设当前时间是3点45分，那么我们可以使用公式来计算时针的角度：时针角度 = (3 % 12 + 45 / 60) * 30 = °因此，时针与12点方向之间的角度为°。
公式2: 分针角度计算公式分针的角度可以通过以下公式计算：分针角度 = 分钟数 * 6这里，分钟数是指当前分钟数，范围从0到60。
示例假设当前时间是3点45分，那么我们可以使用公式来计算分针的角度：分针角度 = 45 * 6 = 270°因此，分针与12点方向之间的角度为270°。
公式3: 时针与分针角度之差计算公式时针与分针之间的角度差可以通过以下公式计算：角度差 = |时针角度 - 分针角度|这里，| |表示取绝对值。
示例假设当前时间是3点45分，我们可以使用公式来计算时针与分针之间的角度差：角度差 = |° - 270°| = °因此，时针与分针之间的角度差为°。
综上所述，我们可以使用以上三个公式来计算时针与分针的角度及其之间的角度差。
这些公式可以帮助我们更好地理解时钟的几何关系，以及计算任意给定时间的时针与分针的角度。
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时钟上的角度
北师大版数学教材七年级上第四章《平面图形及其位置关系》中第三节内容《角的度量与表示》以及各种辅导资料上都提出了时钟上的角的问题，所以在此将此类问题进行总结。
1 基础知识
时钟上，时针转一圈（即转了360°）经过了12小时，所以时针转1小时所转过的角度为360°÷12=30°。
类似的，分针转一圈（即转了360°）经过了60分钟，所以分针转1分钟所转过的角度为360°÷60=6°
２解决问题（方法一）
2.1 当时钟指向上午8:00时，时针和分针的夹角是多少度？分析：如图所示，8:00时，时针与分针都指向正点刻度，此时分针与时针夹角为四格（1格为一小时），所以此时时针与分针的夹角为4×30°=120°
小结：当时钟指向整点位置时，此问题很简单，只需数出时针和分针中间有几个，然后乘以30即为时针与分针之间的夹角。
2.２当时钟指向上午8:30时，时针和分针的夹角时多少度？分析：如图所示，8:30时，时针与分针的夹角包含了两个整格及半格（弧AB）所以此时时针与分针的夹角为２×30°＋×３０°＝７５°。
当时钟指向上午8:45时，时针和分针的夹角时多少度？
分析：如图所示，8:45时，时针与分针的夹角包含了四分之一格（即弧AB，一格代表一小时，45分钟占了一小时，也就是60分钟的四分之三，所以弧AB占了一格的四分之一），所以此时时针与分针的夹角为×３０°＝７.５°小结：对于时钟上简单的问题，我们一般可以采用上述方法进行画图求解。
3 探究新方法（方法二）
教辅资料上出现了这样的问题：时钟上时针和分针的夹角是90°有几种情况？
分析：如果采用上述方法解决此类问题，显然不可能将所有的时刻都考虑到。
所以我们必须思考新的方法。
3.1 以8:45为例。
以00:00为基准，8:45时，时针走了小时，分针走了45分钟。
所以时针转过的角度为×30°=262.5°。
（时针转一小时所转过的角度为30°）
分针转过的角度为45×6°=270°。
（分针转一分钟所转过的角度为6°）
所以此时时针与分针的夹角为270°-262.5°=7.5°
3.2 一般情况：求a：b时指针和分针的夹角是多少度。
a:b时，时针走了小时，分针走了分钟。
所以时针转过的角度为×30=30a+b。
分针转过的角度为b×6=6b。
所以此时时针与分针的夹角为|30a+b-6b|=|30a-b|。
例如：8:45时，a=8，b=45。
此时时针与分针的夹角为｜３０a-b｜=|30×8-×45｜=7.5°
4 总结规律
有了方法二所归纳出的一般情况，我们就可以解决上面提出的问题：时钟上时针和分针的夹角是90°有几种情况？
分析：令|30a-b|=90°，（a的取值为1、2、3、4…12，b为非负整数）
①当30a-b=90时，可得b=(a-3)，
根据a、b的取值范围限制，a只能取3，才能保证b是一个非负整数。
当a=3时，b=0。
所以当3:00时，时针和分针的夹角是90°
②当30a-b=-90时，可得b=(a+3)，根据a、b的取值范围限制，a只能取8，才能保证b是一个非负整数）。
当a=8时，b=60。
所以当8:60即9:00时，时针和分针的夹角是90°。
综上所述，只有在3:00和9:00时，时针和分针的夹角是90°。